蔣中一動態(tài)最優(yōu)化基礎(chǔ)

1、第一章第一章 動態(tài)最優(yōu)化的性質(zhì)動態(tài)最優(yōu)化的性質(zhì)第二章變分法的基本問題第二章變分法的基本問題路徑值集合路徑值集合（實(shí)線）（實(shí)線）允許的路徑集合允許的路徑集合（曲線）（曲線）泛函的概念泛函的概念通常函數(shù)：從實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的映射。通常函數(shù)：從實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的映射。泛函：從路徑（曲線）到實(shí)數(shù)的映射。泛函：從路徑（曲線）到實(shí)數(shù)的映射。目標(biāo)泛函的概念目標(biāo)泛函的概念l連續(xù)時(shí)間路徑上識別一條弧，需要三樣信息：連續(xù)時(shí)間路徑上識別一條弧，需要三樣信息：無限小的無限小的一條弧一條弧l（1）開始時(shí)間）開始時(shí)間tl（2）開始狀態(tài)）開始狀態(tài))(tyl（3）弧的前進(jìn)方向）弧的前進(jìn)方向dtdyty/)(t)(ty)(tyl存在某個(gè)函

2、數(shù)存在某個(gè)函數(shù)F，將弧值賦予弧，即從無限小的弧，將弧值賦予弧，即從無限小的弧(曲線曲線)到弧值到弧值(實(shí)數(shù)實(shí)數(shù))的影射，表示為：的影射，表示為：)( ),(,tytytFl目標(biāo)泛函就是弧值之和：目標(biāo)泛函就是弧值之和：TdttytytFyV0)( ),(,例：壟斷企業(yè)的利潤函數(shù)例：壟斷企業(yè)的利潤函數(shù)l壟斷企業(yè)的動態(tài)需求函數(shù)：壟斷企業(yè)的動態(tài)需求函數(shù)：),(PPDQddsQQ ),(PPDQsl壟斷企業(yè)的總收益函數(shù)：壟斷企業(yè)的總收益函數(shù)：),(PPRPQRl壟斷企業(yè)的總成本函數(shù)：壟斷企業(yè)的總成本函數(shù)：),()(PPDCQCCl壟斷企業(yè)的總利潤函數(shù)：壟斷企業(yè)的總利潤函數(shù)：),(),(),(PPPPDC

3、PPRCRl加總加總T期的總利潤函數(shù)，得到目標(biāo)泛函：期的總利潤函數(shù)，得到目標(biāo)泛函：TdtPP0),(l如果收益函數(shù)或成本函數(shù)隨時(shí)間變化，目標(biāo)泛如果收益函數(shù)或成本函數(shù)隨時(shí)間變化，目標(biāo)泛函：函：TdtPPt0),(第一節(jié)第一節(jié) 歐拉方程歐拉方程變分法的基本問題變分法的基本問題l最大化或最小化最大化或最小化),()()()0(. .)(),(,)(0給定給定ZTZTyAAytsdttytytFyVT一、歐拉方程的推導(dǎo)一、歐拉方程的推導(dǎo)TdttptytptytFV0)()( ),()(,)(*)(ty)(ty0)()0(Tpp)(*ty)(tp)()()(*tptytyT0ytAZ)()()(*tpt

4、yty)()( )(*tptytydttytytFyVT)(),(,)(0變?yōu)椋鹤優(yōu)椋阂弧W拉方程的推導(dǎo)一、歐拉方程的推導(dǎo)dttptytptytFVT)()( ),()(,)(*0)(ty)(ty0)()(00TTyydttpFdttpFddV（2.14）步驟步驟1 1 首先用首先用 來表示來表示V V，并求導(dǎo)：，并求導(dǎo)：) (*ty)(tp)()()(*tptytyytT我們得到極值曲線的必要條件的更具體的形式：我們得到極值曲線的必要條件的更具體的形式：萊布尼茲法則：萊布尼茲法則：badtxtFxI),()(TTdtdydyFddyyFdtFddV00)(dttpFtpFTyy0)()(ba

5、xdtxtFdxxI),()(對于函數(shù)對于函數(shù)l步驟步驟2 dtdtdFdtdtdvdvydttpdtdtdudu)( 和和令令yFv和和 。于是我們得到：。于是我們得到：)(tpu 把這些表達(dá)式代入（把這些表達(dá)式代入（2.15），其中），其中a=0，b=T。我們得到：。我們得到：btatbtatbtatudvvuvdu（2.15）根據(jù)分部積分公式：根據(jù)分部積分公式：0)()(00TTyydttpFdttpFddV以上推導(dǎo)得到：以上推導(dǎo)得到：TyTyTydtFdtdtptpFdttpF000)()()(TydtFdtdtp0)(0)()(00TTyydtFdtdtpdttpFddV步驟步驟3

6、由于由于 是任意的，因此可以得到：是任意的，因此可以得到：)(tp0yyFdtdF對于所有對于所有, 0TtyyFdtdF或或?qū)τ谒袑τ谒? 0Tt歐拉方程歐拉方程)81 . 2()18. 2(（2.17)以上推導(dǎo)得到：以上推導(dǎo)得到：0)()(00TTyydtFdtdtpdttpFddV對推導(dǎo)得到的對推導(dǎo)得到的 進(jìn)行整理：進(jìn)行整理：ddV0)(0dtFdtdFtpTyyTTyydtFdtdtpdttpFddV00)()(l步驟步驟4 因?yàn)橐驗(yàn)镕是一個(gè)具有三個(gè)自變量是一個(gè)具有三個(gè)自變量 的函數(shù)的函數(shù) 所以偏導(dǎo)數(shù)所以偏導(dǎo)數(shù) 也是具有三個(gè)同樣自變量的函數(shù)。也是具有三個(gè)同樣自變量的函數(shù)。),(yy

7、t)()(tyFtyFFdtydyFdtdyyFtFdtdFyyyyy tyyyy yFl把它代入把它代入(2.18)式，即式，即 ，得：，得：0yyFdtdF0)()( tyFtyFFFyyyyy ty0)()( yy tyyyyFFtyFtyF0yyFdtdF以上推導(dǎo)得到歐拉方程：以上推導(dǎo)得到歐拉方程：歐拉方程歐拉方程的另一種的另一種形式形式)18. 2()19. 2(dtyy tyVT)()(20具有邊界條件：具有邊界條件：1) 1 ()0( yy例例1 求下列泛函的極值曲線。求下列泛函的極值曲線。2yy tF0yFytFy2yyFdtdF根據(jù)歐拉方程根據(jù)歐拉方程 ，可得：，可得： 0y

