全等三角形的證明

1、 全等三角形全等三角形全等三角形判定全等三角形判定知識(shí)透析知識(shí)透析1.判定定理(1)三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SSS)(2)兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)(3)兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA)(4)兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 (AAS)(5)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL)2. “ASA ”和“AAS” 可總結(jié)為兩個(gè)三角形如果具備兩 個(gè)角和一條邊對(duì)應(yīng)相等即可證全等3. 證明兩個(gè)直角三角形，可根據(jù)“HL”證明，但并不是只能用這個(gè)方法。兩個(gè)直角三角形已知有兩個(gè)直角是相等的，所以做題時(shí)還可以考慮“AAS”“ASA”“S

2、AS”進(jìn)行證明全等三角形判定全等三角形判定知識(shí)透析知識(shí)透析abcdef123456SSS邊邊邊定理的識(shí)別定理的識(shí)別abcdef123456SAS邊角邊定理的識(shí)別定理的識(shí)別abcdef123456ASA角邊角定理的識(shí)別定理的識(shí)別abcdef123456AAS角角邊定理的識(shí)別定理的識(shí)別BCADEASA角邊角定理的識(shí)別定理的識(shí)別BCADESAS邊角邊定理的識(shí)別定理的識(shí)別BCADEAAS角角邊定理的識(shí)別定理的識(shí)別ABCDASA角邊角定理的識(shí)別定理的識(shí)別ABCDAAS角角邊定理的識(shí)別定理的識(shí)別ABCDSAS邊角邊定理的識(shí)別定理的識(shí)別哪些證明方法哪些證明方法不行？不行？AAA反例：ACBFED,ABCDE

3、FADBECF 但不與全等ASS，SSA 已知ABC中，ABAC，過(guò)點(diǎn)A任作一直線（不與BC垂直）和BC交于點(diǎn)D在ABD和ACD中，有ABAC，ADAD，BC，顯然它們不全等ABDCASS，SSA 已知ABC中，ABAC，過(guò)點(diǎn)A任作一直線，和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D在ABD和ACD中，有ABAC，ADAD，DD，顯然它們不全等ABDC證明的書寫證明的書寫SSS證明書寫證明書寫ABCEDFAB=DEAC=DFBC=EF在ABC和DEF中，ABCDEFA=D，B=E, C=FBCADE已知：AD=AB，AE=AC, ED=CB求證：D=B已知：A為EC中點(diǎn)，且為DB中點(diǎn), ED=CB求證：D=BSSS

4、書寫訓(xùn)練書寫訓(xùn)練ADCB1234已知：BC=BD, AC=AD求證：3=4ABCD1234已知：AB=DC, AC=DB求證：2=4, 1=3OB CA DMN如圖，在ABC和DCB中，AB = DC，AC = DB，AC與DB交于點(diǎn)M（1）求證：ABC DCB ；（2）過(guò)點(diǎn)C作CNBD，過(guò)點(diǎn)B作BNAC，CN與BN交于點(diǎn)N，試判斷線段BN與CN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論(2009云南)abcdef123456SAS邊角邊ABCEDFAB=DEAC=DFA=D在ABC和DEF中，ABCDEFBC=EF，B=E，C=FSAS書寫過(guò)程書寫過(guò)程已知：已知：A=D,AB=AE,AC=DF求證：求證：A

5、BCABCDEFDEFBCADE在ABC和ADE中，1=212DA=ABEA=ACDAEBACE=C，D=B，DE=BC已知：已知：DA=AB,EA=AC求證：求證：DAEDAEBACBACABCD在ABC和DBC中，1=2AB=DBBC=BCABCDBCA=D，ACB=DCB，AC=DC12已知：已知：AB=BD,BC=BC求證：求證：ABCABCDBCDBCSAS書寫訓(xùn)練書寫訓(xùn)練BCADE已知：DA=BA, EA=CA求證：D=BADCB1234已知：1=2, AC=AD求證：3=4已知：AC=DB,2=4求證：1=3ABCD1234ABCDEO已知：ABAC，ADAE，BADCAE求證：

