教育統(tǒng)計與測量

1、劉經(jīng)蘭劉經(jīng)蘭贛南師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院贛南師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院（學(xué)前教育1101、1102）三教407周二1、2節(jié)，周五雙1、2節(jié)n教育統(tǒng)計與測量是一門應(yīng)用性的學(xué)科，學(xué)習(xí)的過程也是應(yīng)用的過程，從而提高本門課程的學(xué)習(xí)效果，更好實現(xiàn)課程的功能。n準備的學(xué)習(xí)用具：統(tǒng)計功能的計算器，練習(xí)本兩本 教育統(tǒng)計篇教育測量篇教育統(tǒng)計篇教育統(tǒng)計篇n 第一講第一講 教育統(tǒng)計緒論教育統(tǒng)計緒論第一節(jié)第一節(jié) 教育統(tǒng)計學(xué)概述教育統(tǒng)計學(xué)概述研究對象研究對象研究方法研究方法研究內(nèi)容研究內(nèi)容研究對象研究對象教育統(tǒng)計學(xué)： 應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的原理和方法研究教育問題。 主要研究如何收集、整理、分析由教育調(diào)查和教育實驗所獲得的數(shù)據(jù)資料，并以

2、此為依據(jù)進行科學(xué)推斷，揭示教育現(xiàn)象所蘊涵的客觀規(guī)律。研究方法n研究過程（三階段）資料的收集資料的整理資料的分析研究方法調(diào)查實驗全面調(diào)查重點調(diào)查典型調(diào)查抽樣調(diào)查單組實驗等組實驗輪組實驗一組對象，若干處理相同條件對象，不同處理一組或多組對象，輪換處理抽樣調(diào)查n單純隨機抽樣從調(diào)查總體中完全隨機地抽取調(diào)查單位或個人。n分層抽樣將總體中每一個個體按照一定的規(guī)則分為不同的類型或?qū)哟危缓髲母鲗哟沃邪匆欢ㄒ?guī)則隨機抽取若干樣本。n整群抽樣是抽取的對象以整群為單位而不是以個體不單位的抽樣方法n 機械抽樣P4隨機數(shù)的產(chǎn)生隨機數(shù)的產(chǎn)生n大小為N的總體中產(chǎn)生樣本量為n的隨機樣本的一個常用的方法是利用隨機數(shù)（rando

3、m number）。 n利用隨機數(shù)步驟為：(1) 把總體的所有個體編號；(2) 產(chǎn)生n個在0到N之間的隨機數(shù)；(3)與如此產(chǎn)生的隨機數(shù)中的數(shù)目相同的個體則形成了樣本量為n的簡單隨機樣本。n最原始的辦法是擲一種正20面體的均勻材料制成的骰子，標有兩套0到9的數(shù)字。每次產(chǎn)生一個0到9的數(shù)字。n另一種是查閱隨機數(shù)表。在一些傳統(tǒng)的統(tǒng)計教科書后可以找到隨機數(shù)表；也有專門的隨機數(shù)表的冊子。n今天，多用計算機產(chǎn)生的偽隨機數(shù)（pseudo-random number）來代替真正的隨機數(shù)。研究內(nèi)容n描述統(tǒng)計統(tǒng)計圖表統(tǒng)計特征量n推斷統(tǒng)計正態(tài)分布總體均數(shù)的估計假設(shè)檢驗方差分析n描述統(tǒng)計研究如何對客觀現(xiàn)象的數(shù)量特征進

4、行計量、觀察、概括和表述。n用表和圖表示，計算特征量（如平均值）等，所論不超出已有數(shù)據(jù)。n推斷統(tǒng)計（統(tǒng)計推斷）據(jù)數(shù)據(jù)所提供信息對數(shù)據(jù)所來自的總體（母體）的性質(zhì)作推斷，推斷會有錯誤、誤差，用概率論的術(shù)語和方法來描述和論證。誤差的產(chǎn)生源于數(shù)據(jù)有誤差。怎樣盡可能減少推斷的錯誤和誤差，是統(tǒng)計推斷的中心問題。描述統(tǒng)計與推斷統(tǒng)計描述統(tǒng)計與推斷統(tǒng)計n 目的描述數(shù)據(jù)特征找出數(shù)據(jù)的基本規(guī)律n內(nèi)容確定要研究的數(shù)量特征設(shè)計統(tǒng)計指標（說明這些數(shù)量特征的）搜集數(shù)據(jù)整理數(shù)據(jù)計算并顯示指標數(shù)據(jù)描述統(tǒng)計描述統(tǒng)計的主要方法集中量數(shù)集中量數(shù): : 描述集中趨勢描述集中趨勢差異量數(shù)差異量數(shù): : 描述離散程度描述離散程度相關(guān)系數(shù)相

5、關(guān)系數(shù): : 描述關(guān)系程度描述關(guān)系程度偏態(tài)系數(shù)偏態(tài)系數(shù)峰態(tài)系數(shù)峰態(tài)系數(shù)次數(shù)分布圖次數(shù)分布圖, 如如直方圖直方圖發(fā)展趨勢折線圖發(fā)展趨勢折線圖相關(guān)散點圖相關(guān)散點圖描述數(shù)據(jù)的正態(tài)程度n目的：目的：對總體特征作出推斷。n內(nèi)容：內(nèi)容：推斷統(tǒng)計均數(shù)差異顯著性檢驗均數(shù)差異顯著性檢驗次數(shù)分布差異顯著性檢驗次數(shù)分布差異顯著性檢驗比例數(shù)差異顯著性檢驗比例數(shù)差異顯著性檢驗變量間關(guān)系顯著性檢驗變量間關(guān)系顯著性檢驗描述統(tǒng)計與推斷統(tǒng)計的關(guān)系推斷統(tǒng)計推斷統(tǒng)計（利用樣本信息對（利用樣本信息對總體的數(shù)量特征進總體的數(shù)量特征進行估計和檢驗等）行估計和檢驗等）概率論概率論（包括分布理論、大數(shù)（包括分布理論、大數(shù)定律和中心極限定理等

6、定律和中心極限定理等）描述統(tǒng)計描述統(tǒng)計（統(tǒng)計數(shù)據(jù)的搜集、整（統(tǒng)計數(shù)據(jù)的搜集、整理、顯示和分析等）理、顯示和分析等）總體數(shù)據(jù)總體數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)第二節(jié) 教育統(tǒng)計學(xué)的初步概念n被試n數(shù)據(jù)與變量n隨機n誤差n抽樣與樣本n定性研究和定量研究n統(tǒng)計量與參數(shù)n（一） 隨機變量n（二）總體、樣本和個體n（三）次數(shù)、頻率和概率n（四）誤差n（五） 統(tǒng)計量與參數(shù)n（六）定性研究與定量研究（一） 隨機變量隨機變量n1、在相同條件下進行的實驗或觀察，其可能結(jié)果不止一個，事先無法確定，這類現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象。具備以下三個條件：n第一，一次試驗有多種可能結(jié)果，其所有可能結(jié)果是已知的；n第二，試驗之前不能預(yù)料哪一種結(jié)果