8、Fdtd常數(shù) yF常數(shù)yt2121cty212*41ctcty根據(jù)直接積分，得根據(jù)直接積分，得, 1) 1 ()0( yy由于, 14121cc和所以141412*tty因此，極值曲線為：因此，極值曲線為：dtyy tyVT)()(20具有邊界條件：具有邊界條件：是自由的并且TyyT,10, 1)0(例例2 求下列泛函的極值曲線。求下列泛函的極值曲線。2yy tF0yFytFy2yyFdtdF根據(jù)歐拉方程根據(jù)歐拉方程 ，可得：，可得： 0yFdtd常數(shù) yF常數(shù)yt2121cty212*41ctcty根據(jù)直接積分，得根據(jù)直接積分，得, 1)0(y由于, 12c所以10yt01122*41)(c

9、tctty根據(jù)水平終結(jié)線的橫根據(jù)水平終結(jié)線的橫截條件：截條件：0TtyFyF2yy tF ytFy20)2(2ytyyy t代入水平終結(jié)線橫截條件。代入水平終結(jié)線橫截條件。和和（在（在t=T處）處）02 y0 y14112*tcty通解為通解為1*21cty021)(1*cTTyTc211,10Ty水平終結(jié)線1041212cTcTyT即361cT一、多個(gè)狀態(tài)變量的情況一、多個(gè)狀態(tài)變量的情況第二節(jié)第二節(jié) 歐拉方程的推廣歐拉方程的推廣dtyyyytFyyVnnTn,1101當(dāng)給定問題中具有當(dāng)給定問題中具有 個(gè)狀態(tài)變量時(shí)，泛函變?yōu)椋簜€(gè)狀態(tài)變量時(shí)，泛函變?yōu)椋?n并且對于每個(gè)狀態(tài)變量都有一對初始條件和終

10、結(jié)條件。并且對于每個(gè)狀態(tài)變量都有一對初始條件和終結(jié)條件。 個(gè)變量的個(gè)變量的歐拉方程組歐拉方程組為：為：n0 j yyjFdtdF對于所有對于所有, 0Tt)27. 2(), 2 , 1(nj這幾個(gè)方程與邊界條件一起這幾個(gè)方程與邊界條件一起, ,可以確定解可以確定解)(,),(*1tytyn二、高階導(dǎo)數(shù)的情況二、高階導(dǎo)數(shù)的情況那么那么高階導(dǎo)數(shù)泛函可以轉(zhuǎn)化為多個(gè)狀態(tài)變量的泛函高階導(dǎo)數(shù)泛函可以轉(zhuǎn)化為多個(gè)狀態(tài)變量的泛函: : dtyyyytFyVnT ,)(0考慮一個(gè)含有考慮一個(gè)含有 的高階導(dǎo)數(shù)的泛函，即：的高階導(dǎo)數(shù)的泛函，即：)(ty并且并且 都有一對初始條件和終結(jié)條件都有一對初始條件和終結(jié)條件,

11、,即即共有共有 個(gè)邊界條件。個(gè)邊界條件。)1(, nyyyyn2可以轉(zhuǎn)化為含有可以轉(zhuǎn)化為含有 個(gè)狀態(tài)變量及其一階導(dǎo)數(shù)的一個(gè)等個(gè)狀態(tài)變量及其一階導(dǎo)數(shù)的一個(gè)等價(jià)函數(shù)：價(jià)函數(shù)：n1)1(21, nnxyxyxy設(shè)dtxxxytFxxyVnnTn,111011一、社會損失函數(shù)一、社會損失函數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 通貨膨脹和失業(yè)之間的折衷通貨膨脹和失業(yè)之間的折衷 與與 的關(guān)系用附加預(yù)期的菲利普斯曲線來表示：的關(guān)系用附加預(yù)期的菲利普斯曲線來表示：YYfp)0()(YYpf)40. 2(預(yù)期通脹率預(yù)期通脹率 的形成被假定為自適應(yīng)的：的形成被假定為自適應(yīng)的：其中，其中， 表示預(yù)期通貨膨脹率。表示預(yù)期通貨膨脹率。其中，

12、其中， 為實(shí)際收入，為實(shí)際收入， 為理想實(shí)際收入，為理想實(shí)際收入， 為實(shí)際為實(shí)際通貨膨脹率。通貨膨脹率。YfYp)10()()(jpjdtd)41. 2()0()(22pYYf社會損失函數(shù)為：社會損失函數(shù)為：)39. 2(由（由（2.40)2.40)式和式和(2.41)(2.41)式，得：式，得：)(YYfj重新整理，得：重新整理，得：jfYY)()42. 2(（2.42)2.42)式代入式代入(2.40)(2.40)式，得：式，得：)(jp)43. 2(（2.42)2.42)和和(2.43)(2.43)式代入式代入(2.39)(2.39)式，得社會損失函數(shù)：式，得社會損失函數(shù)：)()(),(

13、2jj)44. 2(二、問題二、問題三、解路徑三、解路徑滿足滿足0)0(二階導(dǎo)數(shù)：二階導(dǎo)數(shù)： Ttdte0),(政策制定者的目標(biāo)：政策制定者的目標(biāo)： 最大化最大化和和0)(T)( 給定TteF),(被積函數(shù)為：被積函數(shù)為：F F的一階導(dǎo)數(shù)：的一階導(dǎo)數(shù)：tejjF)1(2222tejF)(2tejF)1(2222tejF2ttejjF)1(2222公式（公式（2.192.19）給出了具體的必要條件：給出了具體的必要條件：0 其中其中01)(22jj由于這個(gè)方程是齊次的，它的特解是由于這個(gè)方程是齊次的，它的特解是0 0，它的通解它的通解是它的余函數(shù)：是它的余函數(shù)：trtreAeAt2211*)(

14、通解通解 其中其中421,221rr并且可知，并且可知，0021rr和和設(shè)設(shè) 和和 ，并利用邊界條件得：，并利用邊界條件得：0tTt 021 AA02211TrTreAeA解這兩個(gè)方程，得：解這兩個(gè)方程，得：trtrtreeeA21201trtrtreeeA211020,00,02121AArr 歐拉方程歐拉方程 第三章第三章 可變端點(diǎn)橫截條件可變端點(diǎn)橫截條件預(yù)備知識：對定積分的求導(dǎo)預(yù)備知識：對定積分的求導(dǎo)baxdtxtFdxdI),(badtxtFxI),()(對于函數(shù)對于函數(shù)（1 1）萊布尼茲法則萊布尼茲法則對定積分的求導(dǎo)對定積分的求導(dǎo)（2.6)2.6)（2）積分上限函數(shù)的求導(dǎo)積分上限函數(shù)

15、的求導(dǎo)（2.8)2.8)dttFdttFdttFxaxxxxa)()()(,)(xxxdttF由積分中值定理得由積分中值定理得xF)(,xxx xx , 0),(Fx)(limlim00Fxxx).()(xFx 證：證：dttFxxxxa)()()()(xxx dttFdttFxaxxa)()(abxyoxx )(x x abxyoxx )( x xdttFxxa)()(（3）對積分下限函數(shù)求導(dǎo)對積分下限函數(shù)求導(dǎo))()(xaxaF證：證：)()()()()(xabbxadttFdttFx)()()()()(xaxaFdttFdxdxxabbxadttFdxdx)()()(根據(jù)對積分上限函數(shù)求導(dǎo)

