分離變量法-B

1、二階常系數(shù)線性方程的標準形式二階常系數(shù)線性方程的標準形式)(xfqyypy 121212( ),( )( , )( )( )( ),( )( ),( ).y xyxa bky xky xy xyxy xyx ：設為定義在內(nèi)的兩個函數(shù)，：設為定義在內(nèi)的兩個函數(shù)，如果存在非零常數(shù) ,使得,則稱如果存在非零常數(shù) ,使得,則稱線性相關(guān)，否稱線性相關(guān)，否稱定定則線性無關(guān)則線性無關(guān)義義12)0(,( )yy xpyxqyy 設是方程的兩個設是方程的兩個線性無線性無定理定理關(guān)的解，則關(guān)的解，則1122( )( )( )y xC y xC yx12,.CC是方程的通解，其中為任意常數(shù)是方程的通解，其中為任意常

2、數(shù)02 qprr,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy(1) (1) 有兩個不相等的實根有兩個不相等的實根1,r2r兩個線性無關(guān)的特解兩個線性無關(guān)的特解2(40)pq ,11xrey ,22xrey 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy 齊次方程齊次方程特征方程特征方程(2) 有兩個相等的實根2(40)pq 齊次方程的通解為;)(121xrexCCy ,11xrey 特解為12r xyxe(3) 有一對共軛復根1,ri2,ri2(40)pq ,cos1xeyx,sin2xeyx齊次方程的通解為).sincos(21xCxCeyx 特征根為特解為02 qp

3、rr0 qyypy 特征根的情況特征根的情況 通解的表達式通解的表達式實根實根21rr 實根實根21rr 復根復根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx )(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程對應齊次方程, 0 qyypy通解結(jié)構(gòu)通解結(jié)構(gòu)*( )( )( ),y xY xyx 二階常系數(shù)非齊次線性方程*( )( )( )yxypyqyf xY x如果是方程的一個特解，如果是方程的一個特解，是方程對應的齊次方程的通解，則方程的通解是方程對應的齊次方程的通解，則方程的通解為為 研究兩端固定均勻的自由振動.定解問題為： lxxt

4、uxutuulxxuatuttlxx0),(),(0, 0, 00, 000022222 特點: 方程齊次, 邊界齊次. (1) 沒有波形的傳播，即各點振動相位與位置無關(guān)，按同一方式隨時間振動，可統(tǒng)一表示為 ; )(tT (2) 各點振幅 隨點 而異，而與時間無關(guān)，用 X(x) 表示,所以駐波可用 表示。 Xx)()(tTxX駐波的特點：駐波的特點： 端點會引起波的反射，弦有限長，波在兩端點之間往返反射。兩列反向行進的同頻率的波形成駐波。 設 且 不恒為零，代入方程和邊界條件中得)()(),(tTxXtxu ),(txu 0 2 TXaXT 由 不恒為零，有： ),(txu)()()()(2

5、tTatTxXxX XXTaT 2 取參數(shù)這個式子的左端是這個式子的左端是x的函數(shù)的函數(shù),右端是右端是t的函數(shù)，何時恒等？的函數(shù)，何時恒等？ 0)(0,(0) lXX成成立立 0)()( xXxX . . . 20( )( )Tta T t 0)()(0)()0(tTlXtTX利用邊界條件則 0)(, 0)0(0 lXXXX 特征值問題 參數(shù)稱為特征值.分三種情形討論特征值問題的求解函數(shù)X(x)稱為特征函數(shù) 002121lleCeCCC 由邊值條件 00212ClCC(i) 方程通解為 xxeCeCxX 21)(0 (ii) 時，通解 21)(CxCxX 0 由邊值條件得0)( xXC1 1

6、= =C 2 2=0=0 從而 ， 無意義無意義. 0 , 0)(021 xXCC 無意義無意義0 由邊值條件 0sin021lCC 從而 0 l sin即 , 3 , 21,222，nln (iii） 時，通解 xCxCxX sincos)(21 0 nl 故, 2 , 1,sin)(2 nxlnCxX而, 02 C得再求解T： 0)()(2222 tTlnatTnn 其解為 lt annlt annnBAtT sincos)( 所以 ,sin)sincos(),(321nBAtxulxnlt annlt annn 兩端兩端固定固定弦本弦本的征的征振動振動疊加 lxnlatnnlatnnnB

7、Atxu sin)sincos(),( 1. . 11)(sin)(sinnlxnlannnlxnnxBxA 將 展開為Fourier級數(shù)，比較系數(shù)得 )(),(xx llnnannalnllnlnndBdA0202sin)(sin)( 代入初始條件得： 定解問題的解是Fourier正弦級數(shù)，這是在 x0 0 和 x= =l 處的第一類齊次邊界條件決定的。 lxnlatnnlatnnnBAtxu sin)sincos(),( 1再求解T： 0)()(2222 tTlnatTnn 其解為 lt annlt annnBAtT sincos)( 所以 ,sin)sincos(),(321nBAtxu

8、lxnlt annlt annn 兩端兩端固定固定弦本弦本的征的征振動振動疊加 lxnlatnnlatnnnBAtxu sin)sincos(),( 1. . 11)(sin)(sinnlxnlannnlxnnxBxA 將 展開為Fourier級數(shù)，比較系數(shù)得 )(),(xx llnnannalnllnlnndBdA0202sin)(sin)( 代入初始條件得： 定解問題的解是Fourier正弦級數(shù)，這是在 x0 0 和 x= =l 處的第一類齊次邊界條件決定的。 lxnlatnnlatnnnBAtxu sin)sincos(),( 1程程方方偏微分偏微分 變量變量分離分離）解解特征解（解特征

