[數(shù)學(xué)] 曲線曲面的生成new

1、1實(shí)驗(yàn)四1繪制正軸測(cè)投影圖2繪制一點(diǎn)透視投影圖2第5章 曲線曲面生成算法 主要內(nèi)容:Bezier曲線B樣條曲線雙線性單線性曲面Coons曲面Bezier曲面B樣條曲面3 曲線和曲面:指形狀比較復(fù)雜、不能用初等解析函數(shù)直接表示出來(lái)的曲線和曲面。 一般情況下，它們需要利用插值或逼近的方法，得到擬合曲線和曲面。41962年，法國(guó)雷諾汽車(chē)公司工程師以“逼近為根底UNISURF系統(tǒng)1972年雷諾汽車(chē)公司正式使用4.1 曲線圖形4.1.1 Bezier曲線5 Bezier曲線由一組多邊折線(特征多邊形)的各頂點(diǎn)控制。特征多邊形頂點(diǎn)稱為控制點(diǎn)第一點(diǎn)和最后一點(diǎn)在曲線上第一條和最后一條折線分別表示曲線在起點(diǎn)和終

2、點(diǎn)處切線方向。曲線的形狀趨向于多邊折線的形狀6定義: 給定空間n+1個(gè)點(diǎn)的位置矢量Pii=0，1，2，n，那么Bezier曲線上各點(diǎn)坐標(biāo)的插值公式是：通過(guò)基函數(shù)可看出各點(diǎn)對(duì)曲線的影響程度。7當(dāng)n=1時(shí) P(t)=P0B0,1(t)+P1B1,1(t) = P0(1-t)+P1t 一次Bezier曲線是連接P0與P1的直線段當(dāng)n=3時(shí)，P(t)=P0B0,3(t)+P1B1,3(t)+P2B2,3(t)+P3B3,3(t) = P0(1-t)3+P13t(1-t)2+P23t2(1-t)+P3t3 當(dāng)n=2時(shí)，P(t)=P0B0,2(t)+P1B1,2(t)+P2B2,2(t) =P0(1-t)

3、2-P12(1-t)t+P2t2 二次Bezier曲線是一條過(guò)P0、P2的拋物線n次Bezier曲線由n+1個(gè)點(diǎn)控制8基函數(shù)對(duì)Bezier曲線的狀態(tài)起決定性作用三次Bzier曲線的四個(gè)基函數(shù)9P(t)= P0(1-t)3+P13t(1-t)2+P23t2(1-t)+P3t3t=0.4B1,3B2,3B0,3B3,310 三次Bezier曲線的程序設(shè)計(jì)P(t)= P0(1-t)3+P13t(1-t)2+P23t2(1-t)+P3t31給出點(diǎn)坐標(biāo) int x=; int y=;2繪制特征多邊形 pDC-MoveTo(x0,y0); for(int i=1;iLineTo(xi,yi);3求曲線上的

4、點(diǎn)x,y，兩點(diǎn)間連線。11Bezier曲線的程序設(shè)計(jì)P(t)= P0(1-t)3+P13t(1-t)2+P23t2(1-t)+P3t3pDC-MoveTo(x0 , y0); for(t=0;tLineTo(xe,ye); 12n次Bezier曲線程序設(shè)計(jì)float b(int i,int n,float t) int k,t1=1,t2=1; float bh; for(k=i+1;k=n;k+) t1=t1*k; for(k=1;k=n-i;k+) t2=t2*k; bh=(float)t1/t2; for(k=1;k=i;k+) bh=bh*t; for(k=1;kMoveTo(x0,y

5、0); for(t=0;t=1.001;t=t+0.01) xe=0; ye=0; for(i=0;iLineTo(xe,ye); 14Bezier曲線的端點(diǎn)性質(zhì)：a.曲線端點(diǎn)位置矢量 當(dāng)t=0時(shí)，P(0)=P0 當(dāng)t=1時(shí)，P(1)=PnBezier曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)與特征多邊形的起點(diǎn)、終點(diǎn)重合。b.切矢量 當(dāng)t=0時(shí)，P (0)=n (P1- P0) 當(dāng)t=1時(shí)，P (1)=n (Pn- Pn-1)Bezier曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線方向和特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致。15Bezier曲線的幾何作圖遞推算法:依次對(duì)原始控制多邊形的每一條邊執(zhí)行相同的定比分割，如取中點(diǎn)，再對(duì)由中點(diǎn)

