姜啟源編《數(shù)學模型》第四版第三章簡單的優(yōu)化模型

1、第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型-靜態(tài)優(yōu)化模型靜態(tài)優(yōu)化模型3.1 存貯模型存貯模型3.2 生豬的生豬的出售時機出售時機 3.3 森林救火森林救火3.4 消費者的選擇消費者的選擇3.5 生產(chǎn)者的決策生產(chǎn)者的決策3.6 血管分支血管分支3.7 冰山運輸冰山運輸 現(xiàn)實世界中普遍存在著現(xiàn)實世界中普遍存在著優(yōu)化問題優(yōu)化問題. 建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當?shù)慕Ｄ康拇_定恰當?shù)哪繕撕瘮?shù)目標函數(shù). 求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法微分法. 靜態(tài)優(yōu)化問題指靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù)不是函數(shù)).簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)

2、化模型( (靜態(tài)優(yōu)化靜態(tài)優(yōu)化) )3.1 存貯模型存貯模型問問 題題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè)配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準備費，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費備要付生產(chǎn)準備費，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費. 該廠該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出.已知某產(chǎn)品日需求量已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準備費件，生產(chǎn)準備費5000元，貯存費元，貯存費每日每件每日每件1元元. 試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn)試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費用最小一次（生產(chǎn)

3、周期），每次產(chǎn)量多少，使總費用最小.要要求求不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準備費、貯存費之間的關(guān)系需求量、準備費、貯存費之間的關(guān)系.問題分析與思考問題分析與思考 每天生產(chǎn)一次每天生產(chǎn)一次, 每次每次100件件,無貯存費無貯存費,準備費準備費5000元元.日需求日需求100件，準備費件，準備費5000元，貯存費每日每件元，貯存費每日每件1元元. 10天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次, 每次每次1000件，貯存費件，貯存費900+800+100 =4500元，準備費元，準備費5000元，總計元，總計9500元元. 50天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次,每次每次

4、5000件件, 貯存費貯存費4900+4800+100 =122500元，準備費元，準備費5000元，總計元，總計127500元元.平均每天費用平均每天費用950元元平均每天費用平均每天費用2550元元1010天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次, ,平均每天費用最小嗎平均每天費用最小嗎? ?每天費用每天費用5000元元 這是一個優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標函數(shù)這是一個優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標函數(shù).顯然不能用一個周期的總費用作為目標函數(shù)顯然不能用一個周期的總費用作為目標函數(shù).目標函數(shù)目標函數(shù)每天總費用的平均值每天總費用的平均值. 周期短，產(chǎn)量小周期短，產(chǎn)量小 周期長，產(chǎn)量大周期長，產(chǎn)量大問題分析與思考問題分析與思

5、考貯存費少，準備費多貯存費少，準備費多準備費少，貯存費多準備費少，貯存費多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費用（二者之和）最小存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費用（二者之和）最小.模模 型型 假假 設(shè)設(shè)1. 產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù) r；2. 每次生產(chǎn)準備費為每次生產(chǎn)準備費為 c1, 每天每件產(chǎn)品貯存費為每天每件產(chǎn)品貯存費為 c2；3. T天生產(chǎn)一次（周期）天生產(chǎn)一次（周期）, 每次生產(chǎn)每次生產(chǎn)Q件，當貯存量件，當貯存量 為零時，為零時，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計）；件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計）；建建 模模 目目 的的設(shè)設(shè) r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使每天總費

6、用的平均值最小使每天總費用的平均值最小. .4. 為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理.模模 型型 建建 立立0tq貯存量表示為時間的函數(shù)貯存量表示為時間的函數(shù) q(t)TQrt=0生產(chǎn)生產(chǎn)Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r遞減，遞減，q(T)=0.一周期一周期總費用總費用221QTccC每天總費用平均每天總費用平均值（目標函數(shù)）值（目標函數(shù)）2)(21rTcTcTCTC離散問題連續(xù)化離散問題連續(xù)化20( )dTcq tt一周期貯存費為一周期貯存費為A2221rTcc rTQ =QT/222QTc模型求解模型求解min2)(21rT

7、cTcTC求求 T 使使d0dCT212crcrTQ212rccT 模型解釋模型解釋QTc,1QTc,2QTr,定性分析定性分析敏感性分析敏感性分析參數(shù)參數(shù)c1,c2, r的微小變化對的微小變化對T,Q的影響的影響T對對c1的的(相相對對)敏感度敏感度 111/),(ccTTcTS11ddcTc T21c1增加增加1%, T增加增加0.5%S(T,c2)=1/2, S(T,r)=1/2c2或或r增加增加1%, T減少減少0.5%經(jīng)濟批量訂貨公式經(jīng)濟批量訂貨公式（EOQ公式公式）212rccT 212crcrTQ 用于訂貨供應情況用于訂貨供應情況:不允許缺貨的存貯模型不允許缺貨的存貯模型模型應用

