本科畢業(yè)論文--基于小波分析的多頻率信號的提取小波變換

1、學校代碼： 論文成績：學生學號：2220051953大連海事大學裝訂線畢 業(yè) 論 文 二一零年六月基于小波分析的多頻率信號的提取 專業(yè)班級： 姓 名： 指導(dǎo)教師： 信息科學技術(shù)學院內(nèi)容摘要小波分析是一門正在迅速發(fā)展的新興學科，目前，它在實際中得到了廣泛的應(yīng)用。研究小波的新理論、新方法以及新應(yīng)用具有重要的理論意義和實用價值。本文旨在介紹小波的基本理論，提出小波信號提取信號算法，進一步拓寬小波的應(yīng)用范圍。主要工作包括：簡要介紹了小波的發(fā)展以及應(yīng)用，詳細討論了小波分析的基本理論,介紹了時頻分析的基本原理，連續(xù)小波變換，離散小波變換和二進小波變換，概括了小波包分析的基本原理，給出了小波變換的快速算法和

2、重構(gòu)算法，分析了它們對實際應(yīng)用的影響和作用。簡要介紹了Matlab的發(fā)展及其小波工具包，本文主要工作對信號進行小波分析都在Matlab環(huán)境下運行。討論了應(yīng)用小波變換進行信號濾波的方法以及用小波包來做分析的原因，并通過正交小波包對信號的分解，把頻率成分復(fù)雜的信號分解到各個頻帶上，根據(jù)需要提取指定頻率的信號，然后用小波包重構(gòu)算法對信號進行重構(gòu)，可實現(xiàn)對信號的提取。本文中信號是根據(jù)要求構(gòu)造的信號，為了簡單起見，構(gòu)造3頻率疊加信號，根據(jù)疊加方式的不同又分在同一時間上的疊加和不同時間段上的疊加，對這兩種情況都做了具體分析，并應(yīng)用了Matlab時頻分析工具包，對其進行時頻分析，得到頻譜。關(guān)鍵詞：小波包分解

3、 小波包重構(gòu) 信號提取AbstractWavelet analysis is a rapidly developing and novel subject.Nowadays，it has been widedly used in practical applications.To study the new theory，methods and applications of wavelet is of great theoretical significance and practical value.Thisdissertation aims to consummate the wavel

4、et theory，present some new waveletde-extraction algorithms and develop the new scopes of wavelet applications.The thesis mainly includes the following aspects：As the development and application of wavelet is briefly introduced ,the fundamental theories of wavelet analysis are discussed in detail.Con

5、tinuouswavelet transform，discrete wavelet transform and dyadic wavelet transform areincluded.The fast algorithm of discrete dyadic wavelet transform is given.Finally，ananalysis is made on the influence of the wavelet bases on practical applications bystudying their mathematical properties.Briefly in

6、troduce the development of Matlab and wavelet toolbox,and the work is based on Matlab.Discuss the method of flitering using wavelet transform, and the reason of using wavelet toolbox. It decomposes the signal with complex frequency into different band by wavelet toolbox, and delete the signal on som

7、e band, then reconstruction the signal by toolbox algorithm,this course can achieve the target of signal extraction.The signal is made of three different signals in the article, and its composed at the same time and at different time of the three signals.they are both discussed,and to get the freque

8、ncy spectrum we uses the new product of Matlab called Time-Frequency analysis toolbox to do theanalysis.Key word: wavelet packet decomposition wavelet packet reconstraction signal extraction 目錄1 緒論11.1 小波發(fā)展簡史11.2 小波分析及其應(yīng)用21.3 本文的主要工作32 小波分析理論簡介42.1 時頻分析基礎(chǔ)42.2 多分辨分析52.3 連續(xù)小波變換與離散小波變換62.4 小波變換的快速算法72.

9、5 小波包分析103 相關(guān)MATLAB基礎(chǔ)133.1 Matlab簡介133.2 Matlab小波函數(shù)144 多頻率信號提取的實現(xiàn)154.1 多個信號在不同時間上的疊加154.2 不同時間上信號疊加的提取164.3 多個信號在同一時間上的疊加194.4 同一時間上信號疊加的提取20結(jié) 論24參考文獻25.11 緒論小波分析是近十幾年來在國際上掀起研究熱潮并有廣泛應(yīng)用價值的一個研究領(lǐng)域，探討小波的新理論、新方法以及新應(yīng)用成為當今數(shù)學界和工程界的一個發(fā)展方向。其涉及面之廣、影響之大、發(fā)展之迅猛是空前的。小波分析之所以得到快速發(fā)展是因為它克服了Fourier分析的缺點和局限性，是Fourier分析的

10、一個突破性進展，是一種嶄新的時頻分析方法。1經(jīng)典的Fourier分析是通過信號的頻譜來研究分析信號的特性的，是一種純頻域分析。自1992年Fourier發(fā)表他的熱傳導(dǎo)解析理論以來，F(xiàn)ourier分析便成為最完美的數(shù)學理論與最廣泛和有效地被應(yīng)用著的(無論是在數(shù)學內(nèi)部還是在科學與工程中)數(shù)學方法之一。雖然Fourier分析方法方便有效，然而，經(jīng)典的Fourier變換有它固有的缺點，由Fourier變換的定義可見，F(xiàn)ourier變換取決于信號在實軸(-，+)上的整體性質(zhì)，因此不能反映出信號在局部時間范圍中的特征，即在時空域中沒有任何分辨Fourier變換在任何有限頻段上的信息都不足以確定在任意小范圍