16、的公式，得：根據(jù)對積分上限函數(shù)求導(dǎo)的公式，得：（2.9)2.9)(4)(4)如果定積分具有如下形式：如果定積分具有如下形式：)(),(),(xbxxbFdtxtFdxdKbax)(),()(xbadtxtFxK根據(jù)（根據(jù)（2.62.6）式和（）式和（2.82.8）式，得：式，得：（2.11)2.11)可變終結(jié)點(diǎn)問題：可變終結(jié)點(diǎn)問題：),()()()0(. .)(),(,)(0自由給定TTTyTyTyAAytsdttytytFyVl假設(shè)假設(shè) 是已知的最優(yōu)終結(jié)時(shí)間，是已知的最優(yōu)終結(jié)時(shí)間，在在 鄰近的任何值鄰近的任何值 可以表示為可以表示為*T*TTTTT*l由于由于 已知并且已知并且 是一個(gè)預(yù)選的

17、量，所以，是一個(gè)預(yù)選的量，所以，T可可被視為被視為 的一個(gè)函數(shù)的一個(gè)函數(shù) ，其導(dǎo)數(shù)為，其導(dǎo)數(shù)為*TT)(TTddT第一節(jié)第一節(jié) 一般性橫截條件一般性橫截條件lT是是 的一個(gè)函數(shù)，所以函數(shù)的一個(gè)函數(shù)，所以函數(shù)V中積分上限隨著中積分上限隨著 的變化而變化。的變化而變化。)(0)()( ),()(,)(*TdttptytptytFV)(ty)(ty*Ty*T*)(tyl最大化或最小化最大化或最小化dtFdtdtptpFdtFtpdtFTyTyTyT0000)()()(推導(dǎo)一般的橫截條件：推導(dǎo)一般的橫截條件：l步驟步驟1)(0)()( ),()(,)(*TdttptytptytFVddTTyTyTFd

18、tFddVT)(),(,)(0（3.6）（3.6）式第二項(xiàng)）式第二項(xiàng):TFddTTyTyTFTt)(),(,根據(jù)上一章根據(jù)上一章 的推導(dǎo)過程的推導(dǎo)過程,得（得（3.6）式第一項(xiàng)）式第一項(xiàng):dtFT0)()(0TpFdtFdtdFtpTtyTyy0)()(0TFTpFdtFdtdFtpTtTtyTyyl把這些代入把這些代入(3.6)，并令，并令 ，得：，得：0ddV第第40頁頁（3.7）l步驟2 通過把 轉(zhuǎn)化為含 和 )(TpTTyTTyTpyT)()(TTyyTpT)()(（3.8）*T*Ty*)(tyl步驟步驟3 3 把（把（3.83.8）式代入（）式代入（3.73.7），得：），得：0)(

19、)(0TFTpFdtFdtdFtpTtTtyTyy（3.7）0)()(0TFTTyFyFdtFdtdFtpTtTtyTTtyTyy0)(0TTtyTtyTyyyFTFyFdtFdtdFtp0)(0dtFdtdFtpTyy0TTtyTtyyFTFyF歐拉方程歐拉方程一般橫截條件一般橫截條件TTyyTpT)()(（3.8）第第2 2步驟推導(dǎo)得到：步驟推導(dǎo)得到：第第1 1步驟推導(dǎo)得到：步驟推導(dǎo)得到：特殊橫截條件特殊橫截條件l垂直終結(jié)線（固定時(shí)間水平問題）垂直終結(jié)線（固定時(shí)間水平問題）0TTtyTtyyFTFyF以上推導(dǎo)得到一般橫截條件：以上推導(dǎo)得到一般橫截條件：l垂直終結(jié)線涉及一個(gè)固定的垂直終結(jié)線涉

20、及一個(gè)固定的T，從而，從而0Tl又因?yàn)橛忠驗(yàn)?是任意的，就產(chǎn)生的橫截條件：是任意的，就產(chǎn)生的橫截條件：Ty0TTtyyF0TtyF垂直終結(jié)線的橫截條件垂直終結(jié)線的橫截條件0T第二節(jié)第二節(jié) 特殊橫截條件特殊橫截條件特殊橫截條特殊橫截條件件l水平終結(jié)線（固定端點(diǎn)問題）水平終結(jié)線（固定端點(diǎn)問題）0TTtyTtyyFTFyF一般橫截條件一般橫截條件l又因?yàn)橛忠驗(yàn)?是任意的，就產(chǎn)生的橫截條件：是任意的，就產(chǎn)生的橫截條件：T水平終結(jié)線的橫截條件水平終結(jié)線的橫截條件l水平終結(jié)線涉及一個(gè)固定的水平終結(jié)線涉及一個(gè)固定的 ，從而，從而0TyTy0TFyFTty0TtyFyF0Ty特殊橫截條件特殊橫截條件l終結(jié)曲線

21、終結(jié)曲線0TTtyTtyyFTFyF一般橫截條件一般橫截條件l把該式代入一般橫截條件，得：把該式代入一般橫截條件，得：終結(jié)曲線的橫截條件終結(jié)曲線的橫截條件l終結(jié)曲線終結(jié)曲線 ， 和和 都未被賦予零值。都未被賦予零值。TTy)(TyTdTdyTTyT 0TFFyFTtyyl又因?yàn)橛忠驗(yàn)?是任意的，就產(chǎn)生的橫截條件：是任意的，就產(chǎn)生的橫截條件：T0TtyyFFyF)(TyT)(TyT特殊橫截條件特殊橫截條件l截?cái)啻怪苯K結(jié)線截?cái)啻怪苯K結(jié)線0TTtyTtyyFTFyF一般橫截條件一般橫截條件min*0yyFTTty對于min0yyTT和minyl對點(diǎn)對點(diǎn)Z1，即，即 ，那么終結(jié)限制，那么終結(jié)限制 自動

22、自動被滿足，可直接使用截?cái)嘟K結(jié)線條件：被滿足，可直接使用截?cái)嘟K結(jié)線條件：min*yyTmin*yyTl對點(diǎn)對點(diǎn)Z2和和Z3，即，即 。min*yyTmin*0yyFTTty對于0)(0min*min*TtyTTTtyFyyyyF最大化問題的截?cái)啻怪苯K結(jié)線橫截條件最大化問題的截?cái)啻怪苯K結(jié)線橫截條件(對于最大化對于最大化V的問題的問題)特殊橫截條件特殊橫截條件l截?cái)啻怪苯K結(jié)線截?cái)啻怪苯K結(jié)線0TTtyTtyyFTFyF一般橫截條件一般橫截條件min*0yyFTTty對于min0yyTT和minyl對點(diǎn)對點(diǎn)Z1，即，即 ，那么終結(jié)限制，那么終結(jié)限制 自動自動被滿足，可直接使用截?cái)嘟K結(jié)線條件：被滿足，可

