五節(jié)函數(shù)極值與最大值最小值PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1五節(jié)函數(shù)極值與最大值最小值五節(jié)函數(shù)極值與最大值最小值一、函數(shù)極值及其求法一、函數(shù)極值及其求法.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一個極小值的一個極小值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點除了點任何點任何點對于這鄰域內(nèi)的對于這鄰域內(nèi)的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點如果存在著點的一個極大值的一個極大值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點除了點任何點任何點對于這鄰域內(nèi)的對于這鄰域內(nèi)的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點如果存在著點內(nèi)的一個點內(nèi)的一個點是是內(nèi)有定義內(nèi)有定義在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxx

2、baxbaxf 定義定義2004-4-10第1頁/共14頁 設(shè)設(shè))(xf在點在點0 x處具有導(dǎo)數(shù)處具有導(dǎo)數(shù), ,且在且在0 x處取得極值處取得極值, ,那末必定那末必定0)(0 xf. . 定理定理1 1( (必要條件必要條件) )定義定義.)()0)(的駐點的駐點做函數(shù)做函數(shù)叫叫的實根的實根即方程即方程使導(dǎo)數(shù)為零的點使導(dǎo)數(shù)為零的點xfxf 注意注意: :.,)(是極值點是極值點但函數(shù)的駐點卻不一定但函數(shù)的駐點卻不一定點點的極值點必定是它的駐的極值點必定是它的駐可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)xf函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值, ,使函數(shù)取得極值的點稱為使函數(shù)取得極值的點稱為極值

3、點極值點. .2004-4-10第2頁/共14頁(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有;0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，則則)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值. . (2)(2)如果如果),(00 xxx 有有;0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則則)(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. . (3)(3)如果當如果當),(00 xxx 及及),(00 xxx時時, , )(xf 符號相同符號相同, ,則則)(xf在在0 x處無極值處無極值. . 定理定理2 2( (第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x (是極

4、值點情形是極值點情形)2004-4-10第3頁/共14頁xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù);0)()2(的根的根求駐點，即方程求駐點，即方程 xf;,)()3(判判斷斷極極值值點點在在駐駐點點左左右右的的正正負負號號檢檢查查xf .)4(求極值求極值( (不是極值點情形不是極值點情形) )2004-4-10第4頁/共14頁例例1 1解解.593)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點得駐點列表討論列表討論x)1,( ), 3()3 , 1( 1 3)(xf )(xf

5、00 極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極極大大值值,10 )3)(1(3 xx2004-4-10第5頁/共14頁 設(shè)設(shè))(xf在在0 x處具有二階導(dǎo)數(shù)處具有二階導(dǎo)數(shù), , 且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, ,那末那末 (1)(1)當當0)(0 xf時時, , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值; ; (2)(2)當當0)(0 xf時時, , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. . 定理定理3 3( (第二充分條件第二充分條件) )證證)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 異號，異號，與與故故xxfx

6、xf )()(00時，時，當當0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 時，時，當當0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以，函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值 同理可證同理可證(2).(2).2004-4-10第6頁/共14頁例例2 2解解.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在時時當當xfx 時，時，當當2 x; 0)( xf時，時，當當2 x. 0)( xf.)(1)2(的的極極大大值值為為xff .)(在在該該點點連連續(xù)續(xù)但但函函數(shù)數(shù)xf注意注意: :函數(shù)的不可導(dǎo)點函數(shù)的不可導(dǎo)點, ,也

7、可能是函數(shù)的極值點也可能是函數(shù)的極值點. .2004-4-10返回返回第7頁/共14頁oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上的最大值與最小值存上的最大值與最小值存在在為零的點，則為零的點，則并且至多有有限個導(dǎo)數(shù)并且至多有有限個導(dǎo)數(shù)處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，上連續(xù)，除個別點外處上連續(xù)，除個別點外處在在若函數(shù)若函數(shù)baxfbaxf二、最大值最小值問題二、最大值最小值問題2004-4-10第8頁/共14頁步驟步驟: :1.1.求駐點和不可導(dǎo)點求駐點和不可導(dǎo)點; ;注意注意: :如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就是最值則這個極值就是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)2 2

8、 設(shè)設(shè)f(x)在在(a,b)內(nèi)的駐點為內(nèi)的駐點為 x1, x2, xn, 則比較則比較f(a), f(x1), , f(xn), f(b)的的大小大小, ,其中最大的便是其中最大的便是f(x)在在a,b上的上的最大值最大值, 最小的便是最小的便是f(x)在在a,b上的最小值上的最小值2004-4-10第9頁/共14頁例例3 3解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值與最小值上的最大值與最小值的在的在求函數(shù)求函數(shù) xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx計算計算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f，最大值最大值142

9、)4( f比較得比較得. 7)1( f最小值最小值2004-4-10第10頁/共14頁例例4 4 把一根直徑為把一根直徑為d的圓木鋸成截面為矩形的梁（圖的圓木鋸成截面為矩形的梁（圖3 31717）. .問矩形截面的高問矩形截面的高h和寬和寬b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大. .解解 由力學(xué)分析知道：矩形梁的抗彎截面模量為問題由力學(xué)分析知道：矩形梁的抗彎截面模量為問題261bhw 由圖由圖3 31717看出，看出，b b與與h h有下面的關(guān)系：有下面的關(guān)系：222bdh 因而因而)(6132bbdw hbd圖圖317第11頁/共14頁0)3(6122 bdw解得解得db31 由于梁的最大抗彎截面模量一定存在，而且在（由于梁的最大抗彎截面模量一定存在，而且在（0 0，d）內(nèi)部取得；現(xiàn)在，內(nèi)部取得；現(xiàn)在， 在（在（0 0，d) )內(nèi)只有一個根內(nèi)只有一個根0 w,31db 當當 時，時，w的值最大，這時，的值最大，這時，,31db 1:2:3:323231222222 bhddhdddbdh第