11、內(nèi)的信號，無論在理論上還是在實踐中這個事實都帶來許多困難和不便。在許多實際問題中，人們所關(guān)心的恰是信號在局部時間范圍中的特征。例如，在音樂和語音信號中，人們所關(guān)心的是什么位置出現(xiàn)什么樣的反射波。這正是Fourier變換難以奏效的弱點，而小波分析則給信號處理領(lǐng)域帶來了嶄新的思想。小波分析以不同的尺度(或分辨率)來觀察信號，對信號分析的這種多尺度(或分辨率)的觀點是小波分析的核心。小波分析與傅立葉分析的本質(zhì)區(qū)別在于：Fourier分析只是考慮時域與頻域之間的一對一映射，它只是用單個變量的基函數(shù)表示信號；小波分析則是用聯(lián)合的時間尺度函數(shù)來分析信號的，從根本上克服了傅立葉分析只能在時間域或頻率域分析信

12、號的缺陷。小波分析與時頻分析的區(qū)別則在于：時頻分析是在時頻平面上分析信號，小波分析雖然也是在二維平面上分析信號，但不是在時頻平面上，而是在所謂的時間尺度平面上。眾所周知，信號處理現(xiàn)如今已經(jīng)成為當代科學技術(shù)活動中不可缺少的一部分，而在小波分析的許多領(lǐng)域中，都可以將其歸結(jié)為信號處理問題。2小波分析可以對信號進行時域和頻域分析，具有時頻局部化和變分辨特性，是一種新的多分辨分析方法，特別適合分析和處理非平穩(wěn)信號，被譽為信息信號的“顯微鏡”。作為信號處理和分析的工具，傅立葉分析曾在數(shù)字信號處理領(lǐng)域占據(jù)絕對的位置，但隨著小波理論的日趨完善，小波分析顯示了其強大的生命力和顯著的優(yōu)越性，并且正在信號處理以及其

13、它許多領(lǐng)域取得越來越廣泛和深入的應(yīng)用。1.1 小波發(fā)展簡史近幾年來，一種被稱為小波變換的數(shù)學理論和方法正在科學技術(shù)界引起了一場軒然大波。在數(shù)學家們看來，小波分析是一個新的數(shù)學分支，是泛函分析、Fourier分析、樣條分析、調(diào)和分析的最完美結(jié)晶。小波分析源于信號分析，小波分析的思想來源于伸縮與平移方法。小波分析方法的提出，可以追溯到1910年Haar提出的小“波”規(guī)范正交幾基及1938年Littlewood-Paley對Fourie級數(shù)建立的L-P理論，即按二進制頻率成分分組，F(xiàn)ourier變換的相位變化本質(zhì)上不影響函數(shù)的形狀和大小。其后，Calderon于1975年用其早年發(fā)現(xiàn)的再生公式給出拋

14、物型空間上H1的原子分解，它的離散形式已接近小波展開，只是還無法得到組成一個正交系的結(jié)論。1981年，法國地球物理學家Morlet在分析地震波的局部性質(zhì)時，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的Fourier變換難以達到要求，于是引入“小波”概念對信號進行分解。隨后，理論物理學家Grossman對Morlet的這種信號按一個確定函數(shù)的伸縮，平移系展開的可行性進行了研究，這無疑為小波分析的形成開了先河。真正的小波熱開始于1986年，當時Meyer創(chuàng)造性地構(gòu)造了具有一定衰減性的光滑函數(shù)，其二進制伸縮與平移1：j ,k Z構(gòu)成L2(R)的規(guī)范正交基。繼Meyer提出了小波變換之后，Lemarie和Battle又分別獨立地給出了

15、具有指數(shù)衰減的小波函數(shù)。1987年，Mallat巧妙地將計算機視覺領(lǐng)域內(nèi)的多尺度分析的思想引入到小波分析中的小波函數(shù)的構(gòu)造及信號按小波變換的分解及重構(gòu)，從而成功地統(tǒng)一了在此之前的Meyer、Lemarie和Battle提出的具體小波函數(shù)的構(gòu)造，研究了小波變換的離散化情形，并將相應(yīng)的算法現(xiàn)今稱之為Mallat算法有效應(yīng)用于圖象分解與重構(gòu)。與此同時，Daubechies構(gòu)造了具有有限支集的正交小波基，她的工作已成為小波研究的經(jīng)典文獻之一。這樣小波分析的系統(tǒng)理論初步得到了建立。1988年，Ameodo及Grasseau等人將小波變換運用于混沌動力學及分形理論以研究湍流及分形生長現(xiàn)象。1990年，崔錦