8、模型應用T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答原問題回答原問題c1=5000, c2=1，r=100 每天需求量每天需求量 r，每次訂貨費，每次訂貨費 c1, 每天每件貯存費每天每件貯存費 c2 , T天訂貨一次天訂貨一次(周期周期), 每次訂貨每次訂貨Q件，當貯存量降到零時，件，當貯存量降到零時，Q件立即到貨件立即到貨.思考思考: 為什么與前面計算的為什么與前面計算的C=950元有差別元有差別?允許缺貨的存貯模型允許缺貨的存貯模型ABOqQrT1t當貯存量降到零時仍有需求當貯存量降到零時仍有需求r, 出現(xiàn)缺貨，造成損失出現(xiàn)缺貨，造成損失.原模型假設(shè)：原模型假設(shè)

9、：貯存量降到零時貯存量降到零時Q件立即生產(chǎn)出來件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨或立即到貨).現(xiàn)假設(shè)：現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨允許缺貨, 每天每件缺貨損失費每天每件缺貨損失費 c3 , 缺貨需補足缺貨需補足.T1rTQ Ac2Bc3周期周期T, t=T1貯存量降到零貯存量降到零2)(2213121TTrcQTccC一周期總費用一周期總費用一周期一周期貯存費貯存費120( )dTcq tt一周期一周期缺貨費缺貨費13( )dTTcq ttTCQTC),(0,0QCTC每天總費用每天總費用平均值平均值（目標函數(shù)）（目標函數(shù)）213121)(2121TTrcQTccC一周期總費用一周期總費用( ,)minC T Q

10、 求求 T ,Q 使使332212cccrccT323212ccccrcQ為與不允許缺貨的存貯模型為與不允許缺貨的存貯模型相比，相比，T T記作記作T T , , Q Q記作記作Q Q . .允許缺貨的存貯模型允許缺貨的存貯模型rTQrTcrTQcTc2)(223221212rccT 212crcrTQ不允許不允許缺貨缺貨模型模型QQTT,332ccc 記記1QQTT,13cQQTT,332212cccrccT323212ccccrcQ允許允許缺貨缺貨模型模型不不允允許許缺缺貨貨3c332212cccrccT323212ccccrcQ允許允許缺貨缺貨模型模型OqQ rT1tT注意：缺貨需補足注

11、意：缺貨需補足Q 每周期初的存貯量每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量每周期的生產(chǎn)量R （或訂貨量）（或訂貨量）332212ccccrcTrRQ不允許缺貨時的產(chǎn)量不允許缺貨時的產(chǎn)量(或訂貨量或訂貨量) QQR存存 貯貯 模模 型型 存貯模型存貯模型(EOQ公式公式)是研究批量生產(chǎn)計劃的是研究批量生產(chǎn)計劃的重要理論基礎(chǔ)重要理論基礎(chǔ), 也有實際應用也有實際應用. 建模中未考慮生產(chǎn)費用建模中未考慮生產(chǎn)費用, 為什么為什么?在什么條件下在什么條件下可以不考慮可以不考慮(習題習題1)? 建模中假設(shè)生產(chǎn)能力為無限大建模中假設(shè)生產(chǎn)能力為無限大(生產(chǎn)時間不計生產(chǎn)時間不計), 如果生產(chǎn)能力有限如果生產(chǎn)能力有限(大于

12、需求量的常數(shù)大于需求量的常數(shù)), 應作怎應作怎樣的改動樣的改動(習題習題2)?3.2 生豬的出售時機生豬的出售時機飼養(yǎng)場每天投入飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，備，估計估計可使可使80kg重的生豬體重增加重的生豬體重增加2kg.問問題題市場價格目前為市場價格目前為8元元/kg，但是，但是預測預測每天會降低每天會降低 0.1元，問生豬應何時出售元，問生豬應何時出售?如果如果估計估計和和預測預測有誤差，對結(jié)果有何影響有誤差，對結(jié)果有何影響?分分析析投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨時間減少，故存在最佳出售時機，使