7、會出現(xiàn)；n第三，在相同的條件可以重復(fù)試驗。n2、隨機現(xiàn)象的每一種結(jié)果叫做一個隨機事件。n3、我們把能表示隨機現(xiàn)象各種結(jié)果的變量稱為隨機變量。用X、Y、X1、X24、隨機變量的分類：n實驗數(shù)據(jù)按由什么觀測方法得來，可劃分為兩大類，n一類是計數(shù)數(shù)據(jù)計數(shù)數(shù)據(jù)，是指計算個數(shù)的數(shù)據(jù)，一般屬性的調(diào)查獲得的是此類數(shù)據(jù)，它具有獨立的分類單位，如人口數(shù)、學(xué)校數(shù)等等，一般都取整數(shù)的形式。n另一類測量數(shù)據(jù)測量數(shù)據(jù)，是借助于一定的測量工具或一定的測量標準而獲得的，如身高、體重、分數(shù)、各種感覺閾等等。 4、隨機變量的分類：n測量數(shù)據(jù)按其是否等距和有無絕對零點，又可細分為下述四種測量水平：（1）有相等單位又有絕對零點的數(shù)

8、據(jù)稱為比率變量，如身高、體重、反應(yīng)時、各種感覺閾值的物理量。（2）有相等單位但無絕對零點的數(shù)據(jù)，稱為等距變量，如溫度、各種能力分數(shù)、智商等。（3）既無相等單位，也無絕對零點，僅表示順序，不能指出其間的差別大小的數(shù)據(jù)，稱為順序變量。如等級評定、品質(zhì)等級等等。（4）既無相等單位，也無絕對零點，僅表示其名稱的變量，稱為稱名變量。如名字、學(xué)號等等。4、隨機變量的分類：n測量數(shù)據(jù)按其是否具有連續(xù)性可劃分為n連續(xù)變量與離散變量（二）總體、樣本和個體n總體是指具有某種特征的一類事物的全體又稱母體。構(gòu)成總體的每個基本單元稱為個體。從總體中抽取一部分個體，稱為總體的一個樣本。 （三）次數(shù)、頻率和概率 n1、次數(shù)

9、 次數(shù)是指某一事件在某一類別中出現(xiàn)的數(shù)目，又稱為頻數(shù)，一般用符號f表示。n2、頻率 又稱相對次數(shù)，即某一事件的次數(shù)被總的事件數(shù)目除，亦即某一數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)被這一組數(shù)據(jù)數(shù)目的總數(shù)除。頻率常用比例來表達，有時也用百分數(shù)表示。f/Nn3、概率又稱機率或然率，常用符號P表示。是指某事件在無限的觀測中所能預(yù)料的相對出現(xiàn)的次數(shù)。概率常用比例表示。 (四)誤差n測定的觀測值與真值之差稱為誤差.誤差可分為隨機誤差、系統(tǒng)誤差和抽樣誤差三種類別。n隨機誤差指由與研究目的無關(guān)的難以控制的偶然因素所引起的誤差。n系統(tǒng)誤差指由與研究目的無關(guān)的因素所引起的有規(guī)律性的誤差。n抽樣誤差指由于抽樣而產(chǎn)生的誤差。抽樣誤差屬于隨機

10、誤差的范疇，由于它在統(tǒng)計中的重要地位，所以人們專門列條陳述。（五）（五） 統(tǒng)計量與參數(shù)統(tǒng)計量與參數(shù)n統(tǒng)計量又稱統(tǒng)計特征數(shù)，是根據(jù)科研實驗所獲得的一組觀測值計算出來的一些量數(shù)，又稱為樣本統(tǒng)計量。n參數(shù)又稱總體參數(shù)，是指描述一個總體情況的一些統(tǒng)計指標。n統(tǒng)計量和參數(shù)所用的名稱基本相同，但符號是不一樣的。 （六）定性研究與定量研究n定性研究是對教育的研究內(nèi)容進行質(zhì)的分析，通過分類選取典型例證的方式對信息重新組織和在描述性的基礎(chǔ)上得出結(jié)論。n定量研究是指對教育中所包含的信息采用一定的方法、技術(shù)進行量的分析。思考與練習(xí)題n1、何謂教育統(tǒng)計學(xué)？學(xué)習(xí)它有何意義？n2、什么是隨機變量？教育科學(xué)實驗所獲得的數(shù)據(jù)

11、是否屬于隨機變量？n3、怎樣理解總體、樣本與個體？n4、何謂次數(shù)、頻率及概率？n5、統(tǒng)計量與參數(shù)之間有何區(qū)別和關(guān)系？6、下述一些數(shù)據(jù)，哪些是測量數(shù)據(jù)？哪些是計數(shù)數(shù)據(jù)？其數(shù)值意味什么？稱名變量,順序變量,等級變量,比率變量n（1）17.0千克 (2)89.85厘米n (3)199.2秒 (4)17人n (5)25本 (6)93.5分n(6)35號 (7)第一名,第二名n(8)3第二講 描述統(tǒng)計n第一節(jié)第一節(jié) 統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖n第二節(jié)第二節(jié) 教育統(tǒng)計的特征量教育統(tǒng)計的特征量SCORE95.092.590.087.585.082.580.077.575.072.570.067.5SCOR

12、EFrequency3020100Std. Dev = 5.83 Mean = 85.5N = 80.00第一節(jié) 統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖n統(tǒng)計表n構(gòu)成：統(tǒng)計表一般由標題、表號、標目、表注等構(gòu)成。橫標目的總標目（亦可空白）縱標目（一般設(shè)謂語）橫標目數(shù)字表的標題 ? ? ? 注腳:說明資料來源等 X X X (頂線)(底線)統(tǒng)計表基本格式編制統(tǒng)計表的要求 n ()表的結(jié)構(gòu)要簡單明了，層次清楚。n ()表的標題要簡明扼要地、確切地反映表的內(nèi)容，寫在表的上端的中央位置。n ()表的標目有橫、縱標目之分。 一般將統(tǒng)計表所要敘述的主要對象放在橫標目n上，而將用以敘述的統(tǒng)計指標在縱標目上。n ()表內(nèi)數(shù)據(jù)排列要整齊

13、，小數(shù)點位置要對齊，缺數(shù)據(jù)格或無數(shù)據(jù)格要劃斜線。n ()表的標題、標目或數(shù)字有未盡之意的地方，應(yīng)加腳注說明，表中資料的來源應(yīng)在底線下加以注明。簡單表表2 重慶2中各年高考錄取人數(shù)年份1993 19941995 1996 1997 合計高考錄取人數(shù)101109110150190560復(fù)合表表2。4 某高級中學(xué)各年級文理科男女學(xué)生人數(shù)科別文科理科總計男女男女男女高一12085180110305195高二11090170105280195高三14011019095340205總計3702855453109155954、頻數(shù)分布表n對于一組大小不同的數(shù)據(jù)劃出等距的分組區(qū)間稱為組距(i),然后將數(shù)據(jù)按其

