函數(shù)極限連續(xù)2ppt課件

1、Higher mathematics分析基礎(chǔ)分析基礎(chǔ) 函數(shù)函數(shù) 極限極限 連續(xù)連續(xù) 研究對象 研究方法 研究橋梁函數(shù)、極限與連續(xù)Higher mathematics函函 數(shù)數(shù)的定義的定義反函數(shù)反函數(shù)反函數(shù)與直接反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)函函 數(shù)數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)單值與多值單值與多值奇偶性奇偶性單調(diào)性單調(diào)性有界性有界性周期性周期性雙曲函數(shù)與雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)第一章第一章 函數(shù)函數(shù) 主要內(nèi)容主要內(nèi)容一、一、 函數(shù)函數(shù))(xfy yxoD1. 函數(shù)的概念定義定義:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定義域 值域圖形

2、圖形:DxxfyyxC, )(),( 一般為曲線 )設(shè),RD函數(shù)為特殊的映射:其中求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域P9: 2題題256)2ln(1)(xxxxf如2. 函數(shù)的特性有界性 , 單調(diào)性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函數(shù))(:DfDf設(shè)函數(shù)為單射, 反函數(shù)為其逆映射DDff)(:14. 復(fù)合函數(shù)給定函數(shù)鏈)(:11DfDf1)(:DDgDg則復(fù)合函數(shù)為 )(:DgfDgf5. 初等函數(shù)有限個(gè)常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算與復(fù)復(fù)合而成的一個(gè)表達(dá)式的函數(shù).Higher mathematics2. 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù), )(Dxxfy且有區(qū)間且有區(qū)間.DI (1)

3、有界性有界性,Dx,0M使使,)(Mxf稱稱 )(xf, Ix,0M使使,)(Mxf稱稱 )(xf說明說明: 還可定義有上界、有下界、無界還可定義有上界、有下界、無界 (2) 單調(diào)性單調(diào)性為有界函數(shù)為有界函數(shù).在在 I 上有界上有界. ,Dx使使若對任意正數(shù)若對任意正數(shù) M , 均存在均存在 ,)(Mxf則稱則稱 f ( x ) 無界無界.稱稱 為有上界為有上界稱稱 為有下界為有下界,)(,Mxf),(,xfM 當(dāng)當(dāng),21Ixx21xx 時(shí)時(shí), )()(21xfxf若稱稱 )(xf為為 I 上的上的, )()(21xfxf若稱稱 )(xf為為 I 上的上的單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù) ;單調(diào)減函數(shù)單調(diào)

4、減函數(shù) .xy1x2x如如:y=1/x在在(0,1)和和 ), 0( Higher mathematicsxyoxx(3) 奇偶性奇偶性,Dx且有且有,Dx假設(shè)假設(shè), )()(xfxf則稱則稱 f (x) 為偶函數(shù)為偶函數(shù);假設(shè)假設(shè)()( ),fxf x 則稱則稱 f (x) 為奇函數(shù)為奇函數(shù). 說明說明: 假假設(shè)設(shè))(xf在在 x = 0 有定義有定義 ,. 0)0(f)(xf為奇函數(shù)時(shí)為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)則當(dāng)必有必有定義域關(guān)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱于原點(diǎn)對稱圖像關(guān)圖像關(guān)于于y軸對稱軸對稱圖像關(guān)于圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱原點(diǎn)對稱Higher mathematics(4) 周期性周期性,0,lDx且且,Dlx)

5、()(xflxf則稱則稱)(xf為周期函數(shù)為周期函數(shù) ,to)(tf22xo2y2假假設(shè)設(shè)稱稱l為周期為周期( 一般指最小正周期一般指最小正周期 ).周期為周期為 周期為周期為2注注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .例如例如, 常量函數(shù)常量函數(shù)Cxf)(Higher mathematics4. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1) 反函數(shù)的概念及性質(zhì)反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)若函數(shù))(:DfDf為單射為單射, 則存在逆映射則存在逆映射DDff)(:1習(xí)慣上習(xí)慣上,Dxxfy, )(的反函數(shù)記成的反函數(shù)記成)(,)(1Dfxxfy稱此映射稱此映射1f為為 f 的反函

