ch8 非線性控制系統(tǒng)分析

1、8-3 8-3 相平面分析法相平面分析法 介紹介紹工程上常用的工程上常用的相平面法和描述函數(shù)相平面法和描述函數(shù)法法 非線性系統(tǒng)一般理解為非線性微分方程所描述的系統(tǒng)。 線性系統(tǒng)的本質(zhì)特征是疊加原理。 非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理的系統(tǒng)。1. 1. 研究非線性系統(tǒng)的意義研究非線性系統(tǒng)的意義1 1）實際的控制系統(tǒng)，存在著大量的非線性因素。這些非實際的控制系統(tǒng)，存在著大量的非線性因素。這些非線性因素的存在，使得我們用線性系統(tǒng)理論進行分析時線性因素的存在，使得我們用線性系統(tǒng)理論進行分析時所得出的結(jié)論，與實際系統(tǒng)的控制效果不一致。線性系所得出的結(jié)論，與實際系統(tǒng)的控制效果不一致。線性系統(tǒng)理論無法解釋非線性因素所

2、產(chǎn)生的影響統(tǒng)理論無法解釋非線性因素所產(chǎn)生的影響. .2 2）非線性特性的存在，并不總是對系統(tǒng)產(chǎn)生不良影響非線性特性的存在，并不總是對系統(tǒng)產(chǎn)生不良影響. . 自動控制原理自動控制原理第第8 8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析2.2.非線性系統(tǒng)的主要特征：非線性系統(tǒng)的主要特征： 系統(tǒng)的穩(wěn)定性除與結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)外，還與起始系統(tǒng)的穩(wěn)定性除與結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)外，還與起始偏差的大小有關(guān)偏差的大小有關(guān) 。 統(tǒng)的響應(yīng)形式與輸入信號的大小和初始條件有統(tǒng)的響應(yīng)形式與輸入信號的大小和初始條件有關(guān)。關(guān)。 在沒有外界周期變化信號輸入時，非線性系統(tǒng)在沒有外界周期變化信號輸入時，非線性系統(tǒng)完全可能產(chǎn)生具有固定周期和幅值的穩(wěn)定振蕩

3、過完全可能產(chǎn)生具有固定周期和幅值的穩(wěn)定振蕩過程。程。( (自激振蕩自激振蕩非線性一階系統(tǒng)的時間響非線性一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)應(yīng)非線性系統(tǒng)的自激振蕩非線性系統(tǒng)的自激振蕩非線性系統(tǒng)的特點非線性系統(tǒng)的特點（P360）自動控制原理自動控制原理第第8 8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析 xxx; y xx kx; ym00sgn 11種非線性( (P362-365)P362-365)庫倫摩擦理想繼電特性 ,1有死區(qū)的繼電特性2有滯環(huán)的繼電特性3性有死區(qū)與滯環(huán)的繼電特4峰值限制飽和特性,5有死區(qū)的飽和特性6死區(qū)特性7間隙特性8變增益特性9有死區(qū)的線性特性10庫倫摩擦加黏性摩擦11自動控制原理自動控制原理第第8

4、章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析).( xxfx x xx ,xx ,xx ,x21222212 , xxxxxxxxxnn則有,為系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量 令0kxx fxm 02 2xxxnn 自動控制原理自動控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析0 xxx dtxdx 11xddtdtxdx dxxddtdxdtxdx dxxdxdxxddtdxdtxdx 00 xxxx 00 xxxx 0)( xxxx 0)( xxxx 0 xxxxdxxd0 xxxxdxxd0 xxxxdxxd0 xxxxdxxd0 xxx 第第一一個新思想是個新思想是dxxdxx 第第二二個新思想是個新思想是令

