能量原理與變分法(彈性力學(xué))培訓(xùn)講學(xué)

1、能量原理與變分法(彈性力學(xué))11-0 11-0 引引 言言1. 彈性力學(xué)問題的彈性力學(xué)問題的微分提法微分提法及其及其解法解法：（1）平衡微分方程）平衡微分方程0,jiijX（2）幾何方程）幾何方程)(21,ijjiijuu（3）物理方程）物理方程ijkkijijE)1 (1（4）邊界條件）邊界條件jiijXn iiuu 應(yīng)力邊界條件；應(yīng)力邊界條件；位移邊界條件；位移邊界條件；定定解解問問題題求解方法求解方法：（1）按位移求解）按位移求解基本方程：基本方程：（a）以位移為基本未知量）以位移為基本未知量的的平衡微分方程平衡微分方程;（2）按應(yīng)力求解）按應(yīng)力求解基本方程：基本方程：（a）平衡微分方程

2、；）平衡微分方程；（b）邊界條件。）邊界條件。（b） 相容方程；相容方程；（c） 邊界條件。邊界條件。（a） 歸結(jié)為歸結(jié)為求解聯(lián)立的微求解聯(lián)立的微分方程組分方程組；求解特點(diǎn)：求解特點(diǎn)：（b） 難以求得難以求得解析解解析解。 從研究從研究微小單元微小單元體入手，考察其體入手，考察其平衡平衡、變形變形、材料性質(zhì)材料性質(zhì)，建立基本方程：，建立基本方程：2. 彈性力學(xué)問題的彈性力學(xué)問題的變分提法變分提法及其及其解法解法：基本思想基本思想： 在在所有可能的解所有可能的解中，求出最接近于精確解的解；中，求出最接近于精確解的解；將定解問題轉(zhuǎn)變?yōu)閷⒍ń鈫栴}轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饩€性方程組求解線性方程組。彈性力學(xué)中的變分原

3、理彈性力學(xué)中的變分原理 能量原理能量原理 直接處理直接處理整個(gè)彈性系統(tǒng)整個(gè)彈性系統(tǒng)，考慮系統(tǒng)的，考慮系統(tǒng)的能量關(guān)系能量關(guān)系，建立一些泛函的，建立一些泛函的變分方程變分方程，將彈性力學(xué)問題歸結(jié)為，將彈性力學(xué)問題歸結(jié)為在給定約束條件下求泛函極（駐）在給定約束條件下求泛函極（駐）值的變分問題值的變分問題。（變分解法也稱（變分解法也稱能量法能量法）（a）以）以位移位移為基本未知量，為基本未知量，得到得到最小勢（位）能原理最小勢（位）能原理等。等。（b）以）以應(yīng)力應(yīng)力為基本未知量，為基本未知量，得到得到最小余能原理最小余能原理等。等。（c）同時(shí)以）同時(shí)以位移、應(yīng)力、應(yīng)變位移、應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)槲粗?，為未知?/p>

4、，得到得到 廣義（約束）變分原理。廣義（約束）變分原理。 位移法位移法 力法力法 混合法混合法 有限單元法有限單元法、邊界元法邊界元法、離散元法離散元法 等等數(shù)值解法數(shù)值解法的理論基礎(chǔ)。的理論基礎(chǔ)。求解方法求解方法：里茲（里茲（Ritz）法，）法，伽遼金（伽遼金（Galerkin ）法，）法， 加權(quán)殘值（加權(quán)殘值（ 余量）法等。余量）法等。3. 彈性力學(xué)問題的彈性力學(xué)問題的數(shù)值解法數(shù)值解法：（a）直接求解聯(lián)立的微分方程組（彈性力學(xué)的基本方程）直接求解聯(lián)立的微分方程組（彈性力學(xué)的基本方程） 有限差分法；有限差分法；基本思想：基本思想： 將將導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算近似地用運(yùn)算近似地用差分差分運(yùn)算代替；運(yùn)算代

5、替；將定解問題轉(zhuǎn)變?yōu)閷⒍ń鈫栴}轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饩€性方程組求解線性方程組。典型軟件：典型軟件：FLAC實(shí)質(zhì)：實(shí)質(zhì)：將將變量離散變量離散。（b）對）對變分方程變分方程進(jìn)行數(shù)值求解進(jìn)行數(shù)值求解 有限單元法有限單元法、邊界元法邊界元法、離散元法離散元法 等等典型軟件：典型軟件： ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS 等；等； 基于有限元法的分析軟件；基于有限元法的分析軟件；UDEC 基于離散元法的分析軟件；基于離散元法的分析軟件；基本思想：基本思想：將求解將求解區(qū)域離散區(qū)域離散， 離散成有限個(gè)小區(qū)域（離散成有限個(gè)小區(qū)域（單元單元），），在小區(qū)域（單元）上假設(shè)在小區(qū)域（單元）

6、上假設(shè)可能解可能解，最后由能量原理最后由能量原理（變分原理）確定其最優(yōu)解。（變分原理）確定其最優(yōu)解。 將問題轉(zhuǎn)變?yōu)閷栴}轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼馇蠼獯笮痛笮偷木€性方程組的線性方程組。11-1 11-1 彈性體的形變勢能彈性體的形變勢能1. 形變勢能的一般表達(dá)式形變勢能的一般表達(dá)式Pxl0l單向拉伸：單向拉伸：PlOPl外力所做的功：外力所做的功：lPW21 由于在靜載（緩慢加載）條件下，由于在靜載（緩慢加載）條件下，其它能量損失很小，所外力功全部轉(zhuǎn)其它能量損失很小，所外力功全部轉(zhuǎn)化桿件的化桿件的形變勢能（形變勢能（變形能變形能）U：lPWU21)(21lAllAP )(21lAxx桿件的體積桿件的體積xxU

7、211令：令： 單位體積的變形能，單位體積的變形能，稱為稱為比能比能。三向應(yīng)力狀態(tài)：三向應(yīng)力狀態(tài)：一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：xyzxyzzyx, xyzyzzyyxxyxzzx三向應(yīng)力狀態(tài)：三向應(yīng)力狀態(tài)：一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：,zyx xyzyzzyyxxyxzzx 由能量守恒原理，形變勢能的值與彈性體受力的由能量守恒原理，形變勢能的值與彈性體受力的次序次序無關(guān)無關(guān)，只取決于最終的狀態(tài)。，只取決于最終的狀態(tài)。 假定所有應(yīng)力分量與應(yīng)變分量全部按同樣的比例增加，假定所有應(yīng)力分量與應(yīng)變分量全部按同樣的比例增加，此時(shí)，單元體的此時(shí)，單元體的形變比能形變比能：zzyyxxU2121211