6、數(shù)的反函數(shù) .其反函數(shù)其反函數(shù)(減減)(減減) .1) yf (x) 單調(diào)遞單調(diào)遞增增,)(1存在xfy且也單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增 性質(zhì)性質(zhì): Higher mathematics2) 函數(shù)函數(shù))(xfy 與其反函數(shù)與其反函數(shù))(1xfy的圖形關(guān)于直線的圖形關(guān)于直線xy 對稱對稱 .例如例如 ,),(,xeyx對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)),0(,lnxxy互為反函數(shù)互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增它們都單調(diào)遞增, 其圖形關(guān)于直線其圖形關(guān)于直線xy 對稱對稱 .)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baPxyo指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)Higher mathematics(2) 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 1),(Duu

7、fy,),(Dxxgu1)(DDg且那那么么Dxxgfy, )(設(shè)有函數(shù)鏈設(shè)有函數(shù)鏈稱為由稱為由, 確定的復(fù)合函數(shù)確定的復(fù)合函數(shù) , 復(fù)合映射的特例復(fù)合映射的特例 u 稱為中間變量稱為中間變量. 注意注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件 1)(DDg不可少不可少. 例如例如, 函數(shù)鏈函數(shù)鏈 :,arcsinuy ,122xu函數(shù)函數(shù),12arcsin2xyDx,1231,23但函數(shù)鏈但函數(shù)鏈22,arcsinxuuy不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) .可定義復(fù)合可定義復(fù)合Higher mathematics5.初等函數(shù)初等函數(shù)(1) 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)(六大類六大類)冪函數(shù)、冪函

8、數(shù)、 指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、 三角函數(shù)、三角函數(shù)、 反三角函數(shù)反三角函數(shù)(2) 初等函數(shù)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)由基本初等函數(shù)否則稱非初等函數(shù)否則稱非初等函數(shù) . 例如例如 ,33xxy構(gòu)成構(gòu)成 ,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)并可用一個(gè)式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所驟所稱為初等函數(shù)稱為初等函數(shù) .又如又如 , 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù) .常數(shù)函數(shù)、常數(shù)函數(shù)、Higher mathematics 初等函數(shù)初等函數(shù)2.冪函數(shù)冪函數(shù)3.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)5.三角函數(shù)三角函數(shù)1.常值函數(shù)常值函數(shù)4.對數(shù)函數(shù)對

9、數(shù)函數(shù)6.反三角函數(shù)反三角函數(shù)Higher mathematics一、基本初等函數(shù)常值函數(shù)常值函數(shù)oxyCy 1.常值函數(shù)constant functionCCy 其中其中C是常數(shù)是常數(shù)定義域定義域值域值域),(|CyyHigher mathematics冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 2.冪函數(shù)(power functions )定義域定義域值域值域都過點(diǎn)都過點(diǎn)(1,1)Higher mathematicsxay xay)1( a)1 , 0( )10( aaayx且且3.指數(shù)(exponential function) 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函

10、數(shù)定義域定義域值域值域),(), 0( 都過點(diǎn)都過點(diǎn)(0,1)10aHigher mathematics4. 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xyalog)1( a)0 , 1( (logarithmic function)定義域定義域值域值域),(), 0( 都過點(diǎn)都過點(diǎn)(1,0)自然對數(shù)自然對數(shù)a=e=2.71828時(shí)時(shí)10aHigher mathematics正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin 5. 三角函數(shù)三角函數(shù)定義域定義域值域值域 1 , 1),(周期周期2奇偶性奇偶性 奇函數(shù)奇函數(shù) 單調(diào)性單調(diào)性 22322232Higher mathem

11、aticsxycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)定義域定義域值域值域 1 , 1),(周期周期2奇偶性奇偶性 偶函數(shù)偶函數(shù) 單調(diào)性單調(diào)性 22322232Higher mathematics正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan 定義域定義域值域值域),(Zkkx,2周期周期奇偶性奇偶性 奇函數(shù)奇函數(shù) 單調(diào)性單調(diào)性 223223Higher mathematicsxycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xycot 定義域定義域值域值域),(Zkkx,周期周期奇偶性奇偶性 奇函數(shù)奇函數(shù) 單調(diào)性單調(diào)性 223223Higher mathematics正割函數(shù)正割函數(shù)xxycos1secxysec 定義域定義

