工程隨機(jī)數(shù)學(xué)：第1章 隨機(jī)事件及其概率

1、1工程隨機(jī)數(shù)學(xué)2教材：工程隨機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 武漢大學(xué)出版社 參考書：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）浙江大學(xué) 盛驟等 編 高等教育出版社課程介紹總成績：平時(shí)成績30%（課堂,作業(yè)） 期末考試70%（卷面100分,筆試、閉卷）3課程安排1 隨機(jī)事件與概率2 條件概率與獨(dú)立性3 離散型隨機(jī)變量4 連續(xù)型隨機(jī)變量5 二維隨機(jī)變量及條件分布6 二維隨機(jī)變量及函數(shù)分布7 數(shù)學(xué)期望和方差8 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)9 大數(shù)定律及中心極限定理10 樣本及抽樣分布11 參數(shù)點(diǎn)估計(jì)12 參數(shù)區(qū)間估計(jì)13 假設(shè)檢驗(yàn)14 隨機(jī)過程及統(tǒng)計(jì)描述15 平穩(wěn)隨機(jī)過程16 功率譜密度4工程隨機(jī)數(shù)學(xué)是什么？隨機(jī)現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性概率論研

2、究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的科學(xué) 5生活和科研中的工程隨機(jī)數(shù)學(xué)2.數(shù)據(jù)壓縮，圖像視頻編碼和通信3.計(jì)算機(jī)視覺，模式識別4.數(shù)字信號處理，雷達(dá)，GPS1.數(shù)據(jù)的分析和處理6第1章 隨機(jī)事件及其概率關(guān)鍵詞： 隨機(jī)事件 概率 條件概率 獨(dú)立性7第1章 隨機(jī)事件及其概率1、隨機(jī)事件2、事件的概率3、條件概率4、事件的獨(dú)立性81 隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)1.可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行； 2.試驗(yàn)可能結(jié)果不止一個(gè),但能確定所有的可能結(jié)果;3.一次試驗(yàn)之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)。 隨機(jī)試驗(yàn)可表為E E1: 拋一枚硬幣，考慮正面H和反面T出現(xiàn)的情況;E2: 將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；E3: 將

3、一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);9（一）隨機(jī)事件的相關(guān)概念E4: 擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；E5: 記錄電話交換臺一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)；E6: 在一批燈泡中任取一只，測試其壽命;E7: 記錄某地一晝夜的最高溫度與最低溫度 。10樣本空間1.樣本空間: 實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，記為S=e；2.樣本點(diǎn): 試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果或樣本空間的元素稱為一個(gè)樣本點(diǎn),記為e. 3.由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱為一個(gè)基本事件,也記為e.11E4: 擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；S4:1,2,3,4,5,6E5: 記錄電話交換臺一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)；S5:0,1,2,3,4,E6:

4、 在一批燈泡中任取一只，測試其壽命;S6:t|t0E7: 記錄某地一晝夜的最高溫度與最低溫度 。S7:(x,y)|T0 xyT1樣本空間的例子12隨機(jī)事件 1.定義 試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的情況叫“隨機(jī)事件”,簡稱“事件”.記作A、B、C等任何事件均可表示為樣本空間的某個(gè)子集.稱事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是子集A中的元素2.兩個(gè)特殊事件必然事件S、不可能事件.13 EX1，將下列事件均表示為樣本空間的子集.(1) 試驗(yàn) E2 中(將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況),隨機(jī)事件:A“至少出現(xiàn)一個(gè)正面” B=“三次出現(xiàn)同一面” C=“恰好出現(xiàn)一次正面”(2) 試驗(yàn) E6 中(在一批燈泡中任取一只，

5、測試其壽命),D“燈泡壽命超過1000小時(shí)”14(1)由 S2= HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT；故: AHHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH；(A“至少出現(xiàn)一個(gè)正面” ) B=HHH,TTT(B=“三次出現(xiàn)同一面” ) C=HTT, THT, TTH(C=“恰好出現(xiàn)一次正面”)(2) Dx: 1000 xm),要求第 i 組恰有ni個(gè)球(i=1,m)，共有分法：434 隨機(jī)取數(shù)問題例5 從1到200這200個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè), (1)求取到的數(shù)能被6整除的概率 (2)求取到的數(shù)能被8整除的概率 (3)求取到的數(shù)既能被6

6、整除也能被8整除的概率解:N(S)=200,N(3)=200/24=8N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25(1),(2),(3)的概率分別為: 33/200,1/8,1/2544例6 （女士品茶）一位常飲奶茶的女士稱：她能從一杯沖好的奶茶中辨別出該奶茶是先放牛奶還是先放茶沖制而成。做了10次測試，結(jié)果是她都正確地辨別出來了。問該女士的說法是否可信？ 45解假設(shè)該女士的說法不可信，即純粹是靠運(yùn)氣猜對的。在此假設(shè)下，每次試驗(yàn)的兩個(gè)可能結(jié)果為：奶茶 或 茶奶且它們是等可能的，因此是一個(gè)古典概型問題。10次試驗(yàn)一共有 210 個(gè)等可能的結(jié)果若記則 A 只包含了 210 個(gè)樣本點(diǎn)中一個(gè)