16、泰和王建中構(gòu)造了基于樣條函數(shù)的所謂的單正交小波函數(shù)，并討論了具有最好局部化性質(zhì)的多尺度分析的生成函數(shù)及相應(yīng)的小波函數(shù)。同時，Beylkin、Coifman等將小波變換應(yīng)用于算子理論。1991年，Jaffard及Laurencot將小波變換應(yīng)用于偏微分方程數(shù)值解，而Wickerhanser等將Mallat算法進一步深化，得到了小波包算法，它對頻帶的劃分突破了小波分析等劃分的限制，拓寬了小波信號分析的適用范圍，但是解決的關(guān)鍵問題是最優(yōu)基選擇和信號的自適應(yīng)最優(yōu)表示。Goodman等1994年基于r元多分辨分析建立了小波的基本理論框架，并給出了樣條多小波的例子。1995年，Sweldens提出了通過提

17、升方法(lifting scheme)構(gòu)造新二代小波的新思想。利用這種方法可以構(gòu)造非歐空間中不允許伸縮和平移，從而Fourier變換已不再適用的情形下的小波基，使小波的構(gòu)造擺脫了對Fourier變換的依賴性。1996年，Donovan、Geronimo、Hardin和Massopust將分形理論中的迭代函數(shù)系統(tǒng)用于雙尺度差分方程組，再次利用分形差值構(gòu)造了所謂的DGHM小波。1998年，為了解決小波處理中高維奇異性等所帶來的問題，Gandes在他的博士論文中首次提出了“脊波”(ridgelet)的概念。脊波是用一系列脊函數(shù)的疊加來表示相當廣泛的函數(shù)類，同時具有基于離散變換的“近似正交”的脊函數(shù)框

18、架。脊波的理論框架是由Gandes和Donoho完成的，它能夠?qū)Ω呔S空間中的直線狀和超平面狀的奇異性進行很好的逼近。3時至今日，小波理論已相當豐富，并在繼續(xù)蓬勃發(fā)展著。1.2 小波分析及其應(yīng)用小波分析是近期發(fā)展起來的新興數(shù)學分支，小波分析的出現(xiàn)，是不同學科、不同領(lǐng)域的交流與交叉學科發(fā)展的結(jié)果，它無論是對數(shù)學還是對其它應(yīng)用學科都產(chǎn)生了深遠的影響。在數(shù)學界，它被認為是現(xiàn)代分析完美的總結(jié)，是繼Fourier分析之后調(diào)和分析發(fā)展史上的又一里程碑。在應(yīng)用領(lǐng)域，特別是信號處理、圖象處理、語音分析、模式識別、量子物理及眾多非線性科學領(lǐng)域，它被認為是近年來在工具及方法上的重大突破。小波分析是基于對Fourie

19、r分析的繼承和發(fā)展而來的一種全新的時頻分析方法。我們知道，F(xiàn)ourier基中的函數(shù)在頻率域是完全局部化的，但在空間域或時間域上無任何局部性，相反地，Haar系中的函數(shù)在時間域上雖局部性很好，但它在Fourier變量域上局部性卻很差，小波基卻兼有它們的優(yōu)點。而尋求關(guān)于時間變量與頻率變量都適合的基是Balian所提倡的，為了體現(xiàn)Balian的這一思想，Gabor于1964年引入了窗口Fourier變換，但是窗口Fourier變換是一種窗口大小及形狀固定的時頻局部化分析。但因為頻率和周期成反比，因此，反映信號高頻成分需要窄的時間窗，反映信號低頻成分需要寬時間窗。這樣，窗口Fourier變換就無能為力

20、了。而小波分析就是這樣一種窗口大小固定但形狀可以改變，因而滿足以上要求的時-頻局部化分析方法。因為小波函數(shù)是一個對稱雙窗函數(shù)，當?shù)闹行募鞍霃椒謩e為t*和時，同時當?shù)腇ourier變換?的中心及半徑分別為*(有對稱性，我們只考慮正半頻率軸，從而*0)和，則的伸縮、平移函數(shù)系a,b的中心及半徑分別為b +at*和a(設(shè)a0),a,b的Fourier變換的中心為而半徑為，亦即其時頻窗由變?yōu)?現(xiàn)固定b，則當a逐步減小時，窗的中心逐步向高頻方向移動，同時窗的寬度減小，但窗的高度增加；當a逐步增大時，窗的中心逐步向低頻方向移動，同時窗的寬度增大，但窗的高度減小，盡管窗口面積的大小不變。也就是說，小波分析在

21、時、頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，能夠在低頻部分得到較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分正好相反，得到的是較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率。正是在這種意義下，它有極敏感的“變焦”特性，被譽為“數(shù)學顯微鏡”。小波分析是對Fourier分析的推廣乃至根本性革命的結(jié)果，是一個優(yōu)于Fourier分析的有效的分析工具，已廣泛地應(yīng)用于眾多的科學和工程領(lǐng)域，并取得了卓越的成效。它的應(yīng)用范圍主要包括：(1)小波在數(shù)學領(lǐng)域中的應(yīng)用4，如如求解微分方程、積分方程、函數(shù)逼近、分形、混沌問題、概率小波、非線性分析等等。(2)小波在信號處理中的應(yīng)用56，包括對信號進行分析與檢測、識別、信號的濾波去噪、

