相似矩陣與矩陣對(duì)角化和條件

1、4.3.1相似矩陣與相似變換的概念相似矩陣與相似變換的概念.,., , 111的相似變換矩陣變成稱(chēng)為把可逆矩陣進(jìn)行相似變換稱(chēng)為對(duì)進(jìn)行運(yùn)算對(duì)相似與或說(shuō)矩陣的相似矩陣是則稱(chēng)使若有可逆矩陣階矩陣都是設(shè)定義BAPAAPPABAABBAPPPnBA記作記作AB例如： ， ，找出 滿(mǎn)足 ，所以 。 1513A2004B5111P616161651PBAPP1BA矩陣的相似關(guān)系是一種矩陣的相似關(guān)系是一種 等價(jià)關(guān)系等價(jià)關(guān)系二、相似矩陣與相似變換的性質(zhì)二、相似矩陣與相似變換的性質(zhì).本身相似本身相似與與AA.,相似相似與與則則相似相似與與若若ABBA.,相相似似與與則則相相似似與與相相似似與與若若CACBBA反身

2、性反身性)1()2(對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性傳遞性傳遞性)3(PAPkPAPkPAkAkP21211122111)2(.,21是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中kk.)3(2111211PAPPAPPAAP.,)4(為正整數(shù)相似與則相似與若mBABAmm相似變換的性質(zhì)相似變換的性質(zhì)|,).1 (BABA則11,;,)5(BABABA有當(dāng)可逆時(shí)同時(shí)可逆或同時(shí)不可逆則若證明證明相相似似與與BAAPPPEPBE11PAEP1PAEP1.AE BAPPP 1,使使得得可可逆逆陣陣., 1的特征值亦相同的特征值亦相同與與從而從而式相同式相同的特征多項(xiàng)的特征多項(xiàng)與與則則相似相似與與階矩陣階矩陣若若定理定理BABABAn推論

3、推論 若若 階方陣階方陣A A與對(duì)角陣與對(duì)角陣n n 21.,21個(gè)特征值個(gè)特征值的的即是即是則則相似相似nAn ?,1000000210100002:yxyBxA則相似與已知矩陣?yán)? 001101100010|1|1, 2,:xxAEyBBABA即的特征值為又有相同的特征值解1) 1)(1)(2(1010002, 0|010100002yAEA得解即., 1對(duì)角化對(duì)角化這就稱(chēng)為把方陣這就稱(chēng)為把方陣為對(duì)角陣為對(duì)角陣使使若可找到可逆矩陣若可找到可逆矩陣階方陣階方陣對(duì)對(duì)AAPPPAn 證明證明,1為為對(duì)對(duì)角角陣陣使使假假設(shè)設(shè)存存在在可可逆逆陣陣 APPP .,21npppPP 用用其其列列向向量量

4、表表示示為為把把三、利用相似變換將方陣對(duì)角化三、利用相似變換將方陣對(duì)角化.)( 2個(gè)個(gè)線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量有有的的充充分分必必要要條條件件是是能能對(duì)對(duì)角角化化即即與與對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣相相似似階階矩矩陣陣定定理理nAAAn nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nnApApAppppA,2121 ., 2 , 1nipApiii 于于是是有有 nppp ,211 ,1 PAPAPP得得由由., 的的特特征征向向量量的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可見(jiàn)見(jiàn)iiiApPA .,21線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)所所以以可可逆逆

5、又又由由于于npppP命題得證命題得證., PAPPnnnA使使陣陣個(gè)特征向量即可構(gòu)成矩個(gè)特征向量即可構(gòu)成矩這這個(gè)特征向量個(gè)特征向量得得并可對(duì)應(yīng)地求并可對(duì)應(yīng)地求個(gè)特征值個(gè)特征值恰好有恰好有由于由于反之反之說(shuō)明說(shuō)明 如果如果 階矩陣階矩陣 的的 個(gè)特征值互不相等，個(gè)特征值互不相等，則則 與對(duì)角陣相似與對(duì)角陣相似推論推論nAAn如果如果 的特征方程有重根，此時(shí)不一定有的特征方程有重根，此時(shí)不一定有 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，從而矩陣個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，從而矩陣 不一定能不一定能對(duì)角化，但如果能找到對(duì)角化，但如果能找到 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量， 還是能對(duì)角化還是能對(duì)角化AAnnA例