8、xyxyzxzxyzyz212121xyzxyz,（a）整個(gè)彈性體的整個(gè)彈性體的形變勢能：形變勢能：dxdydzUU1zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyzyz（b）（c）zzyyxx(21)xyxyzxzxyzyz若用張量表示：若用張量表示：ijijU211dxdydzUijij21形變比能：形變比能：整體形變勢能：整體形變勢能：2. 形變勢能的應(yīng)力分量表示形變勢能的應(yīng)力分量表示在線彈性的情況下，由物理方程（在線彈性的情況下，由物理方程（8-17） ：ijkkijijE)1 (1代入式（代入式（a），整理得形變勢能的表達(dá)式：），整理得形變勢能的表達(dá)式：)(2)(212221xzz

9、yyxzyxEU)(1 (2222xyzxyz（d）（e）代入式（代入式（b），有：），有：dxdydzUU1)(2)(21222xzzyyxzyxEdxdydzxyzxyz)(1 (2222（11-1）將式（將式（e）分別對）分別對6 個(gè)應(yīng)力分量求導(dǎo)，并將其結(jié)果與物理方程比較，得：個(gè)應(yīng)力分量求導(dǎo)，并將其結(jié)果與物理方程比較，得：,1xxU,1yyU,1zzU,1yzyzU,1zxzxUxyxyU1（11-2）表明：表明：彈性體的比能對于任一應(yīng)力分量的改變率，就等于相應(yīng)的形變分量。彈性體的比能對于任一應(yīng)力分量的改變率，就等于相應(yīng)的形變分量。3. 形變勢能的應(yīng)變分量表示形變勢能的應(yīng)變分量表示用應(yīng)變

10、表示的物理方程（用應(yīng)變表示的物理方程（8-19）：）：xxeE211yyeE211zzeE211yzyzE12zxzxE12xyxyE12（f）ijijkkijG2或：或：代入式（代入式（a）：）：（a）zzyyxxU(211)xyxyzxzxyzyz并整理可得：并整理可得：)(21)(21)1 (222222221xyzxyzzyxeEU（g）dxdydzUU1dxdydzeEUxyzxyzzyx)(21)(21)1 (22222222（11-3） 0 1/2 ， U 0 即彈性體的形變勢能是非負(fù)的量。即彈性體的形變勢能是非負(fù)的量。 將上式對將上式對6個(gè)應(yīng)變分量分別求導(dǎo)，再與應(yīng)力表示的物理方

11、程（個(gè)應(yīng)變分量分別求導(dǎo)，再與應(yīng)力表示的物理方程（8-17）比較，可得：比較，可得：,1xxU,1yyU,1zzU,1yzyzU,1zxzxUxyxyU1（11-4）將幾何方程（將幾何方程（8-9）代入上式，得：）代入上式，得：彈性體的比能對于任一應(yīng)變分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。彈性體的比能對于任一應(yīng)變分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。 格林公式格林公式4. 形變勢能的位移分量表示形變勢能的位移分量表示表明：表明：222221)1 (2zwyvxuzwyvxuEUdxdydzyuxvxwzuzvyw22221（11-5）11-2 11-2 位移變分方程位移變分方程1. 泛函與變分的概念

12、泛函與變分的概念（1）泛函的概念）泛函的概念函數(shù)：函數(shù)：)(xfy x 自變量；自變量；y 因變量，或稱自變量因變量，或稱自變量 x 的函數(shù)。的函數(shù)。泛函：泛函：)()(xfFyFUx 自變量；自變量；y 為一變函數(shù)；為一變函數(shù)；F 為函數(shù)為函數(shù) y 的函數(shù)，的函數(shù)，稱為稱為泛函泛函。例例1：P1)(xMEI)(xMM 彎矩方程彎矩方程梁的形變勢能：梁的形變勢能：ldxEIxMU02)(21ABlx 泛函泛函例例2：zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyzyz例例2：zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyzyz),(,),(zyxzyxyzyzxx因?yàn)橐驗(yàn)樗裕?，U 被

13、稱為被稱為形變勢能泛函形變勢能泛函。（2）變分與變分法）變分與變分法設(shè)：設(shè)：)(xfy 當(dāng)自變量當(dāng)自變量 x 有一增量：有一增量：01xxx函數(shù)函數(shù) y 也有一增量：也有一增量：01yyy)()(01xfxfxxfy)( dy 與與 dx ，分別稱為自變量，分別稱為自變量 x 與函數(shù)與函數(shù) y 的的 微分。微分。 微分問題微分問題P1)(xMEIABlx)(xy)(1xyy設(shè)：設(shè)：)(xyUU 函數(shù)函數(shù) y 有一增量：有一增量：yyy1泛函泛函 U 也有一增量：也有一增量：)()(1xyUxyUUyUdxxfdy)( P1)(xMEIABlx)(xy)(1xyy設(shè)：設(shè)：)(xyUU 函數(shù)函數(shù)

14、y 也有一增量：也有一增量：yyy1泛函泛函 U 也有一增量：也有一增量：)()(1xyUxyUUyU 函數(shù)的增量函數(shù)的增量y 、泛函的增量、泛函的增量 U 等等稱為變分稱為變分。 研究研究自變函數(shù)的增量自變函數(shù)的增量與與泛函的增量泛函的增量 間關(guān)間關(guān)系稱為系稱為變分問題變分問題。例如：例如：Pcr （1）壓桿穩(wěn)定問題）壓桿穩(wěn)定問題 尋求壓桿形變勢尋求壓桿形變勢能能 U 達(dá)到達(dá)到最大值最大值時(shí)時(shí)的壓力的壓力 P 值。值。maxU0U （2）球下落問題）球下落問題12)(xf 球從球從位置位置1下下落至落至位置位置2，所需，所需時(shí)間為時(shí)間為T，)(xfTT 當(dāng)當(dāng)?)(xfminTT 最速下降問題

