數(shù)字圖像處理 第3章

1、第三章 圖像變換3.1 概述3.2 傅立葉變換和性質(zhì)3.3 其他可分離變換3.4 霍特林變換3.1 概述 為了有效和快速地對圖像進行處理和分析常常需要將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到另外一些空間，并利用在這些空間的特有性質(zhì)方便地進行一定的加工，最后再轉(zhuǎn)換回圖像空間以得到所需要的效果。3.1 概述n圖像變換可分離變換統(tǒng)計變換霍特林變換傅里葉變換快速傅里葉變換離散余弦變換沃爾什變換哈達瑪變換 3.1 概述一、 圖像變換的引入 n1. 方法：對圖像信息進行變換，使能量保持但重新分配。 n2. 目的：有利于加工、處理（濾除不必要信息(如噪聲)，加強/提取感興趣的部分或特征）。 3.1 概述二、

2、 用途 1提取圖像特征（如） ： （1）直流分量 ； （2）目標物邊緣：F（u,v）高頻分量。2圖像壓縮：正交變換能量集中，對集中（?。┎糠诌M行編碼。 3圖像增強：低通濾波，平滑噪聲；高通濾 波，銳化邊緣。3.1 概述n 圖像變換是圖像處理和分析技術(shù)的基礎(chǔ)。在圖像處理和分析技術(shù)的發(fā)展中，傅里葉變換曾經(jīng)起過并仍起著重要的作用。圖像傅立葉變換的物理意義n 圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。 如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值較高。n 傅立葉變換在實際

3、中有非常明顯的物理意義，從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù) n傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續(xù)空間（現(xiàn)實空間）上的采樣得到一系列點的集合，通常用一個二維矩陣表示空間上各點，記為 z=f(x,y) 。又因空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關(guān)系就必須由梯度來表示，這樣我們才能通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應(yīng)關(guān)系。 n為什么要提梯度？因為實際上對圖像進行二維傅立葉變換得

4、到頻譜圖，就是圖 像梯度的分布圖。當然，頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一對應(yīng)的關(guān)系，這一點與是否采取移頻處理沒有關(guān)系。n 對頻譜移頻到原點以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心，對稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地出圖像頻率分布以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號，比如正弦干擾。一幅頻譜圖如果帶有正弦干擾，移頻到原點上就可以看出，除了中心以外還存在以另一點為中心、對稱分布的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產(chǎn)生的。這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。3.1 二維離散傅里葉變換（DFT）l尺寸為MN的離散圖像函數(shù)的DFT l反變換可以通過對F(u,v

5、) 求IDFT獲得 1010)/(2),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuF（3.3） 1010)/(2),(),(MuNvNvyMuxjevuFyxf（3.4） lDFT變換進行圖像處理時有如下特點：l（1）直流成分為F(0,0)。l（2）幅度譜|F(u,v)|對稱于原點。l（3）圖像f (x, y)平移后，幅度譜不發(fā)生變化，僅有相位發(fā)生了變化。 ),(),(),(vujIvuRvuF),(),(arctan),(vuRvuIvu（3.5） （3.6） 頻率域 幅值與頻率 空間域 灰度傅立葉變換舉例 傅立葉頻譜圖上明暗不一的亮點傅立葉頻譜圖上明暗不一的亮點的意義的意義n圖像上某

6、一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大?。梢赃@么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。傅立葉頻譜圖上明暗不一的亮點傅立葉頻譜圖上明暗不一的亮點的意義的意義n一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們就可以直觀地看出圖像的能量分布：如果頻譜圖中暗的點數(shù)更多，那么實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較?。?；反之，如果頻譜圖中亮的點數(shù)多，那么實際圖像一定是尖銳的、邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。傅立葉變換在圖像處理的重要作用n1.圖像增強與圖像去噪 絕大部分噪音都是圖像的高頻分量，通過低通

7、濾波器來濾除高頻噪聲; 邊緣也是圖像的高頻分量，可以通過添加高頻分量來增強原始圖像的邊緣；n2.圖像分割之邊緣檢測。提取圖像高頻分量n3.圖像特征提?。?形狀特征：傅里葉描述子 紋理特征：直接通過傅里葉系數(shù)來計算紋理特征 其他特征：將提取的特征值進行傅里葉變換來使特征具有平移、 伸縮、旋轉(zhuǎn)不變性n4.圖像壓縮 可以直接通過傅里葉系數(shù)來壓縮數(shù)據(jù)；常用的離散余弦變換是傅立葉變換的實變換； 二維離散傅立葉變換的性質(zhì)1. 線性性質(zhì)：),(),(),(),(22112211vuFavuFayxfayxfa2. 比例性質(zhì)：byaxFabbyaxf,1),(3. 可分離性：),(),(),(),(),(),

