春人教版高中數(shù)學(xué)必修五課件：2.2 第2課時 等差數(shù)列的性質(zhì)3

1、第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)【知識提煉】1.等差數(shù)列的項與序號的關(guān)系兩項關(guān)系an=am+_(n，mN*)多項關(guān)系若an為等差數(shù)列，且m+n=p+q(m，n，p，qN*)，則_(n-m)dam+an=ap+aq2.等差數(shù)列的對稱性在有窮等差數(shù)列an中，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首項與末項的和，即a1+an=_=_=a2+an-1a3+an-23.等差數(shù)列的“子數(shù)列”的性質(zhì)已知一個無窮等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，(1)將數(shù)列中的前m項去掉，其余各項組成首項為_，公差為_的等差數(shù)列.(2)奇數(shù)項數(shù)列a2n-1是公差為_的等差數(shù)列.偶數(shù)項數(shù)列a2n是公差為_的等差數(shù)列.(3)若數(shù)列kn是等差

2、數(shù)列，則數(shù)列 也是等差數(shù)列.am+1d2d2d4.等差數(shù)列的單調(diào)性等差數(shù)列an的公差為d，(1)當(dāng)d0時，數(shù)列an為_數(shù)列.(2)當(dāng)d1，且nN*.()(2)若an為等差數(shù)列，且m+n=p(m，n，pN*)，則am+an=ap.()(3)取出一個等差數(shù)列的所有偶數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列為等差數(shù)列且其公差為原數(shù)列公差的兩倍.()【解析】(1)正確.由等差數(shù)列中任意兩項的關(guān)系知an+1=an-1+2d.(2)錯誤.因為am=a1+(m-1)d，an=a1+(n-1)d，m+n=p，所以am+an=2a1+(m+n-2)d=2a1+(p-2)d，又因為ap=a1+(p-1)d，所以要使am+an=ap，還須有

3、a1+(p-1)d=2a1+(p-2)d，即a1=d.所以若an為等差數(shù)列，且m+n=p(m，n，pN*)，則am+an=ap不一定成立.(3)正確.根據(jù)等差數(shù)列的定義可以判定.答案：(1)(2)(3)2.等差數(shù)列a1，a2，a3，an的公差為d，則數(shù)列5a1，5a2，5a3，5an是()A.公差為d的等差數(shù)列 B.公差為5d的等差數(shù)列C.非等差數(shù)列 D.以上都不對【解析】選n+1-5an=5(an+1-an)=5d，nN*.所以5a1，5a2，5a3，5an是公差為5d的等差數(shù)列.3.等差數(shù)列an中，a100=120，a90=100，則公差d等于()D.不確定【解析】選A.因為a100-a9

4、0=10d，所以10d=120-100=20，所以d=2.4.等差數(shù)列an中，a2=5，a6=33，則a3+a5=_【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a3+a5=a2+a6=5+33=38.答案：385.已知遞增的等差數(shù)列an滿足a1=1，a3=a22-4，則an=_.【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為a3=a22-4，所以1+2d=(1+d)2-4，解得d2=4，即d=2.由于該數(shù)列為遞增數(shù)列，故d=2.所以an=1+(n-1)2=2n-1.答案：2n-1【知識探究】知識點1 等差數(shù)列通項公式的推廣觀察如圖所示內(nèi)容，回答下列問題：問題1：等差數(shù)列通項公式的推廣形式是什么？如何證明？問題2：等差數(shù)列

5、通項公式的推廣形式的幾何意義是什么？【總結(jié)提升】等差數(shù)列通項公式的推廣形式(1)公式的證明設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則an=a1+(n-1)d，am=a1+(m-1)d，兩式相減得an-am=(n-m)d，即an=am+(n-m)d.(2)公式的理解等差數(shù)列an的圖象是均勻分布在一條直線上的孤立的點，任選其中兩點(n，an)(m，am)(mn)，類比直線的斜率公式可知公差知識點2 等差數(shù)列的性質(zhì)觀察如圖所示內(nèi)容，回答下列問題：問題1：如何證明上圖中的性質(zhì)1？問題2：等差數(shù)列還有哪些常用結(jié)論？【總結(jié)提升】1.等差數(shù)列中四項關(guān)系的性質(zhì)及證明(1)若等差數(shù)列an中，m，n，p，qN*且m+n=p+q

