同濟高數(shù)空間解析

1、$8空間直線及其方程2xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程L一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程 (General equation of space line)$8空間直線及其方程3xyzo方向向量的定義：方向向量的定義： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱一條已知直線，這個向量稱為這條直線的為這條直線的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(z

2、yxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程(The symmetric equation and parametric equation of space lines)$8空間直線及其方程4pzznyymxx000 直線的對稱式方程直線的對稱式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)方向向量的余弦稱為方向向量的余弦稱為直線的直線的方向余弦方向余弦.直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程$8空間直線及其方程5注：當(dāng)注：當(dāng)m=0,n、p不為零時，直線的對稱式方程不為零

3、時，直線的對稱式方程 應(yīng)理解為應(yīng)理解為 pzznyyxx0000當(dāng)當(dāng)m=n=0,p不為零時，直線的對稱式方程不為零時，直線的對稱式方程 應(yīng)理解為應(yīng)理解為 0000yyxx$8空間直線及其方程6例例 Example 1Example 1 (P426) 用對稱式方程及參數(shù)方用對稱式方程及參數(shù)方 程表示直線程表示直線.043201 zyxzyx解解 solution 在直線上任取一點在直線上任取一點),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy點坐標(biāo)點坐標(biāo)),2, 0 , 1( $8空間直線及其方程7因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都

4、垂直取取21nns ,3, 1, 4 對稱式方程對稱式方程,321041 zyx參數(shù)方程參數(shù)方程.3241 tztytx11121 3ijk $8空間直線及其方程8例例 E Ex xa am mp pl le e 2 2( (補補充充) ) 一一直直線線過過)4 , 3, 2( A，且且和和y軸軸垂垂直直相相交交，求求其其方方程程. 解解 solution因因為為直直線線和和y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點為所以交點為),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直線方程所求直線方程.440322 zyx$8空間直線及其方程9例例 Example 3(Example 3(補充）補

5、充） 求過點求過點P(1,-2,4)P(1,-2,4)且與且與y y軸平軸平 行的直線方程行的直線方程 解解 solution 取方向向量取方向向量 0 , 1 , 0 js所求直線方程為：所求直線方程為：041201 zyx 0401zx即即$8空間直線及其方程10例例 Example 4 (P429)Example 4 (P429)求過點求過點(-3,2,5)(-3,2,5)且與兩平面且與兩平面x-4z=3x-4z=3和和 2x-y-5z=12x-y-5z=1的交線平行的直線方程的交線平行的直線方程. . 解解1 設(shè)所求直線方向向量設(shè)所求直線方向向量 pnms, 垂直垂直與兩已知平面的法向

6、量與兩已知平面的法向量則則s 05204pnmpm解得解得 m=4p, n=3ppzpypx53243 所求直線方程為：所求直線方程為：153243 zyx即即$8空間直線及其方程11解解2 兩已知平面法向量為兩已知平面法向量為: 5, 1, 2,4, 0 , 121 nn例例 Example 4 (P429)Example 4 (P429)求過點求過點(-3,2,5)(-3,2,5)且與兩平面且與兩平面x-4z=3x-4z=3和和 2x-y-5z=12x-y-5z=1的交線平行的直線方程的交線平行的直線方程. . 21,nLnL 所求直線所求直線2121543104Lijksnnijk 取

7、的方向向量取 的方向向量153243 zyx所求直線為：所求直線為：$8空間直線及其方程12例例 Example 5 (P432Example 5 (P432習(xí)題習(xí)題7-87-8，8)8) 的平面方程。的平面方程。且通過直線且通過直線求過點求過點12354:)2, 1 , 3(zyxLA 解解 M(4,-3,0)為已知直線為已知直線L上一點，上一點， 1 , 2 , 5 s記記 2 , 4, 1, AMnsn且且所所求求平平面面的的法法向向量量521892214 2ijknsAMijk 取取所求平面為：所求平面為：8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0即即 8x-9y-22z-59=0

8、$8空間直線及其方程13定義定義直線直線:1L,111111pzznyymxx 直線直線:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的方向向量的夾角稱之兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）（銳角）兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角(Angle between two lines)$8空間直線及其方程14兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直線直線:1L直線直線:2L,0, 4, 11 s,

9、1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即$8空間直線及其方程15例例 E Ex xa am mp pl le e 6 6 (P429) 求求過過點點)3 , 1 , 2(M且且與與直直線線12131 zyx垂垂直直相相交交的的直直線線方方程程. 解解先作一過點先作一過點M且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直線與該平面的交點再求已知直線與該平面的交點N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx$8空間直線及其方程1673 t交點交點)73,713,72( N取所求直線的方向向量為取所求直線的方向

10、向量為MNMN373, 1713, 272 12 624,2, 1,4777 所求直線方程為所求直線方程為.431122 zyx代入平面方程代入平面方程 0) 3() 1( 2) 2( 3 zyx3121.xtytzt 得得 3(3t-3)+2(2t)-(-t-3)=0$8空間直線及其方程17定義定義直線和它在平面上的投影直線的夾直線和它在平面上的投影直線的夾角角 稱為直線與平面的夾角稱為直線與平面的夾角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角 (Angle between a line

11、 and a plane) 0.2 $8空間直線及其方程18-直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式直線與平面的直線與平面的位置關(guān)系：位置關(guān)系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm sin)2cos(),cos( ns sin)2cos(),cos( ns或或 222222|),cos(sinpnmCBACpBnAmns $8空間直線及其方程19解解 solution,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角$8空間直線及其方程20平面束平面束:設(shè)直

