曲線的凹凸和拐點

1、一、曲線凹凸的定義一、曲線凹凸的定義問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC定義定義的（或凸弧）的（或凸?。┥系膱D形是（向上）凸上的圖形是（向上）凸在在那末稱那末稱如果恒有如果恒有的（或凹?。┑模ɑ虬蓟。┥系膱D形是（向上）凹上的圖形是（向上）凹在在那末稱那末稱恒有恒有點點上任意兩上任意兩如果對如果對上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設設IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2

2、(;)(,2)()()2(,)(2121212121 ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸內的圖形是凹內的圖形是凹在在那末稱那末稱的的或凸或凸內的圖形是凹內的圖形是凹且在且在內連續(xù)內連續(xù)在在如果如果baxfbabaxf二、曲線凹凸的判定二、曲線凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內內若在若在一階和二階導數(shù)一階和二階導數(shù)內具有內具有在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果bax

3、fxfbaxfxfbababaxf 證證:,Ix,x 21利用一階泰勒公式可得利用一階泰勒公式可得,xx221 記記21111()()( )( )()()2!ff xffxx22222()()( )( )()()2!ff xffxx兩式相加：兩式相加：22112121()()2 ( )()()()2!2xxf xf xfff11()()( )0,( )2f xf xfxf當, (1)成立成立11()()( )0,( )2f xf xfxf當,(2)成立成立例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時，時，當當0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,

4、(時，時，當當0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0 , 0(點點是是曲曲線線由由凸凸變變凹凹的的分分界界點點注意到注意到,三、曲線的拐點及其求法三、曲線的拐點及其求法連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點曲線的拐點.定理定理 2 2 如果如果)(xf在在),(00 xx內存在二階導內存在二階導數(shù)數(shù), ,則點則點 )(,00 xfx是拐點的必要條件是是拐點的必要條件是0)(0 xf. .1 1、定義、定義注意注意:拐點處的切線必在拐點處穿過曲線拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.2 2、拐點的求法、拐點的求法方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfx

5、xf且且的鄰域內二階可導的鄰域內二階可導在在設函數(shù)設函數(shù);)(,(,)()1(000即為拐點即為拐點點點變號變號兩近旁兩近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐點不是拐點點點不變號不變號兩近旁兩近旁xfxxfx 例例2 2.14334凹、凸的區(qū)間凹、凸的區(qū)間的拐點及的拐點及求曲線求曲線 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點拐點拐點拐點)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,(凹凸區(qū)間為凹凸區(qū)間為方法

6、方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐點的拐點線線是曲是曲那末那末而而且且的鄰域內三階可導的鄰域內三階可導在在設函數(shù)設函數(shù)xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2 , 0(cossin的拐點的拐點內內求曲線求曲線 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 內曲線有拐點為內曲線有拐點為在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .)()(,(,)(000的拐點的拐點是連續(xù)曲線是連續(xù)曲線也可能也可能點點不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意:

7、 :例例4 4.3的拐點的拐點求曲線求曲線xy 解解,0時時當當 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可導點是不可導點yyx , 0,)0 ,( y內內但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲線在曲線在 , 0,), 0( y內內在在.), 0上是凸的上是凸的曲線在曲線在.)0 , 0(3的拐點的拐點是曲線是曲線點點xy 四、小結四、小結曲線的彎曲方向曲線的彎曲方向凹凸性凹凸性;改變彎曲方向的點改變彎曲方向的點拐點拐點;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐點的求法拐點的求法1, 2.思考題思考題設設)(xf在在),(ba內二階可導，且內二階可導，且0)(0 xf，其中其中),(0bax ，則，則,(0 x)(0 xf是否一定為是否一定為曲線曲線)(xf的拐點？舉例說明的拐點？舉例說明.思考題解答思考題解答因為因為0