光學習題解答(3、4)

1、.3-1. 證：設(shè)兩個均勻介質(zhì)的分界面是平面，它們的折射率為和。光線通過第一介質(zhì)中指定的A點后到達同一介質(zhì)中指定的B點。為了確定實際光線的路徑，通過A,B兩點作平面垂直于界面，是他們的交線，則實際 光線在界面上的反射點C就可由費馬原理來確定（如右圖）。反正法：如果有一點位于線外，則對應于，必可在線上找到它的垂足.由于,故光譜總是大于光程而非極小值，這就違背了費馬原理，故入射面和反射面在同一平面內(nèi)得證。在圖中建立坐oxy標系，則指定點A,B的坐標分別為（）和（），未知點C的坐標為（）。C點在之間是，光程必小于C點在以外的相應光程，即，于是光程ACB為：根據(jù)費馬原理，它應取極小值，即： ， 取的是

2、極值，符合費馬原理。故問題得證。3-2.(1)證：如圖所示，有位于主光軸上的一個物點S發(fā)出的光束經(jīng)薄透鏡折射后成一個明亮的實象點。由于球面AC是由S點發(fā)出的光波的一個波面，而球面DB是會聚于的球面波的一個波面，固而, .又光程，而光程。根據(jù)費馬原理，它們都應該取極值或恒定值，這些連續(xù)分布的實際光線，在近軸條件下其光程都取極大值或極小值是不可能的，唯一的可能性是取恒定值，即它們的光程卻相等。由于實際的光線有許多條。我們是從中去兩條來討論，故從物點發(fā)出并會聚到像點的所有光線的光程都相等得證。除此之外，另有兩圖如此，并與今后常用到：3-3.解：由的結(jié)果 得： = =10（cm）3-4.解：由結(jié)果知：

3、 （1） , （2） (3) 而 又 3-5.證： 3-6.解：3-7.解：（1）（2）3-8.解：s/F/f/-sAx 3-9.證：由圖可知，若 使凹透鏡向物體移動的距離亦可得到同樣的結(jié)果。3-10.解： P3-11.解： （1）由經(jīng)導知： 按題意，物離物方主點H的距離為， 于是由 （2） 3-12.解： （1）仍在原處（球心），物像重合（2）3-13.解：（1）（2）3-14解： （1）（2）（3） 光路圖如右：3-15解： （1）（2）（3）3-16.解：（1）透鏡在空氣中和在水中的焦距分別為： （2）透鏡置于水中的焦距為： 3-17.解： 3-18.解：（1） （2） 其光路圖如右3-

4、19.解：透鏡中心和透鏡焦點的位置如圖所示：3-20.解： 3-21.解： 該透鏡是由A,B；兩部分膠合而成的（如圖所示），這兩部分的主軸都不在光源的中心軸線上，A部分的主軸在系統(tǒng)中心線下方0.5cm處，B部分的主軸則在系統(tǒng)中心線上方0.5cm處。由于點光源經(jīng)凹透鏡B的成像位置即可（為便于討論，圖（a）（b）（c）是逐漸放大圖像）式中分別為點光源P及其像點離開透鏡B主軸的距離，虛線在透鏡B的主軸下方1cm處，也就是在題中光學系統(tǒng)對稱軸下方0.5的地方同理，點光源P通過透鏡A所成的像，在光學系統(tǒng)對稱軸上方0.5的處，距離透鏡A的光心為10cm，其光路圖S畫法同上。值得注意的是和構(gòu)成了相干光源3-

5、22.證：經(jīng)第一界面折射成像：經(jīng)第二界面（涂銀面）反射成像：再經(jīng)第一界面折射成像而三次的放大率由分別得又對于平面鏡成像來說有：可見，當光從凸表面如射時，該透鏡的成像和平面鏡成像的結(jié)果一致，故該透鏡作用相當于一個平面鏡 證畢。3-23.解：依題意所給數(shù)據(jù)均標于圖中由于直角棱鏡的折射率n=1.5，其臨界角， 故，物體再斜面上將發(fā)生全反射，并將再棱鏡左側(cè)的透鏡軸上成虛像。 有考慮到像似深度，此時可將直角棱鏡等價于厚度為h=1.6cm的平行平板，由于的結(jié)果可得棱鏡所成像的位置為： 故等效物距為：對凹透鏡來說： 對凸透鏡而言，即在凹透鏡左側(cè)10cm形成倒立的虛像，其大小為3-24.解： 其光路圖如下：3

