全等的相關(guān)模型總結(jié)

1、 全等的相關(guān)模型總結(jié)1、 角平分線模型應(yīng)用1. 角平分性質(zhì)模型： 幫助線：過(guò)點(diǎn)G作GE射線AC（1） .例題應(yīng)用：如圖1，在，那么點(diǎn)D到直線AB的距離是 cm.如圖2，已知，. 圖1 圖22 （提示：作DEAB交AB于點(diǎn)E），.(2) .模型鞏固：練習(xí)一：如圖3，在四邊形ABCD中，BC>AB，AD=CD，BD平分. 圖3練習(xí)二：已知如圖4，四邊形ABCD中， 圖4練習(xí)三：如圖5，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F.(1) 求證：CE=CF.(2) 將圖5中的ADE沿AB向右平移到的位置，使點(diǎn)落在BC邊上，其他條件不變，如圖6所示，是猜想：于CF又怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論. 圖5 圖6練習(xí)

2、四：如圖7，P是AB的中點(diǎn)，PD平分ADC 求證：CP平分DCBADECBP2143 圖7練習(xí)五：如圖8，ABAC，A的平分線與BC的垂直平分線相交于D，自D作DEAB，DFAC，垂足分別為E，F(xiàn)求證：BE=CF 圖8練習(xí)六：如圖9所示，在ABC中，BC邊的垂直平分線DF交BAC的外角平分線AD于點(diǎn)D，F(xiàn)為垂足，DEAB于E，并且AB>AC。求證：BEAC=AE。圖9練習(xí)七： 如圖10，D、E、F分別是ABC的三邊上的點(diǎn)，CE=BF，且DCE的面積與DBF的面積相等，求證：AD平分BAC。2.角平分線+垂線，等腰三角形比呈現(xiàn)幫助線：延長(zhǎng)ED交射線OB于F 幫助線：過(guò)點(diǎn)E作EF射線OB（1

3、） .例題應(yīng)用：如圖1所示，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分線，BEAD于F。求證：證明：延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F。 由于角是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是角的平分線所在的直線， 圖1所以AD為BAC的對(duì)稱軸，又由于BEAD于F，所以點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于AD對(duì)稱，所以BE=FE=BF，AB=AF，ABF=AFB。由于ABFFBC=ABC=3C，ABF=AFB=FBCC，所以FBCCFBC=3C，所以FBC=C，所以FB=FC，所以BE=FC=（ACAF）=（ACAB），所以。已知：如圖2，在， 圖2分析：此題很多同學(xué)可能想到延長(zhǎng)線段CM，但很快發(fā)現(xiàn)與要證明的結(jié)論毫無(wú)關(guān)系。而此題突破口就在于AB=AD，

4、由此我們可以猜想過(guò)C點(diǎn)作平行線來(lái)構(gòu)造等腰三角形.證明：過(guò)點(diǎn)C作CEAB交AM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. 例題變形:如圖，求證： (3) .模型鞏固：練習(xí)一、 如圖3，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。 圖3練習(xí)一變形：如圖4，在ODC中，過(guò)點(diǎn)E作 圖4練習(xí)二、如圖5，已知ABC中，CE平分ACB，且AECE，AEDCAE180度，求證：DEBCACDEB 圖5 練習(xí)三、如圖6，ADDC，BCDC，E是DC上一點(diǎn)，AE平分DAB，BE平分ABC，求證：點(diǎn)E是DC中點(diǎn)。ABCDE 圖6練習(xí)四、如圖7（a），

