第九章—質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程

1、動(dòng)力學(xué)引言動(dòng)力學(xué)研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系。動(dòng)力學(xué)中所研究的力學(xué)模型是質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系(包括剛體)。質(zhì)點(diǎn):具有一定質(zhì)量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計(jì)的物體。質(zhì)點(diǎn)系：由幾個(gè)或無限個(gè)相互有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。剛體：質(zhì)點(diǎn)系的一種特殊情形，其中任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的距離保持不變，也稱不變的質(zhì)點(diǎn)系。H 艦載飛機(jī)在發(fā)動(dòng)機(jī)和彈射器推力艦載飛機(jī)在發(fā)動(dòng)機(jī)和彈射器推力 作用下從甲板上起飛作用下從甲板上起飛Fv1v2Av1Bv29.1 動(dòng)力學(xué)的基本定律第一定律(慣性定律)不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)保持其原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變的屬性稱為慣性。9.1 動(dòng)力學(xué)的基本定律第二定律(力與加速度關(guān)系定律

2、) m aF在經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是守恒的在經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是守恒的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量越大，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越不容易改變，也就是質(zhì)點(diǎn)的慣性越大。因此，質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量。上式是推導(dǎo)其它動(dòng)力學(xué)方程的出發(fā)點(diǎn)，稱為動(dòng)力學(xué)基本方程。質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。d()dmtvF9.1 動(dòng)力學(xué)的基本定律mPgm Pg國際計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)g9.80665 m/s2，一般取g9.8 m/s2在國際單位制(SI)中，長度、時(shí)間、質(zhì)量為基本量，它們的單位以米(m)、秒(s)和千克(kg)為基本單位。其它量均為導(dǎo)出量，它們的單位則是導(dǎo)出單位。在地球表面，任何物體都受到重力 P 的作

3、用。在重力作用下得到的加速度稱為重力加速度，用 g 表示。由第二定律有或229.78049(1 0.0052884sin0.0000059sin 2g為緯度9.1 動(dòng)力學(xué)的基本定律 必須指出的是：質(zhì)點(diǎn)受力與坐標(biāo)無關(guān)，但質(zhì)點(diǎn)的加速度與坐標(biāo)的選擇有關(guān)，因此牛頓第一、第二定律不是任何坐標(biāo)都適用的。凡牛頓定律適用的坐標(biāo)系稱為慣性坐標(biāo)系。反之為非慣性坐標(biāo)系。第三定律（作用與反作用定律）兩個(gè)物體間相互作用的作用力和反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一作用線同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。 以牛頓定律為基礎(chǔ)所形成的力學(xué)理論稱為古典力學(xué)。9.2 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程221ddniimmtraF2. 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分

4、方程在直角坐標(biāo)軸上投影222222111ddd,dddnnnxiyiziiiixyzmFmFmFttt3. 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上投影2tnb111d, 0dnnniiiiiivvmFmFFt1. 矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程9.3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題第一類基本問題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力。這類問題其實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的求導(dǎo)問題。 第二類基本問題：已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。這類問題其實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的解微分方程或求積分問題。例10.1例1 如圖，設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M在平面oxy內(nèi)運(yùn)動(dòng)，已知其運(yùn)動(dòng)方程為xa cos wt，ya sin wt，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力F。i

5、jvrF解：以質(zhì)點(diǎn)M為研究對(duì)象。分析運(yùn)動(dòng)：由運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間 t，得12222byax質(zhì)點(diǎn)作橢圓運(yùn)動(dòng)。將運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間求兩階導(dǎo)數(shù)得：22cos,sinxatybtwwww 代入質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，即可求得主動(dòng)力的投影為：22cos,sinxyFmxmat Fmymbtwwww 22222cossin( cossin)()XYmatmbtmatbtmxymwwwwwwwww Fijijijijr力 F 與矢徑 r 共線反向，其大小正比于矢徑 r 的模，方向恒指向橢圓中心。這種力稱為有心力。yxxbaOM例10.3 例2 從某處拋射一物體，已知初速度為v0，拋射角為a，如不計(jì)空氣阻力，求物體在重力單獨(dú)作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 0vvmg解：研究拋射體, 列直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程2222dd0,ddxymmmgtt 積分后得xyM213241,2xC tCygtC tC初始條件為0000000: 0,cos ,sinxytxyvvvvaaacos0tvx 2021gtt