CL7第四章-彎曲內(nèi)力

1、第四章第四章 桿件內(nèi)力分析桿件內(nèi)力分析-彎彎曲內(nèi)力曲內(nèi)力4-5-1 平面彎曲的概念平面彎曲的概念當(dāng)作用在桿件上的當(dāng)作用在桿件上的載荷和支反力都垂載荷和支反力都垂直于桿件軸線直于桿件軸線時(shí)，桿件的軸線因變形由直線時(shí)，桿件的軸線因變形由直線變成了曲線，這種變形稱為變成了曲線，這種變形稱為彎曲變形彎曲變形。工程中以彎曲變形為主的桿件稱為工程中以彎曲變形為主的桿件稱為引 入引 入縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面：梁的軸線與橫截面的對(duì)稱軸所：梁的軸線與橫截面的對(duì)稱軸所 構(gòu)成的平面構(gòu)成的平面CL7TU1平面彎曲平面彎曲：當(dāng)作用在梁上的載荷和支反力均：當(dāng)作用在梁上的載荷和支反力均位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，梁的軸線由直線彎成位

2、于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，梁的軸線由直線彎成一條位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的曲線。一條位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的曲線。 平面彎曲荷載與反力均作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，梁軸線也在該平面內(nèi)彎成一條曲線。 彎曲梁（橫向力作用）受力特點(diǎn)：垂直桿軸方向作用外力， 或桿軸平面內(nèi)作用外力偶；變形特點(diǎn)：桿軸由直變彎。 單跨靜定梁的基本形式：qFeMAyFByFxBAy對(duì)稱面向縱第一節(jié) 梁的內(nèi)力及其求法4-5-2 梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖一、桿件的簡(jiǎn)化一、桿件的簡(jiǎn)化用梁的軸線來(lái)代替實(shí)際的梁用梁的軸線來(lái)代替實(shí)際的梁折桿或曲桿用中心線代替折桿或曲桿用中心線代替二、載荷的分類二、載荷的分類 1. 集中載荷集中載荷2. 分布載荷分布載荷3. 集

3、中力偶集中力偶三、支座的分類三、支座的分類 根據(jù)支座對(duì)梁在載荷平面內(nèi)的約束情況，根據(jù)支座對(duì)梁在載荷平面內(nèi)的約束情況，一般可以簡(jiǎn)化為三種基本形式：一般可以簡(jiǎn)化為三種基本形式：1. 固定鉸支座固定鉸支座2. 可動(dòng)鉸支座可動(dòng)鉸支座3. 固定端支座固定端支座CL7TU2四、靜定梁的基本形式四、靜定梁的基本形式1.簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁2.外伸梁外伸梁3.懸臂梁懸臂梁CL7TU34-5-3 剪力和彎矩剪力和彎矩CL7TU4ablxPAB求距支座A為x的橫截面m-m.上的內(nèi)力 1、剪力和彎矩的概念 圖示簡(jiǎn)支梁在荷載及支座反力共同作用下處于平衡狀態(tài)。 用截面法求內(nèi)力。 步驟：1)截開(kāi) 2)代替剪力Q限制梁段上下移動(dòng)的

4、內(nèi)力;彎矩M限制梁段轉(zhuǎn)動(dòng)的內(nèi)力偶。 單位：剪力Q KN, N；彎矩M KN.m ， N.m 3)平衡0Y 0ARQAQR0oM0oAMR xoAMR x 若取右半段梁為研究對(duì)象,可得：QQQQooMMRARlP bA RBRPblARPalBQRPblAMRxPbxlAablxPRARBxQQMMPAB 1）剪力Q：截面上的剪力Q使所取脫離體產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)（或者左上右下）為正，反之為負(fù)。 2）彎矩M：截面上的彎矩M使所取脫離體產(chǎn)生下邊凸出的變形時(shí)（或者左順右逆）為正，反之為負(fù)。為避免符號(hào)出錯(cuò),要求： 未知內(nèi)力均按符號(hào)規(guī)定的正向假設(shè)。 2、剪力和彎矩的符號(hào)規(guī)定例例4-5-14-5-1：懸臂

