g第7章 交流電

1、第七章第七章 交流電交流電7.67.6 RLCRLC串聯(lián)電路的諧振條件與特征串聯(lián)電路的諧振條件與特征7.17.1 交流電的概述交流電的概述7.27.2 交流電路中的元件交流電路中的元件7.37.3 元件的串聯(lián)和并聯(lián)元件的串聯(lián)和并聯(lián)7.47.4 交流電路的復數(shù)解法交流電路的復數(shù)解法7.57.5 交流電的功率交流電的功率 交流電：交流電：電壓、電流隨時間做周期性變化。電壓、電流隨時間做周期性變化。 交流電的形式：交流電的形式：簡諧交流電、方波、鋸齒波、簡諧交流電、方波、鋸齒波、尖脈沖波、調(diào)頻波、調(diào)幅波等等。尖脈沖波、調(diào)頻波、調(diào)幅波等等。電壓、電流隨時間按正（或余）弦規(guī)律變化電壓、電流隨時間按正（或

2、余）弦規(guī)律變化的稱為的稱為簡諧交流電。簡諧交流電。傅立葉變換中指出傅立葉變換中指出各種形式的交流電均可由各種形式的交流電均可由多個簡諧交流電疊加多個簡諧交流電疊加而成。而成。交變電動勢、交變電壓、交變電流表達式分交變電動勢、交變電壓、交變電流表達式分別為：別為：0uuU cos( t) 0iiI cos( t) 以余弦規(guī)律為例以余弦規(guī)律為例0eecos( t) 以交變電流為例以交變電流為例0iiI cos( t) 振幅振幅角頻率角頻率振幅、角頻率和初相稱為簡諧量的的三要素。振幅、角頻率和初相稱為簡諧量的的三要素。相位相位初相角初相角: 簡稱簡稱初相初相波形波形：簡諧量的最大值，也叫峰值。：簡諧

3、量的最大值，也叫峰值。：讓交變電流：讓交變電流i i和直流電流和直流電流I I分別分別通過兩個阻值相等的電阻通過兩個阻值相等的電阻R R，如果在相同的時間如果在相同的時間T T內(nèi)，內(nèi)，兩個電阻消耗的能量相等，則稱該直流電流兩個電阻消耗的能量相等，則稱該直流電流I I的值為的值為交變電流交變電流i i的有效值。的有效值。根據(jù)有效值的定義有：根據(jù)有效值的定義有： 則交變電流的有效值為：則交變電流的有效值為：TdtiTI021TRdtiRTI022(t)0iiI cos(t) 對于簡諧交變電流，因為對于簡諧交變電流，因為所以所以為：為：同理，同理，分別為：分別為：00UU0.707U2TidttIT

4、I0220)(cos100707.02II00707.02：簡諧量簡諧量 2時間內(nèi)變化的周數(shù)。時間內(nèi)變化的周數(shù)。角頻率與周期及頻率的關系：角頻率與周期及頻率的關系：fT22：簡諧量完整變化一周所需要的時間。：簡諧量完整變化一周所需要的時間。：簡諧量在單位時間內(nèi)變化的周數(shù)。簡諧量在單位時間內(nèi)變化的周數(shù)。周期與頻率的關系：周期與頻率的關系：Tf1：簡諧量表達式中的角度。：簡諧量表達式中的角度。：t=0時的相位。時的相位。：兩個同頻率簡諧量的相位之差，其值等：兩個同頻率簡諧量的相位之差，其值等于它們的初相之差。于它們的初相之差。0uuUcos(t) 0iiI cos(t) iuiutt)()(相位差