14、數(shù)值大小列入各個相應(yīng)的組別內(nèi),便可以出現(xiàn)一個有規(guī)律的表式。這種統(tǒng)計表又稱之為次數(shù)分布表。 編制次數(shù)分布表的步驟 n(1)求全距。全距指最大數(shù)與最小數(shù)之間的差距。 n(2)決定組數(shù)與組距。組距是指每一組的間距,用符號i表示 n(3)列出分組區(qū)間。分組區(qū)間又稱為分組階段。n列分組區(qū)間要注意以下幾點：最高組區(qū)間內(nèi)應(yīng)能包含最大值的數(shù)據(jù),最低組區(qū)間應(yīng)能含最小值的數(shù)據(jù)。最高組或最低組的下限最好是組距的整數(shù)倍。分組區(qū)間可寫為10一,20一,30一,40一等,但我們l必須明確,實際上各組的精確界限應(yīng)是9.5一19.499。 n(4)登記次數(shù)。依次將數(shù)據(jù)登記到各個相應(yīng)的組別內(nèi),一般用劃線記數(shù)或?qū)懻值姆椒?。n(

15、5)計算次數(shù)(f)。各組的次數(shù)計算好后,還要計算總和即總次數(shù)。一是為了以后計算的需要,二是為了核對各組總和與數(shù)據(jù)總數(shù)(N)是否相等。n(5)抄錄新表。登記核實后,重新制表。5.累積頻數(shù)分布表及累積百分比分布表 表一表一 三（三（2 2）班）班3030名學(xué)生語文、數(shù)學(xué)、英語期末考試成績名學(xué)生語文、數(shù)學(xué)、英語期末考試成績 （三科成績均服從正態(tài)分布） 學(xué)號語數(shù)英學(xué)號語數(shù)英學(xué)號語數(shù)英018793851180727621676571026567741276818222807883037372801366707323848795049486821453576024867775058078761544525

16、325616264067875651649504526687274077580761774818027726966086360581869707328788688095866671973747229828178107074742052435430767585表二：三（2）班30名學(xué)生語文成績頻數(shù)分布表分組區(qū)間組中值xc簡單頻數(shù)f相對次數(shù)f/N%累積頻數(shù)FbFa累積百分比%90-9513.333013.3380-85723.3329826.6770-751033.3422186060-65723.33122583.3350-5531052893.3340-4526.67230100 x30n課堂

17、練習(xí)：n三（2）班30名學(xué)生英語成績頻數(shù)分布表n利用計算機制表常用的計算機軟件：Excel,SPSS制表n用Excel軟件制表語文語文數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)英語英語物理物理化學(xué)化學(xué)政治政治體育體育高三（1）75698976798384高三（2）82659065778976高三（3）72888789856789高三（4）67817981896963二、統(tǒng)計圖n（一）統(tǒng)計圖的功用（一）統(tǒng)計圖的功用n所謂統(tǒng)計圖就是依據(jù)數(shù)字資料,應(yīng)用點、線、面、體、色彩導(dǎo)的描繪制成整齊而又規(guī)律,簡明而又知其數(shù)量的圖形。統(tǒng)計圖一般采用直角坐標系,橫坐標用來表示事物的組別或自變量X,縱坐標常用來表示事物出現(xiàn)的次數(shù)或因變量Y.（二）統(tǒng)計

18、圖的結(jié)構(gòu)與制圖要點（二）統(tǒng)計圖的結(jié)構(gòu)與制圖要點n圖號及圖題 n圖目n圖形圖形 n圖注圖注（三）統(tǒng)計圖的種類（三）統(tǒng)計圖的種類n統(tǒng)計圖可按形狀、數(shù)字性質(zhì)、圖的用途等標志分為多種類別。教育統(tǒng)計中常用的統(tǒng)計圖可按形狀劃分為直條圖、直方圖、曲線圖、圓形圖、散點圖等等。 n統(tǒng)計圖：由標題、圖號標目、圖注等項構(gòu)成。單式條形圖0204060優(yōu)良及格不及格圖2 。 3 某 中 學(xué)考核結(jié)果人數(shù)第一節(jié) 統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖n復(fù)式條形圖020406080100高三（1 ）高三（2 ）高三（3 ）高三（4 ）語文數(shù)學(xué)英語物理圓形圖（餅圖）圖2 。 2 某中 學(xué)考核成績?nèi)藬?shù)優(yōu)23%良47%及格18%不及格12%優(yōu)良及格不及格

19、圓形圖（餅圖）折線圖圖2 。 5 某 市 教育系統(tǒng)1 9 9 5 - 2 0 0 0年 人 員 平 均 工 資和經(jīng)費投入變化情況（1 9 9 5 年= 1 ）01231995 1996 1997 1998 1999 2000平均工資經(jīng)費投入4. 線條圖5. 頻數(shù)頒布直方圖圖.4中考化學(xué)統(tǒng)計成績直方圖6. 累積頻數(shù)圖圖.5 2004年中考化學(xué)抽樣得分情況累積頻數(shù)圖 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100圖2.6:高一語文7、面積圖面積圖北京、四川城鎮(zhèn)居民消費性支出比較0.001000.002000.003000.004000.005000.006000.00 食 品 衣 著

20、 家庭設(shè)備 醫(yī)療保健 交通和通訊 文化教育 居 住 雜項商品 四 川 北 京 n三（2）班30名學(xué)生語文成績簡單直方圖、折線圖、累積次數(shù)直方圖、累積次數(shù)曲線表二：三（2）班30名學(xué)生語文成績頻數(shù)分布表分組區(qū)間組中值xc簡單頻數(shù)f相對次數(shù)f/N%累積頻數(shù)FbFa累積百分比%90-9513.333013.3380-85723.3329826.6770-751033.3422186060-65723.33122583.3350-5531052893.3340-4526.67230100 x30n課堂練習(xí)：n三（2）班數(shù)學(xué)和英語成績的次數(shù)分布表.相對次數(shù)分布表,累積次數(shù)分布表和次數(shù)直方圖,次數(shù)多邊圖和

21、累積次數(shù)曲線.n利用計算機制圖常用的計算機軟件：Excel,SPSS制圖n用Excel軟件制圖級 別2001級2000級Count121086420去 向高 校研 究 所企 業(yè)國 家 機 關(guān)讀 博中 小 學(xué)第二節(jié) 教育統(tǒng)計的特征量n最常用的統(tǒng)計量有三類：n一類是代表一組數(shù)據(jù)典型水平或集中趨勢的量，即集中量；n另一類是反映一組數(shù)據(jù)的變異程度或離散程度的量，即差異量n第三類是反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度的量，即相關(guān)量。一、集中量n定義:代表一組數(shù)據(jù)典型水平或集中趨勢的量。平均數(shù)n算術(shù)平均數(shù)原始數(shù)據(jù)法：頻數(shù)分布表法n加權(quán)平均數(shù)原始數(shù)據(jù)法頻數(shù)分布表法n集中量是代表一組數(shù)據(jù)典型水平或集中趨勢的量。n常用的集中量有