13、利潤最大時間減少，故存在最佳出售時機，使利潤最大.trtgttQ4)80)(8()(求求 t 使使Q(t)最大最大rggrt240410天后出售，可多得利潤天后出售，可多得利潤20元元.建模及求解建模及求解生豬體重生豬體重 w=80+rt出售價格出售價格 p=8gt銷售收入銷售收入 R=pw資金投入資金投入 C=4t利潤利潤 Q= RC估計估計r=2，若當前出售，利潤為若當前出售，利潤為808=640（元）（元）t 天天出售出售=10Q(10)=660 640g=0.1=pw 4t敏感性分析敏感性分析研究研究 r, g微小變化時對模型結(jié)果的影響微小變化時對模型結(jié)果的影響. 估計估計r=2， g

14、=0.1rggrt2404 設(shè)設(shè)g=0.1不變不變 5 . 1,6040rrrtt 對對r 的（相對）敏感度的（相對）敏感度 rrttrtS/),(ddt rr t3604060),(rrtS生豬每天增加的體重生豬每天增加的體重 r 變大變大1%，出售時間推遲，出售時間推遲3%. 1.522.5305101520rt敏感性分析敏感性分析估計估計r=2， g=0.1rggrt2404研究研究 r, g微小變化時對模型結(jié)果的影響微小變化時對模型結(jié)果的影響. 設(shè)設(shè)r=2不變不變 15. 00,203gggtt 對對g的（相對）敏感度的（相對）敏感度 /d( , )/dt tt gS t gg gg

15、t32033),(ggtS生豬價格每天的降低生豬價格每天的降低g增加增加1%，出售時間提前，出售時間提前3%. 0.060.080.10.120.140.160102030gt強健性分析強健性分析保留生豬直到每天收入的增值等于每天的費用時出售保留生豬直到每天收入的增值等于每天的費用時出售.由由 S(t,r)=3建議過一周后建議過一周后(t=7)重新估計重新估計 , 再作計算再作計算.wwpp,研究研究 r, g不是常數(shù)時對模型結(jié)果的影響不是常數(shù)時對模型結(jié)果的影響. w=80+rt w = w(t)p=8gt p =p(t) 若若 (10%), 則則 （30%） 2 . 28 . 1 w137

16、t0)( tQ每天收入的增值每天收入的增值 每天投入的資金每天投入的資金 4)()()()(twtptwtpttwtptQ4)()()(利潤利潤3.3 森林救火森林救火森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量.隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員少，森林損失大，救援費用小隊員少，森林損失大，救援費用小.綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量.問題問題分析分析問題問題記隊員人數(shù)記隊員人數(shù)x, 失火時刻失火時刻t=0, 開始救火時刻開始救火時刻t1, 滅火時刻滅火時刻t2, 時刻時刻t森林燒毀面積森林

17、燒毀面積B(t). 損失費損失費f1(x)是是x的減函數(shù)的減函數(shù), 由燒毀面積由燒毀面積B(t2)決定決定. 救援費救援費f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊員人數(shù)和救火時間決定由隊員人數(shù)和救火時間決定.存在恰當?shù)拇嬖谇‘數(shù)膞，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小. 關(guān)鍵是對關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設(shè)作出合理的簡化假設(shè).問題問題分析分析失火時刻失火時刻t=0, 開始救火時刻開始救火時刻t1, 滅火時刻滅火時刻t2, 畫出時刻畫出時刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t)的大致圖形的大致圖形.t1t2OtBB(t2)分析分析B(t)比較困難比較困難,轉(zhuǎn)而討論單位時間轉(zhuǎn)而討論單位

18、時間燒毀面積燒毀面積 dB/dt (森林燒毀的速度森林燒毀的速度).模型假設(shè)模型假設(shè) 3）f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費）燒毀單位面積損失費） 1）0 t t1, dB/dt 與與 t成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) (火勢蔓延速度火勢蔓延速度). 2）t1 t t2, 降為降為 x ( 為隊員的平均滅火為隊員的平均滅火速度速度). 4）每個）每個隊員的單位時間滅火費用隊員的單位時間滅火費用c2, 一次性費用一次性費用c3 .假設(shè)假設(shè)1）的解釋）的解釋 rB火勢以失火點為中心，均勻向四火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑周呈圓形蔓延，半徑 r與與

19、t 成正比成正比.面積面積 B與與 t2 成正比成正比dB/dt與與 t 成正比成正比xbtt12220d( )ddtBB ttt模型建立模型建立ddBtbOt1tt2x假設(shè)假設(shè)1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目標函數(shù)目標函數(shù)總費用總費用)()()(21xfxfxC假設(shè)假設(shè)3）4）xttt112假設(shè)假設(shè)2）)(222212212xttbtd0dCxxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目標函數(shù)目標函數(shù)總費用總費用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx結(jié)果解釋結(jié)果解釋 / 是火勢不繼