9、解（解12 變量變量分離分離（特征值問題）（特征值問題）12程程方方常微分常微分程程方方常微分常微分 齊次邊齊次邊界條件界條件件件條條2解解1解解（特征函數(shù)）（特征函數(shù)） 特特征征值值特特征征解解所所求求解解 分離變量法圖解分離變量法圖解 系數(shù)代入初始條件確定未知得到解0)()0(, 0)()0()()0( lll 則無窮級數(shù)解lxnlatnnlatnnnBAtxu sin)sincos(),(1 為如下混合問題的解 lxxulxxuuulxuautttlxxxxtt0)(0)(00000002 上， ，且 23)(,)(CxCx ,l0定理定理：若在區(qū)間lxnnnnStN sin)sin(

10、弦上各點的頻率 和初位相 都相同，因而沒有波形的傳播現(xiàn)象。 n nS弦上各點振幅 因點而異 |sin|lxnnN 在 處，振幅永遠為0 lxnlnnlnl,.,0)1(2 lxnltnanltnannBAtxu sin)sincos(),( 二、解的物理意義二、解的物理意義 節(jié)點腹點特點特點1222() ,nnAnannnnnBlNABSarctg 其中其中最大振幅最大振幅頻率頻率初位相初位相在 處，振幅最大,為 nlnnlnlx2)12(232,., nNu( (x, ,t ) )是由無窮多個振幅、頻率、初位相各不相同的駐波疊加而成。 1nntxutxu),(),(n1 1的駐波稱為基波,

11、n11的駐波叫做n次諧波. 例例1 1 設有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為 ，求弦做微小橫向振動時的位移，其中 與弦的材料和張力有關(guān) . 100010 xxx100002a解解 設位移函數(shù)為 ，則需要求解下列定解問題txu,. 0|,100010|; 0|; 0,100,1000001002222totxxtuxxuuutxxutu100330,110sin4500010,5nnnCxxxdxnn當為偶數(shù)，當為奇數(shù)。因此，所求的解為： = txu,tnxnnn1210cos1012sin12154033代入公式計算代入公式計算,1000,102 al 1001050001

12、0sin)( dDnnn解：令 , 得 )()(),(tTxXtxu 0)()( 0)(0)0 2 tTlXtTXTXaXT化簡: 002 )()( lXXXXTaT例2：研究兩端自由棒的自由縱振動問題. )()(xuxuuuuautttlxxxxxxtt 0002000第二類邊界條件第二類邊界條件引入?yún)?shù) 得 XXTaT 2得C1 =C 2=0 從而 ，無意義 0)( xX分離變量： 0)()0(0 lXXXX (i) 時， 0 xxeCeCxX 21)( 0)(0)(2121lleCeCCC 由邊值條件02 TaT (ii) 時, , 0 xDCxX00 )(000CxXlXX )()()

13、(iii) 時, 0 xCxCxX sincos)(21 0sin012lCC 則 而 , 01 C.), 2 , 1(0sin nnll 2122,( )cosnn xX xCll 由邊值條件由邊值條件從而本征值 ,222102 nln 本征函數(shù) ,cos)(101 nlxnCxX T 的方程00 T002222 nTlanTnn 其解為 ,sincos)(21 nlatnBlatnAtTnnn tBAtT000 )(所以 tBAtxu000 ),(,cos)sincos(),(21 nlxnlatnBlatnAtxunnn 100nnnlxnlatnBlatnAtBAtxu cos)sin

14、cos(),(故代入初始條件: )(sin)(cos1010 xlxnBlanBxlxnAAnnnn 將 展開為傅立葉余弦級數(shù)，比較系數(shù)得 )(),(xx lldlBdlA000000)(1)(1 lnlnndlnanBdlnlA00cos)(2cos)(2 解為傅立葉余弦級數(shù)，由端點處的二類齊次邊界條件000 lxxxxuu決定. 100nnnlxnlatnBlatnAtBAtxu cos)sincos(),(例例1 1細桿的熱傳導問題 長為 l 的細桿，設與細桿線垂直截面上各點的溫度相等，側(cè)面絕熱, x=0 端溫度為0，x=l 端熱量散發(fā)到周圍介質(zhì)中，介質(zhì)溫度恒為0 ，初始溫度為 求此桿的

15、溫度分布。 ),(x 解：定解問題為 xuhuuutlxuautlxxxxxt002|0| )(, 0|)0,0(0, 0 XX 02 TaT (0)0,X . 0)()( lhXlX得本征問題 0(0)0,( )( )0XXXX lhX l 由 及齊次邊界條件，有 0 ),(txu設 且 ),()(),(tTxXtxu ,),(0 txu并引入?yún)?shù)分離變量代入方程當 或 時, 0 0 0)( xX當 時, 0 xBxAxX sincos 由 得 0)()( lhXlXcossin0lhl 由 得 故 (0)0X 0,A ( )sinX xBx 即 tg,hl 令,rl 1hl tgrr 有函

16、數(shù)方程由圖1看出，函數(shù)方程有成 對 的 無 窮 多 個 實 根,321rrr 2212122,nnrrllrl 故本征值為： ryry2rytg 12r 1r 1r2r圖圖 1 1對應的本征函數(shù) , 2 , 1,sinnxBxXnnn的方程： tT02 TaT tannneCtT2解為故 1sin),(2nntanxeatxun由初始條件得 1( ,0)sin(*)nnnu xxax 可以證明函數(shù)系 在上正交，), 2 , 1(sinnxn, 0lsinnx在（*）式兩端乘以 并在 0, l 上積分, 得na 且模值 022sinlnnnadhlh 201sind2lnnnhLx xlh（二）

17、利用邊界條件,得到特征值問題并求解 （三）將特征值代入另一常微分方程， 得到 ( ),nnT tx tu、（四）將 疊加，利用初始條件確定系數(shù),nx tu（一）將偏微分方程化為常微分方程（方程齊次）分離變量法解題步驟分離變量法解題步驟（邊界條件齊次）分離變量法適用范圍：偏微分方程是線性齊次的，并且邊界條件也是齊次的。其求解的關(guān)鍵步驟：確定特征函數(shù)和運用疊加原理。注注222lnsinnnBxl, 2, 1n222412ln xlnBn212sin, 2, 1, 0n222lncosnnBxl, 2, 1, 0n左端點左端點右端點右端點特征值特征值特征函數(shù)特征函數(shù) 取值范圍取值范圍 一一 一一一一