22、平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。一、平均數(shù)n1、算術(shù)平均數(shù)n2、加權(quán)平均數(shù)n1、算術(shù)平均數(shù)n簡稱為平均數(shù)或均數(shù)(Mean)。,X Ym1、算術(shù)平均數(shù)n（1）未分組數(shù)據(jù)平均數(shù)的計算方法n（2）數(shù)據(jù)分組后計算平均數(shù)的方法n（3）平均數(shù)特點n（4）平均數(shù)的意義與應(yīng)用（1）未分組數(shù)據(jù)平均數(shù)的計算方法（原始數(shù)據(jù)）n當一組數(shù)據(jù)未進行統(tǒng)計分類時,若想描述其典型情況,找出其代表值,可計算算術(shù)平均數(shù),公式為：n n公式中Xi表示所有數(shù)據(jù)的和,即Xi=XI+X2+XNnN為數(shù)據(jù)的個數(shù)。. 1niiXXNn例如，求某小組10個學(xué)生的數(shù)學(xué)測驗分數(shù)78，79，62，84，90，71，76，83，98，77的平均數(shù)。表一表一 三（

23、三（2）班）班30名學(xué)生語文、數(shù)學(xué)、英語期末考試成績名學(xué)生語文、數(shù)學(xué)、英語期末考試成績 （三科成績均服從正態(tài)分布） 學(xué)號語數(shù) 英學(xué)號語數(shù)英學(xué)號語數(shù)英0187938511807276216765710265677412768182228078830373728013667073238487950494868214535760248677750580787615445253256162640678756516495045266872740775807617748180277269660863605818697073287886880958666719737472298281781070747420

24、52435430767585（2）數(shù)據(jù)分組后計算平均數(shù)的方法（頻數(shù)分布表）n公式為：ncxfXN表二：三（2）班30名學(xué)生語文成績頻數(shù)分布表分組區(qū)間組中值xc簡單頻數(shù)f相對次數(shù)f/N%累積頻數(shù)FbFa累積百分比%90-9513.333013.3380-85723.3329826.6770-751033.3422186060-65723.33122583.3350-5531052893.3340-4526.67230100 x30(3)(3)平均數(shù)的特點平均數(shù)的特點111()nnniiiiixCxCX Cnnn在一組數(shù)據(jù)中，每一個數(shù)據(jù)加上一個常數(shù)在一組數(shù)據(jù)中，每一個數(shù)據(jù)加上一個常數(shù)C C，則所得

25、的平均數(shù)為原來的平均數(shù)加上常數(shù)則所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)加上常數(shù)C C。即：。即：()0ixX在一組數(shù)據(jù)中，每一個數(shù)據(jù)乘上一個常數(shù)在一組數(shù)據(jù)中，每一個數(shù)據(jù)乘上一個常數(shù)C C，則，則所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)乘上常數(shù)所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)乘上常數(shù)C C。即：。即： 離均差的和等于離均差的和等于0 0。即：。即：11()nniiiixCCxCXnn（4）平均數(shù)的意義與應(yīng)用n算術(shù)平均數(shù)具備一個良好的集中量數(shù)應(yīng)具備的一些條件：n反應(yīng)靈敏。n確定嚴密。n簡明易解。n計算簡單。n符合代數(shù)方法進一步演算。n較少受抽變動的影響。n缺點:n 易受極端數(shù)據(jù)的影響。n 若出現(xiàn)模糊不清數(shù)據(jù)時，無法計算平均數(shù)。n

26、此外,必要注意，凡不同質(zhì)的數(shù)據(jù)不能計算平均數(shù)。2、加權(quán)平均數(shù)n（1）加權(quán)平均數(shù)的概念n加權(quán)平均數(shù)是不同比重數(shù)據(jù)（平均數(shù)），nW表示各觀察值的權(quán)數(shù)；nX表示具有不同比重的觀察值。iiWiW XMW（2）加權(quán)平均數(shù)的計算方法n例如，某年級各班的一次數(shù)學(xué)考試成績?nèi)缦拢阂话?5人平均分為80；二班50人平均分為70；三班40人平均分為65；四班50人平均分為80；五班60人平均分為65，求全年級的總平均分。iiTin XXnn例2 ：某校初一共有3個班，某次語文測驗中，一班50人均分為68，二班45人均分為75，三班40人均分為80，問全校初一語文的平均成績？89.734045508040754568

27、50WX不能用：（不能用：（68+75+80）/3=74.33二、中位數(shù)n中數(shù)，中數(shù)，又稱中點數(shù)，中位數(shù)。符號為Md中數(shù)是指位于一組數(shù)據(jù)中較大一半與較小一半中間位置的那個數(shù)。n中數(shù)的求法根據(jù)數(shù)據(jù)是 否分組,而有不同的方法。（一）未分組數(shù)據(jù)求中數(shù)的方法n例1有下列9個數(shù),依大小排列為4、7、8、9、10、11、12、13、14(N=9)n(N+1)/2=5,序列第五的數(shù)據(jù)是10,則該組數(shù)據(jù)的中數(shù)是10。n例2有下列8個數(shù),依大小排列為：n2、3、5、7、8、10、15、19(N=8)序列為N/2=4者是7,序列為N/2+1=5者為8,則其中數(shù)為(7+8)/2=7.5。n從以上兩例可以看出,求中數(shù)

28、不受極大值與極小值的影響，而決定中數(shù)的關(guān)鍵是居中的那幾個數(shù)據(jù)的數(shù)值大小。.(二)次數(shù)分布表求中數(shù)的方法（了解）n其具體步驟如下：n第一步求N/2,并找到N/2所在的分組區(qū)間；n第二步求含有中數(shù)那一區(qū)間以下各區(qū)間的次數(shù)和記作Fb；n第三步求N/2與 Fb之差；n第四步求序列為第N/2那一點的值。求中數(shù)的公式如下：22,bbm dam dNFM dLifNF aM dLifbbaam d其中F為中數(shù)所在組的精確下限L為該組以下各組次數(shù)的累加次數(shù)F為中數(shù)所在組的精確上限L為該組以上各組次數(shù)的累加次數(shù)f為中數(shù)所在組的簡單次數(shù)i 為組距, N 為總次數(shù)表二：三（2）班30名學(xué)生語文成績頻數(shù)分布表分組區(qū)間

