向量組的線性組合

1、上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1 定義：定義：若干個(gè)同維數(shù)的列向量（行向量）所組成若干個(gè)同維數(shù)的列向量（行向量）所組成的集合稱為的集合稱為向量組向量組11121314342122232431323334aaaaAaaaaaaaa 1234, 123TTT 結(jié)論：含有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)結(jié)論：含有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)有限向量有限向量組組第三節(jié)第三節(jié) 向量組的向量組的線性組合線性組合(一一)、向量組的線性組合、向量組的線性組合1。向量組：。向量組：當(dāng)當(dāng)R(A) n 時(shí)，齊次線性方程組時(shí)，齊次線性方程組 Ax = 0 的全體解的全體解組成的向量組含有無窮多個(gè)向量組成的向量組含有無

2、窮多個(gè)向量上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁(一一)、向量組的線性組合、向量組的線性組合1。向量組：。向量組：2。向量組的。向量組的線性組合與線性表示線性組合與線性表示定義定義1 對于向量組對于向量組 1， 2， ， m ，如果有一組數(shù)，如果有一組數(shù)k1，k2， ，km，使，使 k1 1 k2 2 km m，則稱向量則稱向量 是向量組是向量組 1， 2 ， ， m的一個(gè)線性組合，的一個(gè)線性組合，或稱或稱 可由向量組可由向量組 1， 2 ， ， m線性表示。線性表示。 定義：定義：若干個(gè)同維數(shù)的列向量（行向量）所組成若干個(gè)同維數(shù)的列向量（行向量）所組成的集合稱為的集合稱為向量組向量組上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例

3、例1設(shè)設(shè) 1 (1, 0, 0)， 2 (0, 1, 0)， 3 (0, 0, 1)，則，則 (2, - -1, 1)是向量組是向量組 1， 2 ， 3的一個(gè)線性組合，的一個(gè)線性組合，也就是也就是 可由可由 1， 2 ， 3線性表示。線性表示。 2 1- - 2 3 2(1, 0, 0)- -(0, 1, 0) (0, 0, 1) (2, - -1, 1)，定義定義1對于向量組對于向量組 1， 2， ， m ，如果有一組數(shù)，如果有一組數(shù)k1，k2， ，km，使，使 k1 1 k2 2 km m，則稱向量則稱向量 是向量組是向量組 1， 2 ， ， m的一個(gè)線性組合，的一個(gè)線性組合，或稱或稱 可

4、由向量組可由向量組 1， 2 ， ， m線性表示。線性表示。 。下頁下頁注意：注意：（1）向量組）向量組 1， 2 ， 3 的線性組合有無窮多個(gè)的線性組合有無窮多個(gè)（2）一個(gè)向量）一個(gè)向量 有可能可由向量組有可能可由向量組 1， 2 ， 3 的線性表示；的線性表示； 也有可能不能由向量組也有可能不能由向量組 1， 2 ， 3 的線性表示。的線性表示。上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例例2任何一個(gè)任何一個(gè)n維向量維向量 (a1, a2, , an) T都是都是n維向量組維向量組e e1 (1, 0, , 0) T ，e e2 (0, 1, , 0) T ， ，e en (0, 0, , 1) T的線的線

5、性組合。性組合。 這是因?yàn)檫@是因?yàn)?a1e e1 a2e e2 an e en。向量組向量組e e1，e e2， ，e en稱為稱為n維維單位向量組或單位向量組或n維基本向量組維基本向量組下頁下頁定義定義1對于向量組對于向量組 1， 2， ， m ，如果有一組數(shù)，如果有一組數(shù)k1，k2， ，km，使，使 k1 1 k2 2 km m，則稱向量則稱向量 是向量組是向量組 1， 2 ， ， m的一個(gè)線性組合，的一個(gè)線性組合，或稱或稱 可由向量組可由向量組 1， 2 ， ， m線性表示。線性表示。結(jié)論：結(jié)論：任何一個(gè)任何一個(gè)n維向量維向量 (a1, a2, , an)都可由都可由n維維單位向單位向量

6、組或量組或n維基本向量組維基本向量組線性表示線性表示上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁5例：例：設(shè)設(shè) 123100,010001Ee e e1002 03 17 0001 123237eee237b 那么那么線性組合的系數(shù)線性組合的系數(shù)e1, e2, e3的的線性組合線性組合一般地，對于任意的一般地，對于任意的 n 維向量維向量b ，必有，必有1231000010000100001nbbbb 123nbbbbb 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁6n 階單位矩陣階單位矩陣 En 的列向量叫做的列向量叫做 n 維單位坐標(biāo)向量維單位坐標(biāo)向量1231000010000100001nbbbb 123nbbbbb 100001

