相對論習(xí)題課

1、洛倫茲變換洛倫茲變換vtxx 2vttxc yy zz 同時性和因果律同時性和因果律時間膨脹（原時）時間膨脹（原時）長度收縮（原長）長度收縮（原長）21( / )tttv c 同一地點同一地點相對靜止相對靜止21( )vLLLc21xxxuvuvuc 221 ( )1yyxuvuvcuc 221 ( )1zzxuvuvcuc 作業(yè)作業(yè)1：假定一個粒子在假定一個粒子在S系的系的x y 平面內(nèi)以平面內(nèi)以c/2的恒定速度的恒定速度運動，運動，t =0，粒子通過原點，粒子通過原點O ，其運動方向與，其運動方向與x 軸承軸承60度度角。如果角。如果S 系相對于系相對于S系沿系沿x軸方向的速度為軸方向的速

2、度為0.6c，試求由，試求由S系所確定的粒子的運動方程。系所確定的粒子的運動方程。解解1：先確定先確定S 系中系中的運動方程的運動方程。60sin260cos2cttuycttuxyx 可得可得S 系中系中的運動方程的運動方程2222211cvxcvttyycvvtxx ctyctx23342317 作業(yè)作業(yè)1：假定一個粒子在假定一個粒子在S系的系的x y 平面內(nèi)以平面內(nèi)以c/2的恒定速度的恒定速度運動，運動，t =0，粒子通過原點，粒子通過原點O ，其運動方向與，其運動方向與x 軸承軸承60度度角。如果角。如果S 系相對于系相對于S系沿系沿x軸方向的速度為軸方向的速度為0.6c，試求由，試求

3、由S系所確定的粒子的運動方程。系所確定的粒子的運動方程。解解2：S 系中系中的運動方程的運動方程tuytuxyx 可得可得S 系中系中的運動方程的運動方程ccuccuyx4360sin24160cos2 。ctyctx23342317 由題目已知由題目已知2222111cvucvuuucvvuuxyyxxx 作業(yè)作業(yè)3：在靜止于實驗室的放射性物質(zhì)樣品中，有兩個電子在靜止于實驗室的放射性物質(zhì)樣品中，有兩個電子從放射性原子鐘沿相反的方向射出。由實驗室觀察者測得每從放射性原子鐘沿相反的方向射出。由實驗室觀察者測得每一個電子的速度為一個電子的速度為0.67c，根據(jù)相對論，兩個電子的相對速度，根據(jù)相對論

4、，兩個電子的相對速度應(yīng)該是多少？應(yīng)該是多少？解：解：甲甲乙乙xyyo0.9c 0.9c關(guān)鍵：畫圖后定好參考系！關(guān)鍵：畫圖后定好參考系！如果以甲為參考系如何求解？如果以甲為參考系如何求解？作業(yè)作業(yè)4：一原子核以一原子核以0.5c的速度離開一觀察者而運動。原子核的速度離開一觀察者而運動。原子核在它運動方向上向前發(fā)射一電子，該電子相對于核的速度為在它運動方向上向前發(fā)射一電子，該電子相對于核的速度為0.8c；此原子又向后發(fā)射了一光子飛向觀察者，對靜止觀察；此原子又向后發(fā)射了一光子飛向觀察者，對靜止觀察者來講（者來講（1）電子具有多大速度？（）電子具有多大速度？（2）光子具有多大速度？）光子具有多大速度

5、？解：解：(2)驗證光速不變原理驗證光速不變原理xy cyx12xxxucvvuu cccvuc 21例：例：地球上的人看到地球上的人看到t1時刻有一束太陽光子時刻有一束太陽光子(太陽風的一部太陽風的一部分分)射過地球之后，他又在射過地球之后，他又在t2=t1+ t時刻看到木星發(fā)射一時刻看到木星發(fā)射一束無線電波。另外在從地球以速率束無線電波。另外在從地球以速率V=0.5c飛往木星的火飛往木星的火箭上有一名宇航員也看到了同樣兩件事情。假設(shè)地球位箭上有一名宇航員也看到了同樣兩件事情。假設(shè)地球位于太陽到木星的直線上，且距離木星于太陽到木星的直線上，且距離木星6.8108km遠。令遠。令 t=900s

6、。在火箭上的宇航員看來，時間間隔為多少？。在火箭上的宇航員看來，時間間隔為多少？他是否會認為光子束導(dǎo)致了無線電波的發(fā)射？他是否會認為光子束導(dǎo)致了無線電波的發(fā)射？事件事件1：光子到達地球：光子到達地球事件事件2：木星發(fā)射電波：木星發(fā)射電波已知已知解：解：設(shè)地球為設(shè)地球為S系，火箭為系，火箭為S系系=s21900t tt =km8216.8 10 x xx =2221VtxctVc =s173 在火箭中看到無線電波先發(fā)在火箭中看到無線電波先發(fā)射，說明兩事件無因果關(guān)系射，說明兩事件無因果關(guān)系例：例：地球上的人看到地球上的人看到t1時刻有一束太陽光子時刻有一束太陽光子(太陽風的一部太陽風的一部分分)射