20、續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)其中其中 c1,c2,c3, t1, , 為已知參數(shù)為已知參數(shù)ddBtbOt1t2xt模型模型應用應用c1,c2,c3已知已知, t1可估計可估計, c2 x c1, t1, x c3 , x 結(jié)果結(jié)果解釋解釋231221122ctctcxc1燒毀單位面積損失費燒毀單位面積損失費, c2每個每個隊員單位時間滅火費隊員單位時間滅火費, c3每個每個隊員一次性費用隊員一次性費用, t1開始救火時刻開始救火時刻, 火火勢蔓延速度勢蔓延速度, 每個每個隊員平均滅火隊員平均滅火速度速度.為什么為什么? ? , 可可設(shè)置一系列數(shù)值設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊員數(shù)

21、量由模型決定隊員數(shù)量 x3.4 消費者消費者的選擇的選擇背景背景消費者在市場里如何分配手里一定數(shù)量的錢，消費者在市場里如何分配手里一定數(shù)量的錢，選擇購買若干種需要的商品選擇購買若干種需要的商品. 根據(jù)經(jīng)濟學的一條最優(yōu)化原理根據(jù)經(jīng)濟學的一條最優(yōu)化原理“消費者消費者追求最大效用追求最大效用” ，用數(shù)學建模的方法幫助，用數(shù)學建模的方法幫助消費者決定他的選擇消費者決定他的選擇. 假定只有甲乙兩種商品供消費者購買，假定只有甲乙兩種商品供消費者購買， 建立的模型可以推廣到任意多種商品的情況建立的模型可以推廣到任意多種商品的情況.當消費者購得數(shù)量分別為當消費者購得數(shù)量分別為x1, x2的甲乙兩種商品時，的甲

22、乙兩種商品時，得到的效用可用得到的效用可用函數(shù)函數(shù)u (x1, x2)度量度量，稱為稱為效用函數(shù)效用函數(shù).效用函數(shù)效用函數(shù) 利用等高線概念在利用等高線概念在x1, x2平面上畫出平面上畫出函數(shù)函數(shù)u 的等值線的等值線, u (x1, x2)=c 稱為稱為等效用線等效用線等效用線就是等效用線就是“ 實物交換模型實物交換模型”中的中的無差別曲線無差別曲線，效用就是那里的效用就是那里的滿滿意度意度. . Ox2u(x1,x2) = cx11l2l3lc增加增加 一族單調(diào)減、下凸、一族單調(diào)減、下凸、互不相交的曲線互不相交的曲線. 效用最大化模型效用最大化模型 p1, p2甲乙兩種商品的單價甲乙兩種商品

23、的單價, y消費者準備付出的錢消費者準備付出的錢 x1, x2 購得甲乙兩種商品數(shù)量購得甲乙兩種商品數(shù)量QABy/p2y/p1x1x2幾何分析幾何分析 x2u(x1,x2) = cx1O1l2l3lc增加增加u(x1, x2) = c 單調(diào)減、單調(diào)減、下凸、互不相交下凸、互不相交.在條件在條件 p1 x1+p2 x2 =y 下使下使效用函數(shù)效用函數(shù)u(x1, x2)最大最大. AB必與一條等效用線必與一條等效用線相切于相切于Q點點 (消費點消費點).Q (x1, x2) 唯一唯一.消費線消費線AB模型求解模型求解yxpxpxxu221121s.t.),(max引入拉格朗日引入拉格朗日乘子乘子構(gòu)

24、造函數(shù)構(gòu)造函數(shù))(),(),(22112121xpxpyxxuxxL0, 021xLxL與幾何分析得到的與幾何分析得到的 Q 一致一致2112d/dxuuxxx 等效用線等效用線u (x1, x2)=c的斜率的斜率 消費線消費線AB的斜率的斜率21/ pp21,2,12121ppxuxuxxxx2121ppxuxu結(jié)果結(jié)果解釋解釋效用函數(shù)效用函數(shù)的構(gòu)造的構(gòu)造等效用線等效用線u (x1, x2)=c 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) x2(x1)單調(diào)減、下凸單調(diào)減、下凸. 解釋條件中正負號的實際意義解釋條件中正負號的實際意義222221212120,0,0,0,0uuuuuxxxxxx 充分條件充分條件

