第九章—質點動力學基本方程

1、動力學引言動力學研究物體的機械運動與作用力之間的關系。動力學中所研究的力學模型是質點和質點系(包括剛體)。質點:具有一定質量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計的物體。質點系：由幾個或無限個相互有聯(lián)系的質點所組成的系統(tǒng)。剛體：質點系的一種特殊情形，其中任意兩個質點間的距離保持不變，也稱不變的質點系。H 艦載飛機在發(fā)動機和彈射器推力艦載飛機在發(fā)動機和彈射器推力 作用下從甲板上起飛作用下從甲板上起飛Fv1v2Av1Bv29.1 動力學的基本定律第一定律(慣性定律)不受力作用的質點，將保持靜止或作勻速直線運動。質點保持其原有運動狀態(tài)不變的屬性稱為慣性。9.1 動力學的基本定律第二定律(力與加速度關系定律

2、) m aF在經(jīng)典力學中質點的質量是守恒的在經(jīng)典力學中質點的質量是守恒的質點的質量越大，其運動狀態(tài)越不容易改變，也就是質點的慣性越大。因此，質量是質點慣性的度量。上式是推導其它動力學方程的出發(fā)點，稱為動力學基本方程。質點的質量與加速度的乘積，等于作用質點的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。d()dmtvF9.1 動力學的基本定律mPgm Pg國際計量標準g9.80665 m/s2，一般取g9.8 m/s2在國際單位制(SI)中，長度、時間、質量為基本量，它們的單位以米(m)、秒(s)和千克(kg)為基本單位。其它量均為導出量，它們的單位則是導出單位。在地球表面，任何物體都受到重力 P 的作

3、用。在重力作用下得到的加速度稱為重力加速度，用 g 表示。由第二定律有或229.78049(1 0.0052884sin0.0000059sin 2g為緯度9.1 動力學的基本定律 必須指出的是：質點受力與坐標無關，但質點的加速度與坐標的選擇有關，因此牛頓第一、第二定律不是任何坐標都適用的。凡牛頓定律適用的坐標系稱為慣性坐標系。反之為非慣性坐標系。第三定律（作用與反作用定律）兩個物體間相互作用的作用力和反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一作用線同時分別作用在這兩個物體上。 以牛頓定律為基礎所形成的力學理論稱為古典力學。9.2 質點的運動微分方程221ddniimmtraF2. 質點運動微分

4、方程在直角坐標軸上投影222222111ddd,dddnnnxiyiziiiixyzmFmFmFttt3. 質點運動微分方程在自然軸上投影2tnb111d, 0dnnniiiiiivvmFmFFt1. 矢量形式的質點運動微分方程9.3 質點動力學的兩類基本問題第一類基本問題：已知質點的運動，求作用在質點上的力。這類問題其實質可歸結為數(shù)學上的求導問題。 第二類基本問題：已知作用在質點上的力，求質點的運動。這類問題其實質可歸結為數(shù)學上的解微分方程或求積分問題。例10.1例1 如圖，設質量為m的質點M在平面oxy內運動，已知其運動方程為xa cos wt，ya sin wt，求作用在質點上的力F。i

5、jvrF解：以質點M為研究對象。分析運動：由運動方程消去時間 t，得12222byax質點作橢圓運動。將運動方程對時間求兩階導數(shù)得：22cos,sinxatybtwwww 代入質點運動微分方程，即可求得主動力的投影為：22cos,sinxyFmxmat Fmymbtwwww 22222cossin( cossin)()XYmatmbtmatbtmxymwwwwwwwww Fijijijijr力 F 與矢徑 r 共線反向，其大小正比于矢徑 r 的模，方向恒指向橢圓中心。這種力稱為有心力。yxxbaOM例10.3 例2 從某處拋射一物體，已知初速度為v0，拋射角為a，如不計空氣阻力，求物體在重力單獨作用下的運動規(guī)律。 0vvmg解：研究拋射體, 列直角坐標形式的質點運動微分方程2222dd0,ddxymmmgtt 積分后得xyM213241,2xC tCygtC tC初始條件為0000000: 0,cos ,sinxytxyvvvvaaacos0tvx 2021gtt