23、直接使用截?cái)嘟K結(jié)線條件：min*yyTmin*yyTl對點(diǎn)對點(diǎn)Z2和和Z3，即，即 。min*yyTmin*0yyFTTty對于0)(0min*min*TtyTTTtyFyyyyF最大化問題的截?cái)啻怪苯K結(jié)線橫截條件最大化問題的截?cái)啻怪苯K結(jié)線橫截條件(對于最小化對于最小化V的問題的問題), 0)(TP假設(shè)minyyT已知)(*TpyyTTmin*)(yyyyTpTTT0即在約束即在約束 的情況下求的情況下求 的的最大化最大化。0dttytytFyVT)(),(, )(00)(00ddVyFTFyFddVTTtyTty根據(jù)求最大值的庫恩塔克條件，得：根據(jù)求最大值的庫恩塔克條件，得：時(shí)當(dāng)即min,

24、0,yyFTTtymin, 0yyFTTty對于證明0)(030)(020)(01*xf，xxf，xxf，x且情形且情形且情形0)(3020)(1*xfxxxf條件條件條件庫恩塔克條件：庫恩塔克條件：特殊橫截條特殊橫截條件件l截?cái)嗨浇K結(jié)線截?cái)嗨浇K結(jié)線0TTtyTtyyFTFyF一般橫截條件一般橫截條件maxTT Tmax1M2M3Ml對點(diǎn)對點(diǎn)M1，即，即 ，那么終結(jié)限制，那么終結(jié)限制 自動自動被滿足，可直接使用截?cái)嘟K結(jié)線條件：被滿足，可直接使用截?cái)嘟K結(jié)線條件：l對點(diǎn)對點(diǎn)M2和和M3，即，即 ，那么終結(jié)限制，那么終結(jié)限制 才被滿足。才被滿足。0)(0max*max*TFyFTTTTFyFTt

25、yTtymaxTT maxTT maxTT maxTT max0TTTFyFddVTty對于max0TTFyFTty對于最大化問題截?cái)嗨浇K結(jié)線的橫截條件最大化問題截?cái)嗨浇K結(jié)線的橫截條件(對于對于V的最大化的最大化)特殊橫截條特殊橫截條件件l截?cái)嗨浇K結(jié)線截?cái)嗨浇K結(jié)線0TTtyTtyyFTFyF一般橫截條件一般橫截條件maxTT Tmax1M2M3Ml對點(diǎn)對點(diǎn)M1，即，即 ，那么終結(jié)限制，那么終結(jié)限制 自動自動被滿足，可直接使用截?cái)嘟K結(jié)線條件：被滿足，可直接使用截?cái)嘟K結(jié)線條件：l對點(diǎn)對點(diǎn)M2和和M3，即，即 ，那么終結(jié)限制，那么終結(jié)限制 才被滿足。才被滿足。0)(0max*max*TtyT

26、tyFyFTTTTFyFmaxTT maxTT maxTT maxTT max0TTTFyFddVTty對于max0TTFyFTty對于最大化問題截?cái)嗨浇K結(jié)線的橫截條件最大化問題截?cái)嗨浇K結(jié)線的橫截條件(對于對于V的最大化的最大化)TTTTTmax*max*TTTTT0在約束在約束 的情況下求的情況下求 的的最大化最大化。0dttytytFyVT)(),(, )(00)(000ddVyFTFyFddVddVTTtyTty根據(jù)求最大值的庫恩塔克條件，得：根據(jù)求最大值的庫恩塔克條件，得：0 ,maxTtyFyFTT時(shí)當(dāng)因此Tmax1M2M3M, 0T假設(shè)max*TT 已知:, 那么假設(shè)0, 00

27、TtyTtyTFyFTFyFy即又,maxTT 對于即點(diǎn)即點(diǎn)M2和和M3：max0TTFyFTty對于證明dtyy tyVT)()(20具有邊界條件：具有邊界條件：是自由的并且TyyT,10, 1)0(例例2 求下列泛函的極值曲線。求下列泛函的極值曲線。2yy tF0yFytFy2yyFdtdF根據(jù)歐拉方程根據(jù)歐拉方程 ，可得：，可得： 0yFdtd常數(shù) yF常數(shù)yt2121cty212*41ctcty根據(jù)直接積分，得根據(jù)直接積分，得, 1)0(y由于, 12c所以10yt01122*41)(ctctty根據(jù)水平終結(jié)線的橫根據(jù)水平終結(jié)線的橫截條件：截條件：0TtyFyF2yy tF ytFy2

28、0)2(2ytyyy t代入水平終結(jié)線橫截條件。代入水平終結(jié)線橫截條件。和和（在（在t=T處）處）02 y0 y14112*tcty通解為通解為1*21cty021)(1*cTTyTc211,10Ty水平終結(jié)線1041212cTcTyT即361cT第三節(jié)第三節(jié) 橫截條件的推廣橫截條件的推廣（一）一個(gè)可變初始點(diǎn)（一）一個(gè)可變初始點(diǎn)如果初始點(diǎn)是可變的，那么邊界條件如果初始點(diǎn)是可變的，那么邊界條件 不再成立。不再成立。Ay)0(需要一個(gè)初始橫截條件來填補(bǔ)這個(gè)空白。需要一個(gè)初始橫截條件來填補(bǔ)這個(gè)空白。（二）多個(gè)狀態(tài)變量情形（二）多個(gè)狀態(tài)變量情形當(dāng)目標(biāo)函數(shù)出現(xiàn)多個(gè)狀態(tài)變量時(shí)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)出現(xiàn)多個(gè)狀態(tài)變量時(shí)，

29、被積函數(shù)表示為：，被積函數(shù)表示為：),(11nnyyyytF 0TTtyTtyyFTFyF一般橫截條件為：一般橫截條件為：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)只有一個(gè)狀態(tài)變量時(shí)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)只有一個(gè)狀態(tài)變量時(shí)，被積函數(shù)為：，被積函數(shù)為：),(yytF0)(1111nTTtnyTTtyTtnynyyFyFTFyFyF一般橫截條件為：一般橫截條件為：（二）高階導(dǎo)數(shù)的情況（二）高階導(dǎo)數(shù)的情況0) TTtyTTtyyTtyyyyFyFdtdFTFdtdyFyFyF泛函泛函 具有被積函數(shù)具有被積函數(shù) ，經(jīng)濟(jì)學(xué)中，經(jīng)濟(jì)學(xué)中很少出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)的情況。很少出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)的情況。),()(nyyytFyV以被積函數(shù)以被積函數(shù) 為例，一般橫截條件