25、當商品邊際效用之比等于它們價格之比時效用函數(shù)最大當商品邊際效用之比等于它們價格之比時效用函數(shù)最大. 21,xuxu 邊際效用邊際效用商品商品數(shù)量數(shù)量 增加一個單位時效用的增量增加一個單位時效用的增量 0,)(. 1121xxu效用函數(shù)效用函數(shù)u(x1,x2)幾種常用的形式幾種常用的形式,212211ppxpxp 購買兩種商品費用之比與二者價格之比的平方根購買兩種商品費用之比與二者價格之比的平方根成正比成正比, 比例系數(shù)是參數(shù)比例系數(shù)是參數(shù)與與之比的平方根之比的平方根. u(x1,x2)中參數(shù)中參數(shù) , 分別度量甲乙兩種商品對消費分別度量甲乙兩種商品對消費者的效用，或者消費者對甲乙兩種商品的偏愛

26、者的效用，或者消費者對甲乙兩種商品的偏愛 .2121ppxuxu1,0,. 221xxu0,)(. 3221baxbxau2211xpxp 購買兩種商品費用之比購買兩種商品費用之比只取決于只取決于, 與價格無關(guān)與價格無關(guān). u(x1,x2)中中 , 分別分別度量兩種商品的效用或者度量兩種商品的效用或者偏愛偏愛.實際應用時實際應用時根據(jù)對最優(yōu)解的分析，決定采用根據(jù)對最優(yōu)解的分析，決定采用哪種效用函數(shù)，并由經(jīng)驗數(shù)據(jù)確定其參數(shù)哪種效用函數(shù)，并由經(jīng)驗數(shù)據(jù)確定其參數(shù).2121ppxuxu效用函數(shù)效用函數(shù)u(x1,x2)幾種常用的形式幾種常用的形式效用最大化模型應用舉例效用最大化模型應用舉例 例例1 1

27、征銷售稅還是征收入稅征銷售稅還是征收入稅 政府從消費者身上征稅的兩種辦法政府從消費者身上征稅的兩種辦法: 銷售稅銷售稅 根據(jù)消費者購買若干種商品時花的錢征稅根據(jù)消費者購買若干種商品時花的錢征稅 收入稅收入稅 根據(jù)消費者的收入征收所得稅根據(jù)消費者的收入征收所得稅 利用圖形從效用函數(shù)和效用最大化的角度討論利用圖形從效用函數(shù)和效用最大化的角度討論 征稅前設(shè)甲乙兩種商品的單價為征稅前設(shè)甲乙兩種商品的單價為p1, p2，消費者準備花，消費者準備花的錢為的錢為y, 等效用線為等效用線為u (x1, x2)=c，消費點為，消費點為Q(x1, x2) .l1Q1B1x1*l2Q2B2A2x1BAQu(x1,

28、x2) =cOx2x1l 例例1 1 征銷售稅還是征收入稅征銷售稅還是征收入稅 對甲商品征對甲商品征銷售稅銷售稅, 稅率為稅率為p0 征稅前的消費點征稅前的消費點Q yxpxpp22101)( 消費線消費線AB1, B1在在B的左邊的左邊 AB1與與l1相切于相切于Q1(x1*, x2*) 若改為征若改為征 收入稅收入稅 政府得到的銷售稅額政府得到的銷售稅額 p0 x1* 征收的稅額與銷售稅額征收的稅額與銷售稅額 p0 x1*相同相同 *102211xpyxpxp 消費線消費線A2B2與與l2相切于相切于Q2, 可證可證B2在在B1的右邊的右邊. l2在在l1上上？l2在在l1下？下？ 如果如

29、果l2在在l1上方，上方，Q2的效用函數(shù)值將大于的效用函數(shù)值將大于Q1, 對消費者來說征收入稅比征銷售稅好對消費者來說征收入稅比征銷售稅好. 例例2 價格補貼給生產(chǎn)者還是消費者價格補貼給生產(chǎn)者還是消費者政府為鼓勵商品的生產(chǎn)或者減少消費者的負擔所采取政府為鼓勵商品的生產(chǎn)或者減少消費者的負擔所采取的兩種價格補貼辦法：的兩種價格補貼辦法： 把補貼款直接給生產(chǎn)者把補貼款直接給生產(chǎn)者 把補貼款發(fā)給消費者而讓商品漲價把補貼款發(fā)給消費者而讓商品漲價 鼓勵商品生產(chǎn)鼓勵商品生產(chǎn),對消費者無影響對消費者無影響 讓甲商品價格漲到讓甲商品價格漲到p1+p0, 補貼消費者多花的錢補貼消費者多花的錢 p0 x1*,使仍達