7、0000100001nE 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例例3零向量是任何一組向量的線性組合。零向量是任何一組向量的線性組合。下頁下頁定義定義1對于向量組對于向量組 1， 2， ， m ，如果有一組數(shù)，如果有一組數(shù)k1，k2， ，km，使，使 k1 1 k2 2 km m，則稱向量則稱向量 是向量組是向量組 1， 2 ， ， m的一個(gè)線性組合，的一個(gè)線性組合，或稱或稱 可由向量組可由向量組 1， 2 ， ， m線性表示。線性表示。例例4向量組向量組 1， 2 ， ， m中的任一向量中的任一向量i(1 i m)都是都是此向量組的線性組合。此向量組的線性組合。注意：注意：對對k1，k2， ，km未加任何限

8、制；特別是未限制未加任何限制；特別是未限制k1，k2， ，km不全為零。不全為零。這是因?yàn)檫@是因?yàn)閛=0 1 0 2 0 m這是因?yàn)檫@是因?yàn)?i 0 1 1 i 0 m 。上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 定理定理 n維列向量維列向量 可由可由n維列向量組維列向量組 1， 2， ， m線性表示線性表示的充分必要條件是：以的充分必要條件是：以x1，x2， ，xm為未知量的線性方程為未知量的線性方程組組 x1 1 x2 2 xm m 有解。有解。 討論：討論： 上述線性方程組在什么情況下有解？上述線性方程組在什么情況下有解？提示：提示： 線性方程組線性方程組 x1 1 x2 2 xm m 有解的有解的充分必

9、要條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩，充分必要條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩，即矩陣即矩陣( 1 2 m)與矩陣與矩陣( 1 2 m )的秩相等。的秩相等。下頁下頁3。 可由可由 1， 2， ， m線性表示的判定方法：線性表示的判定方法：a11x1 a12x2 a1mxm b1a21x1 a22x2 a2mxm b2an1x1 an2x2 anmxm bn x1 1 x2 2 xm m 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁定理定理 n維列向量維列向量 可由可由n維列向量組維列向量組 1， 2， ， m線性表示線性表示的充分必要條件是：以的充分必要條件是：以x1，x2， ，xm為未知量的線性方程為未知量的

10、線性方程組組 x1 1 x2 2 xm m 有解。有解。 推論：推論：下頁下頁3。 可由可由 1， 2， ， m線性表示的判定方法：線性表示的判定方法：（1） n維列向量維列向量 可由可由n維列向量組維列向量組 1， 2， ， m線性表示線性表示秩秩( 1 2 m)=秩秩( 1 2 m )定理定理 n維行向量維行向量 可由可由n維行向量組維行向量組 1， 2， ， m線性表示線性表示的充分必要條件是：以的充分必要條件是：以x1，x2， ，xm為未知量的線性方程為未知量的線性方程組組 x1 1T x2 2T xm mT T有解。有解。 （2） n維行向量維行向量 可由可由n維行向量組維行向量組

11、1， 2， ， m線性表示線性表示秩秩( 1T 2 T mT)=秩秩( 1T 2T mT T)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例例5設(shè)設(shè)-632,321,211,132321判斷向量判斷向量 是否為向量組是否為向量組 1 ， 2 ， 的線性組合。的線性組合。若是，寫出表示式。若是，寫出表示式。解：解：設(shè)設(shè)x1 1 x2 2 x 由此可得線性方程組由此可得線性方程組-163233222321321321xxxxxxxxx解此線性方程組解此線性方程組上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁增廣矩陣增廣矩陣（ 1 2 ）-163233212211010050107001-163233222321321321xxxxxxxxx因

12、為線性方程組有解，因?yàn)榫€性方程組有解，所以所以 可由可由 1， 2 ， 線性表示線性表示又因解為又因解為x1 ， x2 ， x 所以所以 1 2 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例例6判斷向量判斷向量 1 (4, 3, - -1, 11) T與與 2 (4, 3, 0, 11) T是否各是否各為向量組為向量組 1 (1, 2, - -1, 5) T， 2 (2, - -1, 1, 1) T的線性組合。若的線性組合。若是，寫出表示式。是，寫出表示式。 解：解：(1)考慮線性方程組考慮線性方程組x1 1 x2 2 1。因?yàn)?。因?yàn)?2 - -1 3- -1 1 - -1 5 1 11 1 2 4 ( 1 2