7、過地球之后，他又在射過地球之后，他又在t2=t1+ t時刻看到木星發(fā)射一時刻看到木星發(fā)射一束無線電波。另外在從地球以速率束無線電波。另外在從地球以速率V=0.5c飛往木星的火飛往木星的火箭上有一名宇航員也看到了同樣兩件事情。假設(shè)地球位箭上有一名宇航員也看到了同樣兩件事情。假設(shè)地球位于太陽到木星的直線上，且距離木星于太陽到木星的直線上，且距離木星6.8108km遠。遠。 假設(shè)是此光子束導(dǎo)致無線電波的發(fā)射，假設(shè)是此光子束導(dǎo)致無線電波的發(fā)射， t的取值范圍是的取值范圍是多少？多少？解：解：若有因果關(guān)系，則在任何參考系看來此時間間隔都非負。若有因果關(guān)系，則在任何參考系看來此時間間隔都非負。0 =222

8、1VtxctVc 2Vtxc而而Vv飛離地球，并當?shù)厍蛏系臅r鐘顯示飛離地球，并當?shù)厍蛏系臅r鐘顯示t2時刻時追上前時刻時追上前一艘宇宙飛船。其中一艘宇宙飛船。其中vt2=V(t2t1)，即，即t2=Vt1/(V v)。（1）(t10)是原時還是膨脹了的時間間隔？是原時還是膨脹了的時間間隔？（2）當?shù)厍蛏蠒r鐘為）當?shù)厍蛏蠒r鐘為t1時刻時，慢飛船上的鐘讀數(shù)是多少？時刻時，慢飛船上的鐘讀數(shù)是多少？（3）此時地球離較慢飛船多遠？）此時地球離較慢飛船多遠？（4）(t20)是原時還是膨脹了得時間間隔？是原時還是膨脹了得時間間隔？（5）當被快飛船追上時，慢飛船上的鐘顯示的什么時刻？）當被快飛船追上時，慢飛船上

9、的鐘顯示的什么時刻？（6）從慢船看，快船追上用的時間？）從慢船看，快船追上用的時間？（7）從慢船看，快船追上時飛的距離？）從慢船看，快船追上時飛的距離？例：例：在在t=t=0時刻，一艘宇宙飛船以相對速度時刻，一艘宇宙飛船以相對速度v經(jīng)過地球。當經(jīng)過地球。當?shù)厍蛏系臅r鐘讀書為地球上的時鐘讀書為t1時，一艘更快的宇宙飛船以相對速時，一艘更快的宇宙飛船以相對速度度Vv飛離地球，并當?shù)厍蛏系臅r鐘顯示飛離地球，并當?shù)厍蛏系臅r鐘顯示t2時刻時追上前時刻時追上前一艘宇宙飛船。其中一艘宇宙飛船。其中vt2=V(t2t1)，即，即t2=Vt1/(V v)。=1112001( / )tttv c （1）(t10)

10、是原時還是膨脹了的時間間隔？是原時還是膨脹了的時間間隔？（2）當?shù)厍蛏蠒r鐘為）當?shù)厍蛏蠒r鐘為t1時刻時，慢飛船上的鐘讀數(shù)是多少？時刻時，慢飛船上的鐘讀數(shù)是多少？（3）此時地球離較慢飛船多遠？）此時地球離較慢飛船多遠？原時。原時。飛船上的鐘是非原時。飛船上的鐘是非原時。=111xv tvt 1vt非原長非原長1vt 例：例：在在t=t=0時刻，一艘宇宙飛船以相對速度時刻，一艘宇宙飛船以相對速度v經(jīng)過地球。當經(jīng)過地球。當?shù)厍蛏系臅r鐘讀書為地球上的時鐘讀書為t1時，一艘更快的宇宙飛船以相對速時，一艘更快的宇宙飛船以相對速度度Vv飛離地球，并當?shù)厍蛏系臅r鐘顯示飛離地球，并當?shù)厍蛏系臅r鐘顯示t2時刻時追

11、上前時刻時追上前一艘宇宙飛船。其中一艘宇宙飛船。其中vt2=V(t2t1)，即，即t2=Vt1/(V v)。（4）(t20)是原時還是膨脹了得時間間隔？是原時還是膨脹了得時間間隔？（5）當被快飛船追上時，慢飛船上的鐘顯示的什么時刻？）當被快飛船追上時，慢飛船上的鐘顯示的什么時刻？（6）從慢船看，快船追上用的時間？）從慢船看，快船追上用的時間？非原時。非原時。= -220tt 是原時=2220ttt =1112001( / )tttv c 2211tttt 例：例：在在t=t=0時刻，一艘宇宙飛船以相對速度時刻，一艘宇宙飛船以相對速度v經(jīng)過地球。當經(jīng)過地球。當?shù)厍蛏系臅r鐘讀書為地球上的時鐘讀書為