6、，則am+an=ap+aq.證明：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d，ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d，因為m+n=p+q，所以am+an=ap+aq.(2)若am+an=ap+aq，則m+n=p+q不一定成立.例如，公差為0時，總有am+an=ap+aq，m+n=p+q不一定成立.2.等差數(shù)列幾個常用的結(jié)論若an是公差為d的等差數(shù)列，則下列數(shù)列：(1)c+an(c為任一常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列.(2)can(c為任一常數(shù))是公差為cd的等差數(shù)列.(3)ank(kN*)是公差為kd

7、的等差數(shù)列.【題型探究】類型一 等差數(shù)列中任意兩項關(guān)系的應(yīng)用【典例】1.(2015邢臺高一檢測)數(shù)列an中，a3=2，a7=1，又?jǐn)?shù)列 是公差為d的等差數(shù)列，則a8=()A.C.2.數(shù)列an是公差為-2的等差數(shù)列，且a1+a4+a7+ +a28=100，求a3+a6+a9+a30的值.【解題探究】1.典例1中，等差數(shù)列 的公差如何計算？要求a8須先求什么？提示：由a3=2，a7=1可求等差數(shù)列 的第3項和第7項，進(jìn)而求出4倍的公差.要求a8須先求2.典例2中，a1+a4+a7+a28與a3+a6+a9+a30的項數(shù)有什么關(guān)系？取值有什么關(guān)系？提示：a1+a4+a7+a28與a3+a6+a9+a

8、30的項數(shù)相同，都是10項.a3+a6+a9+a30=a1+a4+a7+a28+20d.【解析】1.選A.因為 所以所以所以an= .所以a8=2.因為數(shù)列an是公差d=-2的等差數(shù)列，所以a3+a6+a9+a30=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+(a28+2d)=(a1+a4+a7+a28)+2d10=100+(-2)20=60.【方法技巧】1.運用等差數(shù)列任意兩項的關(guān)系可解決的兩類問題(1)在已知公差的情況下，由等差數(shù)列的某項求其他任意項.(2)由等差數(shù)列的任意不同兩項計算公差.2.關(guān)注多項相加式之間的關(guān)系(1)等差數(shù)列an的相鄰k項的和仍為等差數(shù)列，如a1+a2，a2+a

9、3，a3+a4，an-1+an，成等差數(shù)列；a1+a2，a3+a4，a5+a6，an+an+1，成等差數(shù)列；a1+a2+am，a2+a3+am+1，a3+a4+am+2，ak+ak+1+ak+m-1成等差數(shù)列等.(2)注意分析等差數(shù)列兩個k項的和之間的關(guān)系，如a3+a6+a9+a30與a1+a4+a7+a28同為10項的和，a3+a6+a9+a30=(a1+a4+a7+a28)+2d10.【變式訓(xùn)練】1.等差數(shù)列an中，am+n=，am-n=，則其公差d的值為()【解析】選B.由題意得am+n=a1+(m+n-1)d=，am-n=a1+(m-n-1)d=，兩式相減得2nd=-，所以d=2.數(shù)列

10、an是等差數(shù)列，ap=q，aq=p(p，qN*，且pq)，求ap+q.【解題指南】此題關(guān)鍵是求出公差d，然后利用an=am+(n-m)d，就可求ap+q了.【解析】方法一：設(shè)公差為d，則有所以ap+q=ap+(p+q)-pd=q-q=0.方法二：設(shè)公差為d，則由-，得q-p=(p-q)d.所以d=-1，a1=p+q-1.所以ap+q=a1+(p+q-1)(-1)=p+q-1-p-q+1=0.類型二 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【典例】1.(2015隴南高二檢測)已知an，bn是兩個等差數(shù)列，其中a1=3，b1=-3，且a19-b19=16，那么a10-b10的值為()A.-6 B.6 C.0 2.(20

11、15廣東高考)在等差數(shù)列an中，若a3+a4+a5+ a6+a7=25，則a2+a8=_.3.已知等差數(shù)列an中，a5+a6+a7=15，a5a6a7= 45，求數(shù)列an的通項公式.【解題探究】1.典例1中，數(shù)列an-bn是等差數(shù)列嗎？a1-b1，a10-b10，a19-b19之間有什么關(guān)系？提示：數(shù)列an-bn是等差數(shù)列.(a1-b1)+(a19-b19)=2(a10-b10).2.典例2中，觀察a3+a4+a5+a6+a7與a2+a8項的序號，可由等差數(shù)列的性質(zhì)得到什么結(jié)論？提示：a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5.3.典例3中，可先計算出a5，a6，a7的哪一項？另外兩項的值如何