5、梁如圖所示,求1-1截面和2-2截面上的剪力和彎矩。解：解：1）求1-1截面上的內(nèi)力0Y 112QPql 00M 211128MPlql 1102Pql Q 11()0224llPqlM 求得的 Q1 、M1 均為負(fù)值,說(shuō)明內(nèi)力實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。矩心 O 是1-1截面的形心。2）求2-2截面上的內(nèi)力0Y 2Q =-P-ql00M 2212MPlql2-0PqlQ2()02lPlqlM 求得的 Q2 、M2 均為負(fù)值,說(shuō)明內(nèi)力實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。矩心 O1是2-2截面的形心。CL7TU6 例例4-5-2：求圖示梁：求圖示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的截面上的剪力和彎矩。剪力和

6、彎矩。解：由得MB0RqaA54由得MA0RqaB74QRqaA154MRaqaA1254QRqaqaA24M2Q3MRaqa aqaA32232QqaRqaB434 ,Mqa4254 例例4-5-34-5-3 外伸梁如圖，試求1-1，2-2截面上的剪力和彎矩。解：1、求支座反力：由整體平衡120,8360BAMPPR14ARkN120,2360ABMPPR 9BRkN校核： 反力無(wú)誤 1214 9 3 20 0ABY YYPP 2、求1-1截面上的內(nèi)力：取左半段研究110,0AYRPQ1114 3 11AQRPkN110,310oAMPRM矩心o1-1截面形心 3、求2-2截面上的內(nèi)力：取右

7、半段研究20,0BYQR 29BQRkN20,1.50oBMRM11135AMRPkNm21.513.5BMRkNm矩心o2-2截面形心RARBRARBMQ 3、直接法求梁的內(nèi)力： （1）梁任一橫截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力沿截面方向投影的代數(shù)和；iQPQ符號(hào)規(guī)定：外力使截面產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)（或左上右下）該截面剪力為正，否則為負(fù)； （2）梁任一橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和；)(iQoPMM 符號(hào)規(guī)定：外力使梁段產(chǎn)生上凹下凸變形時(shí)（或左順右逆）該截面彎矩為正，否則為負(fù)； 計(jì)算時(shí)可按二看一定的順序進(jìn)行：一看截面一側(cè)

8、有幾個(gè)力，二看各力使 梁段產(chǎn)生的變形，最后確定該截面內(nèi)力的數(shù)值。Q Q CL7TU7Mll Mll lFl2FlACDB試確定截面C及截面D上的剪力和彎矩CsFlACAQAMAMCsQQCMFlMCFl2FlCDBCsQCMCsQF02FlFlMCFlMCBFDDsQDMDsQF0DMAQAQCL7TU6例例4-5-4：求圖示梁：求圖示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的截面上的剪力和彎矩。剪力和彎矩。RqaA54RqaB74 Q1=RA=1.25qa Q2=RAP=0.25qa M1=RAa=1.25qa2 M2=RAa=1.25qa2 Q3=RAP=0.25qa M3=RA2aPa=1

9、.5qa2 Q4=RAPqa=0.75qa M4=RA3aqa2aqa0.5a=1.25qa2 對(duì)4-4截面可取有部分為研究對(duì)象 Q4=qa1.75qa=0.75qa M4=1.75qaaqa0.5a=1.25qa24-5-4 剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖一、剪力圖和彎矩圖的概念梁各截面的內(nèi)力隨截面位置而變化，其函數(shù)關(guān)系式 Qx = Q(x), Mx = M(x) 稱作剪力方程和彎矩方程。 列內(nèi)力方程即求任意截面的內(nèi)力。 ( )Q xPqx 21()2M xPxqx 反映剪力（彎矩）隨截面位置變化規(guī)律的曲線，稱作剪力（彎矩）圖。二、剪力圖和彎矩圖的作法： 取

10、平行梁軸的軸線表示截面位置，規(guī)定: 正值的剪力畫(huà)在軸上側(cè)，正值的彎矩畫(huà)在軸下側(cè)可先列內(nèi)力方程再作其函數(shù)曲線圖。(0)xl(0)xl 如懸臂梁：當(dāng)x=o, Q(x)=-P, M(x)=0; x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=-Pl-ql2/2.221qlPl 第二節(jié) 梁的內(nèi)力圖及其繪制例題 4-5-5 作圖示懸臂梁的內(nèi)力圖。 解：1.列內(nèi)力方程：（先確定x坐標(biāo)，再由直接法求x截面的內(nèi)力。） (),(0)Q xPxl (),(0)M xPxxl 2.作內(nèi)力圖：（先取坐標(biāo)系確定端點(diǎn)坐標(biāo)，再按內(nèi)力方程特征繪圖。）Q(x)等于常數(shù)，為水平線圖形；由 0,(0),( );xQP xl Q lP