6、例1 1 判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？ 242422221)1(A 201335212)2(A解解AE 由) 1 ( 722 0 242422221. 7, 2321 得得得方程組代入將, 02121AE04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.110,10221 , 0, 73xAE由對(duì)求得基礎(chǔ)解系求得基礎(chǔ)解系 2 , 2 , 13T , 0211210102 由于由于.,321線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)所所以以 .,3 化化可對(duì)角可對(duì)角因而因而個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量有有即即AA,同理同理201335212

7、AE 31 201335212)2(A. 1321 的特征值為的特征值為所以所以A, 01xAE代入把解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系,) 1, 1 , 1 ( T 故故 不能化為對(duì)角矩陣不能化為對(duì)角矩陣.A 163053064A設(shè)設(shè)A能否對(duì)角化？若能對(duì)角能否對(duì)角化？若能對(duì)角,P則則求求出出可可逆逆矩矩陣陣化化例例2 2.1為為對(duì)對(duì)角角陣陣使使APP 解解163053064AE 212 . 2, 1321 的全部特征值為的全部特征值為所以所以A得方程組代入將0121xAE 063063063212121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系,0121 .1002 得方程組的基礎(chǔ)解系代入將, 02

8、 3xAE .1 , 1 , 13 T .,321線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)由由于于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP則則有有所以所以 可對(duì)角化可對(duì)角化.A注意注意 , ,213 P若令若令111 012 100. 1 APP則有則有00 00002 11即矩陣即矩陣 的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要相互對(duì)應(yīng)要相互對(duì)應(yīng)P可對(duì)角化為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)可對(duì)角化則對(duì)應(yīng)特征根的重?cái)?shù)特征向量的個(gè)數(shù)關(guān)重特征值對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)的可對(duì)角化則的特征值均為單根時(shí)可對(duì)角化的條件矩陣小結(jié)AAAnAAAA,. 3,. 2,. 1:,12,11,10, 9 , 8 , 6

9、972 . 3 . 4,92習(xí)練習(xí)例PP1 1相似變換與相似變換矩陣相似變換與相似變換矩陣這種變換的重要意義在于這種變換的重要意義在于簡(jiǎn)化對(duì)矩陣的各種簡(jiǎn)化對(duì)矩陣的各種運(yùn)算運(yùn)算，其方法是先通過(guò)相似變換，將矩陣變成與，其方法是先通過(guò)相似變換，將矩陣變成與之等價(jià)的對(duì)角矩陣，再對(duì)對(duì)角矩陣進(jìn)行運(yùn)算，從之等價(jià)的對(duì)角矩陣，再對(duì)對(duì)角矩陣進(jìn)行運(yùn)算，從而將比較復(fù)雜的矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的對(duì)而將比較復(fù)雜的矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的對(duì)角矩陣的運(yùn)算角矩陣的運(yùn)算相似變換相似變換是對(duì)方陣進(jìn)行的一種運(yùn)算，它把是對(duì)方陣進(jìn)行的一種運(yùn)算，它把A變成，而可逆矩陣變成，而可逆矩陣 稱(chēng)為進(jìn)行這一變換的稱(chēng)為進(jìn)行這一變換的相似變換矩陣相似變換矩陣APP1 P,111111111 A.00100100 nB思考題.,是否相似是否相似判斷下列兩矩陣判斷下列兩矩陣BA思考題解答. 0,)( )()det( 211 nnnAnEA的特征值為的特征值為因因解解使得使得矩陣矩陣存在可逆存在可逆是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣又又, 1PA),0 , 0 ,(111ndiagPAP ,)( )()det( 1 n