30、到消費點使仍達到消費點Q *0221011)(xpyxpxpplQABu (x1, x2) =cOx1x2*2x*1xlQABx1x2補貼補貼前的消費點前的消費點Q BA消費線消費線 過過Q, 與與l相切于相切于Q 的效用函數(shù)值大于的效用函數(shù)值大于Q),(21xxQx1 x2* 對消費者更有利對消費者更有利 對甲商品生產(chǎn)不利對甲商品生產(chǎn)不利3.5 生產(chǎn)者的決策生產(chǎn)者的決策背景背景根據(jù)經(jīng)濟學的又一條最優(yōu)化原理根據(jù)經(jīng)濟學的又一條最優(yōu)化原理“生產(chǎn)者生產(chǎn)者追求最大利潤追求最大利潤” ，用數(shù)學建模的方法，用數(shù)學建模的方法幫助生幫助生產(chǎn)者或供銷商做出決策產(chǎn)者或供銷商做出決策.生產(chǎn)者或供銷商根據(jù)產(chǎn)品的成本和

31、產(chǎn)值決定投入，生產(chǎn)者或供銷商根據(jù)產(chǎn)品的成本和產(chǎn)值決定投入，按照商品的銷售情況制訂價格按照商品的銷售情況制訂價格. 在市場經(jīng)濟中在市場經(jīng)濟中“消費者追求最大效用消費者追求最大效用”，生產(chǎn)者呢？生產(chǎn)者呢？最大利潤模型最大利潤模型 x產(chǎn)品產(chǎn)量產(chǎn)品產(chǎn)量f (x) 邊際產(chǎn)值邊際產(chǎn)值 x變化一個單位時產(chǎn)值的改變量變化一個單位時產(chǎn)值的改變量 c(x) 邊際成本邊際成本 x變化一個單位時成本的改變量變化一個單位時成本的改變量最大利潤在邊際產(chǎn)值等于邊際成本時達到最大利潤在邊際產(chǎn)值等于邊際成本時達到. . 假定產(chǎn)品可以全部銷售出去變成收入假定產(chǎn)品可以全部銷售出去變成收入 f(x) 產(chǎn)值產(chǎn)值(收入收入), c(x)

32、 成本成本 )()()(xcxfxr利潤利潤 達到最大利潤的達到最大利潤的產(chǎn)產(chǎn)量量 x*)()(*xcxf0)(* xr在產(chǎn)品可以全部銷售出去的條件下確定商品價格，在產(chǎn)品可以全部銷售出去的條件下確定商品價格，使利潤最大使利潤最大. 產(chǎn)量產(chǎn)量x等于銷量，數(shù)量無限制等于銷量，數(shù)量無限制. 收入與收入與x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) p 即價格即價格. 成本成本與與 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) c 即即邊際成本邊際成本. 銷量銷量x 依于價格依于價格 p, x(p)是減函數(shù)是減函數(shù).簡化假設(shè)簡化假設(shè)0,)(babpapx求求p使使 r(p) 最大最大最優(yōu)定價模型最優(yōu)定價模型 利潤利潤)()(bpac

33、pcxpxprc / 2 成本的一半成本的一半b 彈性系數(shù)彈性系數(shù)價格上升價格上升1單位時銷量的下降幅度單位時銷量的下降幅度（需求對價格的敏感度）（需求對價格的敏感度）a 絕對需求絕對需求( p很小時的需求很小時的需求)b p* a p* a, b可可由由p和和x的統(tǒng)計數(shù)據(jù)作擬合得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)作擬合得到 利潤達到最大的定價利潤達到最大的定價利潤利潤)()(bpacppr最優(yōu)定價模型最優(yōu)定價模型 d0drpbpapx)(bacp22*ddxbp 投資費用一定下的產(chǎn)值最大模型投資費用一定下的產(chǎn)值最大模型 x1, x2 甲乙產(chǎn)品的產(chǎn)量甲乙產(chǎn)品的產(chǎn)量c1, c2 甲乙產(chǎn)品的單位成本甲乙產(chǎn)品的單位成本s

34、總投資費用總投資費用f (x1, x2) 產(chǎn)值函數(shù)產(chǎn)值函數(shù) sxcxc2211在條件在條件 下求下求x1, x2使產(chǎn)值使產(chǎn)值 f (x1, x2) 最大最大. QABs/c2s/c1x1x2x2f(x1,x2) = vx1O1l2l3lv增加增加等產(chǎn)值線等產(chǎn)值線f (x1, x2)=v單調(diào)單調(diào)減、下凸、互不相交減、下凸、互不相交.幾何分析幾何分析 投資線投資線AB必與一條等必與一條等產(chǎn)值產(chǎn)值線相切于線相切于Q點點.與效用最大化模型類似與效用最大化模型類似下凸下凸稀缺產(chǎn)品的產(chǎn)值更高稀缺產(chǎn)品的產(chǎn)值更高 投資費用一定下的產(chǎn)值最大模型投資費用一定下的產(chǎn)值最大模型 21,2,12121ccxfxfxxx

