數(shù)學建模期末復習綜合練習參考解答

1、數(shù)學建模期末復習綜合練習參考解答填空題參考答案1. 分析 根據(jù)歐拉一筆畫判定原理即知一個連通圖能夠一筆畫出的充分必要條件是圖中奇數(shù)頂點個數(shù)是0或2.應該填寫：圖中奇數(shù)頂點個數(shù)是0或22. 分析 現(xiàn)在手中的元錢存銀行期就可以變成這里的稱為貨幣的現(xiàn)值，亦即期末的元相當于現(xiàn)在的元.于是將給定的數(shù)據(jù)代入上式得現(xiàn)值約萬元.應該填寫：約3. 分析 冰淇淋銷量:與參加展覽會的人數(shù)成正比；與氣溫超過的度數(shù)成正比；與冰淇淋的售價成反比.由此建立的冰淇淋銷量的比例模型應為 是比例常數(shù). 應該填寫： 是比例常數(shù)4. 分析 本例要求從返回到，但奇點個數(shù)有8個，郵遞員肯定是要重復走某些街路的。容易判斷選擇在相鄰奇點處加

2、邊使所有點均為偶點，則所有邊的權(quán)和最小。橫向（含加邊）的權(quán)和為134+12=14 (km)；縱向（含加邊）的權(quán)和為234+22=28 (km)則他至少要走42km應該填寫：425 分析 增長率為的線性的減函數(shù)，因為時增長率應為零，由此確定，那么人口增長模型修改為人口增長問題的羅捷斯蒂克模型為，其解為應該填寫：6 分析 選擇總需時少的隊是快隊。隊1總需時，隊2總需時隊1快的條件是.應該填寫：7分析 這里的100元應理解為食品和飲料費用的上限：；食品至少要花掉40%：；飲料起碼要花30元：用和列出花在食品和飲料上的費用的數(shù)學模型是應該填寫：8分析 由平衡原理，有，可導出且初始條件為，其解為應該填寫

3、：9分析 若本金為，利率為，期數(shù)為，則到期末，本利和為其中的即為貨幣的終值.亦即元到期末就變成了元了.于是將給定的數(shù)據(jù)代入上式得終值約=32.5779(萬元).應該填寫：萬元10 分析 注意到確定性且不允許缺貨的存儲問題有定論：若最佳進貨周期和最佳進貨量分別用表示，則有存儲論中著名的經(jīng)濟訂購批量公式 其中， R為每天的商品平均銷售量，為進貨一次的手續(xù)費，為單位商品的存儲費/天。于是將給定的數(shù)據(jù)代入上式即可獲得答案為20（天）和2000（件）。應該填寫：20（天） 2000（件）11 分析 由最小樹的概念知：一個連通圖的最小樹是經(jīng)過該圖所有頂點且總賦權(quán)數(shù)最小的一個樹形圖.應該填寫：頂點且總賦權(quán)數(shù)

4、最小12 分析因為質(zhì)量為的物體自由下落過程中除受重力作用之外，還受到與下落速度成正比空氣阻力的作用，則由牛頓第二定律得,即物體下落過程的數(shù)學模型是應該填寫：13 分析由距離速度時間得在一秒時間間隔內(nèi)魚所移動的距離為1 (距離單位)；而由題設得在一秒時間間隔內(nèi)魚所移動的距離為(距離單位),這里（次/秒）、魚身的長度和它的速度的關系式為 .應該填寫：（k是常數(shù)）14分析所謂數(shù)學建模的五步建模法是指按一般順序建模的五個基本步驟: 問題分析，模型假設，模型建立，模型求解，模型分析應該填寫：問題分析，模型假設，模型建立，模型求解，模型分析15 分析 注意到均衡價格公式而代入計算便得到50. 應該填寫：5