8、(1111vuFFFvuFFFyxfyxfFFyxfFFvuFuvvuxyyx可分離性n二維離散傅立葉變換 DFT 可分離性的基本思想是：二維 DFT 可分離為兩次一維 DFTn 應(yīng)用：二維快速傅立葉算法 FFT ，是通過計算兩次一維FFT 實現(xiàn)的可分離性n傅立變換的可分離性質(zhì)n先進行列變換，然后進行行變換。 10221021010102),(),(),(),(MxMuxjMuxjMxNvyjNyMxNyNvyMuxjevxFeeyxfeyxfvuF可分離性可分離性112/2/0011( , )( , )( , )NNjx Njy NxyyxF u vef x y eNNFFf x y),()

9、,(),(),(1110/210/21010/)(2vuFFFevuFeevuFyxfvuNvNvyjNuNuxjNuNvNvyuxj n二維的傅立葉變換可以通過兩次一維傅立葉變換得到。因此對圖像進行傅立葉變換可以先對行（水平方向）進行一維的傅立葉變換，得出的結(jié)果再對列（垂直方向）進行一維的傅立葉變換。這樣就是使得圖像的傅立葉變換實際上把頻率分成水平分量和垂直分量，即u分量和v分量。圖像是一幅只包括單條水平線的簡單圖像，顯然它只在垂直方向上有灰度跳變（垂直方向是梯度的方向），所以從它的頻譜圖中只能看到垂直分量。這樣就能很好的解釋變換前后所出現(xiàn)的垂直現(xiàn)象。 4. 空間位移：NvyuxjevuFy

10、yxxf/ )(20000),(),(5. 頻率位移：),(),(00/ )(200vvuuFeyxfNyvxuj 二維離散傅立葉變換的性質(zhì) 當圖像在頻率域時移動時需要用到頻率位移性質(zhì)。頻率位移性質(zhì)),(),(00/ )(200vvuuFeyxfNyvxuj圖像中心化把圖像進行傅立葉變換后，往往要把中心移到u0=v0=N/2的位置上)2,2() 1)(,() 1()(/ )(200NvNuFyxfeeyxyxyxjNyvxuj頻率位移n即將f（x,y）的圖像頻譜（圖像能量集中在低頻的 4 個角，見下圖(a)）從原點（0，0）移到中心（N/2,N/2），得到一個完整的頻譜，稱為頻譜中心化(見下圖

11、(b)n將f(x,y)與一個指數(shù)項相乘就相當于把其變換后的頻域中心移動到新的位置。nF(u,v)與一個指數(shù)項相乘就相當于把其反變換后的空域中心移動到新的位置。圖像經(jīng)過二維傅立葉變換后，其變換系數(shù)矩陣表明：n1、若變換矩陣Fn原點設(shè)在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點設(shè)在左上角，那么圖像信號能量將集中在系數(shù)矩陣的四個角上。這是由二維傅立葉變換本身性質(zhì)決定的。同時也表明一股圖像能量集中低頻區(qū)域。 n2 、變換之后的圖像在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）n （a）原始圖像 (b) 中心

12、化前的頻譜圖 (c) 中心化后的頻譜圖圖3.5 圖像頻譜的中心化 n變換之后的圖像在原點平移之前四角是低頻，最亮;平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大。平均值平均值定義：10102),(1),(NxNyyxfNyxf由傅立葉變換定義：10102),(1)0 , 0(NxNyyxfNF因此，f(x,y)的平均值與傅立葉變換系數(shù)的關(guān)系為：),()0 , 0(yxfF6. 平均值：10102),(),(1)0 , 0(NxNyyxfyxfNF 如果是一幅圖像，在原點的傅里葉變換F(0,0)等于圖像的平均灰度級，也稱作頻率譜的直流成分。 7.離散卷積定理l設(shè)f(x,y)和g(x,y)

13、是大小分別為AB和CD的兩個數(shù)組，則它們的離散卷積定義為l卷積定理 1010),(),(),(*),(MmNnnymxgnmfyxgyxf（3.12） ),(),(),(*),(vuGvuFyxgyxfDFT（3.13） 卷積定理：f(x,y)*g(x,y) F(u,v)G(u,v)f(x,y)g(x,y) F(u,v)*G(u,v)【例【例3.2】用MATLAB實現(xiàn)圖像的傅里葉變換。 解：解：MATLAB程序如下： A=imread(pout.tif); %讀入圖像 imshow(A); %顯示圖像 A2=fft2(A); %計算二維傅里葉變換 A2=fftshift(A2); %將直流分量