30、為：為例，一般橫截條件為：),(yyytF 2222:,11000,10160 8100 ,( ,)41614.4260100032003560CQQPPP PPQ CPPPPPP 例 壟斷企業(yè)的埃文斯模型 考慮生產(chǎn)一種商品的一家壟斷企業(yè)成本函數(shù)為需求函數(shù)為則企業(yè)利潤為0:max(,)44(1) . . (0)11,()15,2994(2) . . (0)11,()109TP Pdts tPP TTs tPP T此 壟 斷 目 標(biāo) 為*0.120.1212*0.120.12:(1):4( )14944(0)11,( )15,2994( )6.9339.933149ttttEulerP tAeA

31、 ePP TTP tee解根據(jù)方程得出又根據(jù)邊界條件11*1*10.240.2412(2):( )10( ),( ,( ),( )|0,( )( ,( ),( )|0;|0|260 ( )2000( )32000( )0.13 ( )1.64( )149xtxtPTPTP Tx ta F t x tx tx ta F t x tx tP TP TP TP TP TAeA e 若條件變?yōu)楦鶕?jù)橫截性條件若*0.120.12121212*0.120.12:4( )1494(0)1193()0.13()1.64.716,7.7164( )4.7167.716149ttttEulerPtA eA ePA

32、AP TP TAAPtee 根據(jù)方程得出又根據(jù)邊界條件又根據(jù)*2,(2)14.3710tTP設(shè)第四章第四章 二階條件二階條件第一節(jié)第一節(jié) 二階條件二階條件l二階充分條件：二階充分條件： 一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù) 等于零，得到極值線的必要等于零，得到極值線的必要條件的歐拉方程以及橫截條件。條件的歐拉方程以及橫截條件。ddV022dVd對于極大值對于極大值022dVd對于極小值對于極小值二階必要條件：二階必要條件：022dVd對于極大值對于極大值022dVd對于極小值對于極小值dttpFtpFddVTyy0)()(根據(jù)（根據(jù)（2.13）式）式22dVdyFddyFdddttpFtptpFtpFdVdTyy

33、yyyy02222)()()(2)(V的二階導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)：的二階導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)：)()()(*tptyty)( )( )( *tptytydtFddtpFddtpTyy0)()()(tpddy)(tpddydttpFtpFddTyy0)()()(ddVdd)()(tpFtpFyyyydydFddyFyyyy)()(tpFtpFyyyydydFddyFyyyy)2 . 4(0)()()(2)(22tpFtptpFtpFyyyyyy當(dāng)二次型0)()()(2)(02222dttpFtptpFtpFdVdTyyyyyy此時(shí)，此時(shí)， 取極大值。取極大值。dtyytFyVT0),()(因此，可以得到二階充分條件

34、：因此，可以得到二階充分條件： 負(fù)定是負(fù)定是 取極大值的充分條件。取極大值的充分條件。dtyytFyVT0),()()()()(2)(22tpFtptpFtpFyyyyyy 正定是正定是 取極小值的充分條件。取極小值的充分條件。dtyytFyVT0),()()()()(2)(22tpFtptpFtpFyyyyyy類似地，可以得到二階必要條件：類似地，可以得到二階必要條件： 半負(fù)定是半負(fù)定是 取極大值的充分條件。取極大值的充分條件。dtyytFyVT0),()()()()(2)(22tpFtptpFtpFyyyyyy 半正定是半正定是 取極小值的充分條件。取極小值的充分條件。dtyytFyVT0

35、),()()()()(2)(22tpFtptpFtpFyyyyyy一、固定端點(diǎn)的充分性定理一、固定端點(diǎn)的充分性定理l對于固定端點(diǎn)問題，如果被積函數(shù)對于固定端點(diǎn)問題，如果被積函數(shù) 關(guān)于關(guān)于 是是凹的凹的，那么歐拉方程對于識別，那么歐拉方程對于識別 是一個(gè)是一個(gè)最大值最大值是充分的。如果是充分的。如果 關(guān)于關(guān)于 是是凸的凸的，那么歐拉方程對于識別那么歐拉方程對于識別 是一個(gè)是一個(gè)最小值最小值是充分是充分的。的。),(yytF),(yy),(yytF),(yyyVyV第二節(jié)第二節(jié) 凹性凹性/凸性條件凸性條件判別多元函數(shù)的凹凸性：判別多元函數(shù)的凹凸性：將弱不等號將弱不等號 和和 變換成嚴(yán)格不等號變換成

36、嚴(yán)格不等號 和和 ，上述定義適用于嚴(yán)格凹函數(shù)和嚴(yán)格凸函數(shù)的定義。上述定義適用于嚴(yán)格凹函數(shù)和嚴(yán)格凸函數(shù)的定義。),(21nvvvv對于定義域中任意給定點(diǎn)對于定義域中任意給定點(diǎn) 和另和另一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn) ，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)),(21nuuuunjjjjuvufufvf1)()()(時(shí)，時(shí)， 為為 ),(1nxxf 凹函數(shù)凹函數(shù) 凸函數(shù)凸函數(shù)其中其中 在在 計(jì)算其值。計(jì)算其值。jjxfuf)(),(21nuuuu固定端點(diǎn)的充分性定理的證明固定端點(diǎn)的充分性定理的證明證明：當(dāng)函數(shù)證明：當(dāng)函數(shù) 是凹的，當(dāng)且僅當(dāng)對于區(qū)域是凹的，當(dāng)且僅當(dāng)對于區(qū)域中任意一對分離點(diǎn)中任意一對分離點(diǎn) 和和 ，我們有：，我們有：),(

37、yytF) ,(*yyt) ,(yyt這里的這里的 代表最小路徑，代表最小路徑， 代表任意路徑。代表任意路徑。)(*ty)(ty)( ) ,()() ,() )(,()(,() ,() ,(*tpyytFtpyytFyyyytFyyyytFyytFyytFyyyy（4.4）對（對（4.4）式兩邊積分，得：）式兩邊積分，得：0) ,() ,()()( ) ,()() ,(0*0*TyyTyydtyytFdtdyytFtpdttpyytFtpyytFyVyV（4.5)使用使用(2.16)式式TyTyTydtFdtdtptpFdttpF000)()()(l如果函數(shù)如果函數(shù)F關(guān)于關(guān)于 是嚴(yán)格凹的，那么

38、（是嚴(yán)格凹的，那么（4.4）和）和（4.5）中的弱不等式）中的弱不等式 變?yōu)閺?qiáng)不等式變?yōu)閺?qiáng)不等式 ，結(jié)果，結(jié)果 表明表明 是唯一的是唯一的V的最大值。的最大值。),(yy*yVyV*yV同樣，一個(gè)嚴(yán)格凸函數(shù)同樣，一個(gè)嚴(yán)格凸函數(shù)F也將使也將使 成為唯一的成為唯一的最小值。最小值。*yVTyydttpyytFtpyytFyVyV0*)( ) ,()() ,(（4.5)式式二、可變終結(jié)點(diǎn)的充分性定理二、可變終結(jié)點(diǎn)的充分性定理l在在垂直終結(jié)線垂直終結(jié)線或或截?cái)啻怪苯K結(jié)線截?cái)啻怪苯K結(jié)線問題中，如果被問題中，如果被積函數(shù)積函數(shù)F關(guān)于關(guān)于 是是凹（凸）凹（凸）的，那么，歐拉方的，那么，歐拉方程加上橫截條件足