6、構(gòu)成的多邊形執(zhí)行定比分割，重復(fù)操作，最后一個(gè)點(diǎn)為曲線上的點(diǎn)。改變分割比例，獲取其它的中間點(diǎn)。1617Bezier曲線的拼接 可將復(fù)雜曲線分割成多段低次曲線。 復(fù)雜的Bezier曲線頂點(diǎn)數(shù)多，曲線次數(shù)高，而高次多項(xiàng)式計(jì)算更困難。P(t)=PiBi,n(t)18問(wèn)題：連接處不連續(xù)。分解成二次Bezier曲線，3個(gè)點(diǎn)一段分解成三次Bezier曲線，4個(gè)點(diǎn)一段19P3P2C(Q1Q0) 即: P2P3(Q0)Q1三點(diǎn)共線要到達(dá)連續(xù)的充要條件：P3=Q020通常使用分段三次Bezier曲線拼接成復(fù)雜曲線。21前一段的最后一個(gè)控制點(diǎn)與后一段的第一個(gè)控制點(diǎn)重合 即：P3 、R1與R2三點(diǎn)共線: 221Bez

7、ier曲線不能做局部的修改，調(diào)整一個(gè)控制點(diǎn)會(huì)影響整條曲線。Bezier曲線的缺點(diǎn)2Bezier曲線拼接較復(fù)雜，劃分的點(diǎn)不同，曲線就不同。234.1.2 B樣條曲線B樣條曲線的優(yōu)勢(shì)：1.生成的曲線與控制多邊形的外形更接近；2.具有局部控制的特征；3.整體上有一定階數(shù)的連續(xù)性。24其中:ti=i(i=0，1,，n+k).構(gòu)成了K階B樣條函數(shù)的節(jié)點(diǎn)矢量。 B樣條曲線方程：25(1)均勻周期B樣條曲線均勻：節(jié)點(diǎn)向量ti =ii=0，1，2，n+k， ti- ti+1=常數(shù)注意: 節(jié)點(diǎn)是非減序列26N0,2(t)=t 0=t=12-t 1=t=2N0,1(t)=1 0=t=10 其他N0,3(t)=t2

8、/2 0=t=1-t2+3t-3/2 1=t=2(3-t)2/2 2=t=3N0,3,0 1 2 3 t270 1 2 3 4 5 6 tN2,3N1,3N0,3,N3,3周期：所有基函數(shù)形狀一樣，都可由其中一個(gè)基函數(shù)平移得到：Ni,k(t)= Ni-1,k(t-1)= Ni+1,k(t+1)二次基函數(shù)曲線 P(t)=P0N0,3(t)+P1N1,3(t)+P2N2,3(t) 2=t=3P(t)=P1N1,3(t)+P2N2,3(t)+P3N3,3(t) 3=t=4P(t)=P2N2,3(t)+P3N3,3(t)+P4N4,3(t) 4=t=5可將各區(qū)間歸一化到0,1中，基函數(shù)全部由N0,3表

9、示。 P(t)=PiNi,3(t)+Pi+1Ni+1,3(t)+Pi+2Ni+2,3(t)28P(t)=PiNi,3(t)+Pi+1Ni+1,3(t)+Pi+2Ni+2,3(t)P(t)=PiN0,3(t+2)+Pi+1N0,3(t+1)+Pi+2N0,3(t)N0,3(t+2)= (1-t)2/2N0,3(t+1)= -t2+t+1/2N0,3(t)= t2/229由P0、P1、P2控制的二次B樣條曲線為： P(t)=P0(1-t)2/2+P1(-t2+t+1/2)+ P2t2/2由P1、P2、P3控制的二次B樣條曲線為： P(t)=P1(1-t)2/2+P2(-t2+t+1/2)+ P3t

10、2/2由P2、P3、P4控制的二次B樣條曲線為： P(t)=P2(1-t)2/2+P3(-t2+t+1/2)+ P4t2/2二次B樣條曲線Pi(t)=(1-t)2/2Pi+(-t2+t+1/2)Pi+1+t2/2Pi+2 0=t=1，i=0，1，2，n-230i=0 0 =t=1 01234i=1 0=t=1 12i=2 0 =t=1 23 第1段： P(t)=P0(1-t)2/2+P1(-t2+t+1/2)+ P2t2/2 t=0時(shí)，P(0)=0.5*P0+0.5*P1 (P0P1的中點(diǎn)) t=1時(shí)，P(1)=0.5*P1+0.5*P2 (P1P2的中點(diǎn))31二次B樣條曲線特點(diǎn)： 二次B樣條