5、016 分析 利用運輸問題的解法簡單運算即知：最優(yōu)運輸方案不唯一；總運費均相等應該填寫：最優(yōu)運輸方案不唯一；總運費均相等17 分析 本題屬于貨幣的時間價值內(nèi)容中的年金的現(xiàn)值問題（分期付款問題），立刻得到計算公式為（每月月底還款） 其中A為每月的還款金額，月息R=0.5625%，還款期數(shù)=60，由此便可推得A = 元。應該填寫：元 18分析 精粗一看，似乎會感到條件不夠無法回答，但你只要換一種想法，問題就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍載著他開往會合地點，那么這一天他就不會提前回家了。提前的十分鐘時間從何而來？顯然是由于節(jié)省了從相遇點到預定會合點，又從預定會合點返回相遇點這一段路的緣故，故由相

6、遇點到預定會合點需開5分鐘。而此人提前了三十分鐘到達預定會合點，故相遇時他已步行了二十五分鐘。應該填寫：25分析判斷題參考答案1解 飼料來源、公羊與母羊的比例、飼料冬儲、繁殖問題、羊的養(yǎng)殖年限、出售時機、羊制品及其深加工等. 2 解 （1）更換自來水龍頭及其費用、節(jié)約下來水費兩個因素，兩者的比較可用于確定建模目標； （2）數(shù)據(jù)調(diào)查：學校平均每個月的用水量，食堂的用水量、衛(wèi)生間用水量、宿舍用水限量的、定時定量供水的可行性調(diào)查；臨時申請用水問題等因素3解 撤離時人員的分布狀態(tài)、人員總數(shù)、撤離速度、人們之間相對擁擠程度、人員所在地與安全地點的距離、人員撤離完畢所需要的總時間等.4 解 設為時刻血液中

7、酒精的濃度，則濃度遞減率的模型應為其通解是而就是所求量. 由題設可知故有 和 由此解得 可見在事故發(fā)生時，司機血液中酒精的濃度已經(jīng)超出了規(guī)定. 5 解 可以轉(zhuǎn)化為運輸模型，具體做法如下：首先確定總的供求量. 總產(chǎn)量顯然為160噸；總需求量中，地區(qū)丁的需求量在保證其他地區(qū)最低需求條件下，最多是60噸因此，總需求量按最高需求應為210噸，因而可視問題為供小于求的運輸問題 其次，為產(chǎn)銷平衡，虛設一個水庫D，其產(chǎn)量為50噸 再次，為確定需求量，將有最低需求與額外需求量的地區(qū)分別視為兩個子區(qū)，并確定各自需求量，注意最低需求量不能由虛設水庫供給，從而可設其引水費M（M是一個充分大的正數(shù)）. 綜合上述討論得

8、產(chǎn)銷平衡運價表如下： 表2 單位：元/千噸地區(qū)引水費水庫甲1 甲2 乙 丙 丁1 丁2產(chǎn) 量ABCD(虛)16 16 13 22 17 1714 14 13 19 15 1519 19 20 23 M MM 0 M 0 M 050605050銷 量30 20 70 30 10 506解 根據(jù)題意可知：下一年病人數(shù)=當年患者數(shù)的一半+新患者.于是令為從2000年起計算的年后患者的人數(shù)，可得到遞推關系模型：得遞推公式由可以算出2005年時的患者數(shù)人.由遞推公式容易看出，故結(jié)論正確.7 解 穿高跟鞋后新的比值應為 令 ， 由此可知 8解 以地球中心為原點，向上方向為縱軸建立直角坐標系從地球表面算起，

9、設應站高度為，那么根據(jù)題設，該點到地球表面的切線長應為 則依據(jù)題意，并利用勾股定理有，解得. 也可以利用切割線定理求出9 解若視該路線圖中各街路交點為頂點，相連接街路為邊，郵路就成為一個賦權(quán)無向圖。從而只要該圖能一筆畫出，則其總長就是最短的。本例要求從D返回到D，但奇點個數(shù)有8個，郵遞員肯定是要重復走某些街路的。選擇在奇點處加邊使所有點均為偶點，同時所加邊的權(quán)和最小。容易計算加邊的方案最好。（1）郵遞員要走2+3+2+2+4+3+1+3+2+3+3+3+3+2+1+3+4+3+2+3=52km路程；（2）建議郵遞員行走的一條路線為（不是唯一的）。( 如果改為郵遞員從郵局出發(fā)走遍所有街路后再返回