12、線設(shè)直線L由方程組由方程組 1111222200Ax By Cz DAx B y C z D (11)(12)111222,.:A B CA B C所確定 其中與不成比例建立方程所確定 其中與不成比例建立方程11112222()0Ax B y C zD A x B y C zD （13）其其中中 為為任任常常數(shù)數(shù)。11122212121212,)()()()0, ,A B CA B CAA xBByCCzDDx y z與不成比例與不成比例（中的系數(shù)不全為零。中的系數(shù)不全為零。13 （ ）表表示示一一個個平平面面$8空間直線及其方程21若點若點M在在L上，則點上，則點M的坐標(biāo)必滿足（的坐標(biāo)必滿足

13、（11）（）（12）所以也滿足（所以也滿足（13），故（），故（13）是過）是過L的平面。的平面。反之，過反之，過L的任何平面（除（的任何平面（除（12）外）外）,都包含在都包含在（13）所表示的一族平面內(nèi)。）所表示的一族平面內(nèi)。通過定直線的所有平面的全體稱為通過定直線的所有平面的全體稱為平面束。平面束。（13）是過）是過L的平面束方程（缺（的平面束方程（缺（12）對不同的對不同的 值，（值，（13）表示過）表示過L的不同平面。的不同平面。11112222()0Ax B y C zD A x B y C zD （13）$8空間直線及其方程22例例 Example 8 (P430) 10100

14、xyzxyzxyz求直線求直線在平面上的投影直線的方程。在平面上的投影直線的方程。解解1 過已知直線的平面束方程為：過已知直線的平面束方程為：1)(1)0(1)(1)( 1)( 1)0 xyz xyz x y z （即即（14）（其其中中 為為待待定定常常數(shù)數(shù)）這平面（這平面（14）與已知平面垂直的條件是：）與已知平面垂直的條件是：111111010114) （）（）（）（）（）（）即，代入(得投影平面方程：即，代入(得投影平面方程：$8空間直線及其方程232y-2z-2=0 即即y-z-1=0 100yzxyz投影直線方程為：投影直線方程為：l111 ，n1n解解2 已知直線的方向向量為：已

15、知直線的方向向量為：11122111ijkljk 過直線且與平面過直線且與平面x+y+z=0垂直的平面的法向量可取為垂直的平面的法向量可取為102222111ijknlnjk $8空間直線及其方程24在在L上任取一點上任取一點A(0,1,0)所以過所以過L且垂直于已知平面且垂直于已知平面x+y+z=0的平面方程為：的平面方程為：-2(y-1)+2z=0 即即 y-z-1=0 0100 xyzyzxyz已知直線在已知平面內(nèi)的已知直線在已知平面內(nèi)的投影直線方程為：投影直線方程為： 10:10 xyzLxyz $8空間直線及其方程25空間直線的一般方程空間直線的一般方程.空間直線的對稱式方程與參數(shù)方

16、程空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程.兩直線的夾角兩直線的夾角.直線與平面的夾角直線與平面的夾角.（注意兩直線的位置關(guān)系）（注意兩直線的位置關(guān)系）（注意直線與平面的位置關(guān)系）（注意直線與平面的位置關(guān)系）五、小結(jié)五、小結(jié) (Brief summary)$8空間直線及其方程26思考題思考題 (Consideration) 在在直直線線方方程程pznymx 6224中中，m、n、p各各怎怎樣樣取取值值時時，直直線線與與坐坐標(biāo)標(biāo)面面xoy、yoz都都平平行行.$8空間直線及其方程27思考題解答思考題解答 (Solution to the consideration ),6,2pnms 且有且有. 0 s,

17、 0 ks, 0 is 0206mp, 0, 6 mp, 0 s, 0 n故當(dāng)故當(dāng) 時結(jié)論成立時結(jié)論成立, 0 m6 p, 0 n$8空間直線及其方程28一一、 填填空空題題：1 1、 通通過過點點)3,1,4( 且且平平行行于于直直線線5123 zyx的的直直線線方方程程為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 直直線線 012309335zyxzyx與與直直線線 0188302322zyxzyx的的夾夾角角的的余余弦弦為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 直直線線 003zyxzyx和和平平面面01 zyx在在平平面面012 zyx上上的

18、的夾夾角角為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；4 4、點點)0,2,1( 在在平平面面012 zyx上上的的投投影影為為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；練練 習(xí)習(xí) 題題 (Exercises)$8空間直線及其方程295 5、 直直線線723zyx 和和平平面面8723 zyx的的關(guān)關(guān)系系是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 直直線線431232 zyx和和平平面面3 zyx的的關(guān)關(guān)系系是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二、 用用 對對 稱稱 式式 方方 程程 及及 參參 數(shù)數(shù) 方方 程程 表表 示示 直直 線線L： 421zyxzyx . .三三、 求求過過點點)2,1,3( 且且通通過過直直線線12354zyx 的的平平面面方方程程 . .$8空間直線及其方程30四、四、 求直線求直線 0923042zyxzyx在平面在平面14 zyx上上的投影直線的方程的投影直線的方程 . .五、五、 求與已知直線求與已知直線1L：13523zyx 及及2L： 147510zyx 都相交且和都相交且和3L： 137182 zyx平行的直線平行的直