11、曲線經(jīng)過(guò)控制多邊形各邊的中點(diǎn)，各段曲線在各邊的中點(diǎn)處一階連續(xù)，其所共有的切線就是控制多邊形的邊。32 編程： 1給出多個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo) 2畫(huà)出特征多邊形 3求第一條邊的中點(diǎn)，即二次B樣條曲線的起點(diǎn) 4for(i=0;in-2;i+) / 控制曲線段數(shù) for(t=0.01;tMoveTo(x1,y1); for(i=0;in-2;i+)for(t=0.01;tLineTo(x1,y1); P(t)=Pi(1-t)2/2+Pi+1(-t2+t+1/2)+ Pi+2t2/234均勻周期B樣條曲線的性質(zhì)可擴(kuò)充性可局部修改12345678910111234567891011三次均勻周期B樣條曲線需要計(jì)算N0

12、,4(t)一個(gè)4段函數(shù)，每段三次B樣條曲線由4個(gè)控制點(diǎn)控制。Pi(t)=PiN0,4(t+3)+Pi+1N0,4(t+2)+Pi+2N0,4(t+1)+Pi+3N0,4(t) 0=tMoveTo(x1,y1); for(i=0;in-3;i+) for(t=0.01;tLineTo(x1,y1); 37三次B樣條曲線例子： 設(shè)在平面上給定的7個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)分別為: (100,300),(120,200),(220,200),(270,100),(370,100),(420,200),(420,300)。畫(huà)出其曲線。3839(1)三個(gè)連續(xù)的控制點(diǎn)共線 如果三個(gè)連續(xù)的控制點(diǎn)共線連成一段直線，那么曲線

13、將過(guò)直線上的一點(diǎn)，在此點(diǎn)處，曲線直線化。可用這樣的點(diǎn)構(gòu)成曲線的拐點(diǎn)。4.三次B樣條的幾種特殊情況40(2)四個(gè)連續(xù)的控制點(diǎn)共線 四個(gè)連續(xù)的控制點(diǎn)共線時(shí)，曲線變?yōu)橹本€，直線的長(zhǎng)度小于四點(diǎn)構(gòu)成的直線，如以下圖所示：(3)三個(gè)連續(xù)的控制點(diǎn)重合 當(dāng)三個(gè)連續(xù)的控制點(diǎn)重合時(shí)，形成尖點(diǎn)。41總結(jié): 控制三次B樣條曲線幾何形態(tài)的方法1)假設(shè)為在曲線內(nèi)嵌入段直線，應(yīng)用四個(gè)頂點(diǎn)共線的技巧。2)為使曲線和特征多邊形相切，應(yīng)用三頂點(diǎn)共線的技術(shù)。3)為使曲線在某一頂點(diǎn)處形成尖角，可使三個(gè)頂點(diǎn)重合。4)用三重頂點(diǎn)或二重頂點(diǎn)控制曲線的端點(diǎn)。用三重頂點(diǎn)時(shí)，曲線通過(guò)端點(diǎn)，但開(kāi)始段B樣條曲線是一小段直線；用二重頂點(diǎn)時(shí)，曲線不通過(guò)

14、端點(diǎn)，而在多邊形首邊上靠近二重頂點(diǎn)的某一點(diǎn)開(kāi)始。42例如：使用重點(diǎn)繪制通過(guò)起點(diǎn)和終點(diǎn)的三次B樣條曲線設(shè)在平面上給定的11個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)分別為(100,300),(100,300),(100,300),(120,200),(220,200),(270,100),(370,100),(420,200),(420,300),(420,300),(420,300)。畫(huà)出其曲線。4344使用重點(diǎn)繪制封閉的三次B樣條曲線例子：設(shè)在平面上給定的15個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)分別為:(100,300),(100,300),(100,300),(120,200),(220,200),(270,100),(370,100),(4

15、20,200),(420,300),(220,280),(100,300),(100,300),(100,300)。 畫(huà)出其曲線。4546(2)準(zhǔn)均勻非周期的B樣條曲線兩端的節(jié)點(diǎn)值重復(fù)k次外，其余節(jié)點(diǎn)間距是均勻的。基函數(shù)不是周期出現(xiàn)。當(dāng)k=2, n=3，ti =0，0，1，2，3，3當(dāng)k=4, n=4, ti =0，0，0，0，1，2，2，2，2， +-+-=niknnikkikiti21047tk-1=t=tn+1k=2: 節(jié)點(diǎn)向量 t(0, 0, 1, 2, 3, 4, 5,5) 0 =t=5n=5 t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10t11tn+kk=3:

16、節(jié)點(diǎn)向量 t(0, 0, 0, 1, 2, 3, 4,4,4) 0 =t=4k=4: 節(jié)點(diǎn)向量 t(0, 0, 0, 0, 1, 2, 3,3,3,3) 0 =t=3k=5: 節(jié)點(diǎn)向量 t(0, 0, 0, 0, 0, 1, 2,2,2,2,2) 0 =t=2k=6: 節(jié)點(diǎn)向量 t(0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,1,1,1,1,1) 0 =t=1486.2 曲面自由曲線可由一系列的曲線段連接而成,與此類(lèi)似，一自由曲面也可由一系列的曲面片拼合而成。曲面片是曲面的根底。規(guī)那么曲面：球面、柱面、錐面、環(huán)面等。不規(guī)那么曲面：Bezier曲面、B樣條曲面等。49曲面片例如：50 三維曲面常用雙

17、參數(shù)表示： x=x(u,v) y=y(u,v) z=z(u,v) u1=u=u2 v1=v=v2假設(shè)u值固定，v變化，那么得到一條稱為u線的曲線；u值以一定增量循環(huán)改變，生成一組曲線。假設(shè)v值固定，u變化，那么得到一條稱為v線的曲線；v值以一定增量循環(huán)改變，生成一組曲線。51 for(u=u1;u=u2;u=u+du) 調(diào)用曲面參數(shù)函數(shù)計(jì)算u線的起點(diǎn) 移至u線第一個(gè)點(diǎn) for(v=v1;v=v2;v=v+dv) 調(diào)用曲面參數(shù)函數(shù)計(jì)算u線的其他點(diǎn) 畫(huà)線 繪制一組u線：52 for(v=v1;v=v2;v=v+dv) 調(diào)用曲面參數(shù)函數(shù)計(jì)算v線的起點(diǎn) 移至v線第一個(gè)點(diǎn) for(u=u1;u=u2;u

18、=u+du) 調(diào)用曲面參數(shù)函數(shù)計(jì)算v線的其他點(diǎn) 畫(huà)線 繪制一組v線：53 x=x0+rcosucosv y=y0+rcosusinv z=z0+rsinu -900=u=900 00=vMoveTo(x1,y1+200); for(v=0;vLineTo(x2,y2+200);圓球面：當(dāng)u=0時(shí)55 float u,v,x1,y1,z1,z2,x2,y2; float x0=200,y0=150,z0=150,r=100; for(u=-1.57;uMoveTo(x1,y1); for(v=0;vLineTo(x2,y2);圓球面：當(dāng)u在-900，900變化時(shí)56 float u,v,x1,y

19、1,z1,z2,x2,y2; float x0=200,y0=150,z0=150,r=100; for(v=0;vMoveTo(x1,y1); for(u=-1.57;uLineTo(x2,y2);圓球面：當(dāng)v在00，3600變化時(shí)57對(duì)球面上的點(diǎn)進(jìn)行正軸測(cè)投影：將兩組代碼組合，生成球面for(u=-1.57;uMoveTo(x1,y1); for(v=0;vLineTo(x2,y2); .58 x=x0+acosucosv y=y0+bcosusinv z=z0+csinu -900=u=900 00=v=36002) 橢球面 球心坐標(biāo)(x0,y0,z0), x方向的軸為a，y方向的軸為b

20、，z方向的軸為c，橢球面參數(shù)方程為：59 x=(x0+rcosu)cosv y=y0+rsinu z=(x0+rcosu)sinv 00 =u=3600 00=v=36003) 圓環(huán)面 圓心(x0,y0), 半徑為r的圓，繞y軸旋轉(zhuǎn)生成圓環(huán)曲面，其參數(shù)方程為：60 for(u=0;uMoveTo(x1,y1); for(v=0;vLineTo(x2,y2);.圓環(huán)面：61 x=x0+(x1-x0)u+(x2-x0)v y=y0+(y1-y0)u+(y2-y0)v z=z0+(z1-z0)u+(z2-z0)v 0=u=1 0=v=11) 平面 三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)方程：6.3 雙線性曲面雙線性曲面的u

