D12_6傅里葉級(jí)數(shù)

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第六節(jié)第六節(jié)一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性 二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 第十二章 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng) :)sin(tAy(諧波函數(shù))( A為振幅, 復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng) :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))sincos(210 xnbxnaannk為角頻率

2、, 為初相 )(諧波迭加)稱上述形式的級(jí)數(shù)為三角級(jí)數(shù).目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxnkxnkd)cos()cos(21定理定理 1. 組成三角級(jí)數(shù)的函數(shù)系,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx證證:1xnxdcos1xnxdsin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00sinsinxxnxkd同理可證 :),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交 ,上的積分等于 0 .即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在0sincosxxnxkd)(nk 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 上的積分不等于 0 .,2d11xxxn

3、 dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有 但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)定理定理 2 . 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分, 則有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn證證: 由定理?xiàng)l件,10dsindcosd2d)(nnnxxnbxxnaxaxxf0a,對(duì)在逐項(xiàng)積分, 得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xx

4、kaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2kaxxkxfakdcos)(1),2, 1(k(利用正交性),2, 1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)(10類似地, 用 sin k x 乘 式兩邊, 再逐項(xiàng)積分可得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù) 稱為的傅傅里里葉系數(shù)葉系數(shù) ;10sincos2)(nnnxnbxnaaxf), 1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式 確定的nnba ,以)(xf)(xf),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn的傅里里的傅傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù) .稱為函

5、數(shù))(xf 簡(jiǎn)介 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理3 (收斂定理收斂定理, 展開定理展開定理)設(shè) f (x) 是周期為2 的周期函數(shù), 并滿足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )條件條件:1) 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);2) 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn), 則 f (x) 的傅里葉級(jí)數(shù)收斂 , 且有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 為間斷點(diǎn)其中nnba ,( 證明略證明略 )為 f (x) 的傅里里葉系數(shù) . x 為連續(xù)點(diǎn)注意注意: 函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展成冪級(jí)數(shù)的條件低得多.簡(jiǎn)介 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yx例

6、例1. 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 上的表達(dá)式為),0,10,1)(xxxf解解: 先求傅里葉系數(shù)dcos)(1xnxxfan00dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n將 f (x) 展成傅里葉級(jí)數(shù). O11目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 dsin)(1xnxxfbn00dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n當(dāng),6,4,2n當(dāng)xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yx11O),2,0,(x

7、x77sin x99sinx1) 根據(jù)收斂定理可知,時(shí),級(jí)數(shù)收斂于02112) 傅氏級(jí)數(shù)的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin x說(shuō)明說(shuō)明:), 2, 1, 0(kkx當(dāng)f (x) 的情況見右圖.Oyx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 上的表達(dá)式為),0,00,)(xxxxf將 f (x) 展成傅里葉級(jí)數(shù).解解: 0d)(1xxfa0dcos1xxnxdcos)(1xnxxfan0d1xx0221x202cossin1nnxnnxxcos12nn它在 xyO2332目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ), 2, 1(ndsin)(1x

8、nxxfbnnn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx32231x4sin41 5sin 5cos xx52251cos12nnan,) 12(22k),2,1,0,) 12(,(kkxx說(shuō)明說(shuō)明: 當(dāng)) 12(kx時(shí), 級(jí)數(shù)收斂于22)(0目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 , )(xxf周期延拓)(xF傅里里葉展開,)(在xf上的傅里葉級(jí)數(shù)定義在定義在 , 上的函數(shù)上的函數(shù) f (x)的傅氏級(jí)數(shù)展開法的傅氏級(jí)數(shù)展開法), )(xxf , )2(kxf其它目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 將

9、函數(shù)0, 0,)(xxxxxf則0d)(1xxFad)(1xxf0d2xx0222xdcos)(1xnxxFandcos)(1xnxxf0dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 將 f (x)延拓成以 展成傅里葉級(jí)數(shù).2為周期的函數(shù) F(x) , yxO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,) 12(42kdsin)(1xnxxFbndsin)(1xnxxf0)(xf24xcosx5cos512)(x當(dāng) x = 0 時(shí), f (0) = 0 , 得2222) 12(1513118n說(shuō)明說(shuō)明: 利用此展式可求出

10、幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)的和.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 42,421312242設(shè),413121122222217151311,6141212222已知82122234131211又21213624822212248222目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)1. 周期為周期為2 的的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)定理定理4 . 對(duì)周期為 2 的奇函數(shù) f (x) , 其傅里葉級(jí)數(shù)為周期為2的偶函數(shù) f (x) , 其傅里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù) ,),2,1,0( dcos)(20nxnxxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3