12、域值域值域), 1 1,(2 kx周期周期2奇偶性奇偶性 偶函數(shù)偶函數(shù) 單調(diào)性單調(diào)性 223223Higher mathematicsxycsc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc 定義域定義域周期周期奇偶性奇偶性 奇函數(shù)奇函數(shù) 單調(diào)性單調(diào)性 Zkkx,232223值域值域2), 1 1,(Higher mathematics6. 反三角函數(shù)反三角函數(shù)xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)定義域定義域值域值域 1 , 1奇偶性奇偶性 奇函數(shù)奇函數(shù) 單調(diào)性單調(diào)性 2,2Higher mathematicsxyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)定義域定義域值域值域 1

13、, 1單調(diào)性單調(diào)性 , 0Higher mathematicsxyarctan xyarctan 反反正正切切函函數(shù)數(shù)定義域定義域值域值域奇偶性奇偶性 奇函數(shù)奇函數(shù) 單調(diào)性單調(diào)性 2,2),(Higher mathematicsxycot 反反余余切切函函數(shù)數(shù)arcxycot arc定義域定義域值域值域單調(diào)性單調(diào)性 ),(), 0(xxxarccosarcsin,1 , 1求Higher mathematics極極 限限的定義的定義數(shù)數(shù) 列列函函 數(shù)數(shù)數(shù)列極限與函數(shù)數(shù)列極限與函數(shù)極限之間關(guān)系極限之間關(guān)系四則運(yùn)算四則運(yùn)算無窮小無窮小無窮大無窮大無窮小比較無窮小比較極極 限限的性質(zhì)的性質(zhì)唯一性唯一

14、性有界性有界性保號性保號性極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限極限極限Higher mathematics注意：注意：;. 1的無限接近的無限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn 極限定義極限定義 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在正整數(shù)總存在正整數(shù) , ,使得對于使得對于 時(shí)的一切時(shí)的一切 , ,不等式不等式 都成立都成立, ,那么就稱常數(shù)那么就稱常數(shù) 是數(shù)是數(shù)列列 的極限的極限, ,或者稱數(shù)列收斂于或者稱數(shù)列收斂于 , ,記為記為 或或 NNn nx axnanxa,limaxnn ).( naxn如果數(shù)列沒有極限

15、如果數(shù)列沒有極限, ,就說數(shù)列是發(fā)散的就說數(shù)列是發(fā)散的. . 2有關(guān)與任意給定的正數(shù)N數(shù)列數(shù)列Higher mathematics:定義定義N .,0,0lim axNnNaxnnn恒恒有有時(shí)時(shí)使使n,M正數(shù)總有總有nxM,M正數(shù)總有總有0nxM有界有界:無界無界:0n下界下界:上界上界:AxnAn總有實(shí)數(shù),BxnBn總有實(shí)數(shù),Higher mathematics收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1極限的唯一性）極限的唯一性）收斂數(shù)列的極限必唯一收斂數(shù)列的極限必唯一. .收斂數(shù)列必為有界數(shù)列收斂數(shù)列必為有界數(shù)列. .性質(zhì)性質(zhì)2有界性）有界性）反之不一定成立反之不一定成立推論推論 無界數(shù)列則必

16、發(fā)散無界數(shù)列則必發(fā)散.,nnyxNnN時(shí)當(dāng)則存在正整數(shù)性質(zhì)性質(zhì)3保序性）保序性）,limlimnnnnyx若).0(0, nnaaNnN或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則存存在在正正整整數(shù)數(shù)推論推論1保號性）保號性）),0(0,lim aaaxnn或或且且若若).0(0,lim)0(0aaaxxxnnnn或則且或若推論推論2則時(shí)，若當(dāng),nnyxNn.limlimnnnnyxHigher mathematics性質(zhì)性質(zhì)4收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）那么它的任一子數(shù)列收斂于如果數(shù)列,axn.,a其極限也是也收斂發(fā)散數(shù)列判別法發(fā)散數(shù)列判別法: :1. 1. 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散

