彈性力學(xué)及有限元方法空間問題

1、空間問題的有限單元法1 空間問題三維應(yīng)力狀態(tài) 實(shí)際問題本質(zhì)上都是立體的、空間的。對承受載荷的彈性體，應(yīng)有三維應(yīng)力狀態(tài)。對彈性體內(nèi)每點(diǎn)的位移，有u、v、w分別代表對應(yīng)空間坐標(biāo)系x、y、z方向的位移。 u、v、w本身也代表彈性體內(nèi)的位移場，即它們都是物體內(nèi)有效的空間坐標(biāo)的函數(shù)，一般可以表示為：u=u(x,y,z)，v=v(x,y,z)，w=w(x,y,z)?；仡櫩臻g問題的幾何方程為： 按有限元的習(xí)慣寫法算子形式，為： wvuxzyzxyzyxzxyzxyzyx000000000 應(yīng)力矢量定義為： 物理方程為： 彈性矩陣D的一般形式為教材中(4-4)式。2 簡單四面體單元21 形狀函數(shù)一般的三維結(jié)構(gòu)

2、，都可以劃分成很多小的四面體，為四面體單元。大量的小四面體單元拼合起來，可以逼近任意形狀的實(shí)際三維結(jié)構(gòu)體。簡單四面體單元如下圖，其中4個節(jié)點(diǎn)編號設(shè)為k、l、m、n。單元變形時，各節(jié)點(diǎn)都有沿x、y、z的3項位移，單元有4個節(jié)點(diǎn)，共有12項節(jié)點(diǎn)位移，合起來以列陣表示為： 對于這種簡單的四面體單元，其內(nèi)部位移可假設(shè)為坐標(biāo)的線性函數(shù)為滿足完備性條件，應(yīng)取為 上式含12個a參數(shù)，可以由單元的12項節(jié)點(diǎn)位移確定。將4個節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值代入(45a)中的u式，在k、l、m、n 4個節(jié)點(diǎn)上，分別有 由式(45b)求出al、a2、a3與a4，再代回式(45a)，整理后得： 同理，用v式可求得a5到a8 ，用w求得a

3、9到a12 ,為： 用矩陣記法統(tǒng)一表達(dá)為： N為形狀函數(shù)矩陣，可表示為： I為三階單位矩陣，而各節(jié)點(diǎn)的形狀函數(shù)可按下式計算得到，即 如記矩陣 為四面體單元的體積，其他系數(shù)皆可由L確定，如 為矩陣第一行各元素的代數(shù)余子式。同樣可以確定al、bl、cl、dlan、bn、cn、dn等，它們是矩陣L第二、三、四行元素的代數(shù)余子式。 在通常的右手坐標(biāo)系xyz中，按上式計算時，四面體單元的4個節(jié)點(diǎn)排列的順序應(yīng)按右手規(guī)則，以使體積V為正。即由n點(diǎn)看klm平面，應(yīng)使k、l、n為逆時針排列。 簡單四面體單元內(nèi)，位移是坐標(biāo)的線性函數(shù)，單元體的任一三角形界面，變形后仍保持為一平面，且由該面上3個節(jié)點(diǎn)的位移決定。因而

4、相鄰兩單元的三角形交界面上，在變形過程中，其位移是一致的，即兩相鄰單元的位移在交界面上是連續(xù)的，單元滿足相容性條件。簡單四面體單元的形狀函數(shù)滿足完備性又滿足相容性要求，因而用此單元分析三維變形問題時，能收斂于精確解。22 單元剛陣 將表達(dá)式(46)代入幾何關(guān)系式(42)，經(jīng)過微分運(yùn)算，可以得到單元內(nèi)應(yīng)變?yōu)槠渲袘?yīng)變矩陣B是形狀函數(shù)矩陣經(jīng)微分算子矩陣作用所得的結(jié)果。B中任一個子矩陣Bi的顯式應(yīng)為：由V及bi、ci、di等式可見前式，這里Bi的每項元素都是由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)決定的常數(shù)。因而簡單四面體單元內(nèi)，各點(diǎn)的應(yīng)變都是一樣的，這是一種常應(yīng)變單元。 單元內(nèi)應(yīng)變?yōu)槌Ｖ?，按物理方程，單元?nèi)的應(yīng)力也是常值。當(dāng)然，