13、 1) 0 - -5 - -5 0 3 3 0 - -9 - -9 1 2 4 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 4秩秩( 1 2 1) 秩秩( 1 2)，所以，所以 1可由可由 1， 2線性表示。線性表示。因?yàn)榫€性方程組的解為因?yàn)榫€性方程組的解為x1 2， x2 1，所以使，所以使2 1 2 。 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 2，下頁下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例例6判斷向量判斷向量 1 (4, 3, - -1, 11) T與與 2 (4, 3, 0, 11) T是否各是否各為向量組為向量組 1 (1, 2, - -1, 5) T， 2 (2, - -1, 1, 1)

14、 T的線性組合。若的線性組合。若是，寫出表示式。是，寫出表示式。 解：解： (2)考慮線性方程組考慮線性方程組x1 1 x2 2 2。因?yàn)?。因?yàn)?2 - -1 3- -1 1 0 5 1 11 1 2 4 ( 1 2 2) 0 - -5 - -5 0 3 4 0 - -9 - -9 1 2 4 0 1 1 0 3 4 0 0 0 1 2 4秩秩( 1 2 2) 秩秩( 1 2)，所以，所以 2不能由不能由 1， 2線性表示。線性表示。 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 2 4，下頁下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例例7設(shè)向量設(shè)向量 1 (1, 2, 3) ， 2 (0,1,4) ， 3 (2

15、, 3, 6) (-1,1, 5)，證明，證明 由由向量組向量組 1， 2， 3線性表示并寫出具體線性表示并寫出具體的表示式。的表示式。解：解：考慮線性方程組考慮線性方程組x1 1T x2 2T x3 3T T。因?yàn)椤Ｒ驗(yàn)?( 1T 2T 3T T) -564313121201-110020101001秩秩( 1T 2T 3T T) 秩秩( 1T 2T 3T)，所以，所以 可由可由 1， 2 ， 3線性表示。線性表示。 因?yàn)榫€性方程組的解為因?yàn)榫€性方程組的解為x1 1， x2 2， x3 - -1， 所以所以 1 2 2 - - 3 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁15例：例：設(shè)設(shè)證明向量證明向量 b

16、能由向量組能由向量組 a1, a2, a3 線性表示，并求出表示式線性表示，并求出表示式12311111210, , , 21432301aaab - - 解：解：向量向量 b 能由能由 a1, a2, a3 線性表示當(dāng)且僅當(dāng)線性表示當(dāng)且僅當(dāng)R(A) = R(A, b) 1111103212100121( , )2143000023010000rA b- 因?yàn)橐驗(yàn)镽(A) = R(A, b) = 2， 所以向量所以向量 b 能由能由 a1, a2, a3 線性表示線性表示上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁161111103212100121( , )2143000023010000rA b- 行最簡形矩陣

17、對應(yīng)的方程組為行最簡形矩陣對應(yīng)的方程組為通解為通解為所以所以 b = (3c + 2) a1 + (2c1) a2 + c a3 13233221xxxx - - - 3232212110cxccc- - -上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁17結(jié)論：含有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)結(jié)論：含有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng) 1111211221222211221212,mmmmmmnnnmmxaaaxxaaaxx ax ax aa aaxaaax1122mmbaaa11121121222212mmnnnmmaaaaaabaaa ( )( , )R AR A b 向量向量b 能由能由向量組向量組

18、A線性表示線性表示線性方程組線性方程組 Ax = b 有解有解P.83 定理定理1 的結(jié)論：的結(jié)論：上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁18定義：定義：設(shè)有向量組設(shè)有向量組 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 若若向量組向量組 B 中的每個(gè)向量都能由向量組中的每個(gè)向量都能由向量組 A 線性表示，則稱線性表示，則稱向向量組量組 B 能由向量組能由向量組 A 線性表示線性表示若向量組若向量組 A 與向量組與向量組 B 能互相線性表示，則稱這兩個(gè)能互相線性表示，則稱這兩個(gè)向量向量組等價(jià)組等價(jià) 4。向量組的等價(jià)。向量組的等價(jià) 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例例1向量組向量組 1 =(1,