22、地質(zhì)勘探、機械故障分析、地震檢測等等。(3)小波在圖象處理中的應(yīng)用，其中包括圖象邊緣信息提取與檢測、圖象數(shù)據(jù)壓縮、圖象去噪、圖象編碼、信息保密等等。(4)小波在通信中的應(yīng)用7，如CDMA、自適應(yīng)均衡、擴頻通信、分形調(diào)制等方面的應(yīng)用。小波分析是不同學科，不同領(lǐng)域的交流與交叉學科發(fā)展的結(jié)果，是科學家、工程師與數(shù)學家們共同創(chuàng)造的，是理論與實踐的相互促進與激勵的產(chǎn)物。經(jīng)過許多學科領(lǐng)域十多年的共同探討研究，重要的數(shù)學形式已經(jīng)建立，理論基礎(chǔ)更加堅實，使得應(yīng)用更加廣泛和深入；反過來，這些應(yīng)用研究也推動了小波理論的不斷豐富和完善。1.3 本文的主要工作在現(xiàn)代科學技術(shù)領(lǐng)域里，電子信息系統(tǒng)的應(yīng)用范圍極為廣泛，主要

23、有通信、導(dǎo)航、雷達、聲納、地震勘探、醫(yī)學儀器、振動工程和射電天文等等。而電子信息系統(tǒng)的發(fā)展進程和信息的利用程度是分不開的，而信息的利用程度又和信號與信息系統(tǒng)的技術(shù)的發(fā)展緊密聯(lián)系。信號是信息的載體，信號處理技術(shù)的發(fā)展為電子信息系統(tǒng)的發(fā)展指明了方向，信號處理技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用水平在一定意義上是一個國家和社會的科技水平的重要標志之一。而信號處理已成為現(xiàn)代科學中重要的學科分支之一，并且，隨著信號處理理論和方法的日趨系統(tǒng)化，信號處理進入了一個新的發(fā)展時期，同時成為信息科學中發(fā)展最迅速的學科之一。隨著其應(yīng)用領(lǐng)域的不斷擴大，也促使人們在理論和方法上向更高層次的探索，人們從剛開始研究高斯噪聲、平穩(wěn)信號等較理想的

24、狀況轉(zhuǎn)而去研究非平穩(wěn)、非高斯信號以及時變、非因果、非線性系統(tǒng)等這些已成為現(xiàn)代信號處理的熱點的較復(fù)雜的情形。而使研究這些熱點問題成為可能的是數(shù)學工具和方法的不斷發(fā)展和完善，特別是近幾年來蓬勃發(fā)展起來的小波分析，它是分析非平穩(wěn)信號的無與倫比的強有力的工具，為信號處理領(lǐng)域帶來了新生，推動著信號處理進入嶄新的歷史發(fā)展時期，小波分析成為繼Fourier分析之后的又一具有變革意義的數(shù)學方法和工具，是當前信號處理領(lǐng)域中非常盛行的解決問題所采用的分析方法。本文主要側(cè)重于小波分析在信號處理中的應(yīng)用研究。本文第一章是緒論部分，主介紹了小波的發(fā)展歷史，小波分析的一些特性以及小波分析在一些領(lǐng)域中的應(yīng)用情況，并對本文的

25、全部工作做一簡單的概述總結(jié)。本文第二章主要是介紹小波分析的一些相關(guān)基本理論，主要包括：多分辨分析的內(nèi)容、連續(xù)小波變換和離散小波變換以及小波包分析的知識，還給出了小波變換的快速算法及其兩種具體的實現(xiàn)方法。本文第三章簡要介紹了MATLAB以及其包含的小波函數(shù)。本文第四章主要介紹了小波包對多頻率信號的提取方法。2 小波分析理論簡介2.1 時頻分析基礎(chǔ)在介紹小波之前，我們先來介紹一下時頻分析，為了克服Gabor變換和小波變換用于時變信號無法同時獲得高的時間分辨率和頻率分辨率的缺陷,使基函數(shù)能自適應(yīng)選取, S. Qian、D. Chen和Mallat幾乎同時提出了以投影能量最大為準則的自適應(yīng)投影信號分解

26、法。自適應(yīng)投影分解法將任一給定信號s(t)表示為一組基元函數(shù)的線性組合 (2-1)式中:為分解系數(shù);為第n個基原子。通常基原子集是一無窮集,最大投影匹配原則是每次投影前都在信號集中選擇最佳的投影使得投影值最大。經(jīng)過首次分解后,信號為 (2-2)對殘余量Rs采用同樣的原則,進行分解,這樣經(jīng)過逐次分解,信號就可以表示為N個基函數(shù)的線性疊加,當殘余量足夠小時,信號就近似表示信號原子的線性疊加。 1998年Norden E.Huang首次提出了經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法,主要思想是把一個時間序列的信號,分解成一組穩(wěn)態(tài)和線性的數(shù)據(jù)序列集,即本征模函數(shù)。 經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的方法:首先找出信號s(t)的所有極大值點和極小