15、最速下降問題 泛函的變分問題泛函的變分問題（3）變分及其性質(zhì)）變分及其性質(zhì)定義：定義：)(xfz 泛函泛函)(xyUU 增量：增量：)(xxfzz)()(xyxyUUU函數(shù)函數(shù)連續(xù)性：連續(xù)性：0)()(lim000 xfxxfx稱函數(shù)稱函數(shù) z 在在 x0 點(diǎn)連續(xù)。點(diǎn)連續(xù)。當(dāng)當(dāng)0)()(01xyxy有有0)()(01xyUxyUU稱泛函稱泛函 U 在在 y0 (x) 處零階接近。處零階接近。當(dāng)當(dāng)0)()(01xyxy有有0)()(01xyUxyU稱泛函稱泛函 U 在在 y0 (x) 處一階接近。處一階接近。當(dāng)當(dāng)0)()(01 xyxy有有0)()(01 xyUxyU稱泛函稱泛函 U 在在 y0

16、 (x) 處二階接近。處二階接近。泛函泛函函數(shù)函數(shù)微分：微分：)()(xfxxfzxxxA)(當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)， 0，則，則 z 可可用其線性主部表示其微分。即用其線性主部表示其微分。即dxxfdz)( )()()(xyUxyxyUUyyxyLmax)()(xyL U 增量的線性主部增量的線性主部變分：變分：當(dāng)當(dāng) max|y|0時(shí)，時(shí)，max 0，則，則 U 可用其線性主部表示可用其線性主部表示, 即即yxyLU)(極值：極值：若若)(xfz 在在 x0 處有極值，處有極值，則有：則有：0)(0 xxf若若 Uy(x) 在在 y0(x) 處有極值，處有極值，條件：條件：0)(xyU 一階變分為零

17、一階變分為零。當(dāng)當(dāng), 0)()(01xyxy取得極值取得極值 稱為稱為強(qiáng)極值強(qiáng)極值當(dāng)當(dāng), 0)()(01xyxy取得極值取得極值 稱為稱為弱極值弱極值極值：極值：（4）變分的運(yùn)算）變分的運(yùn)算變分與微分運(yùn)算：變分與微分運(yùn)算：)()(xfdxdxfdxd)()(22xfdxdxfdxd)()(2222xfdxdxfdxd變分運(yùn)算與微分運(yùn)算互相交換變分運(yùn)算與微分運(yùn)算互相交換。變分與積分運(yùn)算：變分與積分運(yùn)算：dxyyxFl),(0dxyyxFl),(0變分運(yùn)算與積分運(yùn)算互相交換變分運(yùn)算與積分運(yùn)算互相交換。復(fù)合函數(shù)的變分：復(fù)合函數(shù)的變分：dxyyxFyyxUl),(),(0其中：其中：),(xfy )(

18、xfy一階變分：一階變分：dxyyFyyFxxFUl0dxyyFyyFl0復(fù)合函數(shù)的變分：復(fù)合函數(shù)的變分：dxyyxFyyxUl),(),(0其中：其中：),(xfy )(xfy一階變分：一階變分：dxyyFyyFxxFUl0dxyyFyyFl0 自變量自變量 x 的變分的變分 x 0二階變分：二階變分：ldxyyyFyyFyyyyFyyFyU02 二階變分用于判別駐值點(diǎn)是取得二階變分用于判別駐值點(diǎn)是取得極大值極大值還是還是極小值極小值。2. 位移變分方程位移變分方程建立：彈性體的建立：彈性體的形變勢能形變勢能與與位移位移間間變分變分關(guān)系關(guān)系 位移變分方程位移變分方程qP應(yīng)力邊界應(yīng)力邊界 S位

19、移邊界位移邊界 Su設(shè)彈性體在外力作用下，處于平衡狀態(tài)。設(shè)彈性體在外力作用下，處于平衡狀態(tài)。邊界：邊界：uSSS位移場：位移場：);,(zyxuu );,(zyxvv ),(zyxww 應(yīng)力場：應(yīng)力場：);,(zyxxx);,(zyxyy滿足：平衡方程、幾滿足：平衡方程、幾何方程、物理何方程、物理方程、邊界條方程、邊界條件。件。 稱為稱為真實(shí)解真實(shí)解（1）任給彈性體一微小的位移變化：）任給彈性體一微小的位移變化：wvu,滿足兩個(gè)條件：滿足兩個(gè)條件：（1）不破壞平衡狀態(tài)；）不破壞平衡狀態(tài)；（2）不破壞約束條件，即為約束所允許。）不破壞約束條件，即為約束所允許。任給彈性體一微小的位移變化：任給彈性

20、體一微小的位移變化：wvu,滿足兩個(gè)條件：滿足兩個(gè)條件：（1）不破壞平衡狀態(tài)；）不破壞平衡狀態(tài)；（2）不破壞約束條件，即為）不破壞約束條件，即為約束所允許。約束所允許。qP應(yīng)力邊界應(yīng)力邊界 S位移邊界位移邊界 Su變化后的位移狀態(tài)：變化后的位移狀態(tài)：, uuu, vvvwwwwvu, 稱為稱為位移的變分位移的變分，或，或虛位移虛位移。（2）考察彈性體的能量變化）考察彈性體的能量變化：由能量守恒原理：由能量守恒原理：彈性體變形勢能的增加，等于外力勢能的減少。彈性體變形勢能的增加，等于外力勢能的減少。（在沒有溫度改變、動能改變的情況下）（在沒有溫度改變、動能改變的情況下）設(shè)：設(shè)：U 表示彈性變形勢

21、能的增量；表示彈性變形勢能的增量；W 表示外力在虛位移上所做的功，它在數(shù)值上等于外力表示外力在虛位移上所做的功，它在數(shù)值上等于外力勢能的減少。勢能的減少。則有：則有：WU外力的虛功：外力的虛功：體力：體力：;,ZYX面力：面力：ZYX, 外力外力wZdxdydzvYdxdydzuXdxdydzWwZdSvYdSudSXdSwZvYuXdxdydzwZvYuXW代入前式：代入前式：WUdSwZvYuXdxdydzwZvYuXU（11-6）表明：表明：物體形變勢能的變分，等于外力在虛位移上所做的虛功。物體形變勢能的變分，等于外力在虛位移上所做的虛功。 式（式（11-6）稱為）稱為位移變分方程位移變

22、分方程，也稱，也稱 Lagrange 變分方程變分方程。3. 虛功方程虛功方程由式（由式（b）:dxdydzUU1兩邊求變分兩邊求變分:dxdydzUU1dxdydzU1將將 U1 視為應(yīng)變視為應(yīng)變分量的函數(shù)分量的函數(shù)zzyyxxUUU111dxdydzUUUxyxyzxzxyzyz111由格林公式由格林公式:xyxyU1,1xxU,1yyU,1zzU,1yzyzU,1zxzxU（11-4）zzyyxxUdxdydzxyxyzxzxyzyz表示表示： 實(shí)際應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功實(shí)際應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功 內(nèi)力的虛功內(nèi)力的虛功將上式代入位移變分方程（將上式代入位移變分方程（11-6），有），