5、一般受力情況下，三維體內(nèi)有限大小的四面體內(nèi)的應(yīng)力并不是常值，用常應(yīng)力單元來代替它，只是近似的。 對此單元，單元間的應(yīng)力是不連續(xù)的。只有當(dāng)單元劃分得較小時，單元內(nèi)的應(yīng)力才會接近于常值，此時計算的應(yīng)力在單元間的不連續(xù)才會比較小，因而可以作為真實(shí)應(yīng)力分布的近似。 一般，把這種單元應(yīng)力的計算值作為單元中心一點(diǎn)的應(yīng)力近似值是比較適當(dāng)?shù)摹?計算單元剛度矩陣的公式如前仍為： 這里Ve為單元體積由于簡單四面體單元為常應(yīng)變單元，故積分結(jié)果為： 按節(jié)點(diǎn)分塊，此單元剛陣可以表示為： 其中任一個子矩陣為：23 載荷分配 三維彈性體內(nèi)如受有均布的體積力(如重力)作用，對于這種簡單的四面體單元，可以逐個單元計算出整個單元

6、的全部體積力，再平均分配到4個節(jié)點(diǎn)上，即每個節(jié)點(diǎn)分配14的單元體積力。 如果單元的某個表面作用有均布的面積力(如氣體壓力)，也可將此面上的全部面積力平均分配到相應(yīng)的3個節(jié)點(diǎn)上，即每個節(jié)點(diǎn)分配到三角面上面積力總和的13。如果體積力、面積力不是均布的，則不應(yīng)平均分配，而應(yīng)按做功相等的原則等效分配。 注意前泛函P計算公式中關(guān)于外力功的表達(dá)，有： 為e單元內(nèi)分布體積力和分布面積力分配到單元節(jié)點(diǎn)的載荷，q和p分別為單位體積力和單位面積力。 在討論了單元剛度矩陣及外載荷向節(jié)點(diǎn)的移置的計算公式后，由單元剛度陣去形成整體剛度矩陣及整體節(jié)點(diǎn)載荷向量的形成過程與前平面問題相比無邏輯上的差別。只要在“對號入座”的過

7、程中注意在此每單元有4個節(jié)點(diǎn)，每節(jié)點(diǎn)有3個自由度即可。 關(guān)于邊界條件、約束情況的處理也與前完全類似。 因此，下面再討論某種有限元的時候，我們就不再討論“單元”到“整體”的形成過程了。我們知道：只要在單元水平講清該單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)、節(jié)點(diǎn)自由度、形狀函數(shù)及單元剛度陣等單元的特征就已經(jīng)完全表達(dá)清楚了此單元的特點(diǎn)了。 簡單四面體單元公式簡單，但是精度比較低，單元內(nèi)應(yīng)力為常值且單元間應(yīng)力不連續(xù)。為得到一定準(zhǔn)確度的結(jié)果，往往要求將單元劃分比較小，增加了整個問題求解的自由度，總的計算效益是不理想的。 但是，能很好的逼近任意幾何形狀是它的突出優(yōu)點(diǎn)，是目前大型CAD軟件所附的結(jié)構(gòu)分析模塊的網(wǎng)格自動劃分功能的常用單元