5、. 圖7（a） 圖7（b） 圖7（c） 、如圖7（b），、如圖7（c），其他條件不變. 則在圖7（b）、圖6（c）兩種情況下，DE與BC還平行嗎？它與三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并證明你的結(jié)論.(提示：利用三角形中位線的知識(shí)證明線平行) 練習(xí)五、如圖8，在直角三角形中，的平分線交于自作交于，交于自作于，求證： 圖8練習(xí)六、如圖9所示，在中，為的中點(diǎn)，是的平分線，若且交的延長(zhǎng)線于，求證 圖9 練習(xí)六變形一：如圖10所示，是中的外角平分線，于，是的中點(diǎn)，求證 且 圖10練習(xí)六變形二：如圖11所示，在中，平分，于，求證 圖11 練習(xí)七、如圖12，在中，的平分線交與則有那么如圖13，已知在

6、中，求證： 圖12 圖13練習(xí)八、在中，的平分線交于，過(guò)作，為垂足，求證： 練習(xí)九、是的角平分線，交的延長(zhǎng)線于，交于 求證： 3. 角分線，分兩邊，對(duì)稱全等要記全 兩個(gè)圖形的幫助線都是在射線OA上取點(diǎn)B，使OB=OA，從而使OBC.（1）.例題應(yīng)用：、在ABC中，BAC=60°，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見(jiàn)幫助線的知識(shí)：作平行線。2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢(shì)較為簡(jiǎn)單，我們可以通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證。

7、可過(guò)O作BC的平行線。得ADOAQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。解答過(guò)程：證明：如圖（1），過(guò)O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=180°60°40°=80°，又AQO=C+QBC=80°，    ADO=AQO，    又DAO=QAO，OA=AO，    ADOAQO，    OD=OQ，AD=AQ，    

8、又ODBP，    PBO=DOB，    又PBO=DBO，    DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70°，    BOP=OBA+BAO=70°，BOP=BPO，BP=OB，    AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。         

9、0;           解題后的思考：（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖（2），過(guò)O作ODBC交AC于D，則ADOABO從而得以解決。如圖（5），過(guò)P作PDBQ交AC于D，則ABPADP從而得以解決。小結(jié)：通過(guò)一題的多種幫助線添加方法，體會(huì)添加幫助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會(huì)構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不

10、論是作平行線還是倍長(zhǎng)中線，實(shí)質(zhì)都是對(duì)三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。 、如圖所示，在中，是的外角平分線，是上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，試比較與的大小，并說(shuō)明理由 【解析】 ，理由如下如圖所示，在的延長(zhǎng)線上截取，連接由于是的外角平分線，故在和中，公用，因此，從而在中，而，故 變形：在中，是的平分線是上任意一點(diǎn)求證： 【解析】 在上截取，連結(jié)，依據(jù)證得，又中，（2）、模型鞏固：練習(xí)一、.如圖，在ABC中，ADBC于D，CDABBD，B的平分線交AC于點(diǎn)E，求證：點(diǎn)E恰好在BC的垂直平分線上。EADBC練習(xí)二、如圖，已知ABC中，ABAC，A100°，B的平分線

11、交AC于D，ACBD求證：ADBDBC練習(xí)三、如圖，已知ABC中，BCAC，C90°，A的平分線交BC于D，ACBD求證：ACCDAB練習(xí)四、已知：在中，的平分線和外角的平分線相交于交于求證：練習(xí)五、在中，平分，是中點(diǎn)，連結(jié)，求證： 變式：已知：在中，平分，求證：練習(xí)六、 已知：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC,BC=DC,CF平分BCD,DFAB,BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E. 求證：（1） BF=DF； (2) AD=DE.ABCDFE練習(xí)七、已知如圖，在四邊形ABCD中，AB+BC=CD+DA，ABC的外角平分線與CDA的外角平分線交于點(diǎn)P.求證：APB=CPD 練習(xí)八、如圖，在

12、平行四邊形ABCD（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形）中，E，F(xiàn)分別是AD，AB邊上的點(diǎn)，且BE、DF交于G點(diǎn)，BE=DF，求證：GC是BGD的平分線。練習(xí)九、如圖，在ABC中，ACB為直角，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，過(guò)D作DEAB交BC于E，求證：CT=BE.練習(xí)十、如圖所示，已知中，平分，、分別在、上， 求證： 【補(bǔ)充】如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交 于點(diǎn)，若，求證：為的角平分線4.中考巡禮：（1）.如圖1，OP是AOB的平分線，請(qǐng)你利用圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P為所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形，請(qǐng)你參考這個(gè)全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題。、如圖2，在ABC中，AC