7、樣本點(diǎn)，故46人們在長期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的”(稱之為實(shí)際推斷原理)?，F(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，因此有理由懷疑假設(shè)的正確性。473 條件概率 袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一球(不放回)，問第一個(gè)人取得紅球的概率是多少？第二 個(gè)人取得紅球的概率是多少？48（一）條件概率的概念若已知第一個(gè)人取到的是白球，則第二個(gè)人取到紅球的概率是多少？已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率稱為A條件下B的條件概率，記作P(B|A)若已知第一個(gè)人取到的是紅球，則第二個(gè)人取到紅球的概率又是多少？49例1 設(shè)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅

8、球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次取一個(gè)，取后不放回，（1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的 概率; （2）求第二次取到紅球的概率（3）求兩次均取到紅球的概率50S=AB A第一次取到紅球,B第二次取到紅球51例1 設(shè)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次取一個(gè)，取后不放回，1）第一次取到紅球，第二次也取到紅球的概率; 2）第二次取到紅球的概率3）兩次均取到紅球的概率52顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間S中的兩個(gè)事件，其中A含有nA個(gè)樣本點(diǎn),AB含有nAB個(gè)樣本點(diǎn)，則稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率 一般地，設(shè)A、B是S中的兩個(gè)事件，則 53?“條件概率”是“

9、概率”嗎？概率定義 若對隨機(jī)試驗(yàn)E所對應(yīng)的樣本空間S中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件： P(A)0； (2) P(S)1;(3) 可列可加性：設(shè)A1，A2，, 是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 則稱P(A)為事件A的概率。54例2 一盒中混有100只新 ,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分類如下表。從盒中隨機(jī)取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。紅白新4030舊2010設(shè)A-從盒中隨機(jī)取到一只紅球. B-從盒中隨機(jī)取到一只新球. AB55（二）乘法公式設(shè)A、B

10、為兩個(gè)事件，P(A)0,則 P(AB)P(A)P(B|A). 就稱為事件A、B的概率乘法公式。還可推廣到三個(gè)事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).56例3 盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，每次從盒中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概率。解：設(shè)Ai為第i次取球時(shí)取到白球，則57（三）全概率公式與貝葉斯公式例4.市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/

11、4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為 2、1、3，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率。B58例4.市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為 2、1、3，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率。B59定義 事件組A1，A2，An (n可為)，稱為樣本空間S的一個(gè)劃分，若滿足：A1A2AnB60定理1 設(shè)A1,An是S的一個(gè)劃分，且P(Ai)0，(i1，n)，則對任何事件BS有 稱為全概率公式。證明：由61例5 有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，1個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球這六個(gè)球手感上不可區(qū)別今從甲袋中任取一球放

12、入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？解：設(shè)A1從甲袋放入乙袋的是白球； A2從甲袋放入乙袋的是紅球； B從乙袋中任取一球是紅球；甲乙62思考：上例中，若已知取到一個(gè)紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？解：設(shè)A1從甲袋放入乙袋的是白球； A2從甲袋放入乙袋的是紅球； B從乙袋中任取一球是紅球；63 某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因Bi(i=1,2,n),如果A是由原因Bi所引起，則A發(fā)生的概率是 每一原因Bi都可能導(dǎo)致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式.我們還可以從另一個(gè)角度去理解全概率公式：64Ex3.已知某種疾病的發(fā)病率為0.1%, 該

13、種疾病患者一個(gè)月以內(nèi)的死亡率為90%；且知未患該種疾病的人一個(gè)月以內(nèi)的死亡率為0.1%；現(xiàn)從人群中任意抽取一人，問此人在一個(gè)月內(nèi)死亡的概率是多少？若已知此人在一個(gè)月內(nèi)死亡，則此人是因該種疾病致死的概率為多少？解：設(shè)A此人在一個(gè)月內(nèi)死亡；B某人患該種疾?。贿@是“已知結(jié)果求原因”的問題是求一個(gè)條件概率.65定理2 設(shè)B1，, Bn是S的一個(gè)劃分，且P(Bi) 0，(i1，n)，則對任何事件AS，有 稱為貝葉斯公式。證明：該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出. 它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率.66例6 商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次

14、品的概率分別為0.8, 0.1, 0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱.問這一箱含有一個(gè)次品的概率是多少？解:設(shè)A:從一箱中任取4只檢查,結(jié)果都是好的. B0, B1, B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1由Bayes公式:67解:設(shè)A:從一箱中任取4只檢查,結(jié)果都是好的. B0, B1, B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1由Bayes公式:68例7數(shù)字通訊過程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)