11、M(x)等于x的一次函數(shù)，為斜直線圖形；由;)(,; 0)0(, 0PllMlxMx 結(jié)論：當(dāng)梁段上沒(méi)有荷載q作用時(shí)，剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線。 結(jié)論：在集中力P作用截面，Q圖發(fā)生突變，突變值等于該集中力P的大??；M圖有尖角，尖角的指向與集中力P相同。 內(nèi)力函數(shù)的不連續(xù)是由于將集中力的作用范圍簡(jiǎn)化為一個(gè)點(diǎn)的結(jié)果。若考慮集中力為微梁段上的均布荷載，則C截面的 Q圖和M圖應(yīng)為斜直線和拋物線。 因此，當(dāng)談到集中力作用出的剪力時(shí)，必須指明是集中力的左側(cè)截面（C左）還是集中力的右側(cè)截面（C右）。彎矩、剪力、荷載集度間的關(guān)系 彎矩、剪力、荷載集度間的關(guān)系0,( ) ( )( )( )0YQ xQ x

12、dQ xq x dx()().( )dQ xq xadx0,( )( )( )( )( )0;2OMdxM xdM xM xQ x dxq x dx(Mo矩心O取在右側(cè)截面的形心。)()().( )dM xQ xbdx將(b)代入(a)，22( )( ).( )d M xq xcdx(a)、(b)、(c)三式即Q、M、q間的關(guān)系。力學(xué)意義：微分形式的平衡方程；幾何意義：反映內(nèi)力圖的凹凸性；（一階導(dǎo)數(shù)反映切線斜率； 二階導(dǎo)數(shù)反映曲線凹凸性。）1.1.微分關(guān)系的幾何意義：微分關(guān)系的幾何意義： 剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大??；彎矩圖上某

13、點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)剪力的大小。小；彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)剪力的大小。 討論微分關(guān)系的幾何意義討論微分關(guān)系的幾何意義外力情況外力情況q0(向下向下)無(wú)荷載段無(wú)荷載段集中力集中力F作用作用處：處：集中力偶集中力偶M作作用處：用處：剪力圖上的特剪力圖上的特征征(向下斜直線向下斜直線)水平線水平線突變突變，突變值突變值為為F不變不變彎矩圖上的特彎矩圖上的特征征(下凸拋物線下凸拋物線)斜直線斜直線有有尖點(diǎn)尖點(diǎn)有有突變突變，突變突變值為值為M最大彎矩可最大彎矩可 能的截面位置能的截面位置剪力為零的截剪力為零的截面面剪力突變的截剪力突變的截面面彎矩突變的某彎矩突變的某一側(cè)一側(cè)2.2.其它規(guī)律其

14、它規(guī)律： | |M M| |maxmax可能發(fā)生在剪力為零處、集中力作用處、集中力偶作用處；可能發(fā)生在剪力為零處、集中力作用處、集中力偶作用處； q q突變反向，剪力圖有尖點(diǎn)，彎矩圖有凸凹性反轉(zhuǎn)拐點(diǎn)；突變反向，剪力圖有尖點(diǎn)，彎矩圖有凸凹性反轉(zhuǎn)拐點(diǎn)； 荷載圖關(guān)于梁左右對(duì)稱，則剪力圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對(duì)稱，彎矩圖左右對(duì)稱荷載圖關(guān)于梁左右對(duì)稱，則剪力圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對(duì)稱，彎矩圖左右對(duì)稱；荷載圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對(duì)稱，則剪力圖左右對(duì)稱，彎矩圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對(duì)稱；荷載圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對(duì)稱，則剪力圖左右對(duì)稱，彎矩圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對(duì)稱內(nèi)力內(nèi)力F FQ Q 、M M 的變化規(guī)律的變化規(guī)律, ,歸納如下：歸納如下：載荷載荷圖QF圖

15、M0)(xq0Cq0CqFoM水平直線水平直線+-oror上斜直線上斜直線上凸上凸拋物線拋物線下凸下凸拋物線拋物線下斜直線下斜直線F(剪力圖剪力圖無(wú)突變無(wú)突變)F處有尖角處有尖角oM彎矩、剪力和分布荷載集度之間的關(guān)系彎矩、剪力和分布荷載集度之間的關(guān)系斜直線斜直線1.1.先利用計(jì)算法則計(jì)算分段點(diǎn)先利用計(jì)算法則計(jì)算分段點(diǎn)Q Q、M M值；值；2.利用微分關(guān)系判斷并畫(huà)出分段點(diǎn)之間的利用微分關(guān)系判斷并畫(huà)出分段點(diǎn)之間的Q Q、M M圖。圖。 利用微分關(guān)系作剪力彎矩圖利用微分關(guān)系作剪力彎矩圖例例 外伸梁外伸梁ABAB承受荷載如圖所示，作該梁的承受荷載如圖所示，作該梁的Q Q-M M圖。圖。解：解： 1 1