23、有zzyyxxdxdydzxyxyzxzxyzyzdSwZvYuXdxdydzwZvYuX（11-7）虛功方程虛功方程：如果如果在虛位移發(fā)生前，彈性體處于在虛位移發(fā)生前，彈性體處于平衡平衡狀態(tài)，狀態(tài)，則則在虛位移發(fā)生過程在虛位移發(fā)生過程中，中，外力在虛位移上所做的虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。外力在虛位移上所做的虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。虛功方程虛功方程 是是有限單元法有限單元法的理論基礎(chǔ)，也是許多的理論基礎(chǔ)，也是許多變分原理變分原理的基礎(chǔ)。的基礎(chǔ)。4. 最小勢能原理最小勢能原理 也是位移變分方程的一個(gè)應(yīng)用也是位移變分方程的一個(gè)應(yīng)用由位移變分方程：由位移變分方程：dSwZvYu

24、XdxdydzwZvYuXU 由于虛位移為由于虛位移為微小的微小的、為約束所允許為約束所允許的，所以，可認(rèn)為在虛位移發(fā)的，所以，可認(rèn)為在虛位移發(fā)生過程中，外力的大小和方向都不變，只是作用點(diǎn)位置有微小變化。生過程中，外力的大小和方向都不變，只是作用點(diǎn)位置有微小變化。 于是，有：于是，有：dSwZvYuXdxdydzZwYvXuU以以dSwZvYuXdxdydzZwYvXuW0wvu為零勢能狀態(tài)，為零勢能狀態(tài)，并用并用 V 表示任意狀態(tài)的外力勢能，則表示任意狀態(tài)的外力勢能，則外力在外力在可能位移可能位移上所做的功上所做的功W，即，即dSwZvYuXdxdydzZwYvXuWV代入前式，有代入前式，

25、有)( VWU0VU0VU其中：其中：VU 形變勢能與外力勢能的總和，形變勢能與外力勢能的總和， 稱為稱為系統(tǒng)的總勢能系統(tǒng)的總勢能 在給定的外力作用下，實(shí)際存在的位移應(yīng)使系統(tǒng)的總勢能的在給定的外力作用下，實(shí)際存在的位移應(yīng)使系統(tǒng)的總勢能的變分為零。變分為零。等價(jià)于總勢能等價(jià)于總勢能 U+V 取駐值。取駐值。 極值勢能原理極值勢能原理平衡狀態(tài)：平衡狀態(tài)：（1）穩(wěn)定平衡狀態(tài)；）穩(wěn)定平衡狀態(tài)；（2）不穩(wěn)定平衡狀態(tài)；）不穩(wěn)定平衡狀態(tài)；（3）隨宜平衡狀態(tài)；）隨宜平衡狀態(tài)；穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨宜平衡隨宜平衡02VU 勢能取勢能取極小值極小值02VU 勢能取勢能取極大值極大值02VU 不定不

26、定： 在給定的外力作用下，滿足位移邊界條在給定的外力作用下，滿足位移邊界條件的各組位移中，實(shí)際存在的位移，應(yīng)使系件的各組位移中，實(shí)際存在的位移，應(yīng)使系統(tǒng)的總勢能成為駐值。當(dāng)系統(tǒng)處于統(tǒng)的總勢能成為駐值。當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡時(shí)，總勢能取極小值，通常也為最小值。時(shí)，總勢能取極小值，通常也為最小值。實(shí)際存在的實(shí)際存在的位移應(yīng)滿足：位移應(yīng)滿足：（1）位移邊界條件；）位移邊界條件；（2）平衡方程（位移形式）；）平衡方程（位移形式）；（3）應(yīng)力邊界條件。）應(yīng)力邊界條件。（1）位移邊界條件；）位移邊界條件；（2）位移變分方程。）位移變分方程。因而，有：因而，有： 位移變分方程位移變分方程（1）平衡方程；

27、）平衡方程；（2）應(yīng)力邊界條件。）應(yīng)力邊界條件。（可互相導(dǎo)出）（可互相導(dǎo)出）（最小勢能原理）（最小勢能原理）5. 伽遼金變分方程伽遼金變分方程 由虛功方程建立當(dāng)位移分量滿足：由虛功方程建立當(dāng)位移分量滿足：位移邊界條件位移邊界條件、應(yīng)力邊界條應(yīng)力邊界條件件時(shí)，彈性體的時(shí)，彈性體的位移變分應(yīng)滿足的條件。位移變分應(yīng)滿足的條件。 將將虛應(yīng)變虛應(yīng)變用虛位移表示：用虛位移表示：xxu,ux,yzzvyw ,vzvwy（c）將其代入虛功方程：將其代入虛功方程：zzyyxxdxdydzxyxyzxzxyzyzdSwZvYuXdxdydzwZvYuX（11-7）wzvyuxzyxvzwyyzdxdydzuyvx

28、wxuzxyzxdSwZvYuXdxdydzwZvYuXudxdydzxxudxdydzxdxdydzuxxxudxdydzxudSlxxudxdydzxxudxdydzxudSlxx 同理，可得到其余各項(xiàng)的結(jié)果：同理，可得到其余各項(xiàng)的結(jié)果：vdxdydzyyvdxdydzyvdSmyywdxdydzzzwdxdydzzwdSnzz 將其代入虛功方程左邊，有：將其代入虛功方程左邊，有：vnmlunmlUzyyxyzxyxx)()(dSwnmlzyzxz)(vzyxuzyxzyyxyzxyxxdxdydzwzyxzyzxzzzyyxxdxdydzxyxyzxzxyzyzdSwZvYuXdxdyd

29、zwZvYuX（11-7） 將其代入虛功方程，并整理有：將其代入虛功方程，并整理有：vYzyxuXzyxzyyxyzxyxxdxdydzwZzyxzyzxzvYnmluXnmlzyyxyzxyxx)()(dSwZnmlzyzxz)(0 當(dāng)應(yīng)力邊界條件滿足時(shí)，當(dāng)應(yīng)力邊界條件滿足時(shí)，000 上式可簡化為：上式可簡化為：vYzyxuXzyxzyyxyzxyxx0dxdydzwZzyxzyzxzzzyyxxdxdydzxyxyzxzxyzyzdSwZvYuXdxdydzwZvYuX（11-7）vYzyxuXzyxzyyxyzxyxx0dxdydzwZzyxzyzxz（10-8） 伽遼金（伽遼金（Gal