18、 二二 二二 二二二二一一總結(jié)總結(jié)：端點邊界條件與特征值，特征函數(shù)的關(guān)系1. 矩形域上拉普拉斯方程的邊值問題矩形域上拉普拉斯方程的邊值問題例例1 1矩形薄板穩(wěn)恒狀態(tài)下溫度分布.設薄板上下底面絕熱，一組對邊絕熱，另一組對邊的溫度分別為零攝氏度和 ，求穩(wěn)恒狀態(tài)下薄板的溫度分布。 )(xf定解問題為： 000)0 ,0(000axxxxbyyyyxxuuuxfubyaxuu解0,0XXYY再利用 x = = 0 和 x = = a 處的齊次邊界條件得 設 且 ),()(),(yYxXyxu 代入方程, 0),(yxu 0, 000 aXXXX 故 0, 00 aXX本征問題本征問題當 時， ， 0

19、0)( xX當 時， 0 222/ )(ann , 2 , 1 , 0,cos nxanCxXnn 將 代入 有解： n 0 YY DyCyY0 )0(, neBeAyYyanyann 1cos,nyannyannxaneBeADCyyxu 考慮邊界條件（y方向上），有 1cos)(0 ,nnnxanBADxfxu 1,0cosnnbbaannnnu x bCbDA eB exa ,2100 afdfaD 0 DCb 0cos20yannyannannneBeAfdanfaBA ,2shn banneAfn banabnnfabneB sh2 ,20fD ,20bfC 解得比較系數(shù)所以解為 1

20、0cosshsh2,nnxanfabnaybnfbybyxu 作為例子取 ， ，可求得 ba xxxf0,0 f,2 , 1,1)1(22 nnfnn 于是 12cosshsh11221,nnnxnynnyyxu 考察一個半徑為r0的圓形薄板穩(wěn)恒狀態(tài)下的溫度分布問題, 設板的上下兩面絕熱, 圓周邊界上的溫度已知為 , 02,02fff 求穩(wěn)恒狀態(tài)下的溫度分布規(guī)律。2. 圓域上的拉普拉斯方程的邊值問題222022200 ()|( )xxyyxyruuxyruf采用平面極坐標。cossinxryr令 furrurrurrurr0|0011022222 分離變量 代入方程得齊次偏微分方程化為兩個常微

21、分方程:（一）將偏微分方程化為常微分方程( , )( ) ( )urRr 0 11 2RrRrR 2RrRRr0 2RrRRr0 (2 )( ) ( ,2 )( , )urur 由 可知，又圓內(nèi)各點的溫度有界，因而 (0, )u 所以( )R r(0)R 應滿足條件 （二）利用條件,確定特征值問題并求解 0(2 )( ) 20,(0).r RrRRR 得到兩個常微分方程的定解問題 (1)(2)01) 時，無非零解；特征值特征函數(shù)2) 時，0 有非零解 00a cossin,ab 3) 時 ，0通解 nbnannnsincos2nn以 為周期, 必須是整數(shù) , 2 1, 2,n （三）將特征值代

22、入另一常微分方程，得 ( ),nnR rur、得到方程通解 滿足有界性條件的通解 n將代入方程 .0, 0 2RRrRRrnrdcRln000nnnnnrdrcR1, 2 ,n nnnrcR ,2, 1, 0n,sincos,2,00nbnarruarunnnn,2, 1nn 滿足周期性條件 2和有界性條件 0R的特解為 （四）將 疊加, 利用邊界條件確定系數(shù),nur滿足周期性和有界性條件的通解為: 利用邊界條件，得由此可以確定系數(shù) 10sincos2,nnnnnbnararu 100sincos2nnnnnbnaraf 2001dfa 200cos1dnfrann 200sin1dnfrbn

23、n注: 經(jīng)過化簡, 方程的解可以表示為 dttrrrrrrtfru200220220cos221,稱為圓域內(nèi)的泊松公式. 100sincos2nnnnnbnaraf 2001dfa 200cos1dnfrann 200sin1dnfrbnn一常用的重要公式一常用的重要公式 1牛頓萊布尼茲公式牛頓萊布尼茲公式 2分部積分公式分部積分公式 或 bafx dxF bF abbbaaaudvuvvdubbbaaauvdxuvvudx 3格林公式格林定理格林公式格林定理 設 既是 型又是 型的平面區(qū)域，如果 與 都在 及其邊界 上有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則其中 的方向是逆時針的。CGQPPdx Qdydxd

24、yxyGX Y ,p x y,Q x yCCG或者其中 是曲線 的單位法向量或者：coscosCGPQPQdsdxdyxycos ,cosnCGPQPdyQdxdxdyxyC4二重積分的分部積分公式二重積分的分部積分公式 設 是 型又為 型的平面區(qū)域如果 是在 及其邊界上有連續(xù)的一階偏導數(shù)的函數(shù)，則有：,GHCDGHdxdyGdyHdxxyDGHdxdyxyDDX Y 證明：因為 又由格林公式有：DGHdxdyxyDDGHGHdxdydxdyxyxyCDGHdxdyG dy H dxxy 5奧高公式奧高公式 設三維區(qū)域 是由按塊光滑的閉曲面 所圍成的 是由有限片組成的，每一片可表成 ，而 以及

