考試點專業(yè)課：名師王高雄《常微分方程》經(jīng)典題型解析

1、名師王高雄?常微分方程?經(jīng)典題型解析1、驗證以下方程是恰當方程，并求出方程的解。1. 解： ，=1 .那么所以此方程是恰當方程。湊微分，得 ：2 解： ， .那么 .所以此方程為恰當方程。湊微分，得 3 解： 那么 .因此此方程是恰當方程。 1 2對1做的積分，那么= 3對3做的積分，那么=那么故此方程的通解為4、 解： ， . .那么此方程為恰當方程。湊微分，得 ：5.(sin-cos+1)dx+( cos- sin+)dy=0解： M=sin-cos+1 N= cos- sin+=- sin-cos- cos+sin=- sin-cos- cos+sin所以，=，故原方程為恰當方程因為si

2、ndx-cosdx+dx+ cosdy- sindy+dy=0d(-cos)+d (sin)+dx+d(-)=0所以，d(sin-cos+x -)=0故所求的解為sin-cos+x -=C求以下方程的解：62x(y-1)dx+dy=0解：= 2x , =2x所以，=，故原方程為恰當方程又2xydx-2xdx+dy=0所以，d(y-x)=0故所求的解為y-x=C7.(e+3y)dx+2xydy=0解：edx+3ydx+2xydy=0exdx+3xydx+2xydy=0所以，d e( x-2x+2)+d( xy)=0即d e( x-2x+2)+ xy=0故方程的解為e( x-2x+2)+ xy=C

3、8. 2xydx+( x+1)dy=0解：2xydx+ xdy+dy=0d( xy)+dy=0即d(xy+y)=0故方程的解為xy+y=C9、解：兩邊同除以 得即，故方程的通解為10、解：方程可化為：即， 故方程的通解為： 即：同時，y=0也是方程的解。11、解：方程可化為： 即：故方程的通解為：12、解：方程可化為：故方程的通解為 ： 即：13、解：這里 ， 方程有積分因子兩邊乘以得：方程是恰當方程故方程的通解為：即：14、解：這里因為故方程的通解為： 即：15、解：這里 方程有積分因子： 兩邊乘以得：方程為恰當方程故通解為 ：即：16、解：兩邊同乘以得：故方程的通解為：17、試導出方程具有

4、形為和的積分因子的充要條件。解：假設方程具有為積分因子， 是連續(xù)可導令 ， .， ， ， 方程有積分因子的充要條件是：是的函數(shù)，此時，積分因子為 . 令 ，此時的積分因子為18. 設及連續(xù),試證方程為線性方程的充要條件是它有僅依賴于的積分因子.證:必要性 假設該方程為線性方程,那么有 ,此方程有積分因子,只與有關 .充分性 假設該方程有只與有關的積分因子 .那么為恰當方程 ,從而 , , .其中 .于是方程可化為即方程為一階線性方程.20.設函數(shù)f(u)，g(u)連續(xù)、可微且f(u)g(u),，試證方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有積分因子u=(xyf(xy)-g(xy)證：在方程y

5、f(xy)dx+xg(xy)dy=0兩邊同乘以u得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0那么=uf+uy+yf=+-yf=而=ug+ux+xg=+- xg=故=，所以u是方程得一個積分因子21假設方程2.43中得函數(shù)Mx,yN(x,y)滿足關系=Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分別為x和y得連續(xù)函數(shù)，試證方程2.43有積分因子u=exp(+)證明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0即證u+M=u+Nu(-)=N- Mu(-)=Nef(x)-M eg(y)u(-)=e(Nf(x)-Mg(y)由條件上式恒成立，故原命題得證。22、求出伯努利方程的積分因子.解：伯努利方程為：兩邊同乘以，令，線性方程有積分因子：，故原方程的積分因子為：，證畢！23、設是方程的積分因子，從而求得可微函數(shù)，使得試證也是方程的積分因子的充要條件是其中是的可微函數(shù)。證明：假設，那么又即為的一個積分因子。24、設