平面幾何定理公理總結(jié)

1、平面幾何定理公理總結(jié)一、 線與角1. 兩點(diǎn)之間，線段最短。線段的長叫兩點(diǎn)間的距離。直線外一點(diǎn)到直線，垂線段最短，垂線段的長叫該點(diǎn)到直線的距離。一組平行線中，一條直線上一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫兩條平行線間的距離。2. 經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線。不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)角。3. 兩直線相交，對(duì)頂角相等。4. 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等。5. 經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。經(jīng)過直線外或直線上一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直。6. 如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。如果一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角

2、的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。7. 平行線(1) 平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。(2) 平行線的判定方法：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行。如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行。(3) 平行線的性質(zhì)：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。如果一條直線和兩條平行線中的一條平行，那么這條直線也和另一條平行。如

3、果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么這條直線也和另一條垂直。平行線間的距離處處相等；夾在兩條平行線間的平行線段相等。8. 平行線等分線段定理：(1) 定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。(2) 推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)，且與另一邊平行的直線必等分第三邊。(3) 推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線必等分另一腰。9. 平行線分線段成比例定理：(1) 定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。(2) 推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）成比例。10. 線段的垂直平分線：(1) 性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這

4、條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。(2) 判定：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。11. 角平分線：(1) 性質(zhì)：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。(2) 判定：在角的內(nèi)部，且到此角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。二、 三角形及多邊形1. 三角形的任何兩邊的和大于第三邊，任何兩邊的差小于第三邊。2. 三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°。四邊形內(nèi)角和定理：四邊形內(nèi)角和等于360°。多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°。多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。3. 三角

5、形外角性質(zhì)：(1) 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。(2) 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。4. 三角形中位線定理：三角形兩邊中點(diǎn)的連線叫做三角形的中位線。三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。5. 等腰三角形的相關(guān)公理、定理：(1) 等腰三角形的兩個(gè)底角相等（“等邊對(duì)等角”）。(2) 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（“等角對(duì)等邊”）。(3) 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合（“三線合一”）。6. 等邊三角形的公理、定理：(1) 三個(gè)邊都相等的三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。(2) 有

6、一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形；有兩個(gè)角為60°的三角形是等邊三角形(3) 等邊三角形的三邊相等；等邊三角形的三角相等，且都等于60°。(4) 等邊三角形三條角平分線、三條中線、三條高均交于同一點(diǎn)，該點(diǎn)是等邊三角形的中心。7. 直角三角形的公理、定理：(1) 直角三角形的兩銳角互余。(2) 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（斜邊是其外接圓直徑，斜邊上的中點(diǎn)是其外接圓圓心）。若三角形一邊的中線等于這邊的一半，那此三角形為直角三角形。(3) 直角三角形中，30°銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那它所對(duì)

7、的角等于30°。(4) 勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。(5) 勾股定理的逆定理：如果一個(gè)三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形。8. 三角形全等：(1) 性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。(2) 判定：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）； 兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）；兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）；兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）；直角三角形中，斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）。9. 相似三角形的判定：(1) 定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例

8、的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比例叫做相似比（或相似系數(shù)）。(2) 預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形于原三角形相似。(3) 判定：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。(4) 引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。(5) 直角三角形相似的判定：如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么兩三角形相似。如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊于另一個(gè)三角形的

9、斜邊和一條直角邊成比例，那么兩三角形相似。10. 相似三角形的性質(zhì)定理：(1) 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。(2) 相似三角形周長的比等于相似比。(3) 相似三角形面積比等于相似比的平方。(4) 相似三角形的外接圓、內(nèi)切圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓、內(nèi)切圓的面積比等于相似比的平方。11. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它在斜邊上的射影于斜邊的比例中項(xiàng)。也可表述為：直角三角形的直角頂點(diǎn)，到斜邊端點(diǎn)和斜邊上高的垂足三點(diǎn)中其中一點(diǎn)的距離（線段），是該點(diǎn)到其它兩點(diǎn)的距離（線段）的比例中項(xiàng)。12.

10、三角形垂直平分線的性質(zhì)：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，這點(diǎn)為三角形外接圓的圓心（簡稱“外心”）。13. 三角形角平分線的性質(zhì)：三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)到三邊距離相等，這點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的圓心（簡稱“內(nèi)心”）。14. 三角形中線的性質(zhì)：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的重心。15. 三角形高的性質(zhì)：三角形的三條高交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的垂心。三、 多邊形16. 四邊形內(nèi)角和定理：四邊形內(nèi)角和等于360°。17. 多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°。18. 多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和

11、等于360°。19. 如果圖形關(guān)于某一直線對(duì)稱，那么連結(jié)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分。四、 特殊四邊形1. 平行四邊形的性質(zhì)：7(1) 平行四邊形的對(duì)角相等。(2) 平行四邊形的對(duì)邊相等。(3) 平行四邊形的對(duì)角線互相平分。2. 平行四邊形的判定：(1) 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。(2) 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。(3) 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。(4) 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。(5) 兩組鄰角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形。(6) 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。3. 矩形的性質(zhì)：(1) 矩形的四個(gè)角都是直角。(2) 矩形的對(duì)角

12、線相等。4. 矩形的判定：(1) 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。(2) 對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形。(3) 有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。(4) 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。5. 菱形的性質(zhì)：(1) 菱形的四條邊相等。(2) 菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一組對(duì)角線平分一組對(duì)角。6. 菱形的判定：(1) 四邊都相等的四邊形是菱形。(2) 對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形。(3) 鄰邊相等的平行四邊形是菱形。(4) 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；(5) 兩條對(duì)角線分別平分兩組對(duì)角的四邊形是菱形。(6) 有一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角的平行四邊形是菱形。7. 正方形的性質(zhì)：(1) 正方形