25、它的一階微商在平面 的對應區(qū)域上直到界限是連續(xù)的）另有 及 和 是在 上連續(xù)的，在 內(nèi)有連續(xù)偏導數(shù)的任意函數(shù) 則有如下的奧-高公式,zx y, x yxy, ,P x y z, ,Q x y z, ,R x y z _,P Q RCC（ 即（） ）G其中 是 在 點 處的外法向量PQRdPdydz Qdxdz Rdxdyxyzcos,cos,cos,Pn xQn yRn z dscos,cos,cos,nn xn yn z, ,x y z 6格林第一公式三重積分的分部積分公式格林第一公式三重積分的分部積分公式在上述的奧-高公式中令 ， ，其中 和 以及它們的所有一階偏導數(shù)在閉區(qū)域 上是連續(xù)的，

26、它們所有的二階偏導數(shù)在 內(nèi)是連續(xù)的。即 只要注意到顯然的恒等式：vPuxvQuyvRuz, ,u u x y z, ,vv x y z21,u vCC22vuvvuuxxxxx 我們就有如下的格林第一公式 或者：vu vu vu vu vdudsdnx xy yz z u vdxdydzcoscoscosvvvudsxyzgradu gradvdxdydz 其中用到方向?qū)?shù)的公式即：cos ,cos,cosecoscoscosxyzDeffffcoscoscosvvvvnxyz,uuugraduxyz 7格林第二公式格林第二公式 在上述格林第一公式中，交換 的位置，然后兩式消減，我們就得到格林

27、第二公式： 它在位勢方程和調(diào)和函數(shù)的研究中非常重要 uvu vv u d vuuvds 二常用的重要不等式二常用的重要不等式 1 不等式不等式 設 是 上連續(xù)且嚴格遞增的實值函數(shù)，若 則： 其中 是 的反函數(shù)，等式當且僅當 成立 0,0CC f 00,0,0,faCbf C 100abf x dxx dxabff1f bf aYoung在上述不等式中取得到：若取 ，則有： ，其中特例：取 ，則有： 對 ，有： 11pf xpx111p q 11,0,1,1a bppq2pq0 222abab2212abababaqapqp111ppqabbppapppp111 2 不等式不等式 若 ，且 則：

28、.H older0,0,1,2,3,kkabkn111,1ppq11111nnnpqpqkkkkkkkaba b 3 不等式及其推廣不等式及其推廣 若 是正整數(shù)，則： 這個不等式稱為 不等式 推廣：若 并且 ，則： 等式當且僅當 時成立。Bernoulli1,xn 11nxnx Bernoulli2,3,n 111xn 1111nnxxn x 0 x 基本概念與記號一、基本記號與符號。一、基本記號與符號。 1 2 稱為 算子12,nnxRxx xx 1212,nxxxnuuuuDu uu uu 22212nxxxLaplace 稱為哈密頓算符（ 算符） 讀作12,nuuuugraduxxx H

29、amiltomNabla222212nuuuuxxx 3 ， 表示 的邊界 4設 則： 表示在 內(nèi)關(guān)于 連續(xù)的函數(shù)的集合 表示在 內(nèi)關(guān)于 連續(xù)可微的函數(shù)的集合 表示在 上連同邊界關(guān)于 連續(xù)的函數(shù)的集合 類似nR uu xnxR C xx 1CCx 122,CCC 又設 ，則： 表示在 內(nèi)對 次連續(xù)可微，而對 次連續(xù)可微的函數(shù)的集合。 例： 其中 表示關(guān)于 連續(xù)可微，關(guān)于 連續(xù)的函數(shù)的集合。,uu x t ,m nCxtmn2,1C 2,1C 1,0C1,0Cxt 5 6 7 8重指標 ，則可記: 1100CuCu 1,Cv v Cv 在 上具有分塊連續(xù)偏微商 210,CLH12,n 1nii1

30、21212nnnuuxxx 二基本概念二基本概念 1偏微分方程：偏微分方程：含有未知函數(shù)的偏導數(shù)（偏微分）的關(guān)系式（或方程）。 一般形式： 例： , ,0F x u Duu ,0 xya x y ub x y uc x y u 22xyuuu222222120nuuuuxxx 2tuau2ttuau221210yxxxyxyxyyuuu u uuu 00txtxuvvu u121121212, ,0nnnnxxnF x xx u uuuxxx 2偏微分方程的階偏微分方程的階最高階微商的階數(shù) 3偏微分方程的解偏微分方程的解 一個函數(shù)（在方程組是一組函數(shù)）在其自變量 的某變化范圍內(nèi)連續(xù)，且具有方程

31、（方程組）中出現(xiàn)的一切連續(xù)偏微商，將它代入方程（方程組）后使其成為恒等式，則稱該函數(shù)（函數(shù)組）是方程（方程組）的解或古典解。 廣義解弱解的概念12,nxx xx 4線性與非線性線性與非線性 在偏微分方程中，如果它關(guān)于未知函數(shù)及其所有微商是線性的，則稱此偏微分方程是線性方程，否則稱為非線性的。 在非線性方程（組）中，如果它關(guān)于未知函數(shù)的最高階微商（例如是 階）是線性的，其系數(shù)僅依賴于自變量 及未知函數(shù)的階數(shù)低于 階的微商，則稱12,nx xxmm 它是 階擬線性方程（組）。進而，若 階微商的系數(shù)僅依賴于自變量，則稱這種擬線性方程是 階半線性方程（組）。 不是擬線性的非線性方程（組），叫做完全非線

32、性方程（組）。 在線性方程（組）中，像常微分方程一樣，又分為常系數(shù)變系數(shù)齊次和非齊次方程（組）等。mmm 5舉例舉例 例1： 維波動方程： 其中 是常數(shù)， 為 算子，可以說，它是偏微分方程中的重要算子，這個算子在剛性運動下保持不變，即在坐標的平移和旋轉(zhuǎn)變換下保持不變。例2： 維熱傳導方程： 其中 是常數(shù)。在研究粒子的擴散過程時，例如氣體的擴散液體的滲透以及半導體材料中雜質(zhì)的擴散等，也會遇到類似的方程。2ttuau0a 22212nxxx Laplacenntuk u 0k 例3： 維 方程： 它的解 稱為調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)或勢函數(shù)勢函數(shù)。這也許是理論上最重要，同時在應用中最為廣泛的方程。當方程是