27、值點,將其用三次樣條函數(shù)分別擬合為原數(shù)據(jù)序列的上、下包絡(luò)線,上下包絡(luò)線的均值為平均包絡(luò)線m1;將原數(shù)據(jù)序列減去m1,可得到一個去掉低頻的新數(shù)據(jù)序列h1,即h1=s(t)-m1。重復(fù)上述過程,直到最后一個數(shù)據(jù)序列不可分解。這樣,把原始信號分解成多個序列,對每個序列進行W inger分析,組合形成消除了干擾項的原信號的時頻分布。 參數(shù)模型法的分辨率不受采樣頻率和采樣點數(shù)的限制,特別適用于短數(shù)據(jù)序列的譜估計,可獲得高的譜分辨率。對非平穩(wěn)隨機信號,在短數(shù)據(jù)序列段內(nèi)可認為是平穩(wěn)隨機時,所取短數(shù)據(jù)序列沿整個信號序列滑動,就形成了信號的自適應(yīng)譜。 T. S. Rao和Grenier將平穩(wěn)信號的參數(shù)建模方法推

28、廣到非平穩(wěn)信號,擴展為時變參數(shù)模型情況。首先對信號建立時變的差分方程模型,通過參數(shù)估計技術(shù)獲得模型的系數(shù),然后求每個時刻的參數(shù)譜,最終得到信號的聯(lián)合時頻譜。 由于時變的ARMA模型參數(shù)估計非常麻煩,且方法較少。在綜合考慮模型參數(shù)估計的計算速度、算法的簡單性以及效率等因素后,人們常首選非平穩(wěn)信號的時變AR模型法。 最常用的時變參數(shù)估計方法是將參數(shù)作為一些已知函數(shù)(基函數(shù))的線性加權(quán)組合近似。將時變參數(shù)假設(shè)為一組基時間函數(shù)的線性組合,可將線性非平穩(wěn)時變問題轉(zhuǎn)化為線性平穩(wěn)時不變問題。該方法將系數(shù)假定為一種確定性的變化過程,從理論的觀點來看,將其應(yīng)用于非平穩(wěn)信號的系數(shù)估計不夠充分。 另一種方法是將時變

29、參數(shù)可看成是隨機的,作為一個由噪聲激勵的有限階時不變線性系統(tǒng)的隨機輸出,根據(jù)對一類時變時間序列模型結(jié)構(gòu)特點的研究,將時變AR模型改寫為時變線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程,因此參數(shù)估計就轉(zhuǎn)化為對時變線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計。采用卡爾曼濾波方法,給出時變AR模型的參數(shù)估計公式,用卡爾曼濾波器來求解時變參數(shù)。2.2 多分辨分析1998年，Mattle與Meyer合作提出了多分辨分析的框架，其主要思想是：從L2 (R)某個子空間出發(fā)，在這個子空間先建立起基底，然后利用變換，再把基底擴充到L2 (R)中去，最終將L2 (R)分解為一串具有不同分辨率的子空間序列。小波分析能夠為L2 (R)提供一個結(jié)構(gòu)簡單且具有良好局部性質(zhì)

30、的正交基。為此我們從多分辨分析開始?？臻gL2 (R)的多分辨分析(簡稱MRA)是指L2 (R)中的滿足如下條件的一個空間序列： (1)一致單調(diào)性： (2-3) (2)平移不變性： (2-4) (3)伸縮相關(guān)性： (2-5) (4)逼近性： (2-6) (5)Riesz基的存在性：存在，使是的Riesz基 (2-7)從條件(2)我們可以得出(x)(稱為尺度函數(shù))滿足下面的雙尺度方程： (2-8)通過條件(2)(3)(5)，我們可以證明，存在尺度函數(shù)，使它的平移系:j, k Z構(gòu)成所有規(guī)范正交基。但因為僅僅是的單調(diào)的嵌套子空間序列，而不是它的正交分解，所以不可能由中的基合成L2 (R)的規(guī)范正交基

31、。因此，MRA就從通過正交補的方法構(gòu)造出的正交分解子空間序列，即所謂的小波子空間序列。具體的做法就是要從的基構(gòu)造出的基，然后合成全空間L2 (R)的基小波基。設(shè)是在中的正交補，即 (2-9)則可得到小波函數(shù)(x)的雙尺度方程： (2-10)定理2.1.1：如果(x)為雙尺度方程，記為低通濾波器傳遞函數(shù)H (w)的脈沖響應(yīng)， 則H (w)滿足下列兩個性質(zhì)：性質(zhì)1：H(0)=1性質(zhì)2：定理2.1.2：設(shè)為L2 (R)的一個多分辨分析，記G (w)為H (w)相應(yīng)的共軛濾波器，稱為帶通濾波器，記則存在使為的規(guī)范正交基。令，則為的規(guī)范正交基。其中， (2-11)(x)的Fourier變換為 (2-12

32、)經(jīng)過上述的過程，我們構(gòu)造出了L2 (R)的規(guī)范正交基小波基。其實域表達式為： (2-13)所以多分辨分析為小波基，尺度函數(shù)和小波函數(shù)的構(gòu)造及小波分析的應(yīng)用提供了統(tǒng)一的框架，是小波分析的核心。小波多分辨分析以其特有的方式將小波函數(shù)和尺度函數(shù)、兩個特定的空間序列、雙尺度函數(shù)和相應(yīng)的濾波器組聯(lián)系在一起。有了尺度函數(shù)，小波函數(shù)的導(dǎo)出就容易了。但實際上大多尺度函數(shù)無顯式表達式，它們只是通過選擇系數(shù)作為(2-5)式的解來定義的，在實際應(yīng)用中常采用這個方法。所以由(2-5)(2-7)(2-8)式就可以確定小波基了，其中 (2-14)稱為高通濾波器沖擊響應(yīng)。這樣，就得到了L2 (R)的正交分解。 2.3 連