39、以確定程加上橫截條件足以確定 的的最大（?。┳畲螅ㄐ。┲?。值。),(yy)(yVTtyTyytpFdtyytFdtdyytFtp)() ,() ,()(0*(2.16)式式TyTyTydtFdtdtptpFdttpF000)()()(證明：證明：TyTtydtFdtdtptpF0)()(TtyyyF)(0*TtyyyFyVyV)(*垂直終結(jié)線的橫截條件：垂直終結(jié)線的橫截條件：0TtyF*yVyV垂直截?cái)嘟K結(jié)線的橫截條件：垂直截?cái)嘟K結(jié)線的橫截條件：miny第一種情況（第一種情況（Z1點(diǎn)）：點(diǎn)）：0min*TtyF，yy時(shí)當(dāng)*yVyV第二種情況（第二種情況（Z2和和Z3點(diǎn)）點(diǎn)） ：*yVyVTty

40、yyFyVyV)(*上頁證明得到：上頁證明得到：0)(*TtyyyF,min*時(shí)當(dāng)yy 轉(zhuǎn)化為固定終結(jié)點(diǎn)問題。轉(zhuǎn)化為固定終結(jié)點(diǎn)問題。三、檢驗(yàn)凹性三、檢驗(yàn)凹性/凸性凸性函數(shù)函數(shù) 是是凹（凸）凹（凸）的，當(dāng)且僅當(dāng)二次型的，當(dāng)且僅當(dāng)二次型 在任何地方都是在任何地方都是負(fù)（正）半定負(fù)（正）半定的；函數(shù)的；函數(shù) 是是嚴(yán)格凹（凸）嚴(yán)格凹（凸）的，當(dāng)（但不是僅當(dāng)）的，當(dāng)（但不是僅當(dāng)） 在任在任何地方都是何地方都是負(fù)（正）定負(fù)（正）定的。的。),(yytFq),(yytFq任何地方是指在任何地方是指在 的空間中的所有點(diǎn)和所有時(shí)的空間中的所有點(diǎn)和所有時(shí)刻都成立。刻都成立。yy 二次型符號的定性和半定性可以用行列

41、式檢驗(yàn)和特二次型符號的定性和半定性可以用行列式檢驗(yàn)和特征根檢驗(yàn)來檢查。征根檢驗(yàn)來檢查。二次型符號定性的行列式檢驗(yàn)二次型符號定性的行列式檢驗(yàn)yyyyyyyyFFFFD二次型二次型 的行列式的行列式:222dyFydydFydFyyyyyyyyyyFFD1yyyyyyyyyyyyyyyyFFFFFFFFD2q的負(fù)定性的負(fù)定性它的主子式：它的主子式：q的正定性的正定性0, 021DD0, 021DD),(yytF是嚴(yán)格凹的是嚴(yán)格凹的),(yytF是嚴(yán)格凸的是嚴(yán)格凸的（4.7）二次型符號半定性的行列式檢驗(yàn)二次型符號半定性的行列式檢驗(yàn)yyyyyyyyFFFFD二次型二次型 的行列式的行列式:222dyF

42、ydydFydFyyyyyyyyyyFFD1yyyyyyyyFFFFD2q的負(fù)半定性的負(fù)半定性它們的主子式：它們的主子式：q的正半定性的正半定性0, 021DD0, 021DD),(yytF是凹的是凹的),(yytF是凸的是凸的yyyyyyyyFFFFD0yyyyFFD01yyyyyyyyFFFFD02通稱為通稱為1D通稱為通稱為2D二次型符號定性的特征根檢驗(yàn)二次型符號定性的特征根檢驗(yàn)二次型二次型 的特征方程的特征方程:222dyFydydFydFyyyyyyq的負(fù)定性的負(fù)定性q的正定性的正定性0, 021rr0, 021rr),(yytF是嚴(yán)格凹的是嚴(yán)格凹的),(yytF是嚴(yán)格凸的是嚴(yán)格凸的

43、0rFFFrFyyyyyyyy由（由（4.7）求解特征方程的特征根求解特征方程的特征根 和和 。1r2rq的負(fù)半定性的負(fù)半定性q的正半定性的正半定性0, 021rr0, 021rr),(yytF是凹的是凹的),(yytF是凸的是凸的),(yytF用兩種方法來檢驗(yàn)用兩種方法來檢驗(yàn) 的凹性的凹性/凸性。凸性。2244),(yyyyyytF例例1 如果目標(biāo)泛函的被積函數(shù)是如果目標(biāo)泛函的被積函數(shù)是 歐拉方程對于最大化或最小化是充分的嗎？歐拉方程對于最大化或最小化是充分的嗎？第一種方法：符號（半）定性的行列式檢驗(yàn)。第一種方法：符號（半）定性的行列式檢驗(yàn)。yyFy48和和yyFy24一階導(dǎo)數(shù)：一階導(dǎo)數(shù)：二

44、階導(dǎo)數(shù)：二階導(dǎo)數(shù)：2yyF4yyyyFF8yyF符號定性檢驗(yàn)：符號定性檢驗(yàn)：21yyFD084422yyyyyyyyFFFFD二次型二次型q不是正定的。不是正定的。801yyFD0244802yyyyyyyyFFFFD二次型二次型q是半正定的。是半正定的。0, 021DD即即第三節(jié)第三節(jié) 勒讓德必要條件勒讓德必要條件yV最大化最大化0yyF對于所有對于所有, 0TtyV最小化最小化0yyF對于所有對于所有, 0TtdttpFtptpFtpFdVdTyyyyyy02222)()()(2)()2 . 4(根據(jù)根據(jù)TTTudvuvvdu000yyFv)(2tpu TyydttptpF0)()(2Ty

45、ydtdtdFtp02)(0dttpFtpdtdFtpFdVdTyyyyyy022222)()()(dtdtdFdvyy dttptpdu)()(2TyyTyydtdtdFtptpF0202)()(勒讓德必要條件勒讓德必要條件證明（對于固定端點(diǎn)問題）：證明（對于固定端點(diǎn)問題）：dttpFtpdtdFtpFdVdTyyyyyy022222)()()()(tpT0)(b圖即使即使 保持很小的值，保持很小的值， 的斜率的斜率 也可以取也可以取非常大的絕對值。非常大的絕對值。)(tp)(tp)(tp)(tpT0)(a圖為了得到較大的為了得到較大的 值，值， 通常也必須取較大通常也必須取較大的絕對值。的