12、t1時，一艘更快的宇宙飛船以相對速時，一艘更快的宇宙飛船以相對速度度Vv飛離地球，并當?shù)厍蛏系臅r鐘顯示飛離地球，并當?shù)厍蛏系臅r鐘顯示t2時刻時追上前一時刻時追上前一艘宇宙飛船。其中艘宇宙飛船。其中vt2=V(t2t1)，即，即t2=Vt1/(V v)。2211tttt （7）從慢船看，快船追上時飛的距離？）從慢船看，快船追上時飛的距離？快船相對于慢船的速度為快船相對于慢船的速度為21xxxuvuvuc 21VvVvVc 快船飛行距離為快船飛行距離為21()Vtt =111xv tvt 1vt 作業(yè)作業(yè)7：在在S系中有一個靜止的正方形，其面積為系中有一個靜止的正方形，其面積為100m2，觀，觀察

13、者以察者以0.8c的速度沿正方形的對角線運動，觀察者測得的該的速度沿正方形的對角線運動，觀察者測得的該正方形的面積多少？正方形的面積多少？解：解：xycvcvyx22,22 yxv尺度收縮。尺度收縮。沿沿x軸方向的對角線收縮，軸方向的對角線收縮，y軸的不變。軸的不變。xyyxvvxvy222211cvyycvxx yxS 作業(yè)作業(yè)8：兩飛船在自己靜止參考系中測得各自長度約為兩飛船在自己靜止參考系中測得各自長度約為l0。飛。飛船甲上測得甲的前端駛完乙的全長需要船甲上測得甲的前端駛完乙的全長需要 t。求兩飛船的相對。求兩飛船的相對速度大小。速度大小。解解1：2201cvll 尺度收縮。尺度收縮。2

14、21cvtt l0是乙的原長，從甲看來會尺度收縮。是乙的原長，從甲看來會尺度收縮。時間膨脹。時間膨脹。tv 解解2： t為原時，從乙看來時間會膨脹。為原時，從乙看來時間會膨脹。vtl 0 例：例：一宇宙飛船相對地球以一宇宙飛船相對地球以 的速度飛行，的速度飛行，一光脈沖從船尾傳到船頭，飛船上的觀察者測得飛一光脈沖從船尾傳到船頭，飛船上的觀察者測得飛船長船長 90 m，地球上的觀察者測得光脈沖從船尾發(fā)出，地球上的觀察者測得光脈沖從船尾發(fā)出達到船頭兩事件的空間間隔為達到船頭兩事件的空間間隔為 （A）90 m ，（，（B）54 m，（，（C）270 m，（，（D）150 m。c8 .0解解 設(shè)地球為

15、設(shè)地球為 S 系系, 飛船為飛船為 S 系系m9012 xxxm270m8 . 01908 . 090122 txxvctttm90-12 xyo y xc8 . 0o事件一：光從船尾出發(fā)事件一：光從船尾出發(fā) 事件二：光到達船頭事件二：光到達船頭解解 設(shè)地球為設(shè)地球為 S 系系, 飛船為飛船為 S 系系xyo y xc8 . 0o y xc8 . 0o),(11xt),(22xt)(1212ttcxx 201 llm27011122 xcxctcxvm900 lxc8 .0 v已知已知：)(12ttl v例：例：設(shè)想地球上有一觀察者測得一宇宙飛船以設(shè)想地球上有一觀察者測得一宇宙飛船以0.60c

16、的速率向東飛行，的速率向東飛行，5.0s后該飛船將于一個以后該飛船將于一個以0.80c的的速率向西飛行的彗星相碰撞。試問：從飛船中的鐘速率向西飛行的彗星相碰撞。試問：從飛船中的鐘來看，還有多少時間允許它離開航線，以避免與彗來看，還有多少時間允許它離開航線，以避免與彗星碰撞？星碰撞？解一解一：用洛倫茲變換。：用洛倫茲變換。xyoc6 . 0 y xoc8 . 0 發(fā)現(xiàn)飛船：發(fā)現(xiàn)飛船：1111:(,),:(,)Sx tSx t2222:(,),:(,)Sx tSx t 船星碰撞船星碰撞215.0sttt xv t 2224.0s1vtxctvc 由條件已知由條件已知解二解二：用時間膨脹效應(yīng)。：用時