30、erkin）變分方程）變分方程當(dāng)所取位移分量當(dāng)所取位移分量同時(shí)滿足同時(shí)滿足：位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件時(shí)，：位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件時(shí)，其位移變分需滿足的方程。其位移變分需滿足的方程。dSwZvYuXdxdydzwZvYuXU（11-6）（1）位移變分方程）位移變分方程（2）虛功方程）虛功方程zzyyxxdxdydzxyxyzxzxyzyzdSwZvYuXdxdydzwZvYuX（11-7）位移變分方程小結(jié)：位移變分方程小結(jié)：也稱也稱 Lagrange 變分方程變分方程：（3）最小勢能原理）最小勢能原理0VUSdSwZvYuXdxdydzZwYvXuV（1）只要求：可能（虛）位移滿足位移邊界

31、條件；）只要求：可能（虛）位移滿足位移邊界條件；（2）對虛功方程，也適用）對虛功方程，也適用各種材料的物理方程各種材料的物理方程。如：塑性材料、非線性彈性材料等。如：塑性材料、非線性彈性材料等。（4）伽遼金（）伽遼金（Galerkin）變分方程）變分方程vYzyxuXzyxzyyxyzxyxx0dxdydzwZzyxzyzxz要求要求：可能（虛）位移滿足：可能（虛）位移滿足：（1）位移邊界條件；）位移邊界條件；（2）應(yīng)力邊界條件。）應(yīng)力邊界條件。（10-8）11-3 11-3 位移變分法位移變分法1. 里茲里茲（Ritz）法法基本思想：基本思想：設(shè)定位移函數(shù)設(shè)定位移函數(shù)的表達(dá)形式，使其的表達(dá)形

32、式，使其滿足位移邊界條件滿足位移邊界條件，其中含，其中含有若干待定常數(shù)，然后有若干待定常數(shù)，然后利用位移變分方程確定這些常數(shù)利用位移變分方程確定這些常數(shù)，即，即得位移解。得位移解。設(shè)取位移的表達(dá)式如下：設(shè)取位移的表達(dá)式如下：mmmuAuu0mmmvBvv0mmmwCww0（11-9）其中：其中：mmmCBA,為互不相關(guān)的為互不相關(guān)的 3m 個(gè)系數(shù)；個(gè)系數(shù)；000,wvu為設(shè)定的函數(shù)，且在邊界上有：為設(shè)定的函數(shù)，且在邊界上有：,0uus,0vvswws0),(zyxuumm),(zyxvvmm),(zyxwwmm為為邊界上為零邊界上為零的設(shè)定函數(shù)的設(shè)定函數(shù) 顯然，上述顯然，上述函數(shù)滿足函數(shù)滿足邊

33、界條件邊界條件。此時(shí)，位移的變分此時(shí)，位移的變分wvu,只能由系數(shù)只能由系數(shù) Am、Bm、 Cm的變分來實(shí)現(xiàn)。的變分來實(shí)現(xiàn)。000,wvu與變分無關(guān)。與變分無關(guān)。,mmmAuu,mmmBvvmmmCww（a）位移的變分：位移的變分：形變勢能的變分：形變勢能的變分：由式（由式（11-5），可知：），可知：),(mmmCBAUU （b）mmmAAUUmmmBBUmmmCCUmmmmmmmCCUBBUAAU將式（將式（a）、（）、（b）代入位移變分方程，有：）代入位移變分方程，有：mmmmmmmCCUBBUAAUmmmmmmmdxdydzCZwBYvAXummmmmmmdSCwZBvYAuX2222

34、21)1 (2zwyvxuzwyvxuEUdxdydzyuxvxwzuzvyw22221（11-5）將上式整理、移項(xiàng)、合并，可得：將上式整理、移項(xiàng)、合并，可得：mmmmmAdSuXdxdydzXuAUmmmmmBdSvYdxdydzYvBU0mmmmmCdSwZdxdydzZwCUmmmCBA,完全任意，且互相獨(dú)立，完全任意，且互相獨(dú)立， 要使上式成立，則須有：要使上式成立，則須有：0dSuXdxdydzXuAUmmm0dSvYdxdydzYvBUmmm0dSwZdxdydzZwCUmmmdSuXdxdydzXuAUmmmdSvYdxdydzYvBUmmmdSwZdxdydzZwCUmmm（1

35、1-10） Ritz 法方程法方程或稱或稱 Rayleigh- Ritz 法方程法方程說明：說明：（1）由由 U 的位移表達(dá)式（的位移表達(dá)式（11-5）可知，）可知，U 是系數(shù)是系數(shù)mmmCBA,的二次函數(shù)，的二次函數(shù)，因而，方程（因而，方程（11-10）為各系數(shù)的）為各系數(shù)的線性方程線性方程 組組。mmmCBA,互不相關(guān)，因而，總可以求出全部的系數(shù)?；ゲ幌嚓P(guān)，因而，總可以求出全部的系數(shù)。（2）,mmmCBA求出了系數(shù)求出了系數(shù)就可求得其它量，如位移、應(yīng)力等就可求得其它量，如位移、應(yīng)力等（3） 在假定位移函數(shù)時(shí)，須保證其在假定位移函數(shù)時(shí)，須保證其滿足全部位移邊界條件滿足全部位移邊界條件。2.

36、伽遼金伽遼金（Galerkin）法法設(shè)取位移的表達(dá)式如下：設(shè)取位移的表達(dá)式如下：mmmuAuu0mmmvBvv0mmmwCww0（11-9）同時(shí)滿足：同時(shí)滿足：（1）位移邊界條件；）位移邊界條件；（2）應(yīng)力邊界條件；）應(yīng)力邊界條件；位移的變分：位移的變分：,mmmAuu,mmmBvvmmmCww將其代入伽遼金變分方程（將其代入伽遼金變分方程（10-8）：）：uXzyxzxyxxvYzyxzyyxy0dxdydzwZzyxzyzxz得到：得到：mmmzxyxxdxdydzAuXzyx0mmmzyzxzdxdydzCwZzyxmmmzyyxydxdydzBvYzyxmmmCBA,完全任意，且互相獨(dú)

