連續(xù)性相關(guān)問(wèn)題

1、二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn) 一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義 第八節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 第一章 可見可見 , 函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義定義定義:)(xfy 在在0 x的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù)則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf(1) )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x即即)(0 xf(2) 極限極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件連續(xù)必須具備下列條件:存在存在 ;且且有定義有定義 ,存在存在

2、 ;機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義知由定義知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù)在在是函數(shù)是函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連

3、續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf 例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf若)(xf在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù) , 則稱它在該區(qū)間上連續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) . ,baC在閉區(qū)間,ba上的連續(xù)函數(shù)的集合記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在在在在二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷

4、點(diǎn)(1) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但但)()(lim00 xfxfxx 不連續(xù)不連續(xù) :0 x設(shè)設(shè)0 x在點(diǎn)在點(diǎn))(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,則下列情形則下列情形這樣的點(diǎn)這樣的點(diǎn)0 x之一之一函數(shù)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn)雖有定義雖有定義 , 但但雖有定義雖有定義 , 且且稱為稱為間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) . 在在無(wú)定義無(wú)定義 ;機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 間斷點(diǎn)分類間斷點(diǎn)分類: :第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):)(0 xf及及

5、)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若稱稱0 x, )()(00 xfxf若若稱稱0 x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):)(0 xf及及)(0 xf中至少一個(gè)不存在中至少一個(gè)不存在 ,稱稱0 x若其中有一個(gè)為振蕩若其中有一個(gè)為振蕩 ,稱稱0 x若其中有一個(gè)為若其中有一個(gè)為,為為可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn) .為為跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn) .為為無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn) .為為振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn) .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xytan) 1 (2x為其無(wú)窮間斷點(diǎn) .0 x為其振蕩間斷點(diǎn) .xy1sin) 2(1x為可去間斷點(diǎn) .11)3(2xxyxoy1例如例如:

6、xytan2xyoxyxy1sin0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去間斷點(diǎn) .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點(diǎn) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3 3.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時(shí)取何值時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅

7、當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類型)(. 1xf0 x在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 可去型可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型跳躍型無(wú)窮型無(wú)窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 x一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則 第九節(jié)二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性 機(jī)動(dòng) 目

8、錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性 第一章 xx cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理定理1. 在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差 , 積 ,連續(xù)xx cos,sin商(分母不為 0) 運(yùn)算, 結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) .例如例如,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xey 在),(上連續(xù) 單調(diào) 遞增,其反函數(shù)xyln在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增.又如又如, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理2. 連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù)例如例如,xysin在,22上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)xyarcsin(遞減).在 1

9、, 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)例如例如,xy1sin是由連續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上連續(xù) .復(fù)合而成 ,xyoxy1sin機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理3. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.例例1 . 設(shè))()(xgxf與均在,ba上連續(xù), 證明函數(shù))(, )(max)(xgxfx 也在,ba上連續(xù).證證:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則 , 可知)(, )(xx也在,ba上連續(xù) .)(, )(min)(xgxfx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

10、二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 意義意義1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;.)(. 2的的理理論論依依據(jù)據(jù)變變量量代代換換xu 例例2 2.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解例例3 3.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yyy10)1ln(1lim

11、 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e說(shuō)明說(shuō)明: 若,0)(lim0 xuxx則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 x2例例5 5. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例6 6.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )()

12、()(lim000定義區(qū)間定義區(qū)間 xxfxfxx注意注意: 初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法代入法代入法. 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說(shuō)明說(shuō)明: 分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第十節(jié)一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 第一章 注意注意: 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.

13、1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即: 設(shè), ,)(baCxfxoyab)(xfy 12則, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷 在該區(qū)間上一定有最大點(diǎn) ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例如例如,)1,0(,xxy無(wú)最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無(wú)最大值和最小值 又如又如, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 bxoya)(xfy 12mM推論推論. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. 二、介值定理二、介值定理定理定理2. ( 零點(diǎn)定理 ), ,

14、)(baCxf至少有一點(diǎn), ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸至少有一個(gè)交點(diǎn)軸至少有一個(gè)交點(diǎn)線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點(diǎn)位于端點(diǎn)位于的兩個(gè)的兩個(gè)連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧xxxfy xyo)(xfy 定理定理3. ( 介值定理 ) 設(shè) , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf則對(duì) A 與 B 之間的任一數(shù) C ,一點(diǎn), ),(ba推論推論:Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 必取得介于最小值與最大值之間的任何值 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 證明方程0