11、,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅里葉系數(shù)為正弦級(jí)數(shù),它的傅里葉系數(shù)為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 設(shè)的表達(dá)式為 f (x) x , 將 f (x) 展成傅里里葉級(jí)數(shù). f (x) 是周期為2 的周期函數(shù),它在上),解解: 若不計(jì)),2, 1,0() 12(kkx是則)(xf周期為 2 的奇函數(shù), 0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nnyxO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 n1根據(jù)收斂定理可得 f (x) 的正弦級(jí)數(shù):)(xf,(x)3sin312sin21

12、(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1),1,0,) 12(kkx級(jí)數(shù)的部分和 上在),逼近 f (x) 的情況見右圖. yxOn2n3n4n5Oxy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 將周期函數(shù)tEtusin)(展成傅里里葉級(jí)數(shù), 其中E 為正常數(shù) .解解:)(tu; ),2,1(0nbn0a0dsin2ttEE4ttntuan0dcos)(2tt ntE0dcossin20d) 1sin() 1sin(ttntnE是周期為2 的周期偶函數(shù) , 因此0d)(2ttu 為便于計(jì)算, 將周期取為2 y2xO2目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 t 2cos310d) 1(sin) 1(si

13、nttntnEankn212, 0 kn),2,1(k1a0)(tu)(t,) 14(42kE0d2sinttE21t 4cos151t6cos351E2E4xkkEk2cos141412目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 定義在定義在0, 上的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)上的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù),0),(xxf)(xF周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0, 上展成周期延拓 F (x)余弦級(jí)數(shù)奇延拓偶延拓xOy正弦級(jí)數(shù) f (x) 在 0, 上展成Oxy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf,0),(xxf)0,(),(xxf目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyO1例

14、例6. 將函數(shù))0(1)(xxxf分別展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù) . 解解: 先求正弦級(jí)數(shù). 去掉端點(diǎn), 將 f (x) 作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos1212 knkn2),2, 1(k,1222k,1k目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 nb12,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2( x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意: 在端點(diǎn) x = 0, , 級(jí)數(shù)的和為0 ,與給定函數(shù)因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . xyO1目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返

15、回 結(jié)束 再求余弦級(jí)數(shù).xy將)(xf則有O0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓 ,1目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 na12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k121xxcosx3cos312)0( xx5cos512說(shuō)明說(shuō)明: 令 x = 0 可得8513112228) 12(1212nk即41212) 12(14kkxk) 12cos(xyO1目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 周期為 2 的函數(shù)的傅里里葉級(jí)

16、數(shù)及收斂定理 )sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(間斷點(diǎn)x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 若0 x為間斷點(diǎn),則級(jí)數(shù)收斂于2)()(00 xfxf目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 周期為 2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 奇函數(shù)正弦級(jí)數(shù) 偶函數(shù)余弦級(jí)數(shù)3. 在 0, 上函數(shù)的傅里葉展開法 作奇周期延拓 , 展開為正弦級(jí)數(shù) 作偶周期延拓 , 展開為余弦級(jí)數(shù)1. 在 0 , 上的函數(shù)的傅里里葉展開法唯一嗎 ?答答: 不唯一 , 延拓方式不同級(jí)數(shù)就不同 .思考與練習(xí)思考與練習(xí)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,

17、處收斂于2.)(xf0 x,1 x0,12x則它的傅里里葉級(jí)數(shù)在x在4x處收斂于 .提示提示:2)()(ff2 )(f)(f2222)4()4(ff2)0()0( ff21102設(shè)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為xyO11目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xO3. 設(shè),0,)(2xxxxf又設(shè))(xS求當(dāng))()2,(xSx時(shí)的表達(dá)式 .解解: 由題設(shè)可知應(yīng)對(duì))(xf作奇延拓:)(xFxxx0,20 x,00 x,2xx ,),(上在; )()(xFxS由周期性:,)2,(上在)2()(xSxS)0,(2x2)2()2(xx2223xx)(xf是2), 0(內(nèi)以為周期的正弦級(jí)數(shù)展開式的和函數(shù), 在2x

18、 f (x)的定義域 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyO11)(xf4. 寫出函數(shù))(xf0, 1x x0, 1上在,傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù) .)(xS0, 1x x0, 10 x,0 x,0答案:定理3 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P276 2(1) , (3) ; 3 5 ; 6 ; 7 第八節(jié) 作業(yè)作業(yè) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題 1.2)(xxxf函數(shù))(x葉級(jí)數(shù)展式為, )sincos(210nnnnxbnxaa則其中系數(shù). 3b提示提示:xxxfbd3sin)(13xxxxd3sin)(21xx3sin0 x3cos31x3sin91)3sin93cos3(2xxx03