6、(1) ABEACD； (2) OBOC （2009重慶）如圖，C是線段AB的中點(diǎn)，CD平分ACE，CE平分BCD，CD=CE(1)求證：ACD BCE；(2)若D=50，求B(2010江蘇蘇州江蘇蘇州) 證明：證明：(1)點(diǎn)點(diǎn)C是線段是線段AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)AC=BC又又CD平分平分ACE ，CE平分平分BCD1=2，2=31=3在在ACD和和BCE中，中，ACD BCE1=3AC=BCCD=CE(2)1+2+3=1801= 2 =3=60在在ACD和和BCE中，中，ACD BCEE=D=50abcdef123456AAS角角邊BCADE在ABC和ADE中，1=212DA=ABDAEBACD=

7、B，EA=AC，DE=BCE=CAAS書寫過(guò)程書寫過(guò)程已知：已知：E=C,AB=AD求證：求證：ABCABCADEADE在ABC和ADE中，1=2BC=BCABCDBC3=4，AB=DB，AC=DCABCD1234A=D已知：已知：E=C,AB=AD求證：求證：ABCABCADEADEAAS書寫訓(xùn)練書寫訓(xùn)練BCADE已知：E=C, ED=CB求證：AD=ABADCB1234已知：3=4, C=D求證：BC=BD已知：AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，DEAB， DFAC求證：BED CFD (2009湖州)DCBEAFDEAB， DFACBDE=CFD=90 AB=ACB=C D為BC的中點(diǎn)BED

8、CFD BD=CD 1分1分1分1分BCADE已知：E=C, ED=CB求證：AD=AB已知：E=C, EA=CA求證：D=B綜合已知：DA=BA, EA=CA求證：D=B已知：AD=AB，AE=AC, ED=CB求證：D=BADCB1234已知：1=2, 3=4求證：AC=AD已知：1=2, AC=AD求證：3=4已知：BC=BD, AC=AD求證：3=4已知：3=4, C=D求證：BC=BDADCB1234已知：3=4, C=D求證：ACD為等腰三角形已知：1=2, C=D求證：CDABABCD已知：2=4, AC=DB求證：AB=DC1234已知：2=4, AC=DB求證：1=3已知：1

9、=3, 2=4求證：AC=DB已知：AB=DC, AC=DB求證：2=4, 1=3ABCD已知：2=4, AC=DB求證：AB=DC1234已知：2=4, AC=DB求證：1=3已知：1=3, 2=4求證：AC=DB已知：AB=DC, AC=DB求證：2=4, 1=3已知方向SSSASSSSAAAASASA總 結(jié)總總 結(jié)結(jié)ASSAS ASA AAS強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練翻折型旋轉(zhuǎn)型已知：1=2, BE=CF, AF=DE求證：AB=DCABCD12EF已知：1=2,A=D,BE=CF求證：AB=DC BE=CFBE+EF=CF+EF即BF=CE翻折型已知：AB=DE，ACDF，BCEF求證：ABC

10、DEFABCDEF已知：AB=AC, BD=CD求證：ADBCABCDOACEDB已知：AB=AC, AD=AE求證：BD=CE（2010 山東濟(jì)南）AB=AC B=C AD=AE ADE=AED180-ADE=180-AED 即ADB=AEC 在ABD和ACE中AB=AC B=C ADB=AECABD ACE BD=CE 已知：AB=BC，BF平分ABC，AFDC求證：CA是DCF的平分線。(2009赤峰)ABCDF已知：在等腰梯形ABCD中，ADBC ，AB=DC ，AB=2，DC=4 ，延長(zhǎng)BC到E，使CE=AD證明：BD=DE （2009崇左）ABCDE已知：ABC為等邊三角形，AE=

11、CD，(1)求證：ABE CAD； (2)求BFDABCEDFBFD=BAF+1=BAF+212旋轉(zhuǎn)型已知： AB=AC，BD=CE。求證：DG=GEABCGEPD已知：ABC和ECD都是等腰直角三角形， （1）求證：ACE BCD； （2）求證：ADE為直角三角形ADE為直角三角形EAD=90EAC=45EAC= DBCBCADE已知：D是等邊ABC的邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊向上作等邊EDC，連接AE，找出圖中的一組全等三角形，并說(shuō)明理由ABCDE123已知：等邊ABC和等邊EDC，找出圖中的一組全等三角形，并說(shuō)明理由（2009湖北荊州）ABDCEF124356已知已知Rt ABC R