29、組中值xc簡單頻數(shù)f相對次數(shù)f/N%累積頻數(shù)FbFa累積百分比%90-9513.333013.3380-85723.3329826.6770-751033.3422186060-65723.33122583.3350-5531052893.3340-4526.67230100 x30中數(shù)的意義與應(yīng)用n優(yōu)點：計算簡單,容易理解,中數(shù)的概念簡單明了。n缺點：它反應(yīng)不夠表敏;n計算中數(shù)時,受抽樣的影響較大,不如平均數(shù)穩(wěn)定；n中數(shù)乘以總數(shù)與數(shù)據(jù)的總和不相等；n中數(shù)不能作進一步代數(shù)運算等等。n在一些特殊情況下，它的應(yīng)用受到重視。這些特殊情況是：當一組觀測結(jié)果中出現(xiàn)兩極端數(shù)目時。當次數(shù)分布的兩端數(shù)據(jù)或個別

30、數(shù)據(jù)不清楚時，只能取中數(shù)作為集中趨勢的代表值。當需要快速估計一組數(shù)據(jù)的代表值是，也常用中數(shù)。三、眾數(shù)的概念與求法三、眾數(shù)的概念與求法 n眾數(shù)(Mode)又稱為范數(shù),密集數(shù),通常數(shù)等,常用符號M0表示。眾數(shù)是指在次數(shù)分布中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)的數(shù)值。 n(一)直接觀察求眾數(shù)n（二）用公式法求眾數(shù)n（三）眾數(shù)的意義與應(yīng)用n(一)直接觀察求眾數(shù)n只憑觀察找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是眾數(shù)。n5、8、9、8、4、3、8、1、8、4（二）用公式法求眾數(shù)n1、皮爾遜的經(jīng)驗法(分數(shù)分布為正態(tài)分布)nMo=3Md-2M2、金氏插補法（了解）式中Lb為含眾數(shù)這一區(qū)間的精確下限；fa不高于眾數(shù)所在組一個組距那一分組區(qū)

31、間的次數(shù)；fb不低于眾數(shù)所在組一個組距那一分組區(qū)間的次數(shù)；I為組距 若fa=fb ,則Mo不次數(shù)最多那一區(qū)間的組中值。 這個公式適合次數(shù)分布比較偏斜的情況，當然，比較接近正態(tài)分布的出適用。aObabfMLiff眾數(shù)的意義與應(yīng)用n眾數(shù)的概念簡單明了,容易理解;n但它不穩(wěn)定,受分組的影響，亦受樣本變動的影響;n反應(yīng)不夠靈敏，觀察眾數(shù)，不嚴格計算而來，用計算方法所得眾數(shù)亦是一個估計值。同時不能作進一步代數(shù)運算。n眾數(shù)也不是一個優(yōu)良的集中量數(shù),應(yīng)用也不廣泛。n但在下述情況下也常有應(yīng)用：當需要快速而粗略地尋求一組數(shù)據(jù)的典型情況時；當一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)同質(zhì)的情況時，可用眾數(shù)表示；3、當次數(shù)分布中有兩極端的數(shù)目時

32、,有時也用眾數(shù)(一般用中數(shù))；當粗略估計次數(shù)分布的形態(tài)時,有時用平均數(shù)與眾數(shù)之差,表示次數(shù)分布是否偏態(tài)的指標。平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)之間的關(guān)系平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)之間的關(guān)系n在一個正態(tài)分布中,平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)三者相等,因此在數(shù)軸上三點重合。n在正偏態(tài)分布中MMdM。n在負偏態(tài)分布中MMdM。n平均數(shù)為一個平衡點，是一組數(shù)據(jù)的重心。它使數(shù)軸保持平衡，即支點兩側(cè)的力矩是相等的。n中數(shù)：只使其兩側(cè)的數(shù)據(jù)個數(shù)相同。n眾數(shù)：是指次數(shù)出現(xiàn)最多的，即重量較大的那個數(shù)據(jù)。思考與練習(xí)題1、應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)表示集中趨勢要注意什么問題？2、對于下列數(shù)據(jù)，使用何種集中量數(shù)表示集中趨勢其代表性更好？并計算它們的值。（1）4

33、5 6 6 7 29（2）3 4 5 5 7 5（3）2 3 5 6 7 8 9 3、求下列次數(shù)分布的平均數(shù)、中數(shù)和眾數(shù)分組f分組f65-135-3460-430-2155-625-1650-820-1145-1615-940-2410-74、求下列四個年級的總平均成績年級一二三四90.5919294 n236318215200X第二節(jié) 教育統(tǒng)計的特征量n二、差異量：代表一組數(shù)據(jù)離散程度、變異程度的量。（一）全距（R）n最大值與最小值之差maxminRXX（三） 方差與標準差方差與標準差n方差(Varance)也稱變異數(shù)、均方。作為統(tǒng)計量，常用符號S2,x2表示，作為總體參數(shù)，常用符號2表示。

34、n標準差(Srandard deviation)即方差的平方根，常用S或SDx表示。若用表示，則是指總體的標準差。1、方差與標準差的計算、方差與標準差的計算2212122121()()()1()1niiniiniiniiXXNXXNXXSnXXSnn問題1： 某班甲乙兩組在一次測驗中的成績分別為65，68，71，72，74（均分為70分）和 30，50，86，90，94（均分為70分）。如何評價兩組的學(xué)習(xí)情況？又如：某某研究者對實驗班用計算機輔助教又如：某某研究者對實驗班用計算機輔助教學(xué)，而對照班仍用傳統(tǒng)的講授方式進行教學(xué)，期學(xué)，而對照班仍用傳統(tǒng)的講授方式進行教學(xué)，期末進行統(tǒng)一測試，兩班學(xué)生的

35、成績?nèi)缦?，試比較末進行統(tǒng)一測試，兩班學(xué)生的成績?nèi)缦?，試比較兩種授課方式產(chǎn)生的效果有何不同？兩種授課方式產(chǎn)生的效果有何不同？ 實實驗驗班班 對對照照班班 8 83 3 8 86 6 8 87 7 7 78 8 7 72 2 7 75 5 7 76 6 9 92 2 8 87 7 7 78 8 9 90 0 8 88 8 7 76 6 8 89 9 8 84 4 8 87 7 8 82 2 9 95 5 7 79 9 7 77 7 8 86 6 8 84 4 8 83 3 8 81 1 9 91 1 9 90 0 8 89 9 8 87 7 8 86 6 8 85 5 8 88 8 8 87 7

36、8 85 5 7 79 9 7 78 8 9 91 1 8 89 9 8 84 4 9 92 2 7 79 9 8 85 5 8 82 2 7 76 6 7 74 4 8 80 0 8 81 1 7 75 5 8 84 4 8 87 7 8 83 3 7 78 8 8 83 3 7 79 9 6 68 8 7 74 4 8 83 3 7 77 7 6 69 9 7 76 6 8 87 7 8 84 4 7 78 8 8 87 7 9 90 0 8 83 3 8 85 5 8 88 8 7 76 6 7 78 8 7 73 3 8 87 7 8 80 0 8 84 4 7 76 6 7 75 5