12、計算？提示：可先計算出a6，另外兩項的值可列方程組進(jìn)行計算.【解析】1.選D.因為an，bn是兩個等差數(shù)列，所以an-bn是等差數(shù)列，所以(a1-b1)+(a19-b19)=2(a10-b10)，又因為a1-b1=3-(-3)=6，a19-b19=16，所以2(a10-b10)=6+16=22，故a10-b10=11.2.因為an是等差數(shù)列，所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5，a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25，解得a5=5，所以a2+a8=2a5=10.答案：103.因為a5+a6+a7=15，所以3a6=15，a6=5.所以 解得 或當(dāng)a5=1，a7=9時，d=4，通項

13、公式an=a5+(n-5)d=1+(n-5)4=4n-19；當(dāng)a5=9，a7=1時，d=-4，通項公式an=9+(n-5)(-4)=-4n+29.【延伸探究】若典例1中將條件改為等差數(shù)列an，bn滿足a3+b3=13，a5+b5=25，試求a7+b7.【解析】設(shè)cn=an+bn，由題意知新數(shù)列cn仍為等差數(shù)列，且c3=13，c5=25，又因為2c5=c3+c7，所以c7=2c5-c3=225-13=37，即a7+b7=37.【方法技巧】等差數(shù)列運算的兩條常用思路(1)根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a1，d的方程(組)，確定a1，d，然后求其他量.(2)利用性質(zhì)巧解，觀察等差數(shù)列中項的序號，若滿足m+n

14、=p+q =2r(m，n，p，q，rN*)，則am+an=ap+aq=2ar.【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列an為等差數(shù)列，且滿足a4+a7+a10=17，a4+a5+a6+a14=77，ak=13，求k的值.【解析】因為a4+a10=2a7，a4+a14=a5+a13=a6+a12=a7+a11=a8+a10=2a9，所以3a7=17，11a9=77，所以a7= ，a9=7.則等差數(shù)列an的公差d=所以，an=a9+(n-9) = n+1，所以ak= k+1=13，所以k=18.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知等差數(shù)列an，(1)若a1+a5+a9=6，求a5.(2)若a7+a8+a22+a23=28，a7a23=4

15、0，求公差d.【解析】(1)因為a1+a9=2a5，所以a1+a5+a9=3a5=6，所以a5=2.(2)因為a7+a23=a8+a22，所以a7+a8+a22+a23=2(a7+a23)=28.解得a7+a23=14.又已知a7a23=40，聯(lián)立解得a7=4，a23=10或a7=10，a23=4.當(dāng)a7=4，a23=10時，d=當(dāng)a7=10，a23=4時，d=所以公差d為 或- .類型三 等差數(shù)列的設(shè)法與求解【典例】(2015中山高二檢測)三個數(shù)成等差數(shù)列，這三個數(shù)的和為6，三個數(shù)之積為-24，求這三個數(shù).【解題探究】本例中，列方程組計算三個數(shù)時，如何設(shè)三個數(shù)可以使運算更加方便？提示：可設(shè)所

16、求三個數(shù)為a-d，a，a+d.【解析】設(shè)這三個數(shù)為：a-d，a，a+d，依題意得： 解得 或所以所求三數(shù)為：-2，2，6或6，2，-2.【延伸探究】1.(變換條件)本例條件改為：三個數(shù)成單調(diào)遞增等差數(shù)列，它們的和等于18，它們的平方和等于116，求這三個數(shù).【解析】設(shè)所求三個數(shù)依次為a-d，a，a+d(d0)，根據(jù)題意得到方程組 (a-d)+a+(a+d)=18， (a-d)2+a2+(a+d)2=116.由得a=6.將a=6代入，得d=2，d=-2(舍).所以所求三個數(shù)依次為4，6，8.2.(變換條件、改變問法)若把本例條件改為“成等差數(shù)列的四個數(shù)之和為26，第二個數(shù)和第三個數(shù)之積為40”，