33、續(xù)小波變換與離散小波變換對于小波概念的引入，除了通常從上述多分辨分析(MRA)這一途徑外，還可以通過連續(xù)小波的定義出發(fā)。定義2.2.1：設(shè)L2 (R)為一個可測的、平方可積的一維函數(shù)空間，設(shè)，由滿足的函數(shù)(x)平移、伸縮產(chǎn)生的函數(shù)族 (2-15)稱為連續(xù)小波。滿足允許性條件 (2-16)的(x)稱為母小波。其中，a、b分別稱為尺度因子和平移因子。是(x)的傅立葉變換。若將式(2-15)中的參數(shù)a、b離散化，取離散值： (2-17)就得到了離散小波： (2-18)在定義2.2.1的基礎(chǔ)上，函數(shù)f (x)在L2 (R)上的連續(xù)小波變換定義為： (2-19)設(shè)(x)滿足允許性條件，令，則 (2-20

34、)為f的卷積型小波變換。若將式(2-20)中的參數(shù)a,b離散化，取離散值，這里，擴展步長，是個固定值，并總假定，就得到了離散小波變換： (2-21) 其中為相應(yīng)的離散小波函數(shù)，c是一個與f無關(guān)的常數(shù)。連續(xù)小波變換對信號f在小波基上的展開具有多分辨的特性，這種特性正是通過尺度因子a和平移因子b實現(xiàn)的。通過a、b的變化就得到了小波變換下不同的時頻信息，從而實現(xiàn)對信號f的局部化分析。但在實際運用中，尤其是在計算機上實現(xiàn)時，連續(xù)小波必須加以離散化。需要強調(diào)的是，這一離散化都是針對連續(xù)的尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b的，而不是針對時間變量x的。因此，離散小波變換具有更加重要的應(yīng)用價值和實際意義。在實際中通過對連

35、續(xù)的尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b采用二進制動態(tài)采樣網(wǎng)格。而得到的二進小波不同于連續(xù)小波的離散小波，它只是對尺度參數(shù)a進行了離散化，而對時間域上的平移參量b仍保持連續(xù)變化，因此二進小波不破壞信號在時間域上的平移不變量，這也正是它同正交小波基相比所具有的獨特優(yōu)點。二進小波將頻率軸按二進制離散化，它有很多優(yōu)良性質(zhì)，是離散小波中常用的一種形式。2.4 小波變換的快速算法1989年，Mallat在圖象分解和重構(gòu)的塔式算法啟示下，基于多分辨分析框間架提出了如今以他名字稱謂的算法Mallat算法。該算法大大簡化了小波系數(shù)的計算，在小波分析中的地位就相當于FFT在經(jīng)典傅氏分析中的地位，為小波的應(yīng)用開辟了一條捷徑。可

36、以毫不夸張地說，如果沒有快速小波變換算法，小波分析也就只能是一種理論擺設(shè)。下面我們給出Mallat算法的基本思想和一些重要的公式。 假設(shè)多分辨分析中是標準正交的，對應(yīng)的小波基函數(shù)為。由于構(gòu)成L2 (R)的一組標準正交基，因而對任給的函數(shù)(信號)f L2 (R)，都可以用來分析。因為對于某一特定的信總是只具有有限的分辨率，所以假定 (2-22) 式(2-22)稱為f (x)的尺度函數(shù)展開表示。由多分辨分析知 (2-23)故f (x)又可以表示為 (2-24)其中，。式(2-24)稱為f (x)的小波級數(shù)展開表示。它用f (x)在不同分辨層上的投影函數(shù)的疊加來表示f (x)，并隨著j的增大，越來越

37、接近f (x)，即有 (2-25)而Mallat的分解和重構(gòu)算法就是基于各層分解系數(shù)之間的關(guān)系的研究而構(gòu)造出的結(jié)晶。由雙尺度方程 (2-26) (2-27)可得 (2-28)這個算法稱為Mallat分解算法。利用該分解算法可以很容易地由中的計算出各個不同分辨層上的小波展開系數(shù)和在較”粗”尺度子空間中的尺度函數(shù)展開系數(shù)。Mallat分解算法的過程可用圖2.1表示。由于 (2-29) 于是我們得到 (2-30)用f分別和式(2-32)兩邊做內(nèi)積，則有 (2-31)這就是Mallat重構(gòu)算法。一般來講，Mallat算法有兩種不同的具體實現(xiàn)方式，分別為矩陣方法和卷積方法。矩陣方法：當我們引入矩陣，其中

38、，并設(shè)為原始的采樣信號時，我們就可以得到Mallat分解算法的簡潔的矩陣分解形式： (2-32)其中，和分別為尺度j上的逼近系數(shù)和小波系數(shù)的列陣形式。H和G稱為濾波器系數(shù)矩陣。相應(yīng)的重構(gòu)公式為 (2-33)其中H*和G*分別是H和G的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，有關(guān)系 (2-34)只有正交小波才滿足上述結(jié)論，對于其它非正交小波而言，重構(gòu)公式需變?yōu)?(2-35)其中稱為綜合濾波器，且滿足 (2-36)其卷積實現(xiàn)方法為：若設(shè)(n N)為原始信號f的采樣序列，為其在尺度j上的逼近系數(shù)，(n N)在尺度j上的小波變換系數(shù)，那么離散信號序列構(gòu)成了原信號的二進小波變換。小波快速算法的基本思想是在每一尺度j上，把信號分解