35、x最優(yōu)解最優(yōu)解(x1, x2)滿足滿足 sxcxc2211在條件在條件 下求下求x1, x2使產(chǎn)值使產(chǎn)值 f (x1, x2) 最大最大. 用拉格朗日乘子法求條件極值用拉格朗日乘子法求條件極值21,xfxf邊際產(chǎn)值邊際產(chǎn)值當兩種產(chǎn)品的邊際產(chǎn)值之比等于它們的當兩種產(chǎn)品的邊際產(chǎn)值之比等于它們的價格之比時，產(chǎn)值達到最大價格之比時，產(chǎn)值達到最大. . 產(chǎn)值最大與費用最小的對偶關(guān)系產(chǎn)值最大與費用最小的對偶關(guān)系 x=(x1, x2)T, c =(c1, c2) )(max),(scxxfcsg投資費用一定的產(chǎn)值最大模型投資費用一定的產(chǎn)值最大模型 g(s,c)給定的單位成本給定的單位成本c下費用不超過下費用

36、不超過s的最大產(chǎn)值的最大產(chǎn)值. 產(chǎn)值一定的投資費用最小模型產(chǎn)值一定的投資費用最小模型 )(min),(vxfcxcvss(v,c)給定的單位成本給定的單位成本c下產(chǎn)值不低于下產(chǎn)值不低于v的最小費用的最小費用. 對偶極值問題對偶極值問題 只要解決其中之一只要解決其中之一, 另一個就迎刃而解另一個就迎刃而解 成本函數(shù)是簡單的線性函數(shù)成本函數(shù)是簡單的線性函數(shù) c(x). 產(chǎn)值函數(shù)產(chǎn)值函數(shù)f(x) 在實際生產(chǎn)過程中常常難以確定在實際生產(chǎn)過程中常常難以確定. 從成本函數(shù)確定產(chǎn)值函數(shù)的圖解法從成本函數(shù)確定產(chǎn)值函數(shù)的圖解法產(chǎn)值最大與費用最小對偶關(guān)系的應用產(chǎn)值最大與費用最小對偶關(guān)系的應用 Qf (x) vlA

37、BOx1x2 給定給定v和和c求得最小費用求得最小費用s(v,c)=s )(min),(vxfcxcvs 畫出直線畫出直線AB: cx=sx=(x1, x2)T, c =(c1, c2) f (x)v的點在的點在AB上方上方, 且且AB上有一點上有一點Q位于位于l: f (x)=v上上 改變改變c重復上述過程重復上述過程, 得到得到一系列不同斜率的直線一系列不同斜率的直線 區(qū)域區(qū)域f (x)v在直線上方在直線上方, 其邊界是等產(chǎn)值線其邊界是等產(chǎn)值線l: f (x)=v 包包絡絡線線 改變改變v重復上述過程重復上述過程, 得到一系列等產(chǎn)值線得到一系列等產(chǎn)值線 3.6 血血 管管 分分 支支背背景

38、景機體提供能量維持血液在血管中的流動機體提供能量維持血液在血管中的流動.給血管壁以營養(yǎng)給血管壁以營養(yǎng).克服血液流動的阻力克服血液流動的阻力.消耗能量與取決于血管的幾何形狀消耗能量與取決于血管的幾何形狀.在長期進化中動物血管的幾何形狀已經(jīng)在長期進化中動物血管的幾何形狀已經(jīng)達到能量最小原則達到能量最小原則.研究在能量最小原則下，血管分支處研究在能量最小原則下，血管分支處粗細血管半徑比例和分岔角度粗細血管半徑比例和分岔角度.問問題題模型假設(shè)模型假設(shè)一條粗血管和兩條細血管在分支點對稱地處于同一平面一條粗血管和兩條細血管在分支點對稱地處于同一平面.血液流動近似于黏性流體在剛性管道中的運動血液流動近似于黏

39、性流體在剛性管道中的運動.血液給血管壁的能量隨血液給血管壁的能量隨管壁的內(nèi)表面積和體積管壁的內(nèi)表面積和體積的增加而增加，管壁厚的增加而增加，管壁厚度度d近似與血管半徑近似與血管半徑r成正成正比比.qq1q1ABB CHLll1rr1 q=2q1r/r1, ?考察血管考察血管AC與與CB, CB 黏性流體在剛黏性流體在剛性管道中運動性管道中運動48rpql pA,C壓力差，壓力差， 黏性系數(shù)黏性系數(shù)克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量E1 2148 q lEq pr提供營養(yǎng)消耗能量提供營養(yǎng)消耗能量E2 21,2lbrE管壁內(nèi)表面積管壁內(nèi)表面積 2 rl管壁體積管壁體積 (d2+2rd)l,管壁厚度管