37、 7 79 9 8 84 4 8 89 9 8 87 7 7 75 5 7 71 1 7 72 2 7 76 6 8 85 5 8 88 8 8 85 5 8 83 3 8 82 2 7 78 8 6 66 6 6 65 5 總平均數(shù)=81.81平均分標準差D方差和平方和實驗班(45)83.76 5.471.9529.92 3853324107對照班(46)79.82 6.361.9940.45 3592288544表1:30名學(xué)生英語成績頻數(shù)分布表分數(shù)組中值XC fFb70-7223065-6752860-5292355-5781450-526630求平均數(shù)、標準差和方差 2、方差與標準差的

38、意義方差與標準差的意義n方差與標準差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好指標，其值越大，說明離散程度大，其值小，說明數(shù)據(jù)比較集中，它是統(tǒng)計描述與統(tǒng)計分析中最常應(yīng)用的差異量數(shù)。n它基本具備一個良好的差異量數(shù)應(yīng)具備的條件：（1）反應(yīng)靈敏；（2）有一定的計算公式嚴密確定；（3）容易計算；（4）適合代數(shù)運算；（5）受抽樣變動的影響小，即不同樣本的標準差或方差比較穩(wěn)定；（6）簡單明了；（7）具有可加性。四、差異系數(shù)n當所觀測的樣本水平比較接近，而且是對同一個特質(zhì)使用同一種測量工具進行測量時，要比較不同樣本之間離散程度的大小，一般可直接比較標準差或方慶功的大小。標準差的單位與原數(shù)據(jù)的單位相同，有時稱它為絕對差異量

39、。n差異系數(shù)，又稱變異系數(shù)、相對標準差等，通常用符號CV表示，其計算公式如下：n（1）同一團體不同觀測值的離散程度的比較；（2）對于水平相差較大，但進行的是同一觀測的各種團體，進行觀測值離散程度的比較。%100XCVn例題：某校期末考試語文平均成績?yōu)?9.3分，標準差為11.2分；英語平均成績?yōu)?4.8，標準差為13.8分。問哪一學(xué)科離散程度大？%2 .16%1003 .692 .11)(語文CV%6 .14%1008 .948 .13)(英語CVn例題：設(shè)某考區(qū)已錄取高中學(xué)生語文平均分為69分，標準差為12.5分，而未錄取高中的學(xué)生語文平均分為40分，標準差為12.5分。比較他們語文成績的離

40、散程度。 CV1=12.5/69 *100%=18.12%； CV2=12.5/40 *100%=31.25%。 未錄取學(xué)生的離散程度大。n某市區(qū)入學(xué)男童（7歲組）體重的平均值為20.37kg，標準差為2.16kg；身高的平均值為113.64cm，標準差為4.04cm。問身高與體重那個差異大？由公式%100XCV課堂練習(xí):練習(xí)練習(xí)n1、分別用定義公式及原始數(shù)據(jù)計算、分別用定義公式及原始數(shù)據(jù)計算3，5，8，9，10的方差和標準的方差和標準差。差。n2、計算下列資料的方差和標準差。、計算下列資料的方差和標準差。分數(shù)分數(shù)50-55-60-65-70-75-80-85-90-95-總和總和頻數(shù)頻數(shù)24

41、6112437191294128n3、2002年測得我國年測得我國17歲學(xué)生歲學(xué)生400M跑成績，男學(xué)生平均數(shù)為跑成績，男學(xué)生平均數(shù)為92.5秒，秒，標準差為標準差為6.72秒，女學(xué)生平均數(shù)為秒，女學(xué)生平均數(shù)為117.0秒，標準差為秒，標準差為10.6秒，試比秒，試比較較17男女學(xué)生男女學(xué)生400M跑成績的離散程度。跑成績的離散程度。第二節(jié) 教育統(tǒng)計的特征量n相關(guān)量：用于描述兩個或多個變量間關(guān)聯(lián)程度的量。相關(guān)關(guān)系相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)：用來描述兩個變量相互之間變化方向及密切程度的數(shù)字特征量稱為相關(guān)系數(shù)。積差相關(guān)等級相關(guān)點二列相關(guān) 相關(guān)數(shù)學(xué)與物理、物理與英語相關(guān)性比較數(shù)學(xué)物理英語物理170757675

42、260636063382756575444605660552557055690978597780894889r0.91 0.26 相關(guān)系數(shù)與相關(guān)程度表一覽表相關(guān)系數(shù)與相關(guān)程度表一覽表| r | 00.30.3|r| 0.50.50.81.0 相關(guān)程度零相關(guān)微相關(guān)切實相關(guān)密切相關(guān)高度相關(guān)完全相關(guān)相關(guān)關(guān)系正相關(guān)相關(guān)關(guān)系零相關(guān)負相關(guān)積差相關(guān)系數(shù)n積差相關(guān)兩組（N30）的正態(tài)、且呈線性關(guān)系的連續(xù)變量之間的相關(guān)。積差相關(guān)系數(shù)的定義公式：積差相關(guān)系數(shù)的定義公式：YXNYYXXXYr)(積差相關(guān)系數(shù)的定義n用原始數(shù)據(jù)計算：用特征量計算：例：P46 backNYYNXXNYXXYr/)(/)(/)(2222Y

43、XNYXNXYr等級相關(guān)系數(shù)n等級相關(guān)系數(shù)以等級次序排列或以等級次序表示的變量之間的相關(guān)Spearman 二列等級相關(guān)：N不一定必須大于30)1(6122NNDrR數(shù)學(xué)d1物理d2D1704753.50.5260563503822753.5-1.5444760615526557-16901971078038921902.0)17(75.561)1(615.52222NNDrDR由計算器算得例：10個學(xué)生數(shù)學(xué)和物理成績的等級相關(guān)分析序號序號數(shù)學(xué)分數(shù)數(shù)學(xué)分數(shù)X X物理分數(shù)物理分數(shù)Y YX X等級等級Y Y等級等級D DD D2 21949311002909222.5-0.50.25386923.5

44、2.511486703.57-3.512.255728254116707665.50.50.257686579-248667685.52.56.25964689811106160101000N=10N=102684.099102661)1(6122NNDrR點二列相關(guān)n在來自總體的兩個變量中，一個變量是連續(xù)變量，另一個變量是兩分變量（男、女；對、錯；及格、不及格），點二列相關(guān)研究這樣兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系。pqXXrtqppb相關(guān)系數(shù)p、q兩類變量的平均值連續(xù)變量的標準差另一類別頻數(shù)的比例一類別頻數(shù)的比例性別男 男 男 男 女 男 男 女 女 女 男 女 女 男 男成績86 91 90 66

