數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念

1、數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念自然數(shù)自然數(shù)整數(shù)整數(shù)有理數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)NZQR？數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念請(qǐng)分別在我們學(xué)過的整數(shù)集、有理數(shù)集、請(qǐng)分別在我們學(xué)過的整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集中解下列方程。實(shí)數(shù)集中解下列方程。153) 1x4)22x2)32x1)42x 4343無解2222無解無解無解無解無解數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念對(duì)于一元二次方程對(duì)于一元二次方程 沒有實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根012 x12 x12 ii數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念 （1）； （2） i 數(shù)

2、系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念 形如形如a+bi(a,bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)的數(shù)叫做復(fù)數(shù). 全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做，一般用字母一般用字母 表示表示 .不是實(shí)數(shù)。所以，時(shí)，因當(dāng)bibibbib0)(02222數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念通常用字母通常用字母 表示，即表示，即 biaz ),(RbRa 其中其中 稱為稱為虛數(shù)單位虛數(shù)單位i000000bababb，非純虛數(shù)，純虛數(shù)虛數(shù)實(shí)數(shù)000000bababb，非純虛數(shù)，純虛數(shù)虛數(shù)實(shí)數(shù)CR 數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念72618. 0i725 -8，i 29331i223ii1010數(shù)系的擴(kuò)充

3、數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念immz)1(1 解解: （1）當(dāng)當(dāng) ，即，即 時(shí)，復(fù)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)z 是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)01 m1 m（2）當(dāng)當(dāng) ，即，即 時(shí)，復(fù)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)z 是虛數(shù)是虛數(shù)01 m1 m（3）當(dāng)當(dāng) 0101mm即即 時(shí)，復(fù)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)z 是是純虛數(shù)純虛數(shù)1 m關(guān)健是什么？關(guān)健是什么？找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，根據(jù)復(fù)數(shù)的分類找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，根據(jù)復(fù)數(shù)的分類列出方程或不等式組。列出方程或不等式組。數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念練練1. 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)m 取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù) z=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i (1) 是實(shí)數(shù)？是實(shí)數(shù)？(2)純虛數(shù)？純虛數(shù)？ (3)零？

4、零？ 解：解：(1)當(dāng)當(dāng)m2-5m-6=0時(shí)，時(shí)，即即m=6或或m=-1時(shí)，時(shí)，z為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)(2)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，m2-3m-4=0m2-5m-6 0即即m=4時(shí)，時(shí)， z為純虛數(shù)為純虛數(shù)(3)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，m2-3m-4=0m2-5m-6=0即即m=-1時(shí)，時(shí)， z為零為零數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念注意注意: :兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小。但兩個(gè)復(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小。但兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較它們的大小不能比較它們的大小。例如例如1+i1+i與與3+5i3+5i就不能比較大小。就不能比較大小。兩個(gè)復(fù)數(shù)能比較大小嗎？?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)能比較大小嗎？數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)

5、系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念iyyix)3()12( Ryx ,. yx與與 )3(112yyx解得解得4,25 yx,Rdcba 若dicbia dbca數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念i2224xyxyii數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念1.1.虛數(shù)單位虛數(shù)單位i的引入；的引入；2.2.復(fù)數(shù)有關(guān)概念：復(fù)數(shù)有關(guān)概念：),( RbRabiaz dicbia dbca數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念*Znni424ni34ni14ni1-1iiB數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念有理數(shù)有理數(shù)=分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)=循環(huán)小數(shù)循環(huán)小數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)=小數(shù)小數(shù)數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的概念

6、復(fù)數(shù)的概念 負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)在古代人看來，沒有就表示最少了，最少就用在古代人看來，沒有就表示最少了，最少就用“零零”表示，沒有比零更小的數(shù)了，可是負(fù)數(shù)不但表示沒有，表示，沒有比零更小的數(shù)了，可是負(fù)數(shù)不但表示沒有，而且意味著比沒有還要少，這是怎么回事呢？而且意味著比沒有還要少，這是怎么回事呢？ 中國人認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)比世界上任何一個(gè)國家的民族都要早得中國人認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)比世界上任何一個(gè)國家的民族都要早得多多. 我國在西漢時(shí)代就會(huì)用負(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)的人用我國在西漢時(shí)代就會(huì)用負(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)的人用紅色紅色算籌表示算籌表示正數(shù)，用正數(shù)，用黑色黑色算籌表示負(fù)數(shù)算籌表示負(fù)數(shù). 系統(tǒng)地論述負(fù)數(shù)，我國也是世界上最早的系統(tǒng)地論述負(fù)數(shù)，我國也是世

7、界上最早的. 在東漢初編在東漢初編成的成的九章算術(shù)九章算術(shù)內(nèi)，就已記載了正、負(fù)數(shù)的相反意義，還內(nèi)，就已記載了正、負(fù)數(shù)的相反意義，還提出了正、負(fù)數(shù)的加減法則提出了正、負(fù)數(shù)的加減法則. “較大數(shù)與較小數(shù)的比可能等于較小數(shù)與較大數(shù)的比嗎較大數(shù)與較小數(shù)的比可能等于較小數(shù)與較大數(shù)的比嗎? 直到直到17世紀(jì)世紀(jì),法國數(shù)學(xué)家笛卡兒引進(jìn)坐標(biāo)系后法國數(shù)學(xué)家笛卡兒引進(jìn)坐標(biāo)系后,負(fù)數(shù)獲得負(fù)數(shù)獲得了幾何解釋了幾何解釋,負(fù)數(shù)在方程中去得了合理地位負(fù)數(shù)在方程中去得了合理地位.數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念無理數(shù)無理數(shù) 公元前公元前500年，古希臘畢達(dá)哥拉斯年，古希臘畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)學(xué)派的學(xué)派的