5、為：相位差為：如如一、直流電路和交流電路的比較一、直流電路和交流電路的比較二、交流電路中理想元件的電壓和電流關系二、交流電路中理想元件的電壓和電流關系一、直流電路和交流電路的比較一、直流電路和交流電路的比較1、元件、元件2、電流與電壓的關系、電流與電壓的關系直流：直流：R交流：交流：R、C、L直流：直流：U=IR交流：交流：00UUZII（1）峰值（有效值）的關系）峰值（有效值）的關系（2）位相差）位相差iu電阻元件的伏安關系：電阻元件的伏安關系：u=iR0iu0R0UZRI R i + u (a) 電阻元件 二、交流電路中理想元件的電壓和電流關系二、交流電路中理想元件的電壓和電流關系設：設：

6、0iI cost 00uiRI R costU cost u=i (b) 矢量圖 I U (a) 電容元件 i C + u 電容元件伏安關系：電容元件伏安關系：dtduCdtdqi u I U i (b) 矢量圖 0uU cost 設：設：00iC(Usint)UC cos(t)2 0I cos(t)2 0C0U1ZIC 2iu電感元件的伏安關系：電感元件的伏安關系：dtdiLuL i L (a) 電感元件 + u i I U u （b） 矢量圖 設：設：0iI cost 00uL( Isint)IL cos(t)2 0Ucos(t)2 0L0UZLI 2iu小結(jié)小結(jié)1.交流電路中元件的性質(zhì)用

7、阻抗交流電路中元件的性質(zhì)用阻抗Z和相位差和相位差兩個參兩個參量來標志。量來標志。交流電路元件的比較交流電路元件的比較元件種類元件種類電阻電阻R R電容電容C C電感電感L L00UUZIIiufLLZL2220fCCZC211RZR2.2.在交流電路中在交流電路中 ，電壓、電流的峰值或有效值之間，電壓、電流的峰值或有效值之間的關系仍與直流電路中的歐姆定律相似。但由于位的關系仍與直流電路中的歐姆定律相似。但由于位相差，則它們的瞬時值之間一般不滿足歐姆定律。相差，則它們的瞬時值之間一般不滿足歐姆定律。3.3.交流電路中各元件的阻抗的頻率特性：交流電路中各元件的阻抗的頻率特性： 電容有隔直流、通交流

8、、高頻短路的作用；電容有隔直流、通交流、高頻短路的作用； 電感具有通低頻、阻高頻的作用。電感具有通低頻、阻高頻的作用。4.4.交流電路中的實際元件嚴格說來都不是單純的理交流電路中的實際元件嚴格說來都不是單純的理想元件想元件 ，必定具有電阻、電容、電感幾方面的綜，必定具有電阻、電容、電感幾方面的綜合特性，即實際元件是幾個單一理想元件的組合。合特性，即實際元件是幾個單一理想元件的組合。一簡諧量的矢量圖解法一簡諧量的矢量圖解法二串聯(lián)與并聯(lián)元件的矢量圖解法二串聯(lián)與并聯(lián)元件的矢量圖解法 CLRiiiiCLRIIIICLRUUUUCLRZZZZCLRuuuuCLRUUUUCLRIIIICLRZZZZ111

9、1 矢量圖解法矢量圖解法和和復數(shù)解法復數(shù)解法是解決簡諧交流電路中是解決簡諧交流電路中的峰值和有效值疊加問題的兩種簡單方法。的峰值和有效值疊加問題的兩種簡單方法。一簡諧量的矢量圖解法一簡諧量的矢量圖解法 A O x 1.旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量)cos()(tAat2.兩個同頻簡諧量的疊加兩個同頻簡諧量的疊加)cos(22)(2tAat)cos(11)( 1tAat)cos()(2)( 1)(tAaaattt)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA 120 165 75 1A 2A 3A 例如：例如：超前于超前于1A2A120或或落后于落后于2A1A1

10、20超前于超前于2A3A75或或落后于落后于3A2A75超前于超前于3A1A165或或落后于落后于1A3A165超前于超前于1A3A195或或落后于落后于3A1A195二串聯(lián)與并聯(lián)元件的矢量圖解法二串聯(lián)與并聯(lián)元件的矢量圖解法 + u + uL + uR uC + R L C i (a) RLC 串聯(lián)電路 2CL2R)(UUUURCLRZZiu1arctgarctgCL LU CU RU U I CU （b）RLC 串聯(lián)的矢量圖 2CL2)(ZZRI2CL2)(ZZRIUZ22)1(CLR LU CU RU U I CU LU CU U RU I LU LU CU RU U I CU (1) 0

