鋼結(jié)構(gòu)_有限差分法

1、第五章 穩(wěn)定計(jì)算的近似分析法學(xué)習(xí)內(nèi)容:能量守恒原理勢(shì)能駐值原理最小勢(shì)能原理有限差分法5.2 能量守恒原理5.2 能量守恒原理能量守恒原理：如果貯存在結(jié)構(gòu)體系中的應(yīng)變能等于外力所做的功，則該保守系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。WU應(yīng)變能外力做功第五章 穩(wěn)定計(jì)算的近似分析法5.2 能量守恒原理WU應(yīng)變能外力做功dxyEIUdxEIMUlyEIMl2020)(2121 dxdx221)cos1 (dxydxll020)(21)cos1 (dxyPPWl02)(21dxydxyEIPll 0202)()(屈曲荷載5.2 能量守恒原理對(duì)于承受任意荷載的構(gòu)件l可先以假定合適的變形曲線l變形曲線盡可能接近實(shí)際曲線l必須符

2、合構(gòu)件的邊界條件),(21naaafy),(21naaafy),(21naaafy ),()(21102nlaaaFdxyEI ),()(21202nlaaaFdxy),(),(212211nnaaaFaaaFP5.2 能量守恒原理對(duì)于承受任意荷載的構(gòu)件),(),(212211nnaaaFaaaFP，解上述方程組得，只有有選參要求crn2cr1cr2122211211212112122111222121112121,0 0 0 00)(1)(10 , , 0 , 0PPPaFPaFaFPaFaFPaFFaFPaFFaFFFaFFFaFFaFFaPaPaPaPnnn曲荷載。其中最小值即為構(gòu)件屈5

3、.3 勢(shì)能駐值原理和最小勢(shì)能原理 5.3 勢(shì)能駐值原理和最小勢(shì)能原理5.3.1 勢(shì)能駐值原理勢(shì)能駐值原理： 其位移有微小變化而總的能量不變，即總勢(shì)能有駐值時(shí)，則該結(jié)構(gòu)體系處于平衡狀態(tài)。即：外力勢(shì)能內(nèi)力勢(shì)能外力作功其中： 5.3 勢(shì)能駐值原理和最小勢(shì)能原理如圖：B點(diǎn)：彈簧鉸rB、抗側(cè)移彈簧kB；A點(diǎn)：彈簧鉸rA。當(dāng)體系由(a)直桿狀態(tài)過(guò)渡到(b)微彎狀態(tài)時(shí)，體系的應(yīng)變能為：外力勢(shì)能為： 5.3 勢(shì)能駐值原理和最小勢(shì)能原理則總勢(shì)能為：利用勢(shì)能駐值原理，對(duì)上式取一階變分得：進(jìn)行分部積分，結(jié)合邊界條件： 5.3 勢(shì)能駐值原理和最小勢(shì)能原理自然邊界條件平衡方程 5.3 勢(shì)能駐值原理和最小勢(shì)能原理5.3.

4、2 最小勢(shì)能原理能量守恒原理屈曲荷載勢(shì)能駐值原理平衡方程平衡形式是穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的還是中性的？最小勢(shì)能原理設(shè) 為結(jié)構(gòu)體系的總勢(shì)能，當(dāng)位移有微小變化時(shí)，其總勢(shì)能為 。 ( )x()xx 232323( )1( )1( )()( )()().2!3!dxdxdxxxxxxxdxdxdx 5.3 勢(shì)能駐值原理和最小勢(shì)能原理結(jié)構(gòu)處在平衡狀態(tài)，因此 ( )0dxdx總勢(shì)能的增量為：2323231( )1( )()( )()().2!3!dxdxxxxxxdxdx0 當(dāng) 時(shí)，總勢(shì)能有極小值，平衡時(shí)穩(wěn)定的。22( )0dxdx，平衡是穩(wěn)定的；22( )0dxdx，平衡是不穩(wěn)定的；22( )0dxdx，可得到

5、屈曲荷載，但平衡的穩(wěn)定性需考慮其后第三和第四項(xiàng)。基本思想：5.6 有限差分法 將連續(xù)的構(gòu)件用有限個(gè)離散點(diǎn)來(lái)代替，結(jié)合邊界條件，將連續(xù)的微分方程用離散變量函數(shù)來(lái)近似表示，并求解代數(shù)方程組。5.6 有限差分法基本步驟：1.建立微分方程。2.區(qū)域離散化，即將桿件分段，形成網(wǎng)格。3.用有限差分公式代替格點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，建立代數(shù)方程組。4.求解代數(shù)方程組，得到屈曲近似解。5.6.1 任意點(diǎn)函數(shù)的差分式5.6 有限差分法ayyyiii1ayyyiii1ayyyiii211前進(jìn)差分:后退差分:中間差分:21112ayyyayyyiiiiii 22211422ayyyayyyiiiiii 5.6 有限差分法5.6.2

6、 邊界點(diǎn)的差分式5.6 有限差分法00y02110ayyy鉸接端: ;固定端: ;自由端:0221010 ayyyy00 y00y00 y0221010 ayyyy11yy11yy1012yyy5.6.3 提高屈曲荷載精確度的外推法5.6 有限差分法差分法分段數(shù)多計(jì)算量大分段數(shù)少誤差大對(duì)于彈性彎曲屈曲荷載，誤差的大小與分段數(shù)的平方成反比。211nppcr222nppcr2122211222nnnpnppcr例5.6：求兩端鉸接的軸心受壓構(gòu)件的屈曲荷載5.6 有限差分法建立平衡方程： （1）02 ykyEIPk 2其中：21112ayyyayyyiiiiii （2）將（2）式帶入（1）式得：0)

7、2(1221iiiyyaky（3）例5.6：求兩端鉸接的軸心受壓構(gòu)件的屈曲荷載5.6 有限差分法2la （3）將結(jié)構(gòu)等分兩段，即 ，則分點(diǎn)1處 的差分方程為：0)2(1221iiiyyaky0)2(01222yyaky又有002 yy可得屈服條件：0222ak得：218lEIpcr與精確值：22lEIpcr相差-18.9%。例5.6：求兩端鉸接的軸心受壓構(gòu)件的屈曲荷載5.6 有限差分法4la （3）將結(jié)構(gòu)等分四段，即 。分點(diǎn)1處的 差分方程為：0)2(1221iiiyyaky0)2(01222yyaky又 ；00y則：1得：2與精確值相差-5%。1分點(diǎn)處：則0)2(1222yaky0)2(12223yyaky又 ；13yy 2分點(diǎn)處：02)2(1222yyak則（4）（5）222ak222ak021835. 9lEIpcr例5.6：求兩端鉸接的軸心受壓構(gòu)件的屈曲荷載5.6 有限差分法外推法與精確值 相差-0.35%。 222222835. 924284376. 9lEIlEIpcr22287. 9lEIlEIpcr有限差分法小結(jié)：5.6 有限差分法建立微分方程構(gòu)件分段差分方程代數(shù)方程組屈曲荷載精度要求？NO得到結(jié)果YES有限差分法的優(yōu)缺點(diǎn)：5.6 有限差分