道路工程數(shù)值分析

1、1 1一、一、在對單元建立平衡方程時，其原理是什么？為什么在數(shù)學(xué)方程上卻是以“結(jié)點平衡方程”的形式出現(xiàn)？二、簡述有限元（線彈性、位移法、等參單元）計算中的誤差來源，以及提高有限元計算精度的措施與方法。三、除了有限元方法外，還有哪些數(shù)值模擬計算方法？并請簡述其原理，四、采用有限元方法分析道路工程領(lǐng)域的力學(xué)問題，你認為在哪些方面還有可能取得創(chuàng)新性結(jié)論？2 2一、變形體的虛功原理一、變形體的虛功原理 任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個虛位移時，變形體所受外力在虛位移上所做的總虛功 ，恒等于變形體各微段外力在微段變形位移上作的虛功之和 。即恒有如下虛功方程成立： eWiWieWW3 3虛功原

2、理的兩種應(yīng)用虛功原理的兩種應(yīng)用 實際待分析的平衡力狀態(tài)，虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，將平衡問題化為幾何問題來求解虛位移原理 實際待分析的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，虛設(shè)的平衡力狀態(tài)，將位移分析化為平衡問題來求解虛應(yīng)力原理4 4為什么在數(shù)學(xué)方程上卻是以為什么在數(shù)學(xué)方程上卻是以“結(jié)點平衡方程結(jié)點平衡方程”的形式的形式出現(xiàn)？出現(xiàn)？ 有限元在求解結(jié)構(gòu)問題時，最先得到的是各個節(jié)點的位移，再通過彈性力學(xué)方程得到單元的應(yīng)力和應(yīng)變，得到的單元應(yīng)力應(yīng)變實際上是一個函數(shù)，這個函數(shù)能夠描述單元內(nèi)所有位置處的應(yīng)力場。無疑，這樣沒法在軟件中顯示結(jié)果，因此單元解需要確定一些積分點（高斯點），通過積分得到這些積分點的解，這些積分點的解代表單元解

3、。5 5 積分點通常和單元的節(jié)點位置不重合，因此想要得到單元節(jié)點的解，需要將積分點的解根據(jù)某種規(guī)則外推，以一種近似的方法得到單元節(jié)點的解。由于每個單元外推得到的單元節(jié)點解并不完全一致，因此，最初外推得到的單元的節(jié)點解不連續(xù)，為了讓其連續(xù)，將不同單元之間的節(jié)點外推得到的節(jié)點解進行算術(shù)平均，這樣在連續(xù)節(jié)點處的節(jié)點解僅有一個數(shù)值，這樣便得到實際在軟件中顯示的節(jié)點解。6 6二、誤差來源二、誤差來源有限元法分析一般包括四個步驟：物理模型的簡化、數(shù)學(xué)模型的程序化、計算模型的數(shù)值化和計算結(jié)果的分析。每一個步驟在操作過程中都將可能引入了誤差，這些誤差的累積最終可能會對計算結(jié)果造成很大影響。（1）物理模型的簡化

4、物理模型的簡化。主要有幾何實體、環(huán)境邊界條件和材料特性的簡化，進而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。同時在簡化過程中引入了理想化誤差，比如邊界條件簡化時添加集中載荷和孤立點約束，導(dǎo)致模型發(fā)生邊界條件的奇異，即邊界奇異；其它理想化誤差，邊界條件簡化時非均勻溫度場和壓力場簡化為均勻溫度場和壓力場等，也將會影響計算結(jié)果的準確度。7 7理想化誤差是在有限元法分析開始之前引入的，因此我們不可能通過改進有限元分析技術(shù)來達到消除其的目的，而只能通過修改數(shù)學(xué)模型本身來實現(xiàn)消除其的目的。（2）、數(shù)學(xué)模型的程序化、數(shù)學(xué)模型的程序化，主要有幾何實體的單元離散、單元網(wǎng)格的裝配連接、模型環(huán)境邊界條件的添加，進而構(gòu)建計算模型。幾何實體的離散

5、，和單元類型（形狀和精度）、單元尺寸以及分網(wǎng)方式的選擇有關(guān)，不可避免地會引入離散化誤差。離散化誤差，是有限元法分析本身的，因此只能通過改進有限元分析技術(shù)或者技巧來盡力消除/減小這方面的誤差，比如提高單元精度和增加網(wǎng)格密度減小計算方面的誤差等方法。8 8（3）計算模型的數(shù)值化計算模型的數(shù)值化，主要是用數(shù)值計算方法（程序求解器）求解、逼近真實的解析值，因而必然存在數(shù)值化誤差。數(shù)值計算方法的精度（非人為可控）越高計算結(jié)果的誤差就越小，但計算的工作量也越大。實際考慮到計算精度和計算資源的利用，必然要做一個適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)一。（4）計算結(jié)果的分析計算結(jié)果的分析，主要是利用數(shù)值計算結(jié)果來分析、評判，或預(yù)知真實的物