12、t ADE,ADE,ABC=ABC=ADE=90ADE=90(1)(1)列出圖中所有的全等三角形列出圖中所有的全等三角形(2)(2)求證求證CF=EFCF=EF(3)(3)5=5=6 6已知：AB=AC，以兩邊為腰作兩個(gè)等腰直角三角形，1=40（1）求DBC的度數(shù)；（2）求證：BD=CE（2009紹興）1提高擴(kuò)展提高擴(kuò)展垂直平分線定理:垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等ABCP已知：PCAB， AC=BC求證：PA=PBPC是AB的垂直平分線AB被PC垂直平分已知：四邊形ABCD，AE平分BAD，DE平分ADCAED= ，AB=4，EC=3求：AD的長(zhǎng)度ABCDE090ABCDO已知：OA平分

13、BAC，1=2求證： 是等腰三角形ABCEF1221ABCDEP已知：BD是ABC的角平分線，AEBD求證：2=1+C在BC上截取BP=AB，連接EPABE PBE3=2在APC中，3=1+C2=1+C3角平分線第二種輔助線：若有和角平分線垂直的線段時(shí)，常把它延長(zhǎng)與角兩邊相交構(gòu)造等腰三角形21ABCDE已知：BD是ABC的角平分線，AEBD求證：2=1+C已知： B=60，角平分線AD、CE交于O求證：AE+CD=ACABCDEOPBCD已知：AD是BAC的角平分線你該怎么做？AP在AC上截取AP=AB連接DP角平分線第三種輔助線：在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形12已知：AD是BAC的

14、角平分線，ABAC求證：AB-BDAC-CDBCDA在AB上截取AP=AC，P連接PDAP=ACAD=AD1=2在APD和ACD中，APDACDPD=CD12AB-BDAC-CDAB-BD -AB-APBD-PDBD-PD=AP PD=BP已知：AD是外角平分線求證：BD+CDAB+ACPDA在BA上截取AP=AC，連接PDCAPDACDPD=CDBD+CDAB+ACBD+ AB+BD+PD=PDAP=BPBABCDEOP在AC上截取AP=AE，連結(jié)POAEO APO1=21 234B=602+3=1201=2=3=4=60PCO=DCOOC=OC3=4AE+CD=ACAP+CD=ACCD=C

15、PPCODCO已知:B=60，角平分線AD、CE交于O。 求證:AE+CD=AC已知:B=60，角平分線AD、CE交于O。 求證:AE+CD=ACABCDEOP作AOC的角平分線OPAEO APO1 234B=602+3=1201=2=3=4=60PCO=DCOOC=OC3=4AE+CD=ACAP+CD=ACCD=CPPCODCO小結(jié)小結(jié)1.1.角平分線第一種輔助線：過(guò)角平分線上的一角平分線第一種輔助線：過(guò)角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線（?？迹c(diǎn)向角的兩邊作垂線（常考）2.2.角平分線第二種輔助線：若有和角平分線垂角平分線第二種輔助線：若有和角平分線垂直的線段時(shí)，常把它延長(zhǎng)與角兩邊相交構(gòu)造直

16、的線段時(shí)，常把它延長(zhǎng)與角兩邊相交構(gòu)造等腰三角形等腰三角形3.3.角平分線第三種輔助線：在角兩邊截取相等角平分線第三種輔助線：在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形的線段，構(gòu)造全等三角形ABCDP已知：AD為中線求證：AB+AC2AD中線輔助線作法：有中線時(shí)，常加倍他們構(gòu)造全等三角形ABCDP已知：AB=5，AC=3，AD為中線求證：AD的取值范圍已知： RtABC中，AO為中線 求證：2AO=BCABCOP延長(zhǎng)AO至P,使PO=AO,連BPAO=POCO=BO1 =2在AOC和POB中，AOCPOBAC=PB1234AC=PBAB=ABBAC=ABP在ABC和BAP中，ABCBAPAP=BC直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，C=3 以ABC兩邊作2個(gè)正方形， AD為中線。 證：MN=2ADAN=BPMANABPADCPDBMA=ABMAN=ABP ABCDF