33、非齊次時，叫做 方程。它們通稱為位勢方程位勢方程。在研究靜電場的電位函數(shù)平穩(wěn)狀態(tài)下的波動現(xiàn)象和擴散過程時都會遇到這類方程。0u LaplaceuPoissonn例4：二階線性方程（一般形式） 其中， 且至少有一個 ，此方程是我們學習的重點對象例5：我們稱通過給定周線而具有最小面積的曲面為極小曲面。設此曲面方程為 則它滿足以下二階擬線性方程 ： ,11ijinnijix xxi jiLuax ubx uc x uf x,1,2,ijjiaai jn0ija 221210yxxxyxyxyyuuu u uuu,zu x y 例6： 方程： 這是一個三階擬線性方程，它是在水波的研究中被首先遇到的，其

34、中 是二元光滑函數(shù)。 例7： 方程： 其中 是 元空間自變量， 是其自變量 的非線性函數(shù)。此方程是一個一階完全非線性方程。KdV0txxxxucuuu,uu x tHamiltionJacobi,0tuH Du xxn12,nxxxDuuuu,Hx 例8：一個復解析函數(shù)的實部 和虛 部 滿足 一階線性方程組： 我們可以把 視為無旋不可壓縮流的速度場。,u x y,v x yCauchyRiemannxyyxuvuv ,u x yv x y 例9：向量方程形式的非線性方程組 設 是自變量 的向量函數(shù) ，則有 二階半線性反應擴散方程組 和一階擬線性能量守恒律方程組： 其中 ， u12,nt x x

35、x1212,mmuu uuuuuu tuuf u 0tudivF u:mmfRR:mmnF RR 6定解條件和定解問題定解條件和定解問題 定解條件：定解條件：我們把方程的解必須要滿足的事先 給定的條件叫做定解條件。常見的定解條件有初始條件（ 條件）和邊界條件兩類。 定解問題：定解問題：一個方程配上一個定解條件就構(gòu)成一個定解問題。通常分為初值問題（ 問題）邊值問題混合問題等幾類。CauchyCauchy 初邊值問題的解：初邊值問題的解：在區(qū)域 的內(nèi)部具有方程中出現(xiàn)的一切連續(xù)偏微商，而本身在區(qū)域的閉包上連續(xù)（有時根據(jù)具體問題的性質(zhì)或邊界條件的類型，也要求有關(guān)的偏微商連續(xù)到邊界），且滿足方程，同時當

36、時間變量趨于初始時刻或空間變量趨于區(qū)域的邊界時它（有時及其有關(guān)的偏微商）連續(xù)地取到給定的初始值或邊界值。 邊界條件分為三類邊界條件分為三類： 第一邊界條件：給出未知函數(shù)在邊界上的值。相應的問題稱為第一邊值問題，或稱 問題。 第二邊界條件：給出未知函數(shù)在邊界上的法向微商的值。相應的問題稱為第二邊值問題，或稱為 問題。 第三邊界條件：給出未知函數(shù)在邊界上的法向微商和本身的線性組合的值。相應的問題稱為第三邊值問題，或稱為 問題。DirichletNeumannRobin 7定解問題的適定性定解問題的適定性 解的穩(wěn)定性：解的穩(wěn)定性：當初始數(shù)據(jù)或邊界數(shù)據(jù)發(fā)生微小變化時，解的變化也微小。 定解問題的適定性

37、：定解問題的適定性：如果定解問題的解在給定的函數(shù)空間存在，唯一并且穩(wěn)定，則稱該定解問題是適定的，否則稱不適定的。 定解問題不適定的一個著名例子例子例： 阿達瑪考察 問題 不難驗證函數(shù) 是問題的解，并且是唯一的。. J Hadamard0 0,01,00,sin0,0 xxyyykuuxyu xux onx nNnuyuy11,sinsnkux ynx hnyn 但此解不穩(wěn)定，因為把此解與齊次初邊值條件下的解 相比較可知，兩者的初邊值之差的絕對值當 時可以變得任意小，但相應的兩個解的差的絕對值在任意固定的點 ，可以變得充分大，因而解在連續(xù)函數(shù)空間范數(shù)下是不穩(wěn)定的，類似可以說明解在 范數(shù)下也是不穩(wěn)

38、定的，從而定解問題是不適定的。0u n ,0 x yy 2L 由于偏微分方程自身的不斷發(fā)展，以及生產(chǎn)實際的推動，不適定問題的研究已成為近代偏微分方程研究的一個重要方向。定義定義: 主要是指從物理學及其他各門自然科學、技術(shù) 科學中所產(chǎn)生的偏微分方程(有時也包括積分 方程、微分積分方程等), 例如特點特點: 反映了有關(guān)的未知變量關(guān)于時間的導數(shù)和關(guān)于 空間變量的導數(shù)之間的制約關(guān)系。范疇范疇: 連續(xù)介質(zhì)力學連續(xù)介質(zhì)力學、電磁學電磁學、量子力學量子力學等方面的基 本方程都屬于數(shù)學物理方程的范圍。數(shù)學物理方程數(shù)學物理方程0),(),(22222xtxuattxu“一切科學的理論，總是從實踐中來從實踐中來，

39、又回到實踐中去到實踐中去，接受檢驗，指導實踐，同時在實踐中豐富和發(fā)展自己?！?力學問題弦線振動問題流體運動、彈性體振動、熱傳導、電磁作用、原子核原子核- -電子作用、化學反應電子作用、化學反應偏微分方程偏微分方程（基本規(guī)律）偏微分方程偏微分方程（基本規(guī)律）求解數(shù)學物理方程數(shù)學物理方程定解問題預測自然現(xiàn)象變化（氣象預報等）各種工程設計（機械強度計算等）物理問題物理問題數(shù)學問題（方程）數(shù)學問題（方程）求解的方法求解的方法分離變量法分離變量法特殊函數(shù)特殊函數(shù)邊界與初始邊界與初始泛定方程與定解條件泛定方程與定解條件數(shù)學數(shù)學物理方程偏微分方程理論理論偏微分方程理論新課題、新方法自然現(xiàn)象實際問題歷史悠久對