5、令dxxd 為常數(shù)為常數(shù)xx11 x xx11 x 是相軌跡斜率是相軌跡斜率是等傾線斜率是等傾線斜率xx11 x xx11 x 0 x0 x11 :0 xxx :0 xxx 556120 10355254345838475232323355331616131533511 556120 103552543458384752323233553316161315335xx 0:0 x:0 xxx xx 注意注意這這兩條線兩條線xx 0:0 x:0 xxx xx 0 x叫開關(guān)線叫開關(guān)線自動控制原理自動控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析注意事項比例尺要相同和）坐標(biāo)軸xx1走向自左向右）上半平

6、面,x02 走向自右向左下半平面,x0 軸相軌跡垂直經(jīng)過）除平衡點外x,3相軌跡越準(zhǔn)確）等傾線越密,4自動控制原理自動控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析它表示系統(tǒng)的平衡狀態(tài)的點稱為奇點,具有002122,xxfx ,x相軌跡的斜率方程 則上式改寫為若令 則得,上式等號兩邊同除以 令22112210 x,xxf-dxdx , xx,xxxxx,f-dtxd dtdxxxx,-fdtxd xx,fx 自動控制原理自動控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析22222 0 ,Axxxdxxdxdxxdxx 積分 則上式變?yōu)橐驗? 2xx 22222112Axx , xx,xx 則得

7、若令自動控制原理自動控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析（1）無阻尼運動相軌跡方程為：02 2xxxnn )0(22002nxAx其中相軌跡如圖所示，在相平面上是為一族同心的橢圓。 每個橢圓相當(dāng)于一個簡諧振動。2222( )( )nx tx tA自動控制原理自動控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析圖 系統(tǒng)無阻尼運動時的相軌跡n相軌跡的方向如圖中箭頭所示。n相軌跡垂直穿過橫軸。n坐標(biāo)原點處相軌跡的斜率不能由該點的坐標(biāo)唯一地確定，這種點叫做奇奇點點。圖 的奇點(0,0)通常稱為 中心中心 自動控制原理自動控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析（2）欠阻尼運動02 2xx

8、xnn 10其中22000ndxxAx000ndxxarctgx ( )sin()ntdx tAet方程的解為自動控制原理自動控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析 相軌跡如圖所示。從圖中可以看出，欠阻尼系統(tǒng)不管初始狀態(tài)如何，它經(jīng)過衰減振蕩，最后趨向于平衡狀態(tài)。坐標(biāo)原點是一個奇點，它附近的相軌跡是收斂于它的對數(shù)螺旋線，這種奇點稱為 穩(wěn)定的焦點穩(wěn)定的焦點。圖 系統(tǒng)欠阻尼運動時的相軌跡自動控制原理自動控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析（3）過阻尼運動 這時方程的解為 02 2xxxnn 11212( )q tq tx tAeA e002112xxA001212xxA121 12

9、2( )q tq tx tAq eA q e 相軌跡如圖所示相軌跡如圖所示 。自動控制原理自動控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析圖圖 過阻尼時的相軌跡過阻尼時的相軌跡圖 過阻尼運動的時間響應(yīng)坐標(biāo)原點是一個奇點，這種奇點稱為 穩(wěn)定的節(jié)點穩(wěn)定的節(jié)點。 自動控制原理自動控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析（4）負(fù)阻尼運動 相軌跡圖如圖所示，此時相軌跡仍是對數(shù)螺旋線，但相軌跡的運動方向與欠阻尼圖不同，隨著 t 的增長，運動過程是振蕩發(fā)散的。這種奇點稱為 不穩(wěn)定的焦點不穩(wěn)定的焦點 。02 2xxxnn 01圖自動控制原理自動控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析 系統(tǒng)的相軌