37、立，完全任意，且互相獨(dú)立， 要使上式成立，則須有：要使上式成立，則須有：0dxdydzuXzyxmzxyxx0dxdydzvYzyxmzyyxy0dxdydzwZzyxmzyzxz將物理方程和幾何方程代入，有將物理方程和幾何方程代入，有0211)1 (22dxdydzuXuxeEm0211)1 (22dxdydzvYvyeEm0211)1 (22dxdydzwZwzeEm（11-11） 伽遼金（伽遼金（Galerkin）法方程）法方程說明：說明：（1） 與與 Ritz 法類似，得法類似，得 3m 階的線方程組，可求出階的線方程組，可求出3m個(gè)系數(shù)。個(gè)系數(shù)。（2）伽遼金（伽遼金（Galerkin

38、）法與）法與 Ritz 法的區(qū)別：在于設(shè)位移函數(shù)時(shí)，法的區(qū)別：在于設(shè)位移函數(shù)時(shí)，前者要求前者要求同時(shí)滿足應(yīng)力、位移邊界條件同時(shí)滿足應(yīng)力、位移邊界條件，而后者，而后者只要求滿足位只要求滿足位移邊界條件移邊界條件。位移變分法的應(yīng)用：位移變分法的應(yīng)用：（1）求解彈性體的近似解；）求解彈性體的近似解；（2）推導(dǎo)彈性體的平衡微分方程與自然（力）邊界條件；）推導(dǎo)彈性體的平衡微分方程與自然（力）邊界條件；11-4 11-4 位移變分法應(yīng)用于平面問題位移變分法應(yīng)用于平面問題1. 形變勢能表達(dá)式形變勢能表達(dá)式對于平面應(yīng)變問題：對于平面應(yīng)變問題：, 0w且且),(),(yxvvyxuu由式（由式（11-5）222

39、21)1 (2yvxuyvxuEUdxdyyuxv2（11-12）對于平面應(yīng)力問題：對于平面應(yīng)力問題：1,)1 ()21 (2EEyvxuyvxuEU2)1 (2222dxdyyuxv221（11-13）222221)1 (2zwyvxuzwyvxuEUdxdydzyuxvxwzuzvyw22221（11-5）2. 位移函數(shù)設(shè)定位移函數(shù)設(shè)定 由于，兩種平面問題中，都不必考慮由于，兩種平面問題中，都不必考慮 z 方向的位移方向的位移w，所以位移，所以位移分量可設(shè)為：分量可設(shè)為：,0mmmuAuummmvBvv0（11-14）式中：各系數(shù)的含義和以前相同。式中：各系數(shù)的含義和以前相同。3. 變分法

40、方程變分法方程Ritz 法方程：法方程：（在（在 z 方向取單位長度）方向取單位長度）dSuXdxdyXuAUmmmdSvYdxdyYvBUmmm（11-15）Galerkin 法方程：法方程：Galerkin 法方程：法方程：0211)1 (22dxdyuXuxeEm0211)1 (22dxdyvYvyeEm（11-16） 適用于適用于平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題式中：式中：yvxue對于對于平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題：1,)1 ()21 (2EE02121)1 (222222dxdyuXyxvyuxuEm02121)1 (222222dxdyvYyxuxvyvEm（11-17）例：例：圖示薄板，

41、寬為圖示薄板，寬為 a，高度為，高度為 b，左邊和下邊受，左邊和下邊受連桿支承，右邊和上邊分別受有均布壓力連桿支承，右邊和上邊分別受有均布壓力 q1和和 q2 作用，不計(jì)體力。試求薄板的位移。作用，不計(jì)體力。試求薄板的位移。解：解：（1）假設(shè)位移函數(shù)）假設(shè)位移函數(shù)),(321yAxAAxu),(321yBxBByv（a）滿足邊界條件：滿足邊界條件： , 00 xu 00yv試在式（試在式（a）中只取兩個(gè)系數(shù)：）中只取兩個(gè)系數(shù)：A1、B1 ，即，即,111xAuAuyBvBv111（b）（2）計(jì)算形變勢能）計(jì)算形變勢能 U將式（將式（b）代入（）代入（11-13），有），有（平面應(yīng)力情形下形變勢

42、能公式）（平面應(yīng)力情形下形變勢能公式） abBAEU00212121dxdyBA112積分得：積分得：112121221BABAEabU（c）112121221BABAEabU（c）（3）代入）代入Ritz 法方程求解法方程求解體力體力, 0YX, 1m有有,11dsuXAUdsvYBU11,1qX在右邊界：在右邊界：,1axudyds adyqdsuXb011;1abq,2qY在上邊界：在上邊界：,1byvdxds bdyqdsuXa021;2abq于是有：于是有：,11abqAU,21abqBU將式（將式（c）代入，得）代入，得dSuXdxdyXuAUmmmdSvYdxdyYvBUmmm（

43、11-15）,)22(121112abqBAEab,)22(122112abqABEab聯(lián)立求解，得：聯(lián)立求解，得：,211EqqA,121EqqB（f）代入位移表達(dá)式（代入位移表達(dá)式（b），得：），得：,21xEqquyEqqv12（g）討論：討論：（1）如果在位移式（如果在位移式（a）中再多取一）中再多取一此系數(shù)如：此系數(shù)如：A2、B2等，但是經(jīng)計(jì)等，但是經(jīng)計(jì)算，這些系數(shù)全為零。算，這些系數(shù)全為零。（2）位移解（位移解（g）滿足幾何方程、平）滿足幾何方程、平衡方程和邊界條件。衡方程和邊界條件。表明：表明：位移解（位移解（g）為問題的）為問題的精確解精確解。例：例：圖示矩形薄板，寬為圖示矩形

44、薄板，寬為2 a，高度為，高度為2 b，左右兩，左右兩邊和下邊均被固定，而上邊的給定位移為：邊和下邊均被固定，而上邊的給定位移為：, 0u,122axv（h）不計(jì)體力。試求薄板的位移和應(yīng)力。不計(jì)體力。試求薄板的位移和應(yīng)力。解：解：（1）假設(shè)位移函數(shù)）假設(shè)位移函數(shù)取取 m =1, 將位移分量設(shè)為：將位移分量設(shè)為：bybyaxaxAu11221byaxv221bybyaxB11221（i）顯然，可滿足位移邊界條件：顯然，可滿足位移邊界條件： , 0 axu , 0 axv , 00yu , 00yv , 0byu 221axvby（2）代入）代入Galerkin 法方程求解法方程求解該問題中，無應(yīng)