17、間膨脹效應(yīng)。xyoc6 . 0 y xoc8 . 0 發(fā)現(xiàn)飛船：發(fā)現(xiàn)飛船：1111:(,),:(,)Sx tSx t2222:(,),:(,)Sx tSx t 船星碰撞船星碰撞5.0stt 2214.0svttc 飛船上測的時間為原時，飛船上測的時間為原時，例：例：設(shè)想地球上有一觀察者測得一宇宙飛船以設(shè)想地球上有一觀察者測得一宇宙飛船以0.60c的速率向東飛行，的速率向東飛行，5.0s后該飛船將于一個以后該飛船將于一個以0.80c的的速率向西飛行的彗星相碰撞。試問：從飛船中的鐘速率向西飛行的彗星相碰撞。試問：從飛船中的鐘來看，還有多少時間允許它離開航線，以避免與彗來看，還有多少時間允許它離開航

18、線，以避免與彗星碰撞？星碰撞？ 相對論質(zhì)量相對論質(zhì)量 動量、動力學(xué)方程動量、動力學(xué)方程 動能動能 相對論能量相對論能量0211( )mmvc Pmv 220mcm c kEE0= m0c2靜止能量靜止能量E = mc2 = Ek+ m0c2EPcm0c2Ek對光子：對光子：EPc 2Emc 下面考察一個例子：下面考察一個例子：兩個全同粒子兩個全同粒子A、B的完全非彈性碰撞。的完全非彈性碰撞。M(u)AmBm碰撞前碰撞前碰撞后碰撞后A 、B兩個全同粒子正碰后結(jié)合成為一個復(fù)合粒子。兩個全同粒子正碰后結(jié)合成為一個復(fù)合粒子。碰撞前碰撞前BKBm(v)Avm0KABAm0m(v)- -v我們分別以我們分

19、別以A、B兩個粒子為慣性參照系來討論。兩個粒子為慣性參照系來討論。KB系中，系中，B粒子靜止，粒子靜止，A粒子速率為粒子速率為v ,A粒子質(zhì)量為粒子質(zhì)量為mA=m(v)；B粒子質(zhì)量為粒子質(zhì)量為 mB= m0KA系中，系中，A粒子靜止，粒子靜止，B粒子速率為粒子速率為v ,A粒子質(zhì)量為粒子質(zhì)量為mA= m0；B粒子質(zhì)量為粒子質(zhì)量為 mB= m (v)碰撞后碰撞后uM(u)KBM(u)- -uKA設(shè)碰撞后復(fù)合粒子在設(shè)碰撞后復(fù)合粒子在KB系的速度為系的速度為u ,質(zhì)量為質(zhì)量為M(u)；設(shè)碰撞后復(fù)合粒子在設(shè)碰撞后復(fù)合粒子在K A系的速度為系的速度為u,由于對稱性由于對稱性可以看出可以看出 ，故復(fù)合粒子

20、的質(zhì)量仍為，故復(fù)合粒子的質(zhì)量仍為M(u)。uu 根據(jù)動量守恒和質(zhì)量守恒定律可以得到根據(jù)動量守恒和質(zhì)量守恒定律可以得到根據(jù)洛倫茲速度變換公式可得根據(jù)洛倫茲速度變換公式可得( )( )(1)m v vM u u0( )( )(2)m vmM u0( )( )( )( )m vmM um vm v01( )mm v (3)vu2(4)1/uvuuuv c 2211/(5)vvcu 022( )1/mm vvcBKBm(v)Avm0例：例：把把100kg的銅的銅(C=0.389kJ/kg K)的溫度升高的溫度升高100度，度，求質(zhì)量的增加量。求質(zhì)量的增加量。3890kJEmC T 解：解：由于熱傳導(dǎo)，

21、銅增加的能量由于熱傳導(dǎo)，銅增加的能量1124.33 10kgEmc 例：例：將一個將一個2kg的物體從地面提到高的物體從地面提到高30cm的桌子上。的桌子上。求由于勢能的增加導(dǎo)致物體質(zhì)量的增加量。求由于勢能的增加導(dǎo)致物體質(zhì)量的增加量。解：解：勢能增加勢能增加Emgh1726.5 10kgEmc 思考：如何解釋？思考：如何解釋？例例一個中性一個中性 介子相對于觀察者以速度介子相對于觀察者以速度v = kc 運動，以后衰變運動，以后衰變?yōu)閮蓚€光子，兩光子的運動軌跡與為兩個光子，兩光子的運動軌跡與 介子原來的方向成相等的介子原來的方向成相等的角度角度 。 試證明試證明:（1）兩光子有相等的能量）兩光子有相等的能量;（2）cos = k 。證證明明：v 1 2動量守恒動量守恒: :coscos12120cEcEkvmEEE21cos2120cEkvm豎直方向：豎直方向：水平方向：水平方向：0sinsin21cEcE能量守恒：能量守恒：212201