46、絕對值。)(tp)(tp結(jié)論：結(jié)論： 項(xiàng)傾向于占主導(dǎo)地位。項(xiàng)傾向于占主導(dǎo)地位。)(tp最大化最大化yV022dVd0)(2tpFyy0yyF上頁證明得到：上頁證明得到：（4.28）TTdtyytFdtyytFyVyVV0*0*) ,() ,(第四節(jié)第四節(jié) 一階變分和二階變分一階變分和二階變分) ,(yytF在點(diǎn)在點(diǎn)) ,(*yyt附近展成泰勒級數(shù)：附近展成泰勒級數(shù)：因?yàn)橐驗(yàn)?*pyy*pyy) ,() ,(*yytFyytF)()()(*yyFyyFttFyytnR2*2*2) ()()(! 21yyFyyFttFyyyytt)(2) )(2)(2*yyyyFyyttFyyttFyyy tty

47、pFpFyytFyytFyy) ,() ,(*nyyyyyyRppFpFpF)(2)()(! 2122)92 . 4(dtpFpFVTyy0)(TyyyyyydtppFpFpF0222)2(! 2).(.高階項(xiàng)toh)30. 4(, 0ddVV0222dVdVdtpFpFVTyy0)(TyyyyyydtppFpFpF0222)2(! 2).(.高階項(xiàng)toh)30. 4(（4.30）中的第一項(xiàng)積分被稱為一階變分）中的第一項(xiàng)積分被稱為一階變分, 表示為表示為V（4.30）中的第二項(xiàng)積分被稱為二階變分）中的第二項(xiàng)積分被稱為二階變分, 表示為表示為V2220222)2(dVddtppFpFpFVTyy

48、yyyy)2 . 4(ddVdtpFpFVTyy0)()13. 2(0*yVyVV歐拉方程歐拉方程二階必要條件二階必要條件0*yVyVV, 0ddVV0222dVdV)()(!)()(! 2)()(! 1)(! 0)()(00)(200000 xRxxnxxxxxxxxxnnn 若函數(shù)若函數(shù) 在含在含 的某個(gè)開區(qū)間的某個(gè)開區(qū)間 內(nèi)有直內(nèi)有直到到 階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng) 在在 內(nèi)時(shí)，函數(shù)內(nèi)時(shí)，函數(shù) 可可表示為表示為 的一個(gè)的一個(gè) 次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)之和，次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)之和，即：即：)(x)(x0 x),(ba),(ba1 nx0 xx n其中的余項(xiàng)其中的余項(xiàng)10)1()(! ) 1()

49、()(nnnxxnpxR)(0之間與在xxp附錄：泰勒公式附錄：泰勒公式一階條件：一階條件：第二章至第四章小結(jié)第二章至第四章小結(jié)在固定端點(diǎn)的情況下在固定端點(diǎn)的情況下0ddV0yyFdtdF0)()( yy tyyyyFFtyFtyF歐拉方程歐拉方程在可變終結(jié)點(diǎn)（終結(jié)狀態(tài)或終結(jié)時(shí)間可變）的情況下在可變終結(jié)點(diǎn)（終結(jié)狀態(tài)或終結(jié)時(shí)間可變）的情況下0ddV0yyFdtdF歐拉方程歐拉方程0TTtyTtyyFTFyF二階條件二階條件(對于目標(biāo)泛函對于目標(biāo)泛函V)二階充分條件二階充分條件二階必要條件（勒讓德必要條件）二階必要條件（勒讓德必要條件）022dVd對于極大值對于極大值022dVd對于極大值對于極大

50、值0)()()(2)(22tpFtptpFtpFyyyyyy對于極大值對于極大值0yyF對于所有對于所有, 0Tt對于極大值對于極大值檢驗(yàn)（被積函數(shù)檢驗(yàn)（被積函數(shù)F的）凹性的）凹性/凸性：凸性：對于固定端點(diǎn)、垂直終結(jié)線和截?cái)啻怪苯K結(jié)線問題，如對于固定端點(diǎn)、垂直終結(jié)線和截?cái)啻怪苯K結(jié)線問題，如果被積函數(shù)果被積函數(shù) 關(guān)于關(guān)于 是凹的，那么歐拉方是凹的，那么歐拉方程對于識別程對于識別 是一個(gè)最大值是是一個(gè)最大值是充分充分的。的。),(yytF),(yyyV注：二階條件的計(jì)算在極注：二階條件的計(jì)算在極值曲線上取值，凹性值曲線上取值，凹性/ /凸性檢驗(yàn)的計(jì)算在可行凸性檢驗(yàn)的計(jì)算在可行域任意點(diǎn)取值域任意點(diǎn)取

51、值。是凹函數(shù)FdyFydydFydFqyyyyyy0222第五章第五章 無限計(jì)劃水平無限計(jì)劃水平第一節(jié)第一節(jié) 無限水平的方法問題無限水平的方法問題第二節(jié)第二節(jié) 案例案例艾斯納艾斯納-斯特羅茲模型斯特羅茲模型第三節(jié)第三節(jié) 相圖分析相圖分析第四節(jié)第四節(jié) 凹性凹性/凸性條件凸性條件第一節(jié)第一節(jié) 無限水平的方法問題無限水平的方法問題l一、目標(biāo)泛函的收斂性一、目標(biāo)泛函的收斂性l條件條件 給定廣義積分給定廣義積分 ，如果被積函，如果被積函數(shù)數(shù)F F在整個(gè)積分區(qū)間是有限的，而且如果在整個(gè)積分區(qū)間是有限的，而且如果F F在某個(gè)有在某個(gè)有限時(shí)刻比如說限時(shí)刻比如說 處達(dá)到零且對于所有處達(dá)到零且對于所有 保留為零，

52、保留為零，那么此積分將收斂。那么此積分將收斂。0),(dtyytF0tt 0tl盡管此積分名義上具有一個(gè)無限水平，但是此積分盡管此積分名義上具有一個(gè)無限水平，但是此積分的有限上限是一個(gè)有限值的有限上限是一個(gè)有限值 ，這樣，給定的廣義積分，這樣，給定的廣義積分實(shí)際上簡化為一個(gè)普通積分，它將積分到一個(gè)有限值。實(shí)際上簡化為一個(gè)普通積分，它將積分到一個(gè)有限值。0tl考慮以下兩個(gè)積分：考慮以下兩個(gè)積分：l條件條件（錯(cuò)）錯(cuò)） 給定廣義積分給定廣義積分 ，如果，如果當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) ，那么此積分將收斂。，那么此積分將收斂。 0),(dtyytFt0F021) 1(1dttI02) 1(1dttI和和l當(dāng)當(dāng) 時(shí)每一

53、個(gè)被積函數(shù)都趨于零。但是時(shí)每一個(gè)被積函數(shù)都趨于零。但是 收斂，收斂， 不收斂。不收斂。t1I2I0) 1(1lim01bbtIbbtI02) 1ln(liml條件條件 在積分在積分 中，如果被積函數(shù)具有中，如果被積函數(shù)具有形式形式 ，其中，其中 是正的折現(xiàn)率，而且函數(shù)是正的折現(xiàn)率，而且函數(shù) 是有界的，那么此積分將收斂。是有界的，那么此積分將收斂。 0),(dtyytFteyytG),(Gl橫截條件的問題橫截條件的問題l有限水平的一般橫截條件：有限水平的一般橫截條件：l無限水平的一般橫截條件無限水平的一般橫截條件：0TTtyTtyyFTFyF0TtytyyFTFyFl這里這里兩項(xiàng)中任一項(xiàng)都必須單