6、理模型，由此也存在著認知誤差。認知誤差的消除，一方面需要真實物理試驗的指導(dǎo)，另一方面依賴于分析人員的工程經(jīng)驗和認知能力。 9 9提高精度的方法提高精度的方法 (1).h方法 不改變各單元基函數(shù)，只通過逐步加密單元使計算結(jié)果向正確解逼近。它往往采用比較簡單的單元。一般可以將誤差控制在百分之五到百分之十范圍內(nèi)。 (2).p方法 保持網(wǎng)格固定部分不變，增加單元上基層函數(shù)的 階次，從而改善計算精度。1010 三、其他數(shù)值模擬計算方法三、其他數(shù)值模擬計算方法 （1）有限差分法 把連續(xù)的定解區(qū)域用有 限個離散點構(gòu)成的網(wǎng)格 來代替，這些離散點稱 作網(wǎng)格的節(jié)點;把連續(xù)定 解區(qū)域上的連續(xù)變量的 函數(shù)用在網(wǎng)格上定

7、義的1111 離散變量函數(shù)來近似;把原方程和定解條件中的微商用差商來近似，積分用積分和來近似，于是原微分方程和定解條件就近似地代之以代數(shù)方程組，即有限差分方程組 ，解此方程組就可以得到原問題在離散點上的近似解。然后再利用插值方法便可以從離散解得到定解問題在整個區(qū)域上的近似解。1212 （2）有限容積法：將計算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積，并使每個網(wǎng)格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點上的因變量的數(shù)值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網(wǎng)格點之間的變化規(guī)律，即假設(shè)值的分段的分布的分布剖面。從積分區(qū)域的選取方法看來，有限體積法

8、屬于加權(quán)剩余法中的子區(qū)域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。1313 （3）邊界元法 邊界單元法是20世紀70年代興起的一種數(shù)值方法。 其通過節(jié)點之間插值，把邊界 積分方程轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性代數(shù)方程 組，由此解出各邊界元的節(jié)點 處待定的邊界值，再利用把邊 界值與域內(nèi)函數(shù)值聯(lián)系起來的 解析公式，求得計算區(qū)域內(nèi)任1414 一點的函數(shù)值。 且計算精度、計算效率高，更適用于均質(zhì)材料和線性性態(tài)情況。1515四、瀝青路面結(jié)構(gòu)荷載應(yīng)力有限元分析四、瀝青路面結(jié)構(gòu)荷載應(yīng)力有限元分析根據(jù)道路有限元理論，建立車輪荷載簡化模型及瀝青路面有限元模型，以三角形分層組合式的彈性薄板彎曲單元為基礎(chǔ)。分析

9、在不同垂直荷載作用下瀝青路面結(jié)構(gòu)采用溫克勒地基模型和彈性半空間地基模型兩種地基模型時的路表彎沉值、面層最大剪應(yīng)力、基層底面拉應(yīng)力、底基層底面拉應(yīng)力的變化規(guī)律。1616 對垂直荷載作用下的瀝青路面結(jié)構(gòu)進行應(yīng)力計算分析，瀝青路面結(jié)構(gòu)分析的荷載簡化模型如下： 輪胎與路面的接觸面形狀近似于橢圓形，并且接觸面上的壓力分布是不均勻的，輪胎的剛度、接觸面的形狀和輪胎的花紋會影響接觸壓力的分布。 將車輪荷載簡化成當(dāng)量的圓形均布荷載，并采用輪胎內(nèi)壓力作為輪胎接觸壓力P。車輪對路面作用的荷載及其簡化1717 模型的確定 在路面結(jié)構(gòu)分析時，一般假定路面各層為平面無限大的彈性層。采用有限元計算時，無法將模型的尺寸取為

10、無窮大，只能在建立模型時盡量將模型尺寸取得大一些，但尺寸過大，則會大大增加計算工作量。因此宜合理確定其計算模型的 尺寸，使其在保證計算精度的同時，又不增加過多的計算工作量。 由此可確定單元的位移模式，計算單元剛度矩陣和單元上的結(jié)點荷載。1818 溫克勒地基薄板單元的剛度矩陣 溫克勒(Winkler)認為，地基反力只與該點的垂直位移有關(guān)，且反力大小與垂直位移成正比，方向相反。 設(shè)單元在任意一點處的實際撓度是，地基與薄板單元保持著連續(xù)接觸，所以地基表面在該點的沉陷也應(yīng)當(dāng)是 。按照溫克勒假定，地基與薄板在該點相互作用的力是 P= k 。1919對于每個單元都可以建立的剛度方程，并計算結(jié)構(gòu)整體的剛度方

11、程。在這組方程中代入邊界條件進行求解，得到各節(jié)點的位移值(撓度和轉(zhuǎn)角)，應(yīng)變和應(yīng)力，進一步可求得主應(yīng)力、主應(yīng)變和主方向。2020 小結(jié) 首先提出車輛荷載的簡化模型；接著根據(jù)有限單元法，利用電腦計算程序?qū)r青路面在該荷載模型作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)進行計算分析，分析了瀝青面層作彈性時路面結(jié)構(gòu)響應(yīng)受面層各參數(shù)變化影響的規(guī)律。 其創(chuàng)新點在于分別對溫克勒地基模型和彈性半空間體地基模型進行了有限元分析，并將有限元析結(jié)果通過電腦計算程序?qū)崿F(xiàn)，然后對這兩種不同地基模型下瀝青路面在荷載模型作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)進行了計算分析。2121 進一步的研究建議 由于多種因素的制約，如計算手段、數(shù)據(jù)采集及自身水平等的限制，本文只在靜載條件下對瀝青路面結(jié)構(gòu)進行了較簡單的數(shù)值分析，進一步的研究可考慮以下幾方面： 1、三維路面結(jié)構(gòu)體系采用的是連續(xù)體系，進一步的分析研究中可考慮層間的光滑接觸和半接觸狀況。