40、象、內(nèi)容、方法純粹數(shù)學純粹數(shù)學泛函分析復變函數(shù)微分幾何計算數(shù)學多樣復雜解決問題的工具純粹數(shù)學、分支自然科學、技術(shù)科學數(shù)學物理方程數(shù)學物理方程分支課 程 概 覽二、二、熱傳導方程熱傳導方程（拋物型拋物型）三、三、調(diào)和方程調(diào)和方程 （橢圓型橢圓型）四、二階方程的分類總結(jié)五、一階偏微分方程組七、偏微分方程的數(shù)值解一、一、波動方程波動方程 （雙曲型雙曲型）1. 方程導出、定解條件方程導出、定解條件2. 初值問題求解3. 初邊值問題求解第一章第一章 波動方程波動方程物理背景物理背景：波的傳播和彈性體振動。 1-1 1-1 一維波動方程的導出、定解條件一維波動方程的導出、定解條件 首先，考察下面的物理問題

41、： 給定一根兩端固定的拉緊的均勻柔軟的弦線，設其給定一根兩端固定的拉緊的均勻柔軟的弦線，設其長度為長度為 l ，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的橫它在外力作用下在平衡位置附近作微小的橫振動，求弦上各點的運動規(guī)律。振動，求弦上各點的運動規(guī)律?；炯僭O基本假設：1. 弦是均勻的均勻的，弦的截面直徑與長度相比可以忽略。 弦可以視為一條曲線，線密度為常數(shù)。2. 弦在某平面內(nèi)作微小橫振動微小橫振動。弦的位置始終在一直線段附近，弦上各點在同一平面內(nèi)垂直于該直線的方向上作微小振動?；疽?guī)律基本規(guī)律： 牛頓第二定律 F=m*a沖量定理 Ft=m*(v1-v2)3. 弦是柔軟的柔軟的，它在形變時不抵抗彎曲。

42、 弦上各質(zhì)點的張力方向與弦的切線方向一致，而弦的伸長變形 與張力的關(guān)系服從虎克定律。,tansin1cosFt=m*a* t用用u(x, t)表示弦點在時刻表示弦點在時刻t沿垂直于沿垂直于x軸的位移。軸的位移。dxxusxxx2)(1 由基本假設由基本假設2可知，可知， 2)(xu與與1相比可以忽略不計，所以相比可以忽略不計，所以 xs因此，可以認為弦在振動過程中并未伸長，即可認為因此，可以認為弦在振動過程中并未伸長，即可認為張力大小與時間無關(guān)張力大小與時間無關(guān) T(x,t)T(x)（2 2）由于弦只在由于弦只在x軸的垂直方向作橫振動，所以水平方向的合力為零，即軸的垂直方向作橫振動，所以水平方

43、向的合力為零，即0cos)(cos)(12xTxxT 由基本假設由基本假設2可知，可知， 1coscos12，所以，所以 )()(xTxxT因此，弦的因此，弦的張力大小與空間變量張力大小與空間變量x無關(guān)無關(guān) ，可以把弦線的張力可以把弦線的張力T(x)在在x軸方軸方向的分量看成向的分量看成常數(shù)常數(shù)。（1 1）任取一弦段任取一弦段(x, x+x)，它的弧長為它的弧長為 （3 3）對于圖中選取的弦段而言，張力在x軸垂直 方向上的合力為：),(),()(12xtxuxtxxuTsinsinT在時間段(t, t+t)內(nèi)該合力產(chǎn)生的沖量合力產(chǎn)生的沖量為：dtxtxuxtxxuTttt),(),(（4 4）

44、另一方面，在時間段(t, t+t)內(nèi)弦段(x, x+x)的動量變化動量變化為：dxttxutttxuxxx),(),(（5 5）因此，根據(jù)沖量定理沖量定理，得到：dxttxutttxudtxtxuxtxxuTxxxttt),(),(),(),(從而有從而有0),(),(2222dtdxxtxuTttxutttxxx進一步由t， x 的任意性，有/, 0),(),(222222Taxtxuattxu 假定有垂直于x軸方向的外力存在，并設其線密度為F(x,t)，則弦段(x, x+x)上的外力為：dxtxFxxx),(它在時間段(t, t+t)內(nèi)的沖量為：dtdxtxFtttxxx),(0),(),

45、(),(2222dtdxtxFxtxuTttxutttxxx于是有：進一步由t， x 的任意性，有下面的弦振動方程弦振動方程（一維波動方程一維波動方程）：/ ),(),(,/),(),(),(222222txFtxfTatxfxtxuattxu),()(2222222tyxfyuxuatu二維波動方程（如薄膜振動）二維波動方程（如薄膜振動）),()(222222222tzyxfzuyuxuatu三維波動方程（如電磁波三維波動方程（如電磁波、聲波的傳播）聲波的傳播） 弦振動方程描述的是弦作微小橫振動時的位移函數(shù)弦振動方程描述的是弦作微小橫振動時的位移函數(shù)u(x, t)所應滿足的所應滿足的一般性規(guī)

46、律。僅僅利用它并不能完全確定一條弦的具體運動狀況。這是因一般性規(guī)律。僅僅利用它并不能完全確定一條弦的具體運動狀況。這是因為弦的運動還與其初始狀態(tài)以及邊界所處的狀況有關(guān)系。為弦的運動還與其初始狀態(tài)以及邊界所處的狀況有關(guān)系。 在前面的推導中，弦的兩端被固定在在前面的推導中，弦的兩端被固定在x=0和和x=l兩點，即兩點，即 u(0, t)=0 ， u(l, t)=0，這兩個等式稱為這兩個等式稱為邊界條件邊界條件。此外，設弦在初始時刻。此外，設弦在初始時刻t=0時的位置和速度為時的位置和速度為)0()()0 ,(),()0 ,(lxxtxuxxu這兩個等式稱為這兩個等式稱為初始條件初始條件。邊界條件和