54、獨(dú)趨于零兩項(xiàng)中任一項(xiàng)都必須單獨(dú)趨于零，即：，即：0)(limytFyF（表示終結(jié)時(shí)間是可變的）（表示終結(jié)時(shí)間是可變的）0limytF（表示終結(jié)狀態(tài)是可變的）（表示終結(jié)狀態(tài)是可變的）l無限水平特殊橫截條件無限水平特殊橫截條件：設(shè)定一個(gè)漸近終結(jié)狀態(tài)。：設(shè)定一個(gè)漸近終結(jié)狀態(tài)。0)(limytFyF（表示終結(jié)時(shí)間是可變的）（表示終結(jié)時(shí)間是可變的）一個(gè)常數(shù)ytyt)(lim（表示終結(jié)狀態(tài)是不變的）（表示終結(jié)狀態(tài)是不變的）l注：有限水平的橫截條件不一定適用于無限水平，解決注：有限水平的橫截條件不一定適用于無限水平，解決方法是用經(jīng)濟(jì)學(xué)原理來決定方法是用經(jīng)濟(jì)學(xué)原理來決定 的終結(jié)狀態(tài)是什么。的終結(jié)狀態(tài)是什么。t

55、第二節(jié)第二節(jié) 案例案例艾斯納艾斯納-斯特羅茲模型斯特羅茲模型00)()(),(dteKCKdtKKtFKt最大化)()0(00給定滿足KKK其中，被積函數(shù)為其中，被積函數(shù)為teKbKaKKF)(22)0,(2KKl調(diào)整成本調(diào)整成本C C隨擴(kuò)張速度隨擴(kuò)張速度 而正向變化，調(diào)整成本而正向變化，調(diào)整成本函數(shù)為：函數(shù)為：)(tKl企業(yè)利潤率企業(yè)利潤率 與企業(yè)規(guī)模與企業(yè)規(guī)模K K相關(guān)，利潤函數(shù)為：相關(guān)，利潤函數(shù)為：KbKaC2l企業(yè)目標(biāo)是選擇企業(yè)目標(biāo)是選擇 路徑來最大化企業(yè)凈利潤，即：路徑來最大化企業(yè)凈利潤，即：)(*tKl代入歐拉方程代入歐拉方程 ，得：，得： abKKK2 （5.175.17）teK

56、bKaKKF)(22導(dǎo)數(shù)是：導(dǎo)數(shù)是：,)2(tKeKKFtKebKaF)2(,2tKKaeF, 0KKFtKKeF2tKtebKaF)2(0)()( KKtKKKKFFtKFtKFl通解是通解是KeAeAtKtrtr2121*)(l其中其中421,221特征根rr)(2特解bbKl和和l以上求得通解是以上求得通解是KeAeAtKtrtr2121*)(l代入初始條件代入初始條件 ，得：，得：0)0(KKKAAK210l企業(yè)最高利潤率的設(shè)備規(guī)模為：企業(yè)最高利潤率的設(shè)備規(guī)模為：2K2bKtK0KtKl通解是通解是KeAeAtKtrtr2121*)(l其中其中421,221特征根rr2bKt0)(,

57、0)(011111AeA，tArtr或時(shí)當(dāng)或如果KKAKAAK02210又l因此，最終可以得到最優(yōu)因此，最終可以得到最優(yōu)K K路徑是：路徑是：KeKKtKtr2)()(0*（5.215.21）l對于一個(gè)無限水平，如果沒有固定的時(shí)間對于一個(gè)無限水平，如果沒有固定的時(shí)間T T，即終結(jié)即終結(jié)時(shí)間是可變的，則：時(shí)間是可變的，則：0)(limKtFKFl被積函數(shù)為被積函數(shù)為teKbKaKKF)(22l導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為tKebKaF)2(l橫截條件：橫截條件：l通解是通解是KeAeAtKtrtr2121*)(l通解的導(dǎo)數(shù)為通解的導(dǎo)數(shù)為trtrerAerAtK212211*)( tKeKaKKFKF)(22（5

58、.225.22）l把把 和和 代入（代入（5.225.22）式，得：）式，得：)( *tK)(*tKttrtrtrrtrtrKeKKearAeKAerarAAearAeKAFKF)()()2()22()()2(2)2(2222)(2)(2121)2(2121)(1*222111*l因?yàn)橐驗(yàn)?，所以得到：，所以得到：2121, 0, 0rrrr01A與上頁的結(jié)與上頁的結(jié)論一致。論一致。l最優(yōu)投資路徑與靈活加速因子最優(yōu)投資路徑與靈活加速因子l因此因此, ,最優(yōu)投資路徑為：最優(yōu)投資路徑為：treKKrtKtI2)()( )(02*l以上推導(dǎo)得到最優(yōu)以上推導(dǎo)得到最優(yōu)K K路徑：路徑：KeKKtKtr2

59、)()(0*(5.21)(5.21)treKKKtK2)()(0*又)()(*2*tKKrtI(5.23)(5.23)0022rr已知112r時(shí)當(dāng)102r(5.23)(5.23)式描述了靈活加速因子機(jī)制，即通過投資的調(diào)式描述了靈活加速因子機(jī)制，即通過投資的調(diào)整來逐步消除最優(yōu)路徑整來逐步消除最優(yōu)路徑 與目標(biāo)資本與目標(biāo)資本 的差異。的差異。)(*tKK第三節(jié)第三節(jié) 相圖分析相圖分析l再一次討論艾斯納再一次討論艾斯納斯特羅茲模型斯特羅茲模型abKaKK2 （5.175.17）00),()()(dteKKFdteKCKKtt最大化)()0(00給定滿足KKKl其中，被積函數(shù)為其中，被積函數(shù)為teKbK

60、aKKF)(22l求解得到歐拉方程為：求解得到歐拉方程為：l我們引入一個(gè)變量我們引入一個(gè)變量I I（凈投資）：凈投資）：)()(tKtIl(5.17)(5.17)式歐拉方程可寫為含兩個(gè)一階條件的方程組：式歐拉方程可寫為含兩個(gè)一階條件的方程組：abKaII2（5.345.34）IK abKaII2（5.345.34）IK l以上推導(dǎo)得到兩以上推導(dǎo)得到兩一階條件的方程組：一階條件的方程組：l 曲線的方程：曲線的方程：0 IIabK2l 曲線的方程：曲線的方程：0K0Il 左邊左邊 ，箭頭指向上；，箭頭指向上；0I0Kl 右邊右邊 ，箭頭指向下。，箭頭指向下。0I0K第四節(jié)第四節(jié) 凹性凹性/凸性條件