8、弟弟(Hippasus)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對(duì)角線發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對(duì)角線與其一邊的長度是不可公度的與其一邊的長度是不可公度的.這一不可公度性與畢氏學(xué)派這一不可公度性與畢氏學(xué)派“萬物皆為數(shù)萬物皆為數(shù)”(指有理數(shù)指有理數(shù))的哲理大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)使該的哲理大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐、惱怒，認(rèn)為這將動(dòng)搖他們?cè)趯W(xué)術(shù)界的統(tǒng)治學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐、惱怒，認(rèn)為這將動(dòng)搖他們?cè)趯W(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的懲處。舟身亡的懲處。 畢氏弟子的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷，畢氏弟

9、子的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷，證明它不能同連續(xù)的無限直線同等看待，有理數(shù)并沒有布滿證明它不能同連續(xù)的無限直線同等看待，有理數(shù)并沒有布滿數(shù)軸上的點(diǎn)，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的數(shù)軸上的點(diǎn)，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙孔隙”。而這種而這種“孔隙孔隙”經(jīng)后人證明簡(jiǎn)直多得經(jīng)后人證明簡(jiǎn)直多得“不可勝數(shù)不可勝數(shù)”。于是，。于是，古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想徹古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想徹底地破滅了。底地破滅了。不可公度量的發(fā)現(xiàn)連同著名的芝諾悖論一同被不可公度量的發(fā)現(xiàn)連同著名的芝諾悖論一同被稱為數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)稱為數(shù)學(xué)史上的第一次危

10、機(jī).數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念無理數(shù)無理數(shù) 15世紀(jì)意大利著名畫家達(dá)世紀(jì)意大利著名畫家達(dá).芬奇稱之為芬奇稱之為“無理的無理的數(shù)數(shù)”，17世紀(jì)德國天文學(xué)家開普勒稱之為世紀(jì)德國天文學(xué)家開普勒稱之為“不可名狀不可名狀”的數(shù)。的數(shù)。 然而，真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學(xué)派抹殺真然而，真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學(xué)派抹殺真理才是理才是“無理無理”。人們?yōu)榱思o(jì)念希勃索斯這位為真理。人們?yōu)榱思o(jì)念希勃索斯這位為真理而獻(xiàn)身的可敬學(xué)者，就把不可通約的量取名為而獻(xiàn)身的可敬學(xué)者，就把不可通約的量取名為“無理無理數(shù)數(shù)”這便是這便是“無理數(shù)無理數(shù)”的由來。的由來。 數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念 “復(fù)

11、數(shù)復(fù)數(shù)”、“虛數(shù)虛數(shù)”這兩個(gè)名詞，都是人們?cè)诮夥匠虝r(shí)引入的。為了用公這兩個(gè)名詞，都是人們?cè)诮夥匠虝r(shí)引入的。為了用公式求一元二次、三次方程的根，就會(huì)遇到求負(fù)數(shù)的平方根的問題。式求一元二次、三次方程的根，就會(huì)遇到求負(fù)數(shù)的平方根的問題。1545年，年，意大利數(shù)學(xué)家卡丹諾（意大利數(shù)學(xué)家卡丹諾（Girolamo Cardano,1501年年1576年）在年）在大術(shù)大術(shù)一一書中，書中，首先研究了虛數(shù)首先研究了虛數(shù)，并進(jìn)行了一些計(jì)算。，并進(jìn)行了一些計(jì)算。1572年，意大利數(shù)學(xué)家邦別利年，意大利數(shù)學(xué)家邦別利（Rafacl Bombclli,1525年年1650年）正式使用年）正式使用“實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)”“”“虛數(shù)虛數(shù)

12、”這兩個(gè)名這兩個(gè)名詞。此后，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（詞。此后，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（Gottfried Wilbclm Lcibniz,1646年年1716年）、瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（年）、瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler,1707年年1783年）和法國數(shù)學(xué)家棣年）和法國數(shù)學(xué)家棣莫佛（莫佛（Abrabam de Moivre,1667年年1754年）等又研究了虛數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、年）等又研究了虛數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等之間的關(guān)系，除解方程以外，還把它用于微積分等方面，得出很三角函數(shù)等之間的關(guān)系，除解方程以外，還把它用于微積分等方面，得出很多有價(jià)值的結(jié)果，使某些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)單而易于處理。

13、大約在多有價(jià)值的結(jié)果，使某些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)單而易于處理。大約在1777年，年，歐拉第一次用歐拉第一次用i來表示來表示-1的平方根的平方根，1832年，德國數(shù)學(xué)家年，德國數(shù)學(xué)家高斯高斯（Carl Fricdrich Gauss,1777年年1855年）年）第一次引入復(fù)數(shù)概念第一次引入復(fù)數(shù)概念，一個(gè)復(fù)數(shù)可以用，一個(gè)復(fù)數(shù)可以用abi來表示，其中來表示，其中a，b是實(shí)數(shù)，是實(shí)數(shù)，i代表虛數(shù)單位，這樣就把虛數(shù)與實(shí)數(shù)統(tǒng)一起代表虛數(shù)單位，這樣就把虛數(shù)與實(shí)數(shù)統(tǒng)一起來了。高斯還把復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來，給出了復(fù)數(shù)的一種幾何來了。高斯還把復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來，給出了復(fù)數(shù)的一種幾何解釋。不久，人們又將復(fù)數(shù)與平面向量聯(lián)系起來，并使