11、 (2) 0 (3) = 0 討論：討論：RCLRZZiu1arctgarctgCL + u R i (a) RLC 并聯(lián)電路 L C iR iL iC CI LI RI I U LI （b）RLC 并聯(lián)的矢量圖 2LC2R)(IIII22)11()1(LCZZRU22)11()1(1LCZZRIUZ22)1()1(1LCR)1(arctg111arctgLCLCRRZZiu CI LI RI I U LI CI LI I RI U CI CI LI RI I U LI (1) 0 (3) = 0 討論：討論：)1(arctg111arctgLCLCRRZZiu思考題：自行解決。思考題：自行解

12、決。A類類B類類例：在下圖所示的電路中，當例：在下圖所示的電路中，當R1和和R2改變時，改變時，兩分支中的電流之間的位相差是否會變化呢？兩分支中的電流之間的位相差是否會變化呢？i1支路：支路：i2支路：支路：解：解：02111arctgCR兩分支中的電流之間的位相差兩分支中的電流之間的位相差:1211arctgCR一復數(shù)及其運算一復數(shù)及其運算四四. . 復數(shù)形式的基爾霍夫定律（略）復數(shù)形式的基爾霍夫定律（略）二簡諧量的復數(shù)表示法二簡諧量的復數(shù)表示法三三. . 交流電路的復阻抗交流電路的復阻抗一復數(shù)及其運算一復數(shù)及其運算 復數(shù)復數(shù)A可用復平面上的有向可用復平面上的有向線段來表示。該有向線段的長線

13、段來表示。該有向線段的長度度a稱為復數(shù)稱為復數(shù)A的的，?？偸侨?，?？偸侨≌?。該有向線段與實軸正方正值。該有向線段與實軸正方向的夾角向的夾角稱為復數(shù)稱為復數(shù)A的的。 O a1 +1 a2 A +j a 復數(shù)解法是解決簡諧交流電路中的峰值和有效復數(shù)解法是解決簡諧交流電路中的峰值和有效值疊加問題的另一種簡單方法。值疊加問題的另一種簡單方法。根據(jù)以上關系式及歐拉公式：根據(jù)以上關系式及歐拉公式：復數(shù)復數(shù)A的實部的實部a1及虛部及虛部a2與模與模a及輻角及輻角的關系為：的關系為：cos1aa sin2aa 2221aaa12arctgaaO a1 +1a2 A+jaaaejaajaaAjsincos21

14、代數(shù)型代數(shù)型三角函數(shù)型三角函數(shù)型指數(shù)型指數(shù)型極坐標型極坐標型可將復數(shù)可將復數(shù)A表示成代數(shù)型、三角函數(shù)型、指數(shù)型和表示成代數(shù)型、三角函數(shù)型、指數(shù)型和極坐標型極坐標型4種形式。種形式。sincosjej復數(shù)的四則運算：復數(shù)的四則運算：設兩復數(shù)為：設兩復數(shù)為：(1)相等：相等：若a1=b1，a2=b2，則A=B。(2)加減運算：加減運算：)()(2211bajbaBA(3)乘除運算：乘除運算：)(2121jjjebabeaeBA)(2121jjjabebeaeBA21jaaA1jae21jbbB2jbe二簡諧量的復數(shù)表示法二簡諧量的復數(shù)表示法ij(t)00II e 并將其稱為復電流。并將其稱為復電流