14、移到頻譜圖的中心figure, imshow(log(abs(A2)+1),0 10); %顯示變換后的頻譜圖 （a）原始圖像 （b）圖像頻譜圖3.7 傅里葉變換3.2 3.2 二維離散余弦變換（二維離散余弦變換（DCTDCT）l 任何實對稱函數(shù)的傅里葉變換中只含余弦項，余弦變換是傅里葉變換的特例，余弦變換是簡化DFT的重要方法。1010)21(cos)21(cos),(2)()(),(MxNyyvNxuMyxfMNvCuCvuFDCT逆變換為： 1010)21(cos)21(cos),()()(2),(NvMuyvNxuMvuFvCuCMNyxf（3.15） （3.15） 二維離散余弦變換二

15、維離散余弦變換n離散余弦變換，經(jīng)常被信號處理和圖像處理使用，用于對信號和圖像(包括靜止圖像和運動圖像)進行有損數(shù)據(jù)壓縮。這是由于離散余弦變換具有很強的能量集中特性:大多數(shù)的自然信號(包括聲音和圖像)的能量都集中在離散余弦變換后的低頻部分。n例如，在靜止圖像編碼標準JPEG中，在運動圖像編碼標準MJPEG和MPEG的各個標準中都使用了離散余弦變換。在這些標準制中都使用了二維的離散余弦變換，并將結(jié)果進行量化之后進行熵編碼。這時對應(yīng)離散余弦變換中的n是8，并用公式對每個8x8塊的每行進行變換，然后每列進行變換。得到的是一個8x8的變換系數(shù)矩陣。其中(0,0)位置的元素就是直流分量，矩陣中的其他元素根

16、據(jù)其位置表示不同頻率的交流分量。 【例【例3.3】應(yīng)用MATLAB實現(xiàn)圖像的DCT變換。 解：解：MATLAB程序如下： A=imread(pout.tif); %讀入圖像 I=dct2(A); %對圖像作DCT變換 subplot(1,2,1),imshow(A); %顯示原圖像 subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I),0 5); （a）原圖 （b）DCT系數(shù)圖3.10 離散余弦變換3.3 其他可分離變換n1923年，美國數(shù)學(xué)系J.L Walsh提出walsh函數(shù)。1函數(shù)展開有三種：Walsh序的Walsh函數(shù)，佩利序的Walsh函數(shù)，哈達瑪序的Walsh函數(shù)。 n

17、沃爾什變換主要用于圖像變換，屬于正交變換。這種變換壓縮效率低，所以實際使用并不多。但它快速，因為計算只需加減和偶爾的右移操作。沃爾什變換的定義如下：給定一個NXN像素塊Pxy（N必須是2的冪），二維WHT定義為：1、沃爾什變換3.3 其他可分離變換10)( )(1) 1( 1),(niubxbiniNuxg沃爾什（Walsh）變換是一種可分離變換。當 時，變換核為：3.3 其他可分離變換n離散沃爾什變換W(u)為：1010)( )(1) 1( )(1)(NxniubxbinixfNuW 是z的二進制表達中的第k位。例如n = 3，則對z = 6（1102），有b0(z) = 0，b1(z) =

18、 1，b2(z) = 1。 zbk3.3 其他可分離變換 由沃爾什變換核組成的矩陣是一個對稱矩陣并且其行和列正交（即各行向量與各列向量的內(nèi)積為0，互相獨立），即：10)( )(1) 1(),(niubxbiniuxh所以離散沃爾什反變換為：1010)( )(1) 1( )()(NuniubxbiniuWxf 3.3 其他可分離變換10)( )()( )(11) 1(1),(nivbybubxbiniiniNvuyxg10)( )()( )(11) 1(1),(nivbybubxbiniiniNvuyxh 2-D的沃爾什正變換核和反變換核由以下2式給出： 這2個核完全相同，所以下面2式給出的2-

19、D沃爾什正變換和反變換也具有相同形式：3.3 其他可分離變換 沃爾什變換可用類似于FFT的算法快速地計算，快速沃爾什變換簡寫為FWT。 101010)( )()( )(11) 1( ),( 1),(NxNynivbybubxbiniiniyxfNvuW 101010)( )()( )(11) 1( ),( 1),(NuNvnivbybubxbiniinivuWNyxf3.3 其他可分離變換 正向變換核和反向變換核均只依賴于x, y, u, v而與f (x, y)或F(u, v)的值無關(guān)。這些核可看作1一組基本函數(shù)，一旦圖像尺寸確定這些函數(shù)也完全確定。書中圖3.4.1給出N = 4時沃爾什基本函