17、. .2. 2. 一子列發(fā)散一子列發(fā)散, ,則數(shù)列發(fā)散則數(shù)列發(fā)散. .3. 3. 兩子列收斂到不同的極限兩子列收斂到不同的極限, ,則數(shù)列發(fā)散則數(shù)列發(fā)散. .性質(zhì)性質(zhì)5 (夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則)準(zhǔn)準(zhǔn)則則 如如果果數(shù)數(shù)列列nnyx ,及及 nz滿滿足足下下列列條條件件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末數(shù)數(shù)列列nx的的極極限限存存在在, , 且且axnn lim. . Higher mathematics單調(diào)增加有上界數(shù)列有極限；單調(diào)增加有上界數(shù)列有極限；單調(diào)減少有下界數(shù)列有極限。單調(diào)減少有下界數(shù)列有極限。準(zhǔn)準(zhǔn)則則 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列

18、列必必有有極極限限.性質(zhì)性質(zhì)6 (單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則)Higher mathematics定義定義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) Axfx)(lim函數(shù)極限函數(shù)極限Higher mathematics函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后時(shí)刻時(shí)刻(見下表見下表)Higher mathematics過過 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以

19、后從此時(shí)刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過過 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 )(xf Axf)(Higher mathematics左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)(right-hand limit)(left-hand limit)00000()lim( )()(0).xxxxf xAf xf xA記作或00000()lim( )()(0).xxxxf xAf xf xA記作或.)0

20、()0()(lim000AxfxfAxfxx定理定理Higher mathematics函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)定理定理2函數(shù)極限的局部有界性）函數(shù)極限的局部有界性）定理定理1函數(shù)極限的惟一性）函數(shù)極限的惟一性）(注:對于六種極限形式都成立只要做相應(yīng)的修改即可,可類似證明) 假假設(shè)設(shè))(lim0 xfxx存在，存在，那么該極限是唯一的，那么該極限是唯一的，假設(shè)假設(shè)Axfxx)(lim0那么存在常數(shù)那么存在常數(shù) M 0,()fxM0 ，和和使得當(dāng)使得當(dāng)00 xx ，有有xlimxlim0XXx |Higher mathematics推論推論0000lim( ),lim ( ),0,(, ),

21、( )( ).xxxxf xAg xBABxU xf xg x 設(shè)且則有3.不等式性質(zhì)不等式性質(zhì)定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx則有若設(shè)注意注意:若將小于等于改成小于若將小于等于改成小于,極限式子也不可以改成小于極限式子也不可以改成小于.Higher mathematics).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim00 xfxfxUxAAAxfxx或時(shí)當(dāng)則或且若定理定理( (局部保號性局部保號性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim00AAxfxfxUxAxfxx或則或時(shí)當(dāng)且

22、若推論推論注意注意:若將小于等于改成小于若將小于等于改成小于,極限式子也不可以改成小于極限式子也不可以改成小于.Higher mathematics4 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則.)(lim,)(lim,)(lim)2();()()() 1 (),(, 00000AxfAxhAxgxhxfxgxUxxxxxxx則都有若Higher mathematics一些基本初等函數(shù)的極限一些基本初等函數(shù)的極限)0(01limxx) 10(0limaaxx) 1(0limaaxxxxarccotlim0arccotlimxx不存在xxarccotlimHigher mathematics00,0,0 |Mxx當(dāng)時(shí),|

23、( )|f xM有0lim( )xxf x x 0X|xX00,0,0 |Mxx當(dāng)時(shí),( )f xM有0lim( )xxf x 00,0,0 |Mxx當(dāng)時(shí),( )f xM 有0lim( )xxf x ,+ ,-所有以所有以為極限的函數(shù)為極限的函數(shù)(包括數(shù)列包括數(shù)列)都稱為在都稱為在某個(gè)趨勢下的無窮大某個(gè)趨勢下的無窮大無窮大無窮小無窮大無窮小Higher mathematics定理定理1 在自變量的同一變化過程中在自變量的同一變化過程中,有限個(gè)無窮有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小小的代數(shù)和仍是無窮小.注意無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小注意無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. .定理定理2 有界