47、初始條件總稱為。邊界條件和初始條件總稱為定解條件定解條件。把微分方。把微分方程和定解條件結(jié)合起來，就得到了與實際問題相對應的定解問題。程和定解條件結(jié)合起來，就得到了與實際問題相對應的定解問題。2. 定解條件定解條件對于弦振動方程而言，與上述定解條件結(jié)合后，其定解問題可以描述為：對于弦振動方程而言，與上述定解條件結(jié)合后，其定解問題可以描述為：22. 1. 0:21. 1, 0:020. 1),(),(:019. 1),(),(),(22222ulxuxxtuxuttxfxtxuattxu要在區(qū)域要在區(qū)域)0,0(tlx上（見右上圖）求上述定解問題的解，就是上（見右上圖）求上述定解問題的解，就是要

48、求這樣的連續(xù)函數(shù)要求這樣的連續(xù)函數(shù)u(x, t) ，它在區(qū)域，它在區(qū)域0 x0中滿足波動方程中滿足波動方程(1.19)；在；在x軸上的區(qū)間軸上的區(qū)間 0,l 上滿足初始條件上滿足初始條件(1.20)；并在邊界；并在邊界x=0和和x=l上滿足邊界條上滿足邊界條件件(1.21)和和 (1.22)。 一般稱形如一般稱形如(1.21)和和(1.22)的邊界條件為的邊界條件為第一類邊界條件第一類邊界條件，也叫，也叫狄利克雷狄利克雷（DirichletDirichlet）邊界條件。）邊界條件。弦振動方程的邊界條件通常還可以有以下兩種：弦振動方程的邊界條件通常還可以有以下兩種： （a）設弦的一端（）設弦的一

49、端（x=0）處于自由狀態(tài)，即可以在垂直于）處于自由狀態(tài)，即可以在垂直于x軸的直線上自軸的直線上自由滑動，且未受到垂直方向的外力。由于在邊界右端的張力的垂直方向分由滑動，且未受到垂直方向的外力。由于在邊界右端的張力的垂直方向分量是量是xuT于是邊界處應有于是邊界處應有00 xxu考慮更一般的情況，上述邊界條件可以寫為考慮更一般的情況，上述邊界條件可以寫為）（txux0 （b）弦的一端（）弦的一端（x=l）處于固定在伸縮符合胡克定律的彈性支承上，如果）處于固定在伸縮符合胡克定律的彈性支承上，如果支承的初始位置為（支承的初始位置為（u=0），那么在端點的），那么在端點的u值表示支承的伸長量，于是值表

50、示支承的伸長量，于是,lxlxkuxuTTkuxulx/,0)(這種邊界條件稱為這種邊界條件稱為第二類邊界條件第二類邊界條件，又稱，又稱諾依曼諾依曼（Neumann）邊界條件）邊界條件數(shù)學上，可以考慮更一般的情況，上述邊界條件寫為數(shù)學上，可以考慮更一般的情況，上述邊界條件寫為)()(tuxulx（第三類邊界條件第三類邊界條件） 偏微分方程的分類 )6()()()()()5()()4() 3(),()()2(),()() 1 (),()(222212222222222222222222222ufxuxuxuufuuubuuutzyxfzuyuxutzyxfzuyuxuatutzyxfzuyuxu

51、atunxxtxxxxt 分類依據(jù)分類依據(jù)：階數(shù)階數(shù)、線性性質(zhì)線性性質(zhì)、齊次性齊次性。 階階：偏微分方程所含有的未知函數(shù)最高階導數(shù)的階數(shù)：偏微分方程所含有的未知函數(shù)最高階導數(shù)的階數(shù) 線性方程線性方程：方程對于未知函數(shù)及其各階導數(shù)總體來說是線性的。：方程對于未知函數(shù)及其各階導數(shù)總體來說是線性的。 方程（方程（1）,（2）,（3） 擬線性方程擬線性方程：方程對未知函數(shù)的最高階導數(shù)總體來說是線性的。：方程對未知函數(shù)的最高階導數(shù)總體來說是線性的。 方程（方程（4）,（5） 完全非線性方程完全非線性方程：方程對未知函數(shù)的最高階導數(shù)不是線性的。：方程對未知函數(shù)的最高階導數(shù)不是線性的。 方程（方程（6） 齊

52、次性齊次性：以方程（：以方程（1）為例，函數(shù)）為例，函數(shù) f (x,y,z,t)與未知函與未知函 數(shù)無關(guān)（自由項），若該項恒為零，則該數(shù)無關(guān)（自由項），若該項恒為零，則該 方程為齊次方程。反之，為非齊次方程。方程為齊次方程。反之，為非齊次方程。 邊界條件和初始條件也有齊次和非齊次之分邊界條件和初始條件也有齊次和非齊次之分。3. 定解問題適定性概念定解問題適定性概念解的解的存在性存在性：定解問題的解是否一定存在？：定解問題的解是否一定存在？解的解的唯一性唯一性：定解問題的解是否只有一個？：定解問題的解是否只有一個？解的解的穩(wěn)定性穩(wěn)定性：當定解條件或自由項作很小的變化時，問題的解是否也作很：當定解

53、條件或自由項作很小的變化時，問題的解是否也作很小的變化？小的變化？定解問題的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的定解問題的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的適定性適定性。如果一個。如果一個定解問題的解是存在的，唯一的，而且是穩(wěn)定的，我們就稱這個問題是適定解問題的解是存在的，唯一的，而且是穩(wěn)定的，我們就稱這個問題是適定的，即認為這樣的定解問題的提法是合適的。定的，即認為這樣的定解問題的提法是合適的。除了研究定解問題的適定性外，數(shù)理方程中還經(jīng)常研究的問題包括：解的除了研究定解問題的適定性外，數(shù)理方程中還經(jīng)常研究的問題包括：解的正則性（光滑性）、解的漸近性（包括衰減性）和定解問題的求解方法正則