19、2) T ， 2 = (1, 1) T ， 3 = (2, 3) T可以由可以由基本向量組基本向量組e e1 (1, 0) T，e e2 (0, 1) T 線性表示；線性表示；同時(shí)因?yàn)橄蛄拷M同時(shí)因?yàn)橄蛄拷Me e1 (1, 0) T =- - 1 T+2 2 T，e e2 (0, 1) T= 1 T- - 2T，即向量組，即向量組e e1 ， e e2可由向量組可由向量組 1， 2，線性表示；線性表示；所以向量組所以向量組 1， 2與向量組與向量組e e1，e e2等價(jià)等價(jià)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁20設(shè)有向量組設(shè)有向量組 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 若向量

20、組若向量組 B 能由向量組能由向量組 A 線性表示，即線性表示，即11211121122112212222mlmlmmlmlmbk ak akabk ak akabk ak ak a 1112221122121212,mmmmllmlllkkkkkkb bba aakkk 線性表示的線性表示的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁21設(shè)有向量組設(shè)有向量組 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 若向量組若向量組 B 能由向量組能由向量組 A 線性表示，即線性表示，即n對于對于 b1 ，存在一組實(shí)數(shù)，存在一組實(shí)數(shù) k11, k21, , km1 ，使得，使得b1 =

21、 k11a1 + k21 a2 + + km1 am ；n對于對于 b2 ，存在一組實(shí)數(shù)，存在一組實(shí)數(shù) k12, k22, , km2 ，使得，使得b2 = k12a1 + k22 a2 + + km2 am ；n對于對于 bl ，存在一組實(shí)數(shù)，存在一組實(shí)數(shù) k1l , k2l , , kml ，使得，使得bl = k1l a1 + k2l a2 + + kml am上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁22若若 Cmn = Aml Bln ，即，即則則 1112121222121212,nnnllllnbbbbbbc cca aabbb 結(jié)論：結(jié)論：矩陣矩陣 C 的列向量組的列向量組能由矩陣能由矩陣 A 的

22、列向量組的列向量組線性表示，線性表示，B 為這一線性表示的系數(shù)矩陣為這一線性表示的系數(shù)矩陣111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmmnmmmllllncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁23若若 Cmn = Aml Bln ，即，即111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmmnmmmllllncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb 則則1112111212222212TTlTTlTTmmmlmlaaarbaaarbaaarb 結(jié)論：結(jié)論：矩陣矩

23、陣 C 的行向量組的行向量組能由矩陣能由矩陣 B 的行向量組的行向量組線性表示，線性表示，A 為這一線性表示的系數(shù)矩陣為這一線性表示的系數(shù)矩陣上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁24口訣：左行右列定理：設(shè)A是一個(gè) mn 矩陣，對 A 施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 A 的左邊乘以相應(yīng)的 m 階初等矩陣；對 A 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 A 的右邊乘以相應(yīng)的 n 階初等矩陣.結(jié)論：若 C = AB ，那么p矩陣 C 的行向量組能由矩陣 B 的行向量組線性表示，A為這一線性表示的系數(shù)矩陣（A 在左邊）p矩陣 C 的列向量組能由矩陣 A 的列向量組線性表示，B為這一線性表示的系數(shù)矩陣（B 在右邊）上頁下頁鈴結(jié)束

24、返回首頁25cABA 經(jīng)過有限次初等經(jīng)過有限次初等列列變換變成變換變成 B存在有限個(gè)初等矩陣存在有限個(gè)初等矩陣P1, P2, , Pl ，使，使 AP1 P2 , Pl = B存在存在 m 階階可逆矩陣可逆矩陣 P，使得，使得 AP = B矩陣矩陣 B 的列向量組的列向量組與矩陣與矩陣 A 的列向量組的列向量組等價(jià)等價(jià)rAB矩陣矩陣 B 的行向量組的行向量組與矩陣與矩陣 A 的行向量組的行向量組等價(jià)等價(jià) 同理可得同理可得 口訣：左行右列口訣：左行右列. .把把 P 看看成是線性成是線性表示的表示的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁26向量組向量組 B：b1, b2, , bl 能由向量組能由向量組 A：a1, a2, , am 線性表示線性表示存在矩陣存在矩陣 K，使得，使得 AK = B 矩陣方程矩陣方程 AX = B 有解有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理定理2）R(B) R(A) （P.85 定理定理3） 推論：推論：向量組向量組 A：a1, a2, , am 及及 B：