24、函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論1 在自變量的同一變化過程中在自變量的同一變化過程中,有極限的變量有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小與無窮小的乘積是無窮小.推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.假設(shè)假設(shè))(xf為無窮大為無窮大,)(1xf為無窮小為無窮小 ;假設(shè)假設(shè))(xf為無窮小為無窮小, 且且,0)(xf那那么么)(1xf為無窮大為無窮大.那那么么定理定理4.在自變量的同一變化過程中在自變量的同一變化過程中,Higher mathematics無窮大量的運(yùn)算性

25、質(zhì)無窮大量的運(yùn)算性質(zhì)(1)有限個(gè)正無窮大量之和為正無窮大量；有限個(gè)正無窮大量之和為正無窮大量； 有限個(gè)負(fù)無窮大量之和為負(fù)無窮大量。有限個(gè)負(fù)無窮大量之和為負(fù)無窮大量。(2)有限個(gè)無窮大量之積為無窮大量。有限個(gè)無窮大量之積為無窮大量。(3)非非0常量常量C與正無窮大量之積為無窮大量。與正無窮大量之積為無窮大量。(4)無窮大量與有界量之和為無窮大量。無窮大量與有界量之和為無窮大量。 特別地，無窮大量與常量特別地，無窮大量與常量C之和為無窮大量。之和為無窮大量。注：兩無窮大量之和或差不一定為無窮大量。注：兩無窮大量之和或差不一定為無窮大量。注：無窮大量與有界量之積不一定為無窮大量，注：無窮大量與有界量

26、之積不一定為無窮大量，無窮大量與無窮小量或無窮大量之商不一定為無窮大量。無窮大量與無窮小量或無窮大量之商不一定為無窮大量。Higher mathematics無窮小無窮小的性質(zhì) ; 無窮小的比較 ;常用等價(jià)無窮小: xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;xHigher mathematics 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則,)(lim,)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理 1 . 假假設(shè)設(shè)定理定理 2 . 假假設(shè)設(shè),)(lim,)(limB

27、xgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理 3 . 假設(shè)假設(shè),)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理5. 設(shè)設(shè),)(lim0axxx且 x 滿足100 xx時(shí),)(ax 又,)(limAufau則有 )(lim0 xfxxAufau)(limHigher mathematics(2) ,消去零因子法1. 極限四則運(yùn)算法則2. 求函數(shù)極限的方法 (3) 對 00型 , 約去公因子 ,分子分母同除分母最高次冪型總結(jié)總結(jié) (4) 型(無窮小因子分出法無窮小因子分出法)(5)無窮項(xiàng)之和,變形后

28、求極限(1)多項(xiàng)式與分式函數(shù)(分母不為0)代入法求極限(7)利用左右極限求分段函數(shù)極限(6)利用無窮小、無窮大運(yùn)算性質(zhì)求極限(8) 復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則Higher mathematics其他未定式其他未定式:,0 ,00,1型0解決方法解決方法:通分通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0取倒數(shù)取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)取對數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化00為非負(fù)常數(shù) )nmba,0(00mn 當(dāng)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 當(dāng)mn 當(dāng)一般有如下結(jié)果：一般有如下結(jié)果：Higher mathematics 兩個(gè)重要極限 1sinlim) 1 (0e

29、)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表達(dá)式代表相同的表達(dá)式填空題填空題 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101eHigher mathematicsxxxlnlim) 1 (0求極限求極限:能否直接使用洛必達(dá)法則能否直接使用洛必達(dá)法則:xxxtanlim)2(0 xexxxcos1) 1(lim)3(0 xxxxsinlim)4(30tanlim) 1 (xxxx205cos1lim)2(xxxxxx131lim)3(022221lim)4(nnnnnHigher mathematics連續(xù)性連續(xù)性間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)的分類間斷點(diǎn)的分類基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)反函數(shù)反函數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)連續(xù)性定義連續(xù)性定義間斷點(diǎn)定義間斷點(diǎn)定義閉區(qū)間上連閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)續(xù)函數(shù)性質(zhì)連續(xù)連續(xù)Higher mathematics對自變量的增量,0 xxx有函數(shù)的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左