40、壁厚度d與與r成正比成正比模型假設(shè)模型假設(shè)qq1q1ABB CHLll1rr1 模型建立模型建立qq1q1ABB CHLll1rr1 4218rlqpqE克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量21,2lbrE提供營養(yǎng)消耗能量提供營養(yǎng)消耗能量11412142212)/()/(lbrrkqlbrrkqEEE1tan ,sinlLH/ lH/24124111( ,)(/)(tan)2sinE r rkqrbrLH/(kq /rbr) H/機體為血流提供能量機體為血流提供能量模型求解模型求解qq1q1ABB CHLll1rr1 0,01rErE4114rr0E442cos214937,32. 1/26. 1

41、1rr24124111( , , )(/)(/tan )(/)2/sinE r rkqrbrLHkqrbrH0/40/4512115211rkqrbrkqrb412cosrr模型模型解釋解釋生物學家：結(jié)果與觀察大致吻合生物學家：結(jié)果與觀察大致吻合大動脈半徑大動脈半徑rmax, 毛細血管半徑毛細血管半徑rmin大動脈到毛細血管有大動脈到毛細血管有n次分岔次分岔 4114rr4minmax4nrr5minmax41000/rr21493732. 1/26. 11rr觀察：狗的血管觀察：狗的血管)4(5n3025n血管總條數(shù)血管總條數(shù)97302510103222n推論推論n=？3.7 冰山運輸冰山運

42、輸背景背景 波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的成本為每立方米的成本為每立方米0.1英鎊英鎊. 專家建議從專家建議從9600km遠的南極用拖船遠的南極用拖船運送冰山，取代淡化海水運送冰山，取代淡化海水. 從經(jīng)濟角度研究冰山運輸?shù)目尚行詮慕?jīng)濟角度研究冰山運輸?shù)目尚行?建模準備建模準備1. 日租金和最大運量日租金和最大運量船船 型型小小 中中 大大日租金（英鎊）日租金（英鎊） 最大運量（最大運量（m3）4.06.28.05 1051061072. 燃料消耗（英鎊燃料消耗（英鎊/km）3. 融化速率（融化速率（m/天）天）與南極距離與南極距離 (km)船速船速(km/h)

43、0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山體積冰山體積(m3)船速船速(km/h) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8建模準備建模準備建模建模目的目的選擇船型和船速，使冰山到達目的地后每立方選擇船型和船速，使冰山到達目的地后每立方米水的費用最低，并與淡化海水的費用比較米水的費用最低，并與淡化海水的費用比較.模型模型假設(shè)假設(shè) 航行過程中船速不變，總距離航行過程中船速不變，總距離9600km. 冰山呈球形，球面各點融化速率相同冰山呈球形，球面各點融化速率相同. 到

44、達目的地后到達目的地后,每立方米冰可融化每立方米冰可融化0.85m3水水.建模建模分析分析目的地目的地水體積水體積運輸過程運輸過程融化規(guī)律融化規(guī)律總費用總費用目的地目的地冰體積冰體積初始冰初始冰山體積山體積燃料消耗燃料消耗租金租金船型船型, 船速船速船型船型船型船型, 船速船速船型船型utuuttuurt61000),4 . 01 (2 . 0610000,)4 . 01 (1056. 13第第t天融天融化速率化速率4000),1 (40000),1 (21dbuadbudar4 . 0, 2 . 0,105 . 6251baa模模型型建建立立1. 冰山融化規(guī)律冰山融化規(guī)律 船速船速u (km

45、/h)與南極距離與南極距離d(km)融化速率融化速率r(m/天）天）r是是 u 的線性函數(shù)的線性函數(shù)d4000時時u與與d無關(guān)無關(guān)航行航行 t 天天, d=24ut 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd1. 冰山融化規(guī)律冰山融化規(guī)律 tkktrRR10冰山初始半徑冰山初始半徑R0，航行，航行t天時半徑天時半徑冰山初始體積冰山初始體積30043VR343ttVRt天時體積天時體積總航行天數(shù)總航行天數(shù)31030134( , )()34tkkVV u Vtr選定選定u,V0, 航行航行t天時冰山體積天時冰山體積31030134( ,)()34TttVV u Vr到達目的地到