13、B是直角，B=60，AD、CE是BAC、BCA的角平分線， 相交于點(diǎn)F，請(qǐng)你推斷并寫(xiě)出EF與DF之間的數(shù)量的關(guān)系。、如圖3，在ABC中，ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，請(qǐng)問(wèn)，（1）中的結(jié)論是否任然成立?若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。ABCDEF圖2ABCDEF圖3 AOMNEF圖1（2）.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，B（-1，0），C（1，0）D為y軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)A為其次象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且BAC=2BDO，過(guò)點(diǎn)D作DMAC于M，、求證：ABD=ACD；、若點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，求證：AD平分CAE；、當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，（AC-AB）/AM的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)

14、明理由。2、 等腰直角三角形模型1. 在斜邊上任取一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)全等： 操作過(guò)程： （1） .將ABD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使ACMABD，從而推出ADM為等腰直角三角 形.（但是寫(xiě)幫助線時(shí)不能這樣寫(xiě)） （2） .過(guò)點(diǎn)C作，連AM導(dǎo)出上述結(jié)論.2.定點(diǎn)是斜邊中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在兩直角邊上滾動(dòng)的旋轉(zhuǎn)全等：操作過(guò)程：連AD.（1）. 使BF=AE（AF=CE），導(dǎo)出BDFADE. （2）.使EDF+BAC=，導(dǎo)出BDFADE. （1）、例題應(yīng)用： . 解析：方法一：過(guò)點(diǎn)C作， 方法二： . 證明：方法一：連接AM，證明MDEMAC.特別注意證明MDE=MAC. 方法二：過(guò)點(diǎn)M作MNEC交EC于點(diǎn)N，得出MN為直角梯形的

15、中位線，從而導(dǎo) 出MEC為等腰直角三角形. （2） 、練習(xí)鞏固： 已知：如圖所示，RtABC 中，AB=AC，O為BC中點(diǎn)，若M、N分別 在線段AC、AB上移動(dòng)，且在移動(dòng)中保持AN=CM. 、 是推斷OMN的外形，并證明你的結(jié)論. 、 當(dāng)M、N分別在線段AC、AB上移動(dòng)時(shí)，四邊形AMON的面積如何變化？ 思路：兩種方法： 在正方形ABCD中，BE=3 ，EF=5 ，DF=4 ，求BAE=DCF為多少度. 提示如右圖： 3. 構(gòu)造等腰直角三角形 （1） 、利用以上的1和2都可以構(gòu)造等腰直角三角（略）；（2） 、利用平移、對(duì)稱和弦圖也可以構(gòu)造等腰直角三角.如下圖： 圖3-1 圖3-2操作過(guò)程：在圖

16、3-2中，先將ABD以BD所在的直線為對(duì)稱軸作對(duì)稱三角形，再將此三角形沿 水平方向向右平移一個(gè)正方形邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度單位，使A與M，D與E重合.例題應(yīng)用：已知：平面直角坐標(biāo)系中的三個(gè)點(diǎn)，求OCA+OCB的 度數(shù). 4. 將等腰直角三角形補(bǔ)全為正方形，如下圖： 圖4-1 圖4-2例題應(yīng)用： 思路：構(gòu)造正方形ACBM，可以構(gòu)造出等邊APM，從而造出，又依據(jù)，可得，再由于，故而得到從而得 證.例題拓展：若ABC不是等腰直角三角形，即，而是， 其他條件不變，求證：2=21. 練習(xí)鞏固：在平面直角坐標(biāo)系中，A（0 , 3），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為0，當(dāng)A、B、C 三點(diǎn)圍成等腰直角三角形時(shí)，求點(diǎn)B、C