20、數(shù)的圖示，其中白色表示1，而陰影表示 1。每個大方塊對應(yīng)固定的u和v，內(nèi)部小方塊對應(yīng)的x和y從0變到3。 3.3 其他可分離變換2、哈達瑪變換哈達瑪（Hadamard）變換也是一種可分離變換。2-D的哈達瑪正變換核和反變換核由以下2式給出：10 )( )()( )( ) 1(1),(niiiiivbybubxbNvuyxg 其中指數(shù)上的求和是以2為模的。 10)()()()(11),(nivibyibuibxibNvuyxh3.3 其他可分離變換 1010 )( )()( )( 10) 1)(,( 1),(NxNyvbybubxbniiiiiyxfNvuH 1010 )( )()( )( 10

21、) 1)(,( 1),(NuNvvbybubxbniiiiivuHNyxf二維哈達瑪變換的變換公式如下：3.3.1 3.3.1 哈達瑪變換哈達瑪變換l哈達瑪矩陣：元素僅由1和1組成的正交方陣。l正交方陣：指它的任意兩行（或兩列）都彼此正交，或者說它們對應(yīng)元素之和為零。l哈達瑪變換要求圖像的大小為N2n 。l一維哈達瑪變換核為 其中， 代表z的二進制表示的第k位值。10)()() 1(1),(niiiubxbNuxg（3.21） )(zbkl二維哈達瑪?shù)恼醋儞Q都可通過兩個一維變換實現(xiàn)。l高階哈達瑪矩陣可以通過如下方法求得：lN8的哈達瑪矩陣為 222211NNNNNHHHHNHN（3.26）

22、5261437011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111112218H（3.27） hcameraman變換cameraman=imread(tu.tif);H=hadamard(256); % hadamard矩陣hcameraman=H*cameraman*H; %hadamard變換hcameraman=hcameraman/256；imshow(hcameraman);3.4 霍特林變換n霍特林變換的定義：霍特林變換的定義： n霍特林變換霍特林變換也常稱為主成分變換(PCA)或KL變換，有時也稱為特征值

23、變換。是一種基于圖像統(tǒng)計特性的變換，它的協(xié)方差矩陣除對角線以外的元素都是零，消除了數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，從而在信息壓縮方面起著重要作用。n霍特林變換的目的霍特林變換的目的是尋找任意統(tǒng)計分布的數(shù)據(jù)集合的主要分量的子集。相應(yīng)的奇向量組滿足正交性且由它定義的子空間最優(yōu)的考慮了數(shù)據(jù)的相關(guān)性。將原始數(shù)據(jù)集合變換到主分量空間使單一數(shù)據(jù)樣本的互相關(guān)性降低到最低點。v1）思想目的是尋找任意統(tǒng)計分布的數(shù)據(jù)集合主要分量的子集。基向量滿足相互正交性，且由它定義的空間最優(yōu)的考慮了數(shù)據(jù)的相關(guān)性。將原始數(shù)據(jù)集合變換到主分量空間使單一數(shù)據(jù)樣本的互相關(guān)性(cross-correlation)降低到最低點。3.4 霍特林變換 霍特

24、林變換在連續(xù)域?qū)?yīng)的變換是KL變換，霍特林（Hotelling）變換也常稱為特征值變換、主分量變換或離散KL變換，它基于圖像的統(tǒng)計特性。 設(shè)從同一個隨機母體得到了M個矢量采樣，則其均值矢量和協(xié)方差矩陣可分別由以下2式利用采樣來近似： MkkM11xmxMkkkM1TT 1xxxmmxxC2）公式3.4 霍特林變換 例：協(xié)方差矩陣計算T 11131xm21112111291xC協(xié)方差矩陣為設(shè)有1組隨機矢量x = x1 x2 x3T，其中x1 = 0 0 1T，x2 = 0 1 0T，x3 = 1 0 0T，均值矢量為： 3.4 霍特林變換 令A(yù) A為由CxCx的特征矢量組成其各行的矩陣，并且A A的第1行為對應(yīng)最大特征值的特征矢量，A A的最后1行為對應(yīng)最小特征值的特征矢量。如果設(shè)A A是將x x轉(zhuǎn)換為y y的變換矩陣，則： xmxAy上式就稱為霍特林變換。3.4 霍特林