54、性（光滑性）、解的漸近性（包括衰減性）和定解問題的求解方法（精確解、漸近解、數(shù)值解）等。（精確解、漸近解、數(shù)值解）等。定解問題的提法是否合適？定解問題的提法是否合適？達朗貝爾（達朗貝爾（dAlembertdAlembert）公式、波的傳播）公式、波的傳播1. 1. 疊加原理疊加原理 從本節(jié)開始我們討論弦振動方程的各類定解問題。先介紹疊加原理。從本節(jié)開始我們討論弦振動方程的各類定解問題。先介紹疊加原理。在物理學研究中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：幾種不同原因的綜合所產(chǎn)生的效在物理學研究中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：幾種不同原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨（假設其他原因不存在）產(chǎn)生的效果的累加。果等于這些

55、不同原因單獨（假設其他原因不存在）產(chǎn)生的效果的累加。這就是疊加原理。它對于用這就是疊加原理。它對于用線性方程線性方程和和線性定解條件線性定解條件描述的物理現(xiàn)象來描述的物理現(xiàn)象來說，都是成立的。說，都是成立的。例如：若例如：若u1 1(x, t)是方程是方程),(122222txfxuatu的解，而的解，而u2 2(x, t)是方程是方程),(222222txfxuatu的解，則對于任意的常數(shù)的解，則對于任意的常數(shù)C1、C2，函數(shù)，函數(shù)),(),(),(2211txuCtxuCtxu是方程是方程),(),(221122222txfCtxfCxuatu的解。的解。典型例子：聲學中把弦線振動時所發(fā)出

56、的復雜的聲音分解成各種單音典型例子：聲學中把弦線振動時所發(fā)出的復雜的聲音分解成各種單音的疊加。的疊加。2. 2. 弦振動方程的達朗貝爾解法弦振動方程的達朗貝爾解法 為了考察波動方程的定解問題，先從最簡單的情形入手，即首先考察邊為了考察波動方程的定解問題，先從最簡單的情形入手，即首先考察邊界的影響可以忽略不計的情況。如果所考察的物體（弦線）長度很長，而界的影響可以忽略不計的情況。如果所考察的物體（弦線）長度很長，而我們所關(guān)注的又只是在我們所關(guān)注的又只是在較短時間內(nèi)較短時間內(nèi)且且距離邊界較遠距離邊界較遠的一段范圍中的運動情的一段范圍中的運動情況，那么邊界條件的影響就可以忽略，并不妨把所考察的物體的

57、長度視為況，那么邊界條件的影響就可以忽略，并不妨把所考察的物體的長度視為無限長。這樣的情況下，定解問題歸結(jié)為如下形式：無限長。這樣的情況下，定解問題歸結(jié)為如下形式：6 . 2)(),(),(:05 . 2), 0(),(),(),(22222xxtuxutxttxfxtxuattxu 在這個定解問題中，定解條件只有初始條件，故通常稱為在這個定解問題中，定解條件只有初始條件，故通常稱為初值問題初值問題(也稱也稱柯西（柯西（Cauchy）問題）問題）。相應地，前一節(jié)中的定解問題）。相應地，前一節(jié)中的定解問題(1.19) (1.22)由于既由于既有初始條件，又有邊界條件，故稱為有初始條件，又有邊界條

58、件，故稱為初邊值問題初邊值問題或或混合問題混合問題。 方程方程(2.5)中的自由項中的自由項f(x,t)是由于外力作用產(chǎn)生的，因此方程是由于外力作用產(chǎn)生的，因此方程(2.5)中中f(x,t)恒為零恒為零的情況對應于自由振動；的情況對應于自由振動；f(x,t)不為零不為零的情況對應于強迫振動。的情況對應于強迫振動。10.2,0,0:09 .2),(),(),()II(22222tuuttxfxtxuattxu 下面，我們求解上述初值問題。首先注意到微分方程及定解條件都下面，我們求解上述初值問題。首先注意到微分方程及定解條件都是線性的。對于這種定解問題，同樣存在疊加原理，即是線性的。對于這種定解問

59、題，同樣存在疊加原理，即若若u1 1(x, t)和和u2 2(x, t)分別是下述初值問題分別是下述初值問題8.2),(),(:07.2,0),(),() (22222xtuxutxtxuattxu和和的解，那么的解，那么u=u1 1(x, t)+u2 2(x, t)就一定是原初值問題就一定是原初值問題(2.5)、(2.6)的解。這樣求解的解。這樣求解初值問題初值問題(2.5)、(2.6)就轉(zhuǎn)化為分別求解齊次方程帶非齊次邊界條件的初值問就轉(zhuǎn)化為分別求解齊次方程帶非齊次邊界條件的初值問題題(I I)和非齊次方程帶齊次初始條件的初值問題和非齊次方程帶齊次初始條件的初值問題(IIII)單獨初始振動狀

60、態(tài)對單獨初始振動狀態(tài)對振動過程的影響。振動過程的影響。單獨考慮外力因素對單獨考慮外力因素對振動過程的影響。振動過程的影響。 首先，考察初值問題首先，考察初值問題(I I)，它可以通過，它可以通過自變量變換自變量變換的方法求解。的方法求解。引入新自變量：引入新自變量：=x-at， =x+at，有，有uuxuxuxu22222222)()(uuuxxuxxuxu類似地，類似地，)2();(22222222uuuatuuuatu代回原來的自變量，得通解為代回原來的自變量，得通解為 u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) （2.14）02 u從而，得到從而，得到其通解為其通解為 u(,)=F()