10、跡圖如圖所示，奇點稱為不穩(wěn)定的節(jié)點不穩(wěn)定的節(jié)點。1圖不穩(wěn)定不穩(wěn)定（5）負(fù)阻尼運動自動控制原理自動控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析 此時相軌跡如圖所示。奇點稱為 鞍點鞍點 該奇點是不穩(wěn)定的 。022xxxnn 圖 斥力系統(tǒng)的相軌跡（6）符號相反的負(fù)實根線性系統(tǒng)特征根與相軌跡線性系統(tǒng)特征根與相軌跡j j0 0j j0 0j j0 0節(jié)點節(jié)點穩(wěn)定焦點穩(wěn)定焦點中心中心不穩(wěn)定節(jié)點不穩(wěn)定節(jié)點不穩(wěn)定焦點不穩(wěn)定焦點鞍點鞍點 1j0 2j021j j0 01 12 2四、奇點與奇線的點稱為奇點滿足00 dxxd不定奇點處相軌跡切線斜率交奇點處有多條相軌跡相奇點有虛實之分為奇線動特點區(qū)域的相軌跡稱將

11、相平面劃分為不同運常見的奇線是極限環(huán)五、相平面分析的相軌跡02502 xxx.x e開關(guān)線跡死區(qū)非線性系統(tǒng)的相軌無死區(qū)時的相軌跡飽和非線性系統(tǒng)的相軌跡時的相軌跡)t ()t ( r12 0ee 開關(guān)線飽和非線性系統(tǒng)的相軌跡時的相軌跡021KMt.)t ( r 時的相軌跡0.40KMt)t ( r 時的相軌跡080KMt.)t ( r 自動控制原理自動控制原理第第8 8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析tBtAtBtAAy2cos2sincossin22110自動控制原理自動控制原理第第8 8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析1111sincossintYtBtAy22111111210210,ar

12、ctan1sin1cosBYABAAytdtBytdt efef11自動控制原理自動控制原理第第8 8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析 11212111arctanABXBAXYXN描述函數(shù)可以定義為非線性特性輸出的一次諧波分量與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比 。非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)(補充補充)y(t)ty(t)tty(t)y(t)ty(t)= A0+(Ancosnt+Bnsin nt)n=122n nn nn nB BA AY Y 200td) t (y1At td d t tn nt ty yA An n 20cos)(1t td d t tn nt ty yB Bn n 20si

13、n)(1若若A A0 0=0=0，且當(dāng)，且當(dāng)n1n1時，時，Y Yn n均很小，則可近似認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的均很小，則可近似認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)僅有一次諧波分量！正弦響應(yīng)僅有一次諧波分量！1111 1nnn0)tnsin(YAtsinBtcosA) t (y11 )tsin(Y11 21211BAY 111BAarctg )tsin(Y) t (y11 tsinA) t (x 非線性環(huán)節(jié)可非線性環(huán)節(jié)可近似認(rèn)為近似認(rèn)為具有和線性環(huán)節(jié)具有和線性環(huán)節(jié)相類似相類似的頻率響應(yīng)形式的頻率響應(yīng)形式為此，定義正弦信號作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中為此，定義正弦信號作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中一次諧波一次諧波

14、分量和輸入信號的分量和輸入信號的復(fù)數(shù)比復(fù)數(shù)比為非線性環(huán)節(jié)的為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)描述函數(shù)，用，用N(A)N(A)表示：表示：1j1eAY A Aj jA AB B11 N(A) = N(A) ejN(A) =4A2A3)A(N 2A34A)A(N1 2)0(N1 31)(N1 jImRe0-2-1/3負(fù)倒描述曲線1(補充)描述函數(shù)法研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性(P390-395),)s(G)A(N01 程為設(shè)非線性系統(tǒng)的特征方,)s(G01 為設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為最小相角系統(tǒng)，若)s(G點系統(tǒng)不穩(wěn)定，曲線包圍則)j ,()j(G01 點系統(tǒng)穩(wěn)定，)0,1(曲線不包圍)(則jjG時系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。1 )j(G為最小相角系統(tǒng)，若)s(G，曲線非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定曲線包圍則)A(N/)j(G1 曲線非線性系統(tǒng)穩(wěn)定，曲線不包圍則)A(N/)j(G1 。時非線性系統(tǒng)臨界穩(wěn)定)A(N/)j(G1 蕩。