16、、求支反力、求支反力kN8 . 3kN2 . 7BAVV2 2、判斷各段、判斷各段Q Q、M M圖形狀：圖形狀：CA和和DB段：段：q=0，Q圖為水平線，圖為水平線， M圖為斜直線。圖為斜直線。AD段：段：q0， Q圖為向下斜直線，圖為向下斜直線， M圖為上凸拋物線圖為上凸拋物線。DABm1m4m1kN3kN/m2mkN6C3 3、先確定各分段點(diǎn)的先確定各分段點(diǎn)的Q Q 、M M值，值，用相應(yīng)形狀的用相應(yīng)形狀的線條連接。線條連接。Q+_3(kN)4.23.8Ex=3.1mM(kNm)3.81.4132.2_+VAVB 簡(jiǎn)捷法繪梁內(nèi)力圖的步驟： 1. 求支座反力；（注意校核！懸臂梁可省略。） 2

17、. 將梁分段；（以梁上荷載變化處為界，包括：P、m作用點(diǎn)，q的起 止點(diǎn)，梁的支座和端點(diǎn)等） 3. 繪內(nèi)力圖；（先確定控制截面內(nèi)力值，再按內(nèi)力圖特征繪圖，最后用內(nèi)力圖特征檢驗(yàn)?？刂平孛婕戳悍纸缃孛?。注意P、m作用處應(yīng)取兩側(cè)截面。） 4. 確定內(nèi)力最大值及其位置。從圖上直接找 maxmax| ,|MQ 簡(jiǎn)捷法繪梁內(nèi)力圖的關(guān)鍵是：正確確定控制截面內(nèi)力值（一般用直接法）；熟記內(nèi)力圖的特征。 確定控制截面內(nèi)力值的方法有三種： 1）截面法；（三個(gè)步驟，兩套符號(hào)規(guī)定。） 2）直接法；（由外力定內(nèi)力符號(hào)看梁的變形。） 3）積分法:（微分關(guān)系逆運(yùn)算的應(yīng)用。）用簡(jiǎn)捷法繪制內(nèi)力圖。 解：1、求支座反力：1(8828

18、1023)7( )12AYkN1(8424102 15)5( )12BYkN 1 8220ABYYY校核無(wú)誤； 2、梁分段：為AC,CD,DB,BE四段； 3、繪圖：從左向右逐段作Q圖和M圖； 檢驗(yàn)Q最后與右端P2值相等,結(jié)果無(wú)誤； M極值點(diǎn)的確定:（由三角形的相似比）33(),;4144xxx34()3;13xm 1201 120.5.2FMkN m120.53316.216106.lDrDMkN mMkN m4、確定內(nèi)力最大值：|Q|max=7kN 在A端； |M|max=20.5kN.m 在距A端5m處（在F端）。RRqlAB2Q xRqxqlqxA( ) 2M xqlxqxx( ) 2

19、2RARBCL7TU8ABlxq()0 xl qxlql22822()0 xlQMql2ql2ql28RPblRPalAB,AC段：Q xRPblA( ) ()0 xaM xRxPblxA( ) ()0 xaCB段：Q xRPalB( ) ()axlM xRlxPallxB( )()()()axlRARBCL7TU8PablxxACBACQ xPblxaM xPblxxaCBQ xPalaxlM xPallxaxl段：段：( )()( )()( )()( )()() 00PabxxACBlQPb l /Pa l /Pab l /M4-5-5 載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系一、載荷集度、剪力和彎矩的微分關(guān)系一、載荷集度、剪力和彎矩的微分關(guān)系q x( )q x( )Q x( )Q xQ x( )( ) dM x( )M xM x( )( ) dCL7TU31dxxq x( )Q x( )Q xQ x( )( ) dM x( )M xM x( )( ) dd( )d( )Q xxq xM xM xM xQ xxq x dx( )( )( )( )( )dd1202Q xQ xQ xq xx( )( )( )( )ddd( )d( )M xxQ x載荷集度、剪力和彎矩的微分關(guān)系載荷集度、剪力和彎矩的微分關(guān)系:d( )d( )Q xxq xd( )d( )M x