6、-25.解：3-26.解：3-27.解：經(jīng)第一界面折射成像：經(jīng)第二界面（涂銀面）反射成像：再經(jīng)第一界面折射成像 即最后成像于第一界面左方4cm處3-28.解： 依題意作草圖如下： 第一次成像： 第二次成像： 1) 求兩次象的大小之比：2) 3) 可見： 若，則d無解，即得不到對實物能成實像的透鏡位置 若，則d0，即透鏡在E中央，只有一個成像位置， 若，則可有兩個成像位置。故，欲使透鏡成像，物和屏的距離l不能小于透鏡焦距的4倍但要滿足題中成兩次清晰的像，則必須有 證畢。 注：當時，有d0，則。 即只有能成一個像的位置。3-29.解： 其光路頭分別如下：3-30.解：3-31.解：其草圖繪制如下3

7、-32.解：（1）（2）3-33.解：3-34.解：其光路圖如下：3-35.解：（1）由折射定律： nsin=sin 所以=sin-1(sin/n)又 臨界角c=sin-1（1/n）即c 故是部分反射。（2）由圖知：=（-）+，即=2-，而=-2, 所以=-4+2.（3）因為d/d=-4d/d+2=0，即：d/d=1/2, 而：=sin-1（sin/n）,dsin-1x/dx=1/(1-x)1/2. 即：d/d=cos/n(1-sin2/n2)1/2=1/2,1-sin2/ n2=4cos2/n21=sin2/n2+ cos2/n2+ /n2=1+3cos2. 所以cos2=（n2-1）/3.

8、或：=cos-1（n2-1/3）1/2. 36.因為n/s/-n/s=(n/-n)/r.(1) 1 因為n/=1.5,n=1,s1=r1=4(cm)所以1.5/s1/ -1/4 =(1.5-1)/4,1.5/s/1=1/4 +0.5/4=3/8.所以s1/=81.5/3 =4(cm). 即在球心處。2 因為n/=1,n=1,s2=s/+(9-8)/2 =4.5cm.所以1/s2/ -1/s/1=0, s2/=s2=4.5cm. 即像仍在球心處。（3）1 因為n/=1.33, 1.5,r=1.5mm,s=1mm.所以1.33/ s/1-1.5/1=(1.33-1.5)/1.5.1. 33/ s/

9、1=1.5+1.33/1.5 1=1.39.所以s/1=1.33/1.39=0.96(mm)又 s2=50-(1.5-0.96)=49.46(mm).故 1/ s2/-1.33/49.46=1-1.33/50 s2=0.0203 s2/=49.26 （mm）所以 d（內(nèi)）=2r(內(nèi))=2(50-49.26)=1.481.5（mm）2 由 n/=1 n=1.33 r=50mm s=48.5（mm） 所以 1/s1/-1.33/48.5=1.33./50 1/s1/=1.33/48.5+1/50-1.33/50=0.0208 所以 s/48.1（mm） d（外）=2r/(外)=2(50-48.1)

10、4（mm）(2) 1 n/=1.5 n=1.0 r1=4cm s1=4-0.15=3.85cm 1.5/ s1/ -1/3.85=(1.5-1.0)/41.5/ s1/=1/3.85=0.5/40.385 s1/=1.5/0.3853.896(cm)2 又 n/=1.0 n=1.5cm s2=3.896+0.5=4.396(cm) 1/s2/-1.5/4.396=(1-1.5)/4.5 1/s2/=1.5/4.396-0.5/4.50.23 s/24.348(cm)d=2(4.5-4.348) 0.304(cm) 3mm3-37. （1） 證：物像具有等光程性，即： sl1ps1=so1o2s

