17.1勾股定理的證明(比較全的證明方法)_課件

1、北京歡送您！2002年北京國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo) 同學(xué)們！三角形的知識之前我們已學(xué)習(xí)了不少。直角三角形是一種特殊的三角形，從今天開始，我們嘗試著研究直角三角形三邊之間的關(guān)系。171 勾股定理一 1，掌握直角三角形三邊之間的關(guān)系即勾股定理的內(nèi)容。 2，通過探究，了解勾股定理的證明過 程，并掌握1-2種證明方法。 學(xué)習(xí)目標(biāo)為了實(shí)現(xiàn)本節(jié)的學(xué)習(xí)目標(biāo)，請同學(xué)們按照以下要求來自學(xué)。認(rèn)真看課本P22P24，注意：1、結(jié)合P22思考前的故事及“黃色書簽,你在知識的認(rèn)知上應(yīng)該養(yǎng)成怎樣的品質(zhì)？2、結(jié)合P22思考和圖形17.1-2，你認(rèn)為老畢先生發(fā)現(xiàn)了什么？跨越兩千多年的時(shí)空，看你和老畢是否有心靈的默契？之后用P22下

2、面三行小字驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)。3、用數(shù)形結(jié)合與面積法思想，借助P22探究與網(wǎng)格再驗(yàn)證其它直角三角形三邊是否有同樣的性質(zhì)4、準(zhǔn)確記憶P23命題1勾股定理，分清題設(shè)與結(jié)論。猜測5、利用P23 “趙爽弦圖和面積法證明勾股定理 6、務(wù)必明確勾股定理的兩個(gè)關(guān)于：關(guān)于直角三角形與關(guān)于該種圖形邊的關(guān)系自學(xué)時(shí)間10分鐘之后比誰能做對檢測題。不會的可小聲討論或舉手問老師。自研共探：看一看 相傳兩千五百年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？ 兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因?yàn)檫@個(gè)定理太貼近人們的生活實(shí)際，

3、以至于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討和研究它的證明因此不斷出現(xiàn)關(guān)于勾股定理的新證法1傳說中畢達(dá)哥拉斯的證法2趙爽弦圖的證法4美國第20任總統(tǒng)茄菲爾德的證法3劉徽的證法勾股定理的證明5其他證法 這棵樹漂亮嗎？如果在樹上掛上幾串彩色燈泡，再掛上些小鈴鐺、小彩球、小禮盒、小的圣誕老人，是不是更像一棵圣誕樹 也許有人會問：“它與勾股定理有什么關(guān)系嗎？仔細(xì)看看，你會發(fā)現(xiàn)，微妙在樹干和樹枝上，整棵樹都是由下方的這個(gè)根本圖形組成的：一個(gè)直角三角形以及分別以它的每邊為一邊向外所作的正方形 這個(gè)圖形有什么作用呢？不要小看它哦！古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯就是利用這個(gè)圖形驗(yàn)證了勾股定理 關(guān)于勾股定理的

4、證明，現(xiàn)在人類保存下來的最早的文字資料是歐幾里得公元前300年左右所著的?幾何原本?第一卷中的命題47：“直角三角形斜邊上的正方形等于兩直角邊上的兩個(gè)正方形之和其證明是用面積來進(jìn)行的傳說中畢達(dá)哥拉斯的證法：如圖，以在RtABC中，ACB=90，分別以a、b、c為邊向外作正方形 求證：a2 +b2=c2 S矩形ADNM2SADC又正方形ACHK和ABK同底AK、等高即平行線AK和BH間的距離， S正方形ACHK2SABK ADAB，ACAK，CADKAB， ADCABK 由此可得S矩形ADNMS正方形ACHK 同理可證S矩形MNEBS正方形CBFG S矩形ADNMS矩形MNEBS正方形ACHKS

5、正方形CBFG 即S正方形ADEBS正方形ACHKS正方形CBFG ， 也就是 a2+b2=c2傳說中畢達(dá)哥拉斯的證法證明：從RtABC的三邊向外各作一個(gè)正方形如圖，作CNDE交AB于M，那么正方形ABED被分成兩個(gè)矩形連結(jié)CD和KB返回由于矩形ADNM和ADC同底AD，等高(即平行線AD和CN間的距離)， 我國對勾股定理的證明采取的是割補(bǔ)法，最早的形式見于公元三、四世紀(jì)趙爽的?勾股圓方圖注?在這篇短文中，趙爽畫了一張他所謂的“弦圖，其中每一個(gè)直角三角形稱為“朱實(shí)，中間的一個(gè)正方形稱為“中黃實(shí)，以弦為邊的大正方形叫“弦實(shí)，所以，如果以a、b、c分別表示勾、股、弦之長，那么： 趙爽弦圖的證法得：

6、 c2 =a2+ b2返回cabcabcabcab c2=b2-2ab+a2+ 2ab =a2+b2a2+b2=c2大正方形的面積可以表示為 ；也可以表示為c2 該圖2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)示意圖，取材于我國古代數(shù)學(xué)著作?勾股圓方圖?。證明1： 劉徽在?九章算術(shù)?中對勾股定理的證明：勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類，因就其余不移動也合成弦方之冪，開方除之，即弦也令正方形ABCD為朱方，正方形BEFG為青方在BG間取一點(diǎn)H，使AH=BG，裁下ADH，移至CDI，裁下HGF，移至IEF，是為“出入相補(bǔ)，各從其類，其余不動，那么形成弦方正方形DHFI勾股定理由此

7、得證 劉徽的證法返回學(xué)過幾何的人都知道勾股定理它是幾何中一個(gè)比較重要的定理，應(yīng)用十分廣泛迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種其中，美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話總統(tǒng)為什么會想到去證明勾股定理呢？難道他是數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)愛好者？答案是否認(rèn)的事情的經(jīng)過是這樣的：1876年一個(gè)周末的黃昏，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁矗瑫r(shí)而大聲爭論，時(shí)而小聲探討由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么只見一個(gè)小男孩正

8、俯著身子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三角形于是伽菲爾德便問他們在干什么？只見那個(gè)小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？伽菲爾德答到：“是5呀小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長又是多少？伽菲爾德不加思索地答復(fù)到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？伽菲爾德一時(shí)語塞，無法解釋了，心理很不是滋味 于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法總統(tǒng)巧證勾股定理美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德總統(tǒng)巧證勾股定理aabbccADCBE返回abcbacABCDE1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng).后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)證法勾股定理證明：你能只用這兩個(gè)直角三角形說明a2+b2=c2嗎？拼一拼 試一試向常春的證明方法 注:這一方法是向常春于1994年3月20日設(shè)想發(fā)現(xiàn)的新法abcba-bADCBEccabcabcabcab (a+b)2 = a2+2ab+b2 = 2ab +c2a2+b2=c2大正方