15、。 將復數(shù)將復數(shù) 乘上因子乘上因子 ，其模不變，輻角其模不變，輻角隨時間均勻增加。即在復平面上以角速度隨時間均勻增加。即在復平面上以角速度 逆時針逆時針旋轉(zhuǎn)，其在實軸上的投影等于旋轉(zhuǎn)，其在實軸上的投影等于 ，正好是正好是用余弦函數(shù)表示的交變電流用余弦函數(shù)表示的交變電流i。可見復數(shù)?？梢姀蛿?shù) 與交變電流與交變電流 是相互對應的關系，可是相互對應的關系，可用復數(shù)用復數(shù) 來表示交變電流來表示交變電流i，記為：記為：ij0I e tjeij(t)0I e ij(t)0I e )cos(0itI)cos(0itIi i I0 O +1 +j i O t i I0 (a) 以角速度旋轉(zhuǎn)的復數(shù) (b) 旋轉(zhuǎn)

16、復數(shù)在實軸上的投影 簡諧量簡諧量復簡諧量復簡諧量0iiI cos(t) )cos(2itI0uuU cos(t) )cos(2utUij(t)00II e )(itjIeIuj(t)00UU e )(utjUeU復簡諧量的峰值和有效值的關系：復簡諧量的峰值和有效值的關系：0I2 I0U2Uii1i23196. 56)6(1jeItj)30cos(261ti)60cos(282ti求: i=i1+i2？解：解：928. 648)3(2jeItjA10928.3296.9)928.64()3196.5()1 .23(21tjejjjIIIA)1 .23cos(210ti矢量圖：矢量圖： 30 23

17、.1 60 1I 2I I U A)1 .23cos(210ti1i62 cos(t30 )A 2i82 cos(t60 )A 三三. . 交流電路的復阻抗交流電路的復阻抗 ZZ + U 無 源 二 端 網(wǎng) 絡 + U I I ( a ) 無 源 二 端 網(wǎng) 絡 ( b ) 等 效 電 路 00UZIIUZ或或 無源二端網(wǎng)絡端口的無源二端網(wǎng)絡端口的復電壓和復電流的比值復電壓和復電流的比值稱稱為該無源二端網(wǎng)絡的為該無源二端網(wǎng)絡的復阻抗復阻抗，并用符號，并用符號 表示，即：表示，即：Zuij(t)j00j(t)00UU eZZeII e CjCjeCZLjLeZRZjj111)2(C2LR ZR

18、I + U I jZL + U I -jZC + U uij(t)j00j(t)00UU eZZeII e jxrZ電阻電阻電抗電抗22|xrZZrxarctgcos| Zr sin| Zx jjtjtjZeeIUIeUeIUZiuiu)()()(00UU| Z |ZIIiu000 1z I + U (a) 兩個阻抗串聯(lián) + 1U + 2U 2z 12UZZZI121I11ZUZZUZZZU2111UZZZU2122IZZZI2121IZZZI2112 1I 2I I + U 2z (b) 兩個阻抗并聯(lián) 1z 1212IIIUUU1212IIIUUU + u + uL + uR uC + R

19、L C i (a) RLC 串聯(lián)電路 (b) 相量模型 + U + LU + RU CU + R jZL jZC I IjZUIjZUIRUCCLLR由歐姆定律：由歐姆定律：RLCLCUZZZZRj(ZZ )I2222LC1ZR(ZZ )R(L)C 所所以以：RCLRZZiu1arctgarctgCLRLCRLCUUUUIZIZIZLCRj(ZZ )IRLCI(ZZZ )IZ LU CU RU U I CU LU CU U RU I LU LU CU RU U I CU (1) 0 (2) 0 (3) = 0 討論：討論：RCLRZZiu1arctgarctgCL + u R i (a) RL

20、C 并聯(lián)電路 (b) 相量模型 + U I L C iR iL iC R jZL jZC RI LI CI RUIRLLjZUICjZUICRLCLC111IIIIUj()RZZ的規(guī)律U若已知若已知，便可求出各個電流。，便可求出各個電流。例：例：RLC串聯(lián)電路。已知串聯(lián)電路。已知R=5k，L=6mH，C=0.001F，u=5 cos106t V。(1)求電流求電流i和各元件上的電壓，畫出矢量圖；和各元件上的電壓，畫出矢量圖；(2)當角頻率變?yōu)楫斀穷l率變?yōu)?105rad/s時，電路的性質(zhì)有無改時，電路的性質(zhì)有無改變。變。2解：解：(1)61061036LLZk110001.0101166CCZk

