矩陣的條件數(shù)

1、第二章 向量范數(shù)與矩陣范數(shù)2.4 矩陣的條件數(shù) 考慮線性方程組 它有準(zhǔn)確解為: 如果方程組的系數(shù)矩陣以及右端項(xiàng)發(fā)生微小的變化，得 它有準(zhǔn)確解: ，可以看出，方程組的解變化非常大。 1226826.000018.00001xx(1,1)Tx 1226825.999998.00002xx(10, 2)Tx 定義定義1：設(shè)設(shè) ，|.|是是Cnxn上的一個(gè)矩上的一個(gè)矩陣范數(shù)陣范數(shù).矩陣矩陣A的的條件數(shù)條件數(shù)定義為定義為n nnAC1cond( )AA A常用的條件數(shù)有：常用的條件數(shù)有： 1cond ( )AAA1111cond ( )AAA112221cond ( )()nHHnAAAA AA A是的

2、最大特征值，是的最小特征值常用的條件數(shù)有：常用的條件數(shù)有：112221cond ( )(max,min,)niniiAAAA=是 的特征值例例1：cond ( )A123233345Acond( )1A 1cond( )=cond()AAcond()=cond( ),0,.kAA kkC2222cond ()=1cond ()=cond ()=cond ( )UUAAUAcond()cond( )cond( )ABAB111211112311111121n nnHnijnnn4247261028cond (H )=1.5514 10cond (H )=1.4951 10cond (H )=1.

3、525 10注：當(dāng)矩陣當(dāng)矩陣A十分病態(tài)時(shí)，就說(shuō)明十分病態(tài)時(shí)，就說(shuō)明A已十分接已十分接 近一個(gè)奇異矩陣。近一個(gè)奇異矩陣。2626.00001Adet( )0.00002A 1300000.5300000100000100000A16cond ( )8.00001 600000.54.8 10AAA定理定理1 設(shè)設(shè) 是一個(gè)可逆矩陣，是一個(gè)可逆矩陣， 是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，|.| 是是Cnxn上的一個(gè)矩陣范數(shù)上的一個(gè)矩陣范數(shù).若若 則則 可逆，且有可逆，且有11111()1AAAAAAAA11AAn nnACn nACAA推論推論1 設(shè)設(shè) ， 若存在若存在Cnxn上的一個(gè)矩陣范數(shù)上的一個(gè)矩陣范數(shù)|

4、.| 使得使得 則有則有111()cond( )1 cond( )()AAAAAAAAAA11AAn nnACn nAC定理定理2 設(shè)設(shè) ， ， 而而Cn上的向量范數(shù)上的向量范數(shù) 與與Cnxn上的矩陣范上的矩陣范數(shù)數(shù)|.| 相容相容.設(shè)設(shè)x是線性方程組是線性方程組Ax=b的解，的解， 是是線性方程組線性方程組 的解的解若若 ，則，則 xn nnACn nACnbC()AA xbb11AAcond( )1 cond( )()cond( )1 cond( )()xxAAAxAAAbAAbAA定理定理3 設(shè)設(shè) ， ， 而而Cn上的向量范數(shù)上的向量范數(shù) 與與Cnxn上的矩陣范上的矩陣范數(shù)數(shù)|.| 相容相容.若向量若向量 分別滿足分別滿足Ax=b， ，則有，則有,nx xCn nnAC,nb rCAxbr1cond( )cond( )rxxrAAbxb011,01 1A1cond( )()AO3 33100,001iAiiACbCi ()AA xb