10、郵局，如何分析解答? )10 解 稍加考慮并注意生活常識便知，問題與盤子、水和溫度這三個實體直接相關，從而可以給出以下因素：洗滌劑水的溫度、周圍環(huán)境的溫度、盤子的溫度、洗滌劑水的量、盤子尺寸的大小、每次放入水中的盤子數(shù)、水的初始溫度、終了溫度、水是否流動、空氣是否有對流11 解 根號下表達式較繁，可以在假設很大情形下，略去第一項，從而得到y(tǒng) =exp(x).又若便可以寫成更為簡潔的形式；如果（很小，則可以略去原式第二項而寫成 12 解 可以轉(zhuǎn)化為運輸模型，具體做法如下： 首先確定總的產(chǎn)銷量. 總產(chǎn)量顯然為12000件；總需求量中，客戶3的需求量在保證已承諾給客戶1和2的供給量7000件條件下，

11、最多是5000件，而客戶4則最多可得4000件因此，總需求量按最高需求應為16000件，因而可視問題為供小于求的運輸問題 其次，為產(chǎn)銷平衡，虛設一個工廠4，其產(chǎn)量為4000件 再次，為確定需求量，將有最低需求與額外需求量的客戶分別視為兩個客戶，并確定各自需求量，注意最低需求量不能由虛設工廠供給，從而可設其利潤值是-M（M是一個充分大的正數(shù)）. 綜合上述討論得產(chǎn)銷平衡運價表如下： 表2 單位：元/件 客戶利潤工廠1 2 3 3 4供給量123 465 63 62 62 6468 67 65 65 6263 60 59 59 60 -M -M -M 0 03000500040004000 需 求

12、量 4000 3000 1000 4000 4000 13 解（1）因為可行域的右上方無界，故將出現(xiàn)目標函數(shù)趨于無窮大的情形，結(jié)果是問題具有無界解； （2）將最優(yōu)解代入約束條件可知第二個約束條件為嚴格不等式，而其他為嚴格等式。這說明，鐵和鈣的攝入量達標，而蛋白質(zhì)的攝入量超最低標準18個單位。 14 解設想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請立即停車。停車是需要時間的，在這段時間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段距離。對于那些黃燈亮時已過線的車輛，則應當保證它們?nèi)阅艽┻^馬路，馬路的寬度是要考慮的。黃燈亮的時間長度應保證距路口不足制動距離的車輛能通過馬

13、路。因而黃燈亮的時間長度應該考慮的相關因素有：（）司機在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應當剎車的反應時間即司機的反應靈敏程度；（）剎車制動后車輛駛過的路程；（）此街道的行駛速度；（）馬路的寬度；（）不同的路面狀況；（）不同的車重；（）天氣情況。(至少列出三種，少一種扣三分)15 解1）要研究的問題：如何設置四部電梯的?？糠绞?，使之發(fā)揮最大效益； 2）所需資料為：每天早晨乘電梯的總?cè)藬?shù)、各層上、下電梯的人數(shù)、電梯的速度、樓層的高度、層數(shù)等；3）要做的具體建模前期工作：觀察和統(tǒng)計所需資料，一般講，需要統(tǒng)計一周內(nèi)每天的相關資料；4）可以建立概率統(tǒng)計模型，亦可在適當?shù)募僭O下建立確定性模型16 解（1）車流的密度；（