17、求這四個數(shù).【解析】設(shè)四個數(shù)分別為a-3d，a-d，a+d，a+3d，則：由得：a= ，將a= 代入得：d= ，所以四個數(shù)為2，5，8，11或11，8，5，2.【方法技巧】設(shè)等差數(shù)列的三個技巧(1)對于連續(xù)奇數(shù)項的等差數(shù)列，可設(shè)為：，x-d，x，x+d，此時公差為d.(2)對于連續(xù)偶數(shù)項的等差數(shù)列，通?？稍O(shè)為：，a-3d，a-d，a+d，a+3d，此時公差為2d.(3)等差數(shù)列的通項可設(shè)為an=pn+q.【補(bǔ)償訓(xùn)練】四個數(shù)成等差數(shù)列，它們的平方和為94，第一個數(shù)與第四個數(shù)的積比第二個數(shù)與第三個數(shù)的積少18，求這四個數(shù).【解析】設(shè)四個數(shù)為a-3d，a-d，a+d，a+3d，根據(jù)題意，得(a-3d

18、)2+(a-d)2+(a+d)2+(a+3d)2=94，即4a2+20d2=94.又(a-3d)(a+3d)=(a-d)(a+d)-18，即8d2=18，所以d= .代入，得a= ，所以所求四個數(shù)為8，5，2，-1，或1，-2，-5，-8，或-1，2，5，8，或-8，-5，-2，1.【延伸探究】1.(變換條件、改變問法)若將本題改為：設(shè)三個數(shù)成單調(diào)遞減的等差數(shù)列，三個數(shù)和為12，三個數(shù)的積為48，求這三個數(shù).【解析】設(shè)所求三個數(shù)為a-d，a，a+d(d0，所以d=1，所以所求的四個數(shù)為-2，0，2，4.拓展類型 等差數(shù)列的綜合問題【典例】1.把數(shù)列2n+1中的項依次按第一個括號一個數(shù)，第二個括

19、號兩個數(shù)，第三個括號三個數(shù)，第四個括號四個數(shù)，第五個括號一個數(shù)，循環(huán)，為：(3)，(5，7)，(9，11，13)，(15，17，19，21)，(23)，(25，27)，(29，31，33)，(35，37，39，41)，(43)，則第104個括號內(nèi)的各數(shù)之和為()2.(2014金華高一檢測)在圓x2+y2=5x內(nèi)，過點有n條弦的長度成等差數(shù)列，最小弦長為數(shù)列的首項a1，最大弦長為an，若公差d ，那么n的可能取值為_.【解析】1.選D.由觀察發(fā)現(xiàn)，每四個括號是一個循環(huán)，一個循環(huán)由10個數(shù)組成，104個括號有26個循環(huán)，則第104個括號內(nèi)有四個數(shù)，這四個數(shù)為數(shù)列3，5，7，9，的第257項、第25

20、8項、第259項、第260項，分別為3+(257-1)2，3+(258-1)2，3+(259-1) 2，3+(260-1)2，即515，517，519，521，其和為2 072.2.圓x2+y2=5x的圓心為C( )，半徑為r= .過點P( )最短弦的弦長為過點P( )最長弦長為圓的直徑長an=5，所以4+(n-1)d=5，d=因為d ，所以所以的可能取值為4，5，6，7.答案：4，5，6，7【方法技巧】解決數(shù)列綜合問題的策略(1)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)或利用等差中項.(2)利用通項公式，得到一個以首項a1和公差d為未知數(shù)的方程或不等式.(3)利用函數(shù)或不等式的有關(guān)方法解決.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在ABC中

21、，若lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差數(shù)列，且三個內(nèi)角A，B，C也成等差數(shù)列，試判斷ABC的形狀.【解析】由A，B，C成等差數(shù)列，得2B=A+C，又A+B+C=，所以3B=，B= .因為lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差數(shù)列，所以2lgsinB=lgsinA+lgsinC，即sin2B=sinAsinC，設(shè)三角形內(nèi)角A，B，C對的邊長分別為a，b，c，則b2=ac，又因為b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac，所以ac=a2+c2-ac，即(a-c)2=0，所以a=c.所以ABC是等邊三角形.規(guī)范解答 等差數(shù)列判定和應(yīng)用的綜合問題【典例】(12分)已知f(x)是定義在非零自然數(shù)集上的函數(shù)，當(dāng)x為奇數(shù)時，有f(x+1)-f(x)=1，當(dāng)x為偶數(shù)時，有f(x+1)-f(x)=3，且f(1)+f(2)=5.(1)求證：f(1)，f(3)，f(2n-1)(nN*)成等差數(shù)列.(2)求f(n)的解析式.【審題指導(dǎo)】(1)要證明f(1)，f(3)，f(2n-1)(nN*)成等差數(shù)列，只要證明f(x+2)-f(x)為常數(shù)，其中x是奇數(shù).(2)由題意可知，f(n