13、的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等(2) 鄰邊相等且垂直的是正方形；對(duì)角線垂直且相等的平(3) 正方形的兩條對(duì)角線相等，且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。8. 正方形的判定：(1) 鄰邊相等的矩形是正方形。(2) 對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。(3) 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；(4) 對(duì)角線相等的菱形是正方形。(5) 鄰邊相等且垂直的是平行四邊形正方形。(6) 對(duì)角線垂直且相等的平行四邊形是正方形。(7) 對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。9. 等腰梯形的性質(zhì)：(1) 等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等；(2) 等腰梯形的兩對(duì)角線相等；10. 等腰梯形的判定：(1) 在同一底上的兩個(gè)

14、角相等的梯形是等腰梯形；(2) 對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。11. 梯形的中位線定理：梯形兩腰中點(diǎn)的連線叫做梯形的中位線。梯形的中位線平行于梯形的兩底邊，并且等于兩底和的一半。五、 圓1. 在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡（集合），是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓。2. 不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。3. 有關(guān)圓周角、圓心角的定理和性質(zhì)：(1) 圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。(2) 圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。(3) 定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。(4) 推論1：在同圓或等圓中

15、，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于該弧所對(duì)的圓心角的一半；相等的圓周角所對(duì)的弧相等。(5) 統(tǒng)一推論：在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角（圓周角）、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦的弦心距，只要有一組量相等，那么其余對(duì)應(yīng)的各組量均相等。(6) 推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，所對(duì)的弧是半圓。4. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。(1) 推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦,并且平分這條弦所對(duì)的兩段弧。(2) 推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對(duì)的弧。(3) 推論3：平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分這條弦,并且平

16、分這條弦所對(duì)的另一條弧。推論：一條直線，只要滿足以下中的2條作為條件就可以推知其他3條，知二推三。(1)平分弦所對(duì)的優(yōu)??； (2)平分弦所對(duì)的劣??；（即：平分弦所對(duì)的兩條?。?3)平分不是直徑的弦； (4)垂直于弦； (5)經(jīng)過圓心。(4) 在同圓或者等圓中，兩條平行弦所夾的弧相等。兩條相等的弧兩個(gè)外端點(diǎn)的連線于兩個(gè)內(nèi)端點(diǎn)的連線平行。5. 關(guān)于兩圓及其連心線的性質(zhì)與定理：(1) 兩圓內(nèi)切時(shí)，兩圓連心線過切點(diǎn)且與公切線垂直。推論：兩圓相切時(shí)，以下4條，知二推二：(1)過一圓圓心； (2)過另一圓圓心； (3)過兩圓切點(diǎn)； (4)公切線垂直。(2) 兩圓相交時(shí)，兩圓的連心線垂直平分公共弦。推論：

17、兩圓相交時(shí)，以下4條，知二推二：(1)過一圓圓心； (2)過另一圓圓心； (3)過公共弦中點(diǎn)； (4)垂直公共弦。(3) 兩圓相切時(shí)，兩圓的連心線過切點(diǎn)且與一條公切線垂直。推論：兩圓相切時(shí)，以下4條，知二推二：(1)過一圓圓心； (2)過另一圓圓心； (3)過兩圓切點(diǎn)； (4)內(nèi)公切線垂直。(4) 兩圓相離時(shí)，兩圓的連心線過內(nèi)公切線交點(diǎn)，且平分內(nèi)公切線所成夾角。推論：兩圓相切時(shí)，以下4條，知二推二：(1)過一圓圓心 (2)過另一圓圓心； (3)過內(nèi)公切線交點(diǎn)； (4) 平分內(nèi)公切線所成夾角。注：滿足(4)條件時(shí)，已經(jīng)滿足(3)條件，故知(1)(2)(3)其中兩條可推知其它兩條，知(4)可推知(

18、1)(2)(3)。(5) 兩圓關(guān)系不為內(nèi)切時(shí)，兩圓連心線平分兩外公切線所成夾角（兩圓半徑相等）或于兩外公切線平行（兩圓半徑相等）逆定理亦成立，同時(shí)也可作為上面三條的條件。6. 切線的性質(zhì)及判定：(1) 性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。(2) 判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。(3) 推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。(4) 推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必過圓心。7. 切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角。8. 弦切角定理：(1) 弦切角的定義：定點(diǎn)在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓相切的角叫弦

19、切角。(2) 定理：弦切角等于它所夾弧所對(duì)的圓周角（或表述為：弦切角等于弦所對(duì)的圓周角）。9. 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和判定：(1) 性質(zhì)1：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。(2) 性質(zhì)2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角。(3) 判定1：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。(4) 判定2：如果一個(gè)四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。10. 圓冪定理：過任意不在圓上的一點(diǎn)引兩條直線，分別與圓交于兩點(diǎn)（重合時(shí)為切線），則該點(diǎn)到每條線與圓的交點(diǎn)的兩條線段的乘積相等，該乘積叫做該點(diǎn)到圓的冪。(1) 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。(2) 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的一條切線和一條割線，切線長的平方是從割線上從這點(diǎn)到兩個(gè)交點(diǎn)的線段長的乘積。(3) 割線定理：過圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，交點(diǎn)到每條割線于圓的