21、4CL2555)(jejZZjRZk04電路呈感性6j10 t0U52eV66j10 tj(10 t)040j4U52eI1emAZ52e 666666j(10 t)j(10 t)44R00j(10 t)j(10 t)44L0L03j(10 t)j(10 t)44C0C0URI5 1e5eVUjZ Ij6 1e6eVUjZ Ij1 1e1eV V10cos256tu 由由，得復電壓得復電壓(用峰值表示用峰值表示)為：為：故各元件上的復電壓（峰值）分別為：故各元件上的復電壓（峰值）分別為： 45 LU U RU I CU 所以電路中的電流和各元件上的電壓的瞬時值所以電路中的電流和各元件上的電壓的

22、瞬時值分別為：分別為：矢量圖為：矢量圖為：k12.108 . 85)10001. 01021106102(5)()58 . 8(6535arctgjCLejjZZjRZ(2)當角頻率變?yōu)楫斀穷l率變?yōu)?105rad/s時，電路復阻抗為：時，電路復阻抗為：058 . 8arctg電路呈電路呈容性容性例：例：RLC并聯(lián)電路中。已知并聯(lián)電路中。已知R=5，L=5H，C=0.4F，電壓有效值電壓有效值U=10V，=106rad/s，求總電流求總電流i，并說明電路的性質(zhì)。并說明電路的性質(zhì)。5.2104.0101166CCZ51051066LLZ解：解：V10610tjtjeUeU設設A2510661010

23、RtjtjeeRUIA2510)210(210LL66tjjtjeeejZUI則則A45.210)210()2(10CC66tjjtjeeejZUICLRIIIIA)4510cos(4)4510cos(22266tti電路呈容性。電路呈容性。A2222422)4j(106tejjj045450iu四四. . 復數(shù)形式的基爾霍夫定律復數(shù)形式的基爾霍夫定律00)()(ttui00ZIUIi c+q -qi Ri LR 1IR 2IUU2I1I21II 2 例：求下圖電路中的輸入電壓例：求下圖電路中的輸入電壓 和輸出電壓和輸出電壓 的大小之比以及位相差。的大小之比以及位相差。)(tu)(tu解：解：

24、回路回路1回路回路20)1)()1()1)(212211CjIICjRIUCjIIRI)1(2CjIU聯(lián)立三式求解即可。聯(lián)立三式求解即可。一、二端網(wǎng)絡的功率一、二端網(wǎng)絡的功率二、功率因數(shù)的提高二、功率因數(shù)的提高三、電抗元件的品質(zhì)因數(shù)三、電抗元件的品質(zhì)因數(shù))2cos(costUIcos)2cos(cos1100UIdttUITpdtTPTT-+Nui設設iu)cos(2cos2tUutIi，則則tItUuipcos2)cos(2一、二端網(wǎng)絡的功率一、二端網(wǎng)絡的功率cosUIP cos稱功率因數(shù)。 可見電阻總是消耗能量的，而電感和電容是可見電阻總是消耗能量的，而電感和電容是不消耗能量的，其平均功率都為不消耗能量的，其平均功率都為0。平均功率就。平均功率就是反映電路實際消耗的功率。無源二端網(wǎng)絡各是反映電路實際消耗的功率。無源二端網(wǎng)絡各電阻所消耗的平均功率之和，就是該電路所消電阻所消耗的平均功率之和，就是該電路所消耗的耗的平均功率平均功率 ，即為有功功率，即為有功功率 。P有PsinUIP無表示二端網(wǎng)絡與外電路進行能量交換的幅度。表示二端網(wǎng)絡與外電路進行能量交換的幅度。單位為乏（單位為乏（Var）UIS