17、的坐標(biāo).（1）、當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)： 圖1 圖2（2） 、當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)： 圖3 圖4（3） 、當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)： 圖5 圖6 3、 三垂直模型（弦圖模型） . . . 由ABEBCD導(dǎo)出 由ABEBCD導(dǎo) 由ABEBCD導(dǎo)出 ED=AE-CD 出EC=AB-CD BC=BE+ED=AB+CD1. 例題應(yīng)用：例1.已知：如圖所示，在ABC中，AB=AC，D為AC中點(diǎn)，AFBD于E，交BC于F，連接DF.求證：ADB=CDF. 思路：方法一: 過(guò)點(diǎn)C作MCAC交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.先證ABDCAM， 再證 CDF CMF即可.方法二：過(guò)點(diǎn)A作AMBC分別交BD、BC于H、M.先證ABHCAF，

18、再證 CDF ADH即可.方法三：過(guò)點(diǎn)A作AMBC分別交BD、BC于H、M.先證RtAMF RtBMH，得出 HFAC. 由M、D分別為線段AC、BC的中點(diǎn)，可得MD為ABC的中位線 從而推出MDAB，又由于，故而MDAC，MDHF，所以MD為 線段HF的中垂線. 所以1=2.再由ADB+1=CDF+2 ，則 ADB=CDF .例1拓展（1）：已知：如圖所示，在ABC中，AB=AC，AM=CN，AFBM于E，交BC于F，連接NF.求證：ADB=CDF. BM=AF+FN 思路：同上題的方法一和方法二一樣.拓展（2）：其他條件不變，只是將BM和FN分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，求證：PM=PN, PBPF+

19、AF.思路：同上題的方法一和方法二一樣.例2.如圖2-1，已知ADBC，ABE和CDF 是等腰直角三角形，EAB=CDF=，AD=2，BC=5，求四邊形AEDF的面積. 圖2-1 解析：如圖2-2，過(guò)點(diǎn)E、B分別作ENDA，BMDA交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)N、M. 過(guò)點(diǎn)F、C分別作 FPAD，CQAD交AD及AD延長(zhǎng)線于點(diǎn) P、Q. ABE和CDF 是等腰直角三角形，EAB=CDF=，AE=AB， DF=CD.ENDA，BMDA，F(xiàn)PAD，CQAD ，NMB=ENA=FPD=DQC=. ENA=MBA ，F(xiàn)DP=QCD. ENAABM，F(xiàn)PDDQC.NE=AM， PF=DQ . NE+PF=DQ+AM

20、=MQ-AD . ADBC，CQBM，BMN=， 四邊形BMQC是矩形. BC=MQAD=2，BC=5 NE+PF=5-2=3 圖2-22.練習(xí)鞏固：（1）、如圖（1）-1，直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=，是AD的垂直平分線， 交AD于點(diǎn)M，以腰AB為邊做正方形ABFE，EP于點(diǎn)P. 求證：2EP+AD=2CD. （1）-1 （1）-2 （2）、如圖，在直角梯形ABCD中，ABC=，ADBC，AB=AC，E是AB的中點(diǎn)， CEBD. 求證：BE=AD ； 求證：AC是線段ED的垂直平分線； BCD是等腰三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由. 4、 手拉手模型1.ABE和ACF均為等邊三角形 結(jié)論：（1）. ABFAEC（2）.BOE=BAE=（“八字模型證明”）（3）.OA平分EOF 拓展： 條件：ABC和CDE均為等邊三角形 結(jié)論：（1）、AD=BE （2）、ACB=AOB （3）、PCQ為等邊三角形 （4）、PQAE （5）、AP=BQ （6）、CO平分AOE （7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD （7），（8）需構(gòu)造等邊三角形證明）2.ABD和ACE均為等腰直角三角形 結(jié)論：（1）、BE=C