45、58 99 74 88 72 89 62 65 78 67 858098566909186PX756788858qX例：某班期末語文考試，從全體考生中隨機抽取15名學(xué)生的考試成績，見下表。問該次考試成績是否與性別有關(guān)? P48201. 04 . 06 . 019.127580pqXXrtqppq6 . 0159p4 . 0156q19.12t例題:下表為某一測驗中10名考生的卷面總分和一道選擇題的得分,試求該選擇題的區(qū)分度.(與部分的相關(guān))考生ABCDEFGHIJ選擇題得分1111001001卷面總分75 57 73 65 67 56 63 61 65 6766.667,62.25,5.804

46、66.667 62.250.6 0.45.8040.373pqtpqpqtXXXXrpq由計算器算得:p=0.6,q=0.4, 相關(guān)n兩個變量都是二分變量，或者可以人為地分為二分變量時，使用 相關(guān)分析其相關(guān)程度。另一類數(shù)據(jù)合計及格不及格一類數(shù)據(jù)是aba+b否cdc+d合計a+cb+d)()()(dbcadcbabcadr例：從體育達標測驗的學(xué)生中隨機抽取60人，其中男、女達標情況見下表，問本次達標測驗是否與性別有關(guān)？另一類數(shù)據(jù)合計達標未達標一類數(shù)據(jù)男201232女111728合計312960)()()(dbcadcbabcadr232. 02829313211121720254.005.0)5

47、8(r例題:從研究生入學(xué)考試中，隨機抽取100人，其大學(xué)應(yīng)屆與歷屆畢業(yè)生錄取情況如下表，問應(yīng)屆與歷屆大學(xué)畢業(yè)生同研究生錄取與否的相關(guān)情況如何？0.23應(yīng)屆錄取未錄取歷屆錄取301848未錄取2032525050100練習(xí)練習(xí)n1、求以下幾何（、求以下幾何（X）與代數(shù)（）與代數(shù)（Y）的積差相關(guān)系數(shù)。）的積差相關(guān)系數(shù)。X 79 75 77 73 79 78 81 76 72 70Y 80 82 76 77 77 84 81 72 70 75 n2、校方尋某一個年級、校方尋某一個年級8位物理教師課堂教學(xué)效果位物理教師課堂教學(xué)效果所排列的名次所排列的名次(由低到高排），和這由低到高排），和這8個班級學(xué)

48、生個班級學(xué)生物理統(tǒng)一測驗的平均分數(shù)如下表，問教師課堂教物理統(tǒng)一測驗的平均分數(shù)如下表，問教師課堂教學(xué)效果與學(xué)生測驗成績是否存在相關(guān)？學(xué)效果與學(xué)生測驗成績是否存在相關(guān)？課堂教師效果得分課堂教師效果得分 4 2 8 7 3 6 1 5各班平均分數(shù)各班平均分數(shù) 72 54 80 72 63 69 51 69n3、高等教育自學(xué)考試已婚與未婚學(xué)員的高等數(shù)學(xué)成績?nèi)缦?、高等教育自學(xué)考試已婚與未婚學(xué)員的高等數(shù)學(xué)成績?nèi)缦卤恚瑔柣榉衽c成績是否存在相關(guān)？表，問婚否與成績是否存在相關(guān)？成績成績72 81 64 93 67 70 78 83 79 71 77 82 80 76 58 66 72 67 74 78 已婚已婚

49、1未婚未婚01 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 04、從研究生入學(xué)考試的學(xué)生中，隨機抽取60人，其大學(xué)應(yīng)屆與歷屆畢業(yè)生錄取情況如下表，問應(yīng)屆與歷屆大學(xué)畢業(yè)生同研究生錄取與否的相關(guān)情況如何？應(yīng)屆合計 錄取未錄取歷屆錄取 a20 b1232未錄取C11 d1728合計302960n1、553. 02 . 4317. 3104 .7776105890110, 2 . 4, 4 .77317. 3,76,58901:YXNYXNXYYxxyrNYx得由計算器算第三節(jié) 利用計算機求特征量n利用計算機求集中量n利用計算機求差異量n利用計算機求相關(guān)量利用計算機求集中量

50、（一）n計算算術(shù)平均值（AVERAGE）步驟：1.建立Excel工作表、點擊fx、選擇常用函數(shù)或點擊統(tǒng)計、選擇AVERAGE（算術(shù)平均值）、點擊確定。2.點擊數(shù)據(jù)組表格框、拖動表格、點擊表格框、點擊確定。例：利用計算機求集中量（二）n計算中值（MEDIAN）步驟：1.建立Excel工作表、點擊fx、選擇常用函數(shù)或點擊統(tǒng)計、選擇MEDIAN （中值）、點擊確定。2.點擊數(shù)據(jù)組表格框、拖動表格、點擊表格框、點擊確定。例： Back MODE（眾數(shù)）的求法與MEDIAN的求法相似利用計算機求標準差n步驟：1.建立Excel工作表、點擊fx、選擇常用函數(shù)或點擊統(tǒng)計、選擇STDEV （標準偏差）、點擊確

51、定。2.點擊數(shù)據(jù)組表格框、拖動表格、點擊表格框、點擊確定。例： back利用Excel求積差相關(guān)系數(shù)1.建立Excel工作表、點擊fx、選擇常用函數(shù)或點擊統(tǒng)計、選擇CORREL（積差相關(guān)系數(shù)）、點擊確定。2.點擊數(shù)據(jù)組表格框（1）、拖動所選數(shù)據(jù)表格、點擊表格框（1），點擊數(shù)據(jù)組表格框（2）、拖動所選數(shù)據(jù)表格、點擊表格框（2）、點擊確定。例：利用問卷收集數(shù)據(jù)正態(tài)負偏態(tài)正偏態(tài)第三講 推斷統(tǒng)計n第一節(jié) 正態(tài)分布n第二節(jié) 總體平均數(shù)的估計n第三節(jié) 幾種常用統(tǒng)計檢驗方法n第四節(jié) 方差分析概概 率率n頻率：隨機事件頻率：隨機事件A在在n次試驗中出現(xiàn)次試驗中出現(xiàn)m次，次，m與與n的比值就是的比值就是隨機事件

52、隨機事件A發(fā)生的頻率。發(fā)生的頻率。n公式：公式：P（A）= m / nn概率：隨著試驗次數(shù)概率：隨著試驗次數(shù)n的無限增大，隨機事件的無限增大，隨機事件A的頻率穩(wěn)定于的頻率穩(wěn)定于一個常數(shù)一個常數(shù)P，這個，這個P就是隨機事件就是隨機事件A出現(xiàn)的概率?？杀硎緸椋撼霈F(xiàn)的概率?？杀硎緸椋簄 P（A） m / nn概率的性質(zhì)：概率的性質(zhì)：（1）0 P（A） 1（2）不可能事件的概率等于零。即）不可能事件的概率等于零。即P（v）= 0（3）必然事件的概率等于）必然事件的概率等于1。即。即P（u）= 1第一節(jié) 正態(tài)分布和正態(tài)曲線n最為常見一種概率分布形態(tài)，在理論和實踐中均有廣泛的應(yīng)用。n（一）密度函數(shù)n簡記n