39、為下一尺度和，具體的卷積分解算法如下： (2-37)其中，J為最優(yōu)分解尺度，和分別表示h和g中每相鄰兩個系數(shù)之間插入個零構(gòu)成的新的濾波器。相應(yīng)地，卷積型小波快速算法的重構(gòu)算法公式如下： j=0，1，J (2-38)其中，和分別表示和的共軛。上述重構(gòu)公式只適用于正交小波的情況，對于非正交小波，則要采用重構(gòu)小波對應(yīng)的濾波器系數(shù)和，相應(yīng)的重構(gòu)公式變?yōu)椋?j=0，1，J (2-39)由矩陣方法實現(xiàn)Mallat算法時，每分解一次小波系數(shù)的長度就減半，因此若假設(shè)原始數(shù)據(jù)的長度為的話，小波分解的層數(shù)顯然不能超過。而在用卷積實現(xiàn)小波變換時，就沒有分解層數(shù)的限制。相反，信號與濾波器進行卷積計算的結(jié)果還會使信號的

40、長度略有增加，因此還需要在其兩端作適當?shù)慕財嗵幚?，以便使信號?jīng)過小波變換之后其長度保持不變。還需要指出的是，以上兩種方法實現(xiàn)Mallat算法過程中，均需要對原始信號或圖象作一定的邊界延拓，否則會出現(xiàn)明顯的邊界效應(yīng)8。2.5 小波包分析短時傅立葉變換對信號的頻帶劃分是線性間隔的，而小波分析雖然可以對信號提供較短時傅立葉變換更有效的時頻分析，但由于其尺度是二進制變化的，所以在高頻頻段其頻率分辨率較差，而在低頻頻段其時間分辨率較差，即小波分析是對信號的頻帶進行的、具有等結(jié)構(gòu)的指數(shù)、等間隔劃分的。而小波包分析則是對小波分析中沒有細分的部分進一步分解，將信號的頻帶進行多層次劃分，從而為信號提供了一種更加

41、精細的時頻分析方法，并能夠根據(jù)被分析信號的特性，自適應(yīng)地選擇相應(yīng)頻帶，使之與信號頻譜相匹配,提高了時頻分辨率，因此小波包分析具有更加廣泛的應(yīng)用價值9。在多分辨分析中，多分辨分析是按不同的尺度因子j把空間分解為所有小波子空間的正交和的其中小波子空間也稱為小波函數(shù)的閉包?，F(xiàn)在我們希望對小波子空間按照二進制再進行頻率的細分以達到提高頻率分辨率的目的。定義2.4.1：由方程 (2-40) (2-41)定義的函數(shù)序列稱為由正交尺度函數(shù)確定的正交小波包，由于是由唯一確定，所以又稱為關(guān)于序列的正交小波包。 正交小波包具有下面的幾個性質(zhì)：定理2.4.1：設(shè)非負整數(shù)n唯一的二進制表示為 0或1 (2-42) 則

42、小波包的傅立葉變換為： (2-43) 該定理表明，的傅立葉變換可由和來表示。下面的定理2.4.2將表明，對于任意的非負整數(shù)n，保持尺度函數(shù)的正交性。定理2.4.2：設(shè)是由標準正交尺度函數(shù)(t)生成的小波包，對于任意的非負整數(shù)n，則有 (2-44)其中表示同一個變量。下面的定理2.4.3則表明，尺度函數(shù)和小波函數(shù)之間的正交性可以擴展到和之間的正交性。定理2.4.3：設(shè)是由標準正交尺度函數(shù)(t)生成的小波包，則對于任意的非負整數(shù)n，有 (2-45)所以由以上定理就可以得到，小波包的平移系就構(gòu)成了子空間L2 (R)的一組規(guī)范正交基。也就是說，小波包的伸縮平移系即為小波庫。定理2.4.4：若n為任意的

43、非負整數(shù)，則有 (2-46)推論2.4.1：對于每個j =1,2,J，有 (2-47)小波包把小波分解中的小波子空間進一步分解，從而將波子空間對應(yīng)的頻帶分割更細，提高了信號處理的頻率分辨率，成功地解決了小波變換固有的“高頻率低分辨”這一時頻分析的缺陷。正交小波包理論是小波變換的精彩延伸，是分析，處理信號的更有效的工具。小波包是包含不同型時頻原子的一大類正交基，因此可以比較信號在這些極其豐富的正交小波包基下的分解的優(yōu)劣，并據(jù)此選擇出最理想的小波包去分析信號，小波包是通過沿頻率軸平滑的分割相平面來分析信號的，最佳小波包基將信號分解成適應(yīng)于信號時頻結(jié)構(gòu)的原子。許多信號其主要能量或信息部分在中頻到高頻