15、1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時(shí)候，接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收為0、1和“不清”。在發(fā)1的時(shí)候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”。現(xiàn)接收端接收到一個(gè)“1”的信號。問發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?0 (0.55)0 1 不清(0.9)(0.05)(0.05)1 (0.45)1 0 不清(0.85)(0.05)(0.1)69解：設(shè)A-發(fā)射端發(fā)射0，B-接收端接收到一個(gè)“1”的信號0 (0.55)0 1 不清(0.9)(0.05)(0.05)1 (0.45)1 0 不清(0.85)(0.05)(0.1)現(xiàn)接收端接收到一個(gè)“1”的信號。

16、問發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?70貝葉斯資料Thomas BayesBorn: 1702 in London, EnglandDied: 17 Apr. 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England 英國數(shù)學(xué)家貝葉斯做過神甫，1742年成為英國皇家學(xué)會會員。貝葉斯在數(shù)學(xué)方面主要研究概率論。他首先將歸納推理法用于概率論基礎(chǔ)理論，并創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，對于統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)、統(tǒng)計(jì)推斷、統(tǒng)計(jì)的估算等做出了貢獻(xiàn)。 貝葉斯對統(tǒng)計(jì)推理的主要貢獻(xiàn)是在1763年使用了“逆概率”這個(gè)概念。將這一結(jié)果用一個(gè)數(shù)學(xué)公式來表達(dá)就是著名的貝葉斯公式。貝葉斯公式以及由此發(fā)展起來的一整套理論與方法，

17、已經(jīng)成為概率統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)冠以“貝葉斯”名字的學(xué)派，在自然科學(xué)及國民經(jīng)濟(jì)的許多領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用.714 事件的獨(dú)立性 定義 設(shè)A、B是兩事件，若 P(AB)P(A)P(B)則稱事件A與B相互獨(dú)立。注 ：當(dāng)P(A) 0,式等價(jià)于： P(B)P(B|A) 事件 A 與 事件 B 相互獨(dú)立,是指事件 A 的發(fā)生與事件 B 發(fā)生的概率無關(guān).72從一付52張的撲克牌中任意抽取一張，以A表示抽出一張A，以B表示抽出一張黑桃，問A與B是否獨(dú)立？EX為什么不是54張？（一）事件的獨(dú)立性73兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥例如由此可見兩事件相互獨(dú)立，但兩事件不互斥.兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)系.請同學(xué)們思考二者之間

18、沒有必然聯(lián)系74由此可見兩事件互斥但不獨(dú)立.75定理、以下四件事等價(jià)(1)事件A、B相互獨(dú)立；(2)事件A、B相互獨(dú)立；(3)事件A、B相互獨(dú)立；(4)事件A、B相互獨(dú)立。76定義2、 若三個(gè)事件A、B、C滿足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C 兩兩相互獨(dú)立；若在此基礎(chǔ)上還滿足：(2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), 則稱事件A、B、C相互獨(dú)立。77三個(gè)事件相互獨(dú)立三個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立例 一個(gè)均勻的正四面體， 其第一面染成紅色，第二面染成白色 ， 第三面染成黑色，而第四面同時(shí)染上紅、白、黑三種顏色.

19、現(xiàn)以 A ， B，C 分別記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下的事件， 問 A，B，C是否相互獨(dú)立?伯恩斯坦反例（課堂思考）78注:兩兩獨(dú)立未必相互獨(dú)立!例:從分別標(biāo)有1,2,3,4四個(gè)數(shù)字的4張卡片中隨機(jī)抽取一張,以事件A表示“取到1或2號卡片”;事件B表示“取到1或3號卡片”;事件C表示“取到1或4號卡片”.則事件A,B,C兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立.注:如果用5張數(shù)字呢？為什么不行？用獨(dú)立定義，條件概率79一般地，設(shè)A1，A2，An是n個(gè)事件，如果對任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)則稱n個(gè)事

20、件A1，A2，An相互獨(dú)立。80思考：1.設(shè)事件A、B、C、D相互獨(dú)立，則2.一顆骰子擲4次至少得一個(gè)六點(diǎn)與兩顆骰子擲24次至少得一個(gè)雙六，這兩件事，哪一個(gè)有更多的機(jī)會遇到？81EX:一個(gè)學(xué)生欲到三家圖書館借一本參考書每家圖書館購進(jìn)這種書的概率是1/2，購進(jìn)這種書的圖書館中該書被借完了的概率也是1/2各家圖書館是否購進(jìn)該書相互獨(dú)立問該學(xué)生能夠借到書的概率是多少？解:設(shè)Ai-第i家圖書館有這本書; B-該學(xué)生能夠借到書.82例如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點(diǎn),假設(shè)每個(gè)觸點(diǎn)閉合的概率為p,且各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立，求L至R是通路的概率。83設(shè)A-L至R為通路,Ai-第i個(gè)繼電器通,i=1,2,5由全概率公式84（二）重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)將試驗(yàn) E 重復(fù)進(jìn)行