21、線和v線都是直線。 循環(huán)改變u的值，當(dāng)u值確定后，取v的起始值0和中止值1，計(jì)算直線的起點(diǎn)和終點(diǎn)，畫(huà)線；再循環(huán)改變v的值，操作相同。62 for(u=0;uMoveTo(xx1,yy1); pDC-LineTo(xx2,yy2); 三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，繪制平面：再循環(huán)v值，產(chǎn)生一組線，組合成一個(gè)平面。63增加三維效果: for(u=0;uMoveTo(xx1,yy1); pDC-LineTo(xx2,yy2); 64x= x00(1-u)(1-v)+x01(1-u)v+x10(1-v)u+x11uvy= y00(1-u)(1-v)+y01(1-u)v+y10(1-v)u+y11uvz= z00(1-u

22、)(1-v)+y01(1-u)v+y10(1-v)u+y11uv 0=u=1 0=v=12) 雙線性曲面給定任意4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值，參數(shù)方程為：(30,30)、180,200、150,80、280,5065 for(u=0;uMoveTo(x1,y1); pDC-LineTo(x2,y2); for(v=0;vMoveTo(x1,y1); pDC-LineTo(x2,y2); 66 x=(1-v)*gx(u)+v*hx(u) y=(1-v)*gy(u)+v*hy(u) z=(1-v)*gz(u)+v*hz(u) u1=u=u2 0=v=1 如關(guān)于v線性，u非線性的曲面方程：6.4 單線性曲面 單線

23、性曲面的參數(shù)方程關(guān)于u或v線性，而關(guān)于另一個(gè)參數(shù)是非線性的。 gx(u)和hx(u)是空間中任意兩條曲線。671) 柱面由一條直線沿一條曲線軌跡平行移動(dòng)所產(chǎn)生。 g(u)可以是正弦曲線，如： gx(u)=400u gy(u)=30sin(4u) gz(u)=10 0=u=1 x=gx(u)+x1+(x2-x1)*v y=gy(u)+y1+(y2-y1)*v z=gz(u)+z1+(z2-z1)*v 0=u=1 0=v=1 gx(u)=400u gy(u)=30sin(4u) 0=u=1 x1=300;y1=50;x2=250;y2=150;for(u=0;uMoveTo(xx1,yy1); p

24、DC-LineTo(xx2,yy2); gx(u)=400u gy(u)=30sin(4u) 0=u=1 x1=300;y1=50;x2=250;y2=150;for(u=0;uMoveTo(xx1,yy1); pDC-LineTo(xx2,yy2); gx(u)=400u gy(u)=30sin(4u) 0=u=1 for(v=0;vMoveTo(xx1,yy1); for(u=0.01;uLineTo(xx2,yy2); for(v=0;vMoveTo(xx1,yy1); for(u=0.01;uLineTo(xx2,yy2); 兩組代碼組合：722) 圓柱面 圓柱面是柱面的一個(gè)特例，由一

25、條直線沿圓平行移動(dòng)所產(chǎn)生。 x1=x1*cos(v); y1=y1+(y2-y1)*u; z1=x1*sin(v); 0=u=1 0=v=3600 x1=100;y1=50;x2=150;y2=150;for(v=0;vMoveTo(xx1,yy1); pDC-LineTo(xx2,yy2); for(v=0;vMoveTo(xx1+300,yy1); pDC-LineTo(xx2+300,yy2); for(v=0;vMoveTo(xx1,yy1); for(v=0.01;vLineTo(xx2,yy2); for(u=0;uMoveTo(xx1+300,yy1); for(v=0.01;v

26、LineTo(xx2+300,yy2); 772) 直紋面直線以一個(gè)自由運(yùn)動(dòng)軌跡形成的曲面稱為直紋面。x=(1-v)gx(i)(1-u)2/2+gx(i+1)(-2u2+2u+1)/2 +gx(i+2)(u2/2) +vhx(i)(1-u)2/2+hx(i+1)(-2u2+2u+1)/2+hx(i+2)(u2/2) y=(1-v)gx(i)(1-u)2/2+gx(i+1)(-2u2+2u+1)/2 +gx(i+2)(u2/2) +vhx(i)(1-u)2/2+hx(i+1)(-2u2+2u+1)/2+hx(i+2)(u2/2) 0=u=1 0=vMoveTo(x0,y0); for(t=0;t=1.001;t=t+0.