14、2）車的行駛速度； （3）道路的寬度； （4）行人穿越馬路的速度；（5）設置斑馬線地點的兩側(cè)視野等。 （注意：最少寫出3個因素。每少寫對一個因素扣3分）計算題參考答案1 解 本題屬于產(chǎn)銷平衡的運輸問題模型。 (1) 利用最小元素法可得初始方案如表2，表2運價 銷地產(chǎn)地 B1 B2 B3 B4產(chǎn)量15A1A2A3 3 5 2 9 15 4 7 5 12 6 9 10 11 20 15 25銷量 10 20 15 15 （2）使用閉回路法可得負檢驗數(shù)為= -1，故令進基 （3）使用閉回路法進行調(diào)整知出基，便得新的運輸方案如表3 表3運價 銷地產(chǎn)地 B1 B2 B3 B4產(chǎn)量A1A2A3 3 5 2

15、 9 15 4 7 5 12 6 9 10 11 20 15 25銷量 10 20 15 152 牛頓冷卻定律指出,當系統(tǒng)與環(huán)境的溫度差(不超過1015)不大時,系統(tǒng)溫度的變化率與系統(tǒng)溫度和環(huán)境溫度之差成正比,其數(shù)學表達式為，其中為系統(tǒng)溫度，為環(huán)境溫度，為客觀時間，為散熱系數(shù)，散熱系數(shù)只與系統(tǒng)本身有關解一個正常人在一般的溫度環(huán)境下，受大腦神經(jīng)中樞的調(diào)節(jié)，其體溫能維持在37 ，但死亡后其體溫調(diào)節(jié)功能立即喪失，于是逐漸冷卻。（）以20:30作為時間坐標的起始點，記為，而在時刻，被害者的體溫為，根據(jù)牛頓冷卻定律，在時間段內(nèi)，有分離變量并積分得由可確定，又由得可確定于是當時,由上式可解得時時分；于是被

16、害人的死亡時間約為時分時分時分即被害人的死亡時間約為在18:04，因此不能從時間上排除鄭某的作案嫌疑。（）已知,代入,解得時時分；于是被害人的死亡時間約為時分時分時分即被害人的死亡時間約為17:05，因此能從時間上排除鄭某的作案可能性。3解本題是選自文字教材的練習題，由于其求解大家都比較熟悉，這里不再贅述而只是做簡單的提示和必要的說明。本題屬于決策樹模型，且為兩階段決策模型。其一般做法是：先從左至右畫出決策樹，并將題目中有關數(shù)據(jù)標于決策樹上，然后利用期望值法從右至左計算各個狀態(tài)節(jié)點和決策節(jié)點的期望值，依據(jù)期望值的大小進行遴選和剪枝，從而最后給出決策結(jié)果。注意它是文字教材上的習題，這里僅作關鍵性

17、說明。 首先，建立決策樹模型如圖.ACBDB高水位 高水位 洪水 0.02洪水 0.02筑堤不筑堤搬走不搬走-1800-500-60500-10000-60000 圖 其次，使用期望值法計算過程見圖.ACBDB高水位 高水位 洪水 0.02洪水 0.02筑堤不筑堤搬走不搬走-1800-500-60500-10000-60000-1800-1335-1335-3700 圖 最優(yōu)決策為：不必搬走機械，但要筑一個護堤，期望損失1335元。4 解以開始下雪時刻為時間坐標的原點，4:00對應時刻是；由于下雪速度是均勻的，所以在時刻時積雪厚度為 ；設路面寬度為 ,鏟雪車的工作效率為 .設在時間段所鏟雪的體

18、積為，則其推進的距離為由題設，可得 及 即 及 于是 2 即4:00對應的時刻是37.08分=37分4.8秒.故這場雪大約是從3點22分55秒開始下的5 解 由題意可知，只需求出該網(wǎng)絡圖的最小樹即可.利用破圈法容易得樹形圖（圖5-2）： 圖5-2 v1v2v3v4v6v5v8v7v943243425故得架設路線為:總架線長度為27km，故總架設費用為 （萬元）6解 本題屬于圖模型中較為簡單的最短路問題。為使用圖方法求解，首先要建立其圖模型，然后才能使用相應的解法求解之；求解方法則是Dijkstra的雙標號法；獲得固定標號之后再進行逆向搜索即可得到從廠家A到目的地的最佳運輸路線；最后要給出其最小費用值。24AB2