45、力邊界條件，式（該問題中，無應(yīng)力邊界條件，式（i）滿足全）滿足全部條件。部條件?？捎觅み|金（可用伽遼金（Galerkin）法求解。）法求解。X=Y=0，m=1，伽遼金法方程變?yōu)椋嘿み|金法方程變?yōu)椋?212122222dxdyuyxvyuxum0212122222dxdyvyxuxvyvm22xu,62221bybyaxaA22yu,23321axaxbAyxu2,2131221byaxabA02121)1 (222222dxdyuXyxvyuxuEm02121)1 (222222dxdyvYyxuxvyvEm（11-17）（j）22xv,2222212bybyaBbya22yv,122221a

46、xbByxv2,21221byaxabBaxab,22331bybyaxaxu,122221bybyaxv 將其代入伽遼金方程（將其代入伽遼金方程（j）, 可求得：可求得：,)1 (2042)1 (351baabA)1 (216)1 (5221baB代回位移式（代回位移式（h）, 有：有：代回位移表達(dá)式（代回位移表達(dá)式（h）, 得位移解答：得位移解答：baabu)1 (2042)1 (35bybyaxax1122)1 (216)1 (522babyaxv221bybyax1122當(dāng)當(dāng) b = a，取，取 = 0.2時(shí)，上述解答成為時(shí)，上述解答成為：724. 0u2233ayayaxax221a

47、xv22227. 0773. 0ayay（3）求應(yīng)力分量）求應(yīng)力分量應(yīng)用幾何方程及物理方程，可求得應(yīng)力為：應(yīng)用幾何方程及物理方程，可求得應(yīng)力為：yvxuEx21ayaxaE095. 0161. 0122,31754. 02222ayayaxxuyvEy21ayaxaE473. 0805. 0122,31302. 02222ayayaxyuxvExy12yuxvExy1222189. 0644. 0ayayaxaEayaxax21302. 033在在aby處，處， 相應(yīng)的面力：相應(yīng)的面力：221278. 1axaEYayy33302. 0531. 0axaxaEXayxy例：例：如圖所示簡支梁，

48、中點(diǎn)處承受有集中如圖所示簡支梁，中點(diǎn)處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。試求的梁的撓曲線方程。 PEIABlxy解：解：（1）假設(shè)位移試探函數(shù)）假設(shè)位移試探函數(shù)（必須滿足位移邊界條件）（必須滿足位移邊界條件）設(shè)位移試探函數(shù)為（取一項(xiàng)）：設(shè)位移試探函數(shù)為（取一項(xiàng)）：xlawsin)0(lx 式中：式中：a 為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。0)(, 0)0(lww（2）計(jì)算：）計(jì)算：dxdxwdEIUl20222)(xw（ a）（ b）alEIaU342顯然，式（顯然，式（a）滿足端點(diǎn)的位移邊界條件）滿足端點(diǎn)的位移邊界條件:（3）代入）代入Ritz 法方程，求解法方程，求解（ c）2344alEIdSu

49、XdxdydzXumm2sinllPPdSuXdxdydzXummmAUPaUPalEI342（ d）P)(xMEIABlxy)(xwxlEIPlwsin243討論：討論： （1） 中點(diǎn)的撓度：中點(diǎn)的撓度：（ e）,2432EIPlwlx而材料力學(xué)的結(jié)果：而材料力學(xué)的結(jié)果：,4832EIPlwlx兩者比較：兩者比較：式（式（a）的結(jié)果偏?。┑慕Y(jié)果偏小2%。如果取如下位移函數(shù)：如果取如下位移函數(shù)：mmxlmAwsin式中項(xiàng)數(shù)式中項(xiàng)數(shù) m 取得越多，則求得精度就越高。取得越多，則求得精度就越高。（2）所取的位移函數(shù)所取的位移函數(shù)必須滿足位移邊界條件必須滿足位移邊界條件。（3）位移函數(shù)選取不是唯一的

50、，如：位移函數(shù)選取不是唯一的，如：),1 (lxlxAwEIPla432lxlxAAlxlxw1)1 (21P)(xMEIABlxy)(xw例：例：如圖所示簡支梁，中點(diǎn)處承受有集中如圖所示簡支梁，中點(diǎn)處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。試求的梁的撓曲線方程。 解：解：（1）假設(shè)位移試探函數(shù)）假設(shè)位移試探函數(shù)lxlxAAlxlxw1)1 (21, 00w),1 (1lxlxw2222)1 (lxlxw式中：式中：A1、A2 為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。顯然，式（顯然，式（a）滿足端點(diǎn)的位移邊界條件）滿足端點(diǎn)的位移邊界條件:0)(, 0)0(lww（2）計(jì)算：）計(jì)算：dxdxwdEIUl20222梁

51、的形變勢能梁的形變勢能:)5(5222213AAlEI,4131AlEIAU23254AlEIAU:)(0dxwxqmldxwxql10)(21lxwP4Pdxwxql20)(22lxwP16P（3）代入）代入 Ritz 法方程法方程:P)(xMEIABlxy)(xw例：例：如圖所示簡支梁，中點(diǎn)處承受有集中如圖所示簡支梁，中點(diǎn)處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。試求的梁的撓曲線方程。 解：解：位移函數(shù)位移函數(shù)lxlxAAlxlxw1)1 (21（a）（3）代入）代入 Ritz 法方程法方程:,4131AlEIAU23254AlEIAU:)(0dxwxqmldxwxql10)(21lxwP4P

52、dxwxql20)(22lxwP16PdxdxwdEIUl20222)5(5222213AAlEI1AUdxwxql10)(2AUdxwxql20)(4413PAlEI165423PAlEI,1631EIPlA EIPlA64532所求撓曲線方程所求撓曲線方程:lxlxlxlxEIPlw154)1 (643P)(xMEIABlxy)(xw所求撓曲線方程所求撓曲線方程:lxlxlxlxEIPlw154)1 (643中點(diǎn)撓度中點(diǎn)撓度:EIPlwlx10242132而材料力學(xué)的結(jié)果：而材料力學(xué)的結(jié)果：,4832EIPlwlxEIPlwwlxlx48641322641222lxlxlxwww01562

53、5. 0%5625. 1說明：說明：（1）設(shè)定的待定系數(shù)個(gè)數(shù)與所得的線性方程數(shù)相同；）設(shè)定的待定系數(shù)個(gè)數(shù)與所得的線性方程數(shù)相同；（2）亦可用亦可用最小勢能原理最小勢能原理求解上述問題。求解上述問題。例：例：如圖所示簡支梁，中點(diǎn)處承受有集中如圖所示簡支梁，中點(diǎn)處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。試求的梁的撓曲線方程。 PEIABlxy解：解：（1）假設(shè)位移試探函數(shù)）假設(shè)位移試探函數(shù)（必須滿足位移邊界條件）（必須滿足位移邊界條件）設(shè)位移試探函數(shù)為：設(shè)位移試探函數(shù)為：xlawsin)0(lx 式中：式中：a 為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。0)(, 0)0(lww（2）求系統(tǒng)的總勢能）求系統(tǒng)的總勢能dxd