8、。 對三維問題的有限元分析，一般多采用復(fù)雜一些的、精度高一些的單元(如后的三維等參單元)，其綜合效益會更好。3 軸對稱問題 前已講過軸對稱問題。其結(jié)構(gòu)幾何特征是旋轉(zhuǎn)體，即幾何形狀對稱于中心軸。如果旋轉(zhuǎn)體所受的載荷也對稱于中心軸，則其變形也是對稱于此軸的。工程中常見的旋轉(zhuǎn)軸、輪盤、受均勻壓力的旋轉(zhuǎn)體容器等，都屬于軸對稱問題。 如圖42，取柱坐標(biāo)作為參考系。結(jié)構(gòu)受載荷而產(chǎn)生軸對稱變形時，其位移、應(yīng)變、應(yīng)力都與角坐標(biāo)q無關(guān)，而只是徑向坐標(biāo)r與軸向坐標(biāo)z的函數(shù)。陰影部分為通過中心軸的平截面(子午面)。軸對稱變形的每個子午面的變形在柱坐標(biāo)系內(nèi)是完全一樣的。因而，結(jié)構(gòu)雖處于三維應(yīng)力狀態(tài)，但可以只研究其任一

9、個子午面內(nèi)的情況。用位移法，就是只研究這個代表截面的位移求得一個截面的位移分布，也就有了整個三維結(jié)構(gòu)內(nèi)的位移分布，從而可以求得體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變及應(yīng)力。這樣，一個三維問題，就可以轉(zhuǎn)化為一個二維問題。由于結(jié)構(gòu)的變形是對稱于中心軸的，因而子午面內(nèi)各點(diǎn)都只有沿徑向r的位移u和沿軸向z的位移w，一般應(yīng)為截面坐標(biāo)r，z的函數(shù)，即 軸對稱問題中，上述截面內(nèi)任一點(diǎn)p，實(shí)際上代表一個半徑為r的圓周(圖4-2)，當(dāng)此圓周上各點(diǎn)都有徑向位移u時，圓周被拉伸，多出一個環(huán)向應(yīng)變q。有： 全部應(yīng)變的4項分量與兩項位移分量之間的幾何關(guān)系（幾何方程），以矩陣表示為: 軸對稱問題的4項應(yīng)力分量，以列陣表示為： 軸對稱問題的應(yīng)力

10、與應(yīng)變間的物理關(guān)系仍寫為： 其物理關(guān)系矩陣D仍見教材p69.。4 軸對稱問題的簡單三角形單元41 形狀函數(shù) 軸對稱問題的分析，轉(zhuǎn)化為對其任一個子午面的分析，可將此截面剖分為許多三角形單元，可構(gòu)造與前平面問題類似的簡單三角形單元。 單元有3個節(jié)點(diǎn)，每節(jié)點(diǎn)有沿r及z的兩項位移u及w。單元有6個自由度。單元節(jié)點(diǎn)位移可以列陣表示為： 單元內(nèi)位移場由節(jié)點(diǎn)位移插值表示為： 如假定位移為坐標(biāo)的線性函數(shù)，形函數(shù)矩陣N與平面三角形單元的完全相同，只不過需將其中的坐標(biāo)x改為r，y改為z，即：其中D為單元的三角形面積，其他系數(shù)為： 由平面問題的分析可知，這種形狀函數(shù)是滿足單元收斂的充分必要條件，故有限元分析結(jié)果能收

11、斂于真解。42 應(yīng)變與應(yīng)力 將假定的位移代入式(412)，得到單元內(nèi)應(yīng)變?yōu)椋?將應(yīng)變矩陣B按節(jié)點(diǎn)分塊表示為： 由(412)，得到應(yīng)變矩陣B中任一子矩陣Bi 為： 其中bi、ci及D如前，而 按物理關(guān)系式，有應(yīng)力 注意軸對稱問題三角形單元的形函數(shù)雖與平面問題三角形單元相同，但其應(yīng)變、應(yīng)力則不相同的。這里不僅有環(huán)向應(yīng)變q及環(huán)向應(yīng)力sq，而且單元內(nèi)應(yīng)、應(yīng)力并非常值，是r、z的函數(shù)。43 單元剛陣 由于一個三角形單元實(shí)際上代表一個環(huán)狀的單元體，計算單元剛陣時，Ve為圖43所示的環(huán)狀單元體積域。由于單元為一旋轉(zhuǎn)體，其體積元素應(yīng)為： 故單元剛度陣： 計算式為：44節(jié)點(diǎn)載荷 軸對稱結(jié)構(gòu)常受有內(nèi)外表面的分布壓

