實變函數(shù)與泛函分析點(diǎn)集 (3)

1、第二節(jié) 聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn)(.p35.)第二章 點(diǎn)集I. 歐氏空間中各類點(diǎn)的定義(p35.36)cpEO),(0, 0使得即 P0為 Ec的內(nèi)點(diǎn):EOp),(0, 0使得 1.P0為 E的內(nèi)點(diǎn)：EOp),(0, 0使得 P0為 E的外點(diǎn)：cppEOEO),(),(00, 0且有 2.P0為 E的邊界點(diǎn)：E 記 為 E的內(nèi)部（內(nèi)點(diǎn)全體）E記 為 E的邊界（邊界點(diǎn)全體）I. 歐氏空間中各類點(diǎn)的定義 (p36.37)0EEEEEEEEE的孤立點(diǎn)全體),(|0),(0ppdpOp 點(diǎn)P0的鄰域：EOp),(0, 0有 P0為 E的接觸點(diǎn)：)(, 00),(0pEOp有 3. P0為 E的聚點(diǎn)：, 00)

2、,(0pEOp使得 P0為 E的孤立點(diǎn)：E 記 為 E的閉包（接觸點(diǎn)全體）E 記 為 E的導(dǎo)集（聚點(diǎn)全體. ） P0為 E的聚點(diǎn):Po的任一領(lǐng)域內(nèi)都含有無窮多個屬于E的點(diǎn).注：接觸點(diǎn)、聚點(diǎn)、邊界接觸點(diǎn)、聚點(diǎn)、邊界點(diǎn)不一定屬于E， 內(nèi)點(diǎn)、孤立點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)、孤立點(diǎn)一定屬于E。例（1）令 E = Q ， 則EREEE （2）令E=1,1/2,1/3,，1/k,則 對一切1/k (k=1,2,3, )均為E的孤立點(diǎn)。0EEEEEEEE的孤立點(diǎn)全體由定義可知0EEEEEEEEE 的 孤 立 點(diǎn) 全 體外點(diǎn)、接觸點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)的關(guān)系ccccEEEE)()()()(EOp),(0, 0有P0為 E的接觸點(diǎn)：EOp),(

3、0, 0使得P0為 E的內(nèi)點(diǎn)：cppEOEO),(),(00, 0即使得 P0為 E的外點(diǎn)：1.結(jié)論1. 設(shè)p0是E的聚點(diǎn), 證明p p0 0的任意鄰域內(nèi)都含有無窮多個的任意鄰域內(nèi)都含有無窮多個屬于E而異于p0的點(diǎn).為有限集，假如)(0),(0pEOp,)(210),(0npppppEO不妨令, 2 , 1| ),(min0nippdi取)(0),(0pEOp則0(, )0( )pOEp這與（*）矛盾，所以 為無限集。 0(, )00,( )pOEp （*） 證明 ： 由條件知P0 Pn2.結(jié)論2. E中的孤立點(diǎn)孤立點(diǎn)集或為有限集或為可數(shù)集。),(),(2121,yxyxOOyxAyx必有下證

4、),(),(2121,yxyxOOz若否則,max), ,(),(),(2121yxyxyzdzxdyxd則12( ,)|xxOxA 這與（*）式矛盾， 所以是一簇兩兩不交的開區(qū)間， 從而A至多可數(shù)。Ax(*), 0),(xEOxxx使得證明：設(shè)A為孤立點(diǎn)集， ，由孤立點(diǎn)的定義知3.聚點(diǎn)的等價描述證明： 顯然，下證) 1 ()2()3()3() 1 (定理3.：下列條件等價： (1) p0為E的聚點(diǎn) (3)存在E中互異的互異的點(diǎn)所成點(diǎn)列pn, 使得0limppnn0(, )0(0,()pOEp 即：有）P0 Pn),(00, 0, 0, 0),(limpnnnOpNnNppd有即若0limpp

5、nn定義：稱點(diǎn)列pn 收斂于p0 , 記為： (2)點(diǎn)p0的任意鄰域內(nèi)，至少含有一個至少含有一個屬于E而異于p0的點(diǎn)設(shè)p0是E的聚點(diǎn)，證明存在存在E中的互異的點(diǎn)所成的點(diǎn)列pn使)(,),(,min0),(0110pEOpppdnpnnnn取時當(dāng)0limppnn)(,),(,min0),(20121220pEOpppdp取時當(dāng))(,10),(1110pEOpp取時當(dāng)0limppnn則上述取出的點(diǎn)列Pn是互異點(diǎn)列,且)(, 00),(0pEOp證明：由聚點(diǎn)的定義知保證收斂保證點(diǎn)列互異lP0為 E的接觸點(diǎn)：lP0為 E的聚點(diǎn)：)(, 00),(0pEOp有EOp),(0, 0有注：聚點(diǎn)的等價條件的證明中 ，1/n是為了保證收斂，而d(pn-1,p0)是為了保證點(diǎn)列兩兩互異。),(,min011ppdnnn0limppnnp0是E的聚點(diǎn)聚點(diǎn)的充要條件為存在E中的互異的互異的點(diǎn)所成的點(diǎn)列pn, 使得P0 Pn0limppnn為E的接觸點(diǎn)接觸點(diǎn)的充