54、xwdEIl20222)(xw2lxwP（ a）（ b）（ c）將式（將式（a）代入，計(jì)算得）代入，計(jì)算得PaalEI2344顯然，式（顯然，式（a）滿足端點(diǎn)的位移邊界條件）滿足端點(diǎn)的位移邊界條件:（3）由最小勢能原理確定常數(shù)）由最小勢能原理確定常數(shù)00234PalEI0aEIPla432xlEIPlwsin243（ d）P)(xMEIABlxy)(xwxlEIPlwsin243說明：說明：（1）（ e）與與 Ritz 法結(jié)果相同；法結(jié)果相同；（2）所取的位移函數(shù)所取的位移函數(shù)必須滿足位移邊界條件必須滿足位移邊界條件。（3）位移函數(shù)選取不是唯一的，如：位移函數(shù)選取不是唯一的，如：),(lxAx

55、w,1)1 (21lxlxAAlxlxw例：例：如圖所示，一端固定，另一端有彈性支承如圖所示，一端固定，另一端有彈性支承的梁，跨度為的梁，跨度為 l ，抗彎剛度為，抗彎剛度為EI，彈簧的，彈簧的剛度為剛度為 k ，梁上作用有分布載荷，梁上作用有分布載荷q(x)，試用，試用最小勢能原理導(dǎo)出梁的彎曲微分方程和邊最小勢能原理導(dǎo)出梁的彎曲微分方程和邊界條件。界條件。 解：解：（1）求系統(tǒng)的總勢能）求系統(tǒng)的總勢能系統(tǒng)的總勢能系統(tǒng)的總勢能= 梁的彎曲變形能梁的彎曲變形能 + 彈簧的變形能彈簧的變形能 + 外力勢能外力勢能dxdxwdEIl2022212)(21lwkwdxxql0)(a)式中：式中：w 為

56、梁的撓度。為梁的撓度。由最小勢能原理：由最小勢能原理：0)(VUdxdxwddxwdEIl02222)()(lwlkwwdxxql0)(0dxdxwddxwdEIl02222(b)ldxdwdxwdEI022dxdxdwdxwdEIdxdl022dxdxdwdxddxwdEIl022分部積分：分部積分：（2）對總勢能求變分）對總勢能求變分dxdxwddxwdEIl02222ldxdwdxwdEI022dxdxdwdxwdEIdxdl022dxdxdwdxddxwdEIl022ldxdwdxwdEI022dxwdxddxwdEIdxdl022ldxdwdxwdEI022lwdxwdEIdxd02

57、2dxwdxwdEIdxdl02222將其代入式（將其代入式（b），有），有l(wèi)dxdwdxwdEI022lwdxwdEIdxd022dxwdxwdEIdxdl02222)()(lwlkwwdxxql0)(0梁的左端固定，梁的左端固定，有有, 00 xw00 xdxdw代入上式，有：代入上式，有：dxldwdxwdEIlx)(22)(22lwdxwdEIdxdlxdxwdxwdEIdxdl02222)()(lwlkwwdxxql0)(0dxwxqdxwdEIdxdl02222)(dxldwdxwdEIlx)(220)()(22lwlkwdxwdEIdxdlxdxldwlww)(),(,的任意性與

58、相互獨(dú)立性，的任意性與相互獨(dú)立性，有有（3）利用位移邊界條件和變分的任意性確）利用位移邊界條件和變分的任意性確定所需的結(jié)果。定所需的結(jié)果。, 0)(2222xqdxwdEIdxd, 022lxdxwdEI0)(22lkwdxwdEIdxdlx 彎曲微分方程彎曲微分方程 力的邊界條件力的邊界條件表明：表明：, 0lxM)(lkwQlx最小勢能原理最小勢能原理等價(jià)于等價(jià)于平衡微分方程和力的邊界條件；平衡微分方程和力的邊界條件；Ritz 法解題步驟：法解題步驟：（1）假設(shè)位移函數(shù)，使其）假設(shè)位移函數(shù)，使其滿足邊界條件滿足邊界條件；（2） 計(jì)算形變勢能計(jì)算形變勢能 U ；（3）代入）代入Ritz 法方

59、程求解待定系數(shù)；法方程求解待定系數(shù)；（4）回代求解位移、應(yīng)力等。）回代求解位移、應(yīng)力等。用最小勢能原理解題步驟：用最小勢能原理解題步驟：（1）假設(shè)位移函數(shù)，使其）假設(shè)位移函數(shù)，使其滿足邊界條件滿足邊界條件；（2） 計(jì)算系統(tǒng)的總勢能計(jì)算系統(tǒng)的總勢能 ；（3） 由最小勢能原理：由最小勢能原理： =0 ，確定待定系數(shù)；，確定待定系數(shù)；（4）回代求解位移、應(yīng)力等。）回代求解位移、應(yīng)力等。圖示簡支梁，兩端受軸向壓力圖示簡支梁，兩端受軸向壓力P 作用，在距左端距離作用，在距左端距離 c處受集中力偶處受集中力偶 M 作用，梁的跨度為作用，梁的跨度為 l 。試用最小勢能原理求的梁的撓曲線方程。試用最小勢能原理

60、求的梁的撓曲線方程。 例：例：mmxlmAwsin設(shè)梁的撓曲線方程可設(shè)為：設(shè)梁的撓曲線方程可設(shè)為：解：解：設(shè)定梁的撓曲線函數(shù)求系統(tǒng)的總勢：設(shè)定梁的撓曲線函數(shù)求系統(tǒng)的總勢：VUdxdxwdEIUl022221dxxlmAlmEIlmm 0212sin2VP)(c)(cMldxdxdw022112224mmAlmcxdxdwc)(clmAlmmmcos1142344mmmAlEI)(xw)(c代入總勢能計(jì)算公式：代入總勢能計(jì)算公式：12224mmAlmPclmAlmMmmcos1142344mmmAlEI由最小勢能原理求出待定系數(shù)由最小勢能原理求出待定系數(shù)：, 0mmmAmAlEI14342mmm