53、特征：單峰、對稱2222xenY2,N決定峰高和寬窄。決定分布的中心位置， 標準正態(tài)分布 (standard normal distribution)的兩個參數(shù)為：=0,=1 記為 N(0,1) XeAXzNNuXz,21);1 , 0(),(222其中標準正態(tài)分布被轉(zhuǎn)化為變換：一般正態(tài)分布標準正態(tài)變量經(jīng)一般正態(tài)分布為一個分布族:N(m,s2) ；標準正態(tài)分布只有一個 N(0,1) ；這樣簡化了應(yīng)用 dXeXFXX)2()(2221)(221( )2zZ ue u-0.00.10.20.30.40.5-4-3-2-101234zf(X)正態(tài)曲線（ normal curve ）圖形特點：1. 鐘

54、型2. 中間高3. 兩頭低4. 左右對稱5. 最高處對應(yīng)于X軸的值就是均數(shù)6. 曲線下面積為17. 標準差決定曲線的形狀正態(tài)分布的特征n1、正態(tài)分布的形式是對稱的，（但對稱的不一定是正態(tài)分布）,它的對稱軸是過平均數(shù)點的垂線。正態(tài)分布中,平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)三者相等,此點y值最大(0.3989）。n2、正態(tài)分布的中央點（即平均數(shù)點）最高，然后逐漸向兩側(cè)下降,曲線的形式是先向內(nèi)彎,然后向外彎,拐點位于正負1個標準差處,曲線兩端向靠近基線處無限延伸,但終不能與基線相交。012-1-2xy-33=0=1n3、正態(tài)曲線下的面積為1,由于它在平均數(shù)處左右對稱,故過平均數(shù)點的垂線將正態(tài)曲線下的面積劃分為相等的

55、兩部分,即各為0.50。0.00.10.20.30.40.5-4-3-2-101234Xf(X)0.5二、正態(tài)分布表的編制與使用n依據(jù)正態(tài)分布的密度函數(shù),編制方法:從Z=O開始,逐漸變化Z分數(shù),計算從Z=0至某一定值之間的概率。012-1-2zy-33=0P=1zYn正態(tài)表一般包括以下三欄:n第一欄表明Z分數(shù)單位, 在平均數(shù)這一點上Z=0，在平均數(shù)以上（即曲線右側(cè)）Z分數(shù)為正值,在平均數(shù)以下(即曲線左側(cè))Z分數(shù)為負值。一般正態(tài)表上z分數(shù)列到3.99,更詳細的列到5.00。n第二欄為y(即密度函數(shù)或比率數(shù)）值,即某一Z分數(shù)點上的曲線縱坐標的高度,標準正態(tài)曲線下y=0.3989,它是Z=0。這一點

56、上曲線縱坐標具有的最大值或說概率密度值。n第三欄為概率值(常標以P）即不同z分數(shù)點與平均數(shù)之間的面積與總面積之比。（一）依據(jù)Z分數(shù)求概率。即已知差度（Z）,求面積（P）n1.某Z分數(shù)值與平均數(shù)（Z=0）之間的概率。nP(0z1)=0.34134=p(-1z0)nP(0z2)=0.47725=p(-2z0)nP(0z3)=0.49865=p(-3z3)=0.5-0.49865=0.00135nP(z1)=0.5+0.34134=0.84134012-1-2zy-33=0P?z3.求兩個Z分數(shù)之間的概率。n1 1夾中間面積為夾中間面積為68.26%68.26%，n 即即 P P（1 1Z Z1 1

57、）= 68.26%= 68.26%；n2 2夾中間面積為夾中間面積為95.46%95.46%，n 即即 P P（2 2Z Z2 2）= 95.46%= 95.46%；n3 3夾中間面積為夾中間面積為99.73%99.73%，n 即即 P P（3 3Z Z3 3）= 99.73%= 99.73%；012-1-2zy-33=0P=1z2?z1n（二）從概率(P)求Z分數(shù),即從面積求差度值。這種計算的查表方法有以下幾種情況:n 1、從平均數(shù)開始的概率值已知,求Z值。n p(0z1)=0.34134nP(0z2)=0.47725nP(0z1.645)=0.05, Z.05=1.645nP(z 2.33

58、)=0.01, Z.01=2.33nP(z-1.645)=0.05, nP(z-2.33)= 0.01,012-1-2zy-33=0PZ?3、若已知正態(tài)曲線下中央部分的概率,求Z分數(shù)是多少n中間面積為中間面積為90%90%，nZ Z.1/2.1/2= =1.645n 即即 P P（ 1.645 1.645 Z Z 1.645 1.645 ）= 90%= 90%；n中間面積為中間面積為95%95%， nZ Z.05/2.05/2= =1.96n 即即 P P（ 1.96 1.96 Z Z 1.96 1.96 ）= 95%= 95%；n中間面積為中間面積為99%99%，n Z Z.01/2.01/

59、2= =2.58n 即即 P P（ 2.58 2.58 Z Z 2.58 2.58 ）= 99%= 99%。012-1-2zy-33=0PZ?n（三）求概率的密度Y，即正態(tài)曲線的高。n 不論已知概率,還是已知Z值,都可從表的第一或第三欄查對應(yīng)的第二欄。所知的概率是位于正態(tài)曲線的中間部分,還是兩尾端部分。這一點要注意區(qū)分,才能通過P值查表求得正確的概率密度Y。012-1-2zy-33=0PY?記住以下數(shù)據(jù)：n1夾中間面積為夾中間面積為68.26%，n 即即 P（1Z1）= 68.26%；n2夾中間面積為夾中間面積為95.46%，n 即即 P（2Z2）= 95.46%；n3夾中間面積為夾中間面積為

60、99.73%，n 即即 P（3Z3）= 99.73%；n1.645夾中間面積為夾中間面積為90%，n 即即 P（ 1.645 Z 1.645 ）= 90%；n1.96夾中間面積為夾中間面積為95%，n 即即 P（ 1.96 Z 1.96 ）= 95%；n2.58夾中間面積為夾中間面積為99%，n 即即 P（ 2.58 Z 2.58 ）= 99%。三、正態(tài)分布在測驗記分方面的應(yīng)三、正態(tài)分布在測驗記分方面的應(yīng)用用n1、將原始分數(shù)轉(zhuǎn)換成標準分數(shù)。n2、確定錄取分數(shù)線n3、確定等級評定人數(shù)n4、確定在正態(tài)分布下特定分數(shù)界限內(nèi)的考生人數(shù)1 1、將原始分數(shù)轉(zhuǎn)換成標準分數(shù)。、將原始分數(shù)轉(zhuǎn)換成標準分數(shù)。XXZ