44、范圍內(nèi)，一般的金字塔形的小波樹不太適合，而自適應(yīng)的小波包則是更優(yōu)的選擇。類似于正交小波的Mallat算法，小波包也有分解與重構(gòu)算法。設(shè)信號f (t)在子空間中的系數(shù)為，其中， (2-48)則小波包分解算法為 (2-49)設(shè)信號f (t)在子空間中的系數(shù)為，在子空間中的系數(shù)為，則小波包重構(gòu)算法為 (2-50) 小波包是對小波變換的一種改進，可實現(xiàn)對高頻段信號的分解，因而小波包分解可對信號在全頻帶內(nèi)進行正交分解。由小波包理論，小波包分解由下式確定 (2-51)式中：和，為小波包分解序列，對任一尺度j，分解為共個等帶寬的頻帶序列，每個頻帶內(nèi)信號的長度降為原始信號的了，采樣間隔增為原信號的，倍，原始信

45、號的分析頻率若為f，則個頻帶的頻率范圍為 (2-52)式中：j是尺度參數(shù)，i=1，2，3，;，表示分解信號的頻帶序列。信號經(jīng)小波包分解后，可由重構(gòu)算法進行信號的重構(gòu)，與分解過程相反，每經(jīng)一層重構(gòu)，信號的數(shù)據(jù)長度增加一倍，經(jīng)j層重構(gòu)可使信號恢復(fù)為原信號的長度和采樣頻率10。根據(jù)小波分析理論，小波變換具有帶通濾波的功能，可將信號劃分成不同的頻帶，不同的尺度參數(shù)決定了不同的濾波頻帶或小波子空間，且正交小波變換確定的各小波子空間無交集，因而，對含有確定性噪聲的信號，即信號中的有用成分和噪聲在頻域上呈現(xiàn)分離特征時，可以通過小波變換將信號分解到不同的頻帶，將有用信號與噪聲分離，將某一或某些頻帶信號(噪聲)

46、置零，由重構(gòu)算法重構(gòu)除噪后的信號.對頻率分辨率要求較高的情況下，采用小波包分解可將頻帶分得更細，以取得更好的濾波效果。3 相關(guān)MATLAB基礎(chǔ)3.1 Matlab簡介Matlab是矩陣實驗室（Matrix Laboratory）之意。除具備卓越的數(shù)值計算能力外，它還提供了專業(yè)水平的符號計算，文字處理，可視化建模仿真和實時控制等功能。 Matlab的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達式與數(shù)學：工程中常用的形式十分相似，故用Matlab來解算問題要比用C、FORTRAN等語言完相同的事情簡捷得多。 當前流行的Matlab6.0/Matlab6.5包括擁有數(shù)百個內(nèi)部函數(shù)的主包和三十幾種工具包(Tool

47、box)。工具包又可以分為功能性工具包和學科工具包。功能工具包用來擴充Matlab的符號計算，可視化建模仿真,文字處理及實時控制等功能。學科工具包是專業(yè)性比較強的工具包，控制工具包，信號處理工具包，通信工具包等都屬于此類。 開放性使Matlab廣受用戶歡迎。除內(nèi)部函數(shù)外，所有Matlab主包文件和各種工具包都是可讀可修改的文件，用戶通過對源程序的修改或加入自己編寫程序構(gòu)造新的專用工具包。一種語言之所以能如此迅速地普及，顯示出如此旺盛的生命力，是由于它有著不同于其他語言的特點，正如同F(xiàn)ORTRAN和VC等高級語言使人們擺脫了需要直接對計算機硬件資源進行操作一樣，被稱作為第四代計算機語言的Matl

48、ab，利用其豐富的函數(shù)資源，使編程人員從繁瑣的程序代碼中解放出來。Matlab給用戶帶來的是最直觀，最簡潔的程序開發(fā)環(huán)境。以下簡單介紹一下Matlab的主要特點。 (1) 語言簡潔緊湊，使用方便靈活，庫函數(shù)極其豐富。Matlab程序書寫形式自由，利用起豐富的庫函數(shù)避開繁雜的子程序編程任務(wù)，壓縮了一切不必要的編程工作。由于庫函數(shù)都由本領(lǐng)域的專家編寫，用戶不必擔心函數(shù)的可靠性。可以說，用Matlab進行科技開發(fā)是站在專家的肩膀上。 (2) 運算符豐富。由于Matlab是用C語言編寫的Matlab提供了和C語言幾乎一樣多的運算符，靈活使用Matlab的運算符將使程序變得極為簡短。 (3) Matla

49、b既具有結(jié)構(gòu)化的控制語句（如for循環(huán)，while循環(huán)，break語句和if語句），又有面向?qū)ο缶幊痰奶匦浴?(4) 程序限制不嚴格，程序設(shè)計自由度大。例如，在Matlab里，用戶無需對矩陣預(yù)定義就可使用。 (5) 程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各種型號的計算機和操作系統(tǒng)上運行。 (6) Matlab的圖形功能強大。在FORTRAN和C語言里，繪圖都很不容易，但在Matlab里，數(shù)據(jù)的可視化非常簡單。Matlab還具有較強的編輯圖形界面的能力。 (7) Matlab的缺點是，它和其他高級程序相比，程序的執(zhí)行速度較慢。由于Matlab的程序不用編譯等預(yù)處理，也不生成可執(zhí)行文件，程序為解釋執(zhí)行，所以速度較慢。 (