12、力以及結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)時由離心力而形成的體積分布力，這些分布載荷均應(yīng)在每個單元內(nèi)，按做功等效的原則，分配到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上，形成單元節(jié)點(diǎn)載荷 ，再疊加成整個結(jié)構(gòu)的載荷Q。這與前方法是一致的。 但這里表面壓力與離心力的分配計算都有其特殊性，現(xiàn)說明如下： eQ1表面壓力 如圖，此面分布力分配到e單元各節(jié)點(diǎn)的單元節(jié)點(diǎn)載荷為： 注意到受載荷作用面為旋轉(zhuǎn)面，其面積元素可寫為： 則有： 其中 為截面中三角形單元上受面積力作用的一個邊。 對圖44問題，由于形狀函數(shù)Nn在lm邊上的值為零，故作用在lm邊上的分布載荷分配在n節(jié)點(diǎn)上的載荷亦為零，故此單元節(jié)點(diǎn)載荷為：eLs 工程結(jié)構(gòu)常受有面分布的壓力其方向與受力面垂直，當(dāng)單元

13、受力邊 與中心軸z有任意夾角。(圖44)時，如巳知法向壓力值a，則徑向及軸向力可計算求得，有: 對于圖45所示的單元，單元節(jié)點(diǎn)載荷為eLs 其形狀函數(shù)在lm邊的表達(dá)式為： 完成積分運(yùn)算后得：可見在軸對稱情況下，單元lm面上的均布載荷p向l、m節(jié)點(diǎn)分配的載荷并不相等的。 還應(yīng)注意，由于單元上的一個節(jié)點(diǎn)實(shí)際上代表一個節(jié)圓，因此，這里分配到單元節(jié)點(diǎn)上的各項載荷，都是沿節(jié)圓均勻分布力的總和，而不一定是合力。 這兩個單元節(jié)點(diǎn)載荷的和應(yīng)等于作用在圓環(huán)面均布載荷的總和，即2離心力 如旋轉(zhuǎn)體繞中心軸z轉(zhuǎn)動的角速度為w，則體內(nèi)任一點(diǎn)處單位體積的離心力大小為 ，沿半徑方向而指向外，是一種體積分布力。 按體積分布力

14、移置公式，e單元的離心力分配到e單元各節(jié)點(diǎn)的單元節(jié)點(diǎn)載荷為：r2 為子午截面上單元三角形面積域。 將形狀函數(shù)矩陣N的分塊表達(dá)式代入上式，可得：eS 可見離心力只分配為徑向的節(jié)點(diǎn)載荷，而軸向節(jié)點(diǎn)載荷項皆為零。45 求積問題 計算單元剛度矩陣以及單元節(jié)點(diǎn)載荷時，常要計算三角形域內(nèi)的面積積分，其形式為 一般情況下，上式應(yīng)采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值積分。對簡單三角形單元，上述積分可直接近似求得。如當(dāng)單元較小時，可?。?其中D為三角形單元的面積，而fl、fm、fn則為被積函數(shù)f(r，z)在l、m、n 此3點(diǎn)的值。這也就是在求積時，將被積函數(shù)f(r，z)近似取為l、m、n 這3點(diǎn)處函數(shù)平均值來處理。 有時也可將變量r、z取為 即將被積函數(shù)取為單元中心點(diǎn)的數(shù)值fc，求積時作為常值處理，則近似有： 作為更精確一點(diǎn)的近似，可以將三角形的單元劃分成4個相等的小三角形區(qū)域(圖46)。整個單元的積分應(yīng)為此4個分區(qū)域內(nèi)積分之和。而在每個小三角形區(qū)域內(nèi)