11、2s1sl2s2=so1o2s2sl1p=sl1ps1-ps1=sl1ps1-ps1 sl2s2p=sl2s2+s2p= =ps2而 so1o2s2s1-so1o2s2=s1s2=L=sl1ps1-sl2s2 =sl1p-sl2s2p =（sl1ps1-ps1）-（+ps2） = (sl1ps1-sl2s2)-ps1-ps2 = L-( ps1+ps2)故有= L-( s1p+s2p) 得證。 （2） 當=j時為干涉相長，是亮紋。=（2j=1）/2時相消，是暗紋。 且條紋僅出現(xiàn)在光軸的上方（s1s2p）的區(qū)域內(nèi)。故 在（s1s2p）區(qū)域內(nèi)放置的垂直于垂線的光屏上可看到亮暗相間的半圓形干涉條紋。

12、（ 剖開后的透鏡為半圓形）（3） n/=1.0 n=1.5 r=1.5mm s=1mm 1/s/ -1.5/1 =(1-1.5)/1.5 1/s/=1.5-1/31.167. s/0.857 d(內(nèi))=2(1.5-0.857) 1.268(mm)3-38. da db,該玻璃板可視為薄透鏡，且是近軸光線。圓板中心處的折射率為n（0），半徑為r處的折射率為n（r），則由物像之間的等光程性知： n1L +n2L/=n1a+n(0)d+n2b,而：n1=n2=1 L=（a2+r2）1/2 L/=(b2+r2)1/2即：（a2+r2）1/2+n(r)d+(b2+r2)1/2=a+b+ n(0)d n(

13、r)d= n(0)d+a+b-（a2+r2）1/2-(b2+r2)1/2 故 n(r)= n(0)+a+b-（a2+r2）1/2-(b2+r2)1/2/d討論：若為平行光照射時，且折射后會聚于焦點F, 則有n(r)d+(f/+r2)1/2=n(0)d+. 即： n(r)=n(0)+ f/-(f/+r2)1/2/d. 當d f/ 時，有 ：n(r) n(0)-r2/2df/.圖示： l r l/ A B A b d F f/3-39（1） n/s1/ -n/s1=(n/-n)/r1 n/=1.5, n=1.0, s1= -40cm, r1= -20cm 1.5/ s1/=1/(-40) +(1.

14、5-1.0)/(-20)= -1/20, s1/= -201.5= -30(cm). (2) 1/ s2/+1/s2=2/r2, s2=s1/= -30cm, r2= -15cm 1/ s2/=2/ r2 -1/s2=2/ (-15) 1/(-30)= -1/10, s2/= -10(cm). (3) n/s3/ -n/s3=(n/-n)/r1 s3=s2/= -10cm r1 = -20cm n/=1.0 n=1.5. 1/ s3/=(1.0-1.5)/( -20) +1.5/( -10) = -1/8 (4) =123, =y/y=ns/n/s . 1= ns1/n/s1=1/2 2= n

15、s2/ / (-n/s2)= - s2/ s2= -1/3 3= ns3/n/s3=6/5. =1/2(-1/3)6/5= -1/5= -0.2.故最后像在透鏡左方8cm處，為一大小是原物的0.2倍倒立縮小實像。圖示：3-40. 證： O1P1= -s1, O2P2=s2, P1A1= L1 , A2P2=L2, A1M=A2N=h, O1O2=d., L1=(-s1)+O1M2+h21/2, L2=S2+O2N2+h21/2. 在近軸條件下，O1MR1 O2N -R2 即: O1Mh2/2R1 O2Nh2/2( -R2). P1A1A2P2=n1L1+nd-O1M-O2N+n2L2 =n1(-s1)+O1M2+h21/2+nd-O1M-O2N+n2s2+O2N2+h21/2 =n1-s1+h2/2R12+h21/2+nd-h2/2R1-h2/2(-R2)+n2s2+h2/2(-R2)2+h21/2 當A1點在透鏡上移動時，R1和R2是常量，h是常量，根據(jù)費馬原理， 對h求導，并令其等于0，即 dP1A1A2P2/dh =0,得： n1-s1+h2/2R1h/R1 +h/L10 nh/R1 nh/(-R2)+ n2s2+h2/2(-R2)h/(-R2) +h/L2=0. 在近軸條件下，hR1, h=1, 即y/l=1.22/d. d=1.22l/y dmin=