武工大大學物理習題答案-14分子熱運動

1、氣體分子動理論本章內容Contentschapter 14氣體壓強與溫度的統(tǒng)計意義氣體壓強與溫度的統(tǒng)計意義平衡態(tài)平衡態(tài) 概率概率 統(tǒng)計平均值統(tǒng)計平均值equilibrium state , probabiility, statical mean quantitystatical meanning of gas pressure and temperature玻耳茲曼分布律玻耳茲曼分布律Boltzmann distribution麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律maxwell speed distribution氣體分子的平均自由程氣體分子的平均自由程mean free path of ga

2、s molecular平衡態(tài) 一氣體系統(tǒng)若不受外界影響（無物質和能量交換）或只受恒定的外力場作用的條件下，氣體系統(tǒng)的宏觀特性（如溫度、壓強等）長時間不隨時間改變的狀態(tài)稱為平衡態(tài)。 處于平衡態(tài)中的氣體，其分子仍不停作熱運動，但其總體平均效果不隨時間改變，是一種動態(tài)平衡。平衡態(tài)平衡態(tài) 概率概率 統(tǒng)計平均值統(tǒng)計平均值物態(tài)參量 不受（或忽略）恒定外力場作用時，平衡態(tài)氣體各部分的宏觀性質是均勻的；只受恒定外力場作用時，平衡態(tài)氣體的密度并不均勻。但這兩種情況下氣體的宏觀性質都不隨時間變化。 本章除玻耳茲曼分布一節(jié)考慮恒定重力場作用外，均忽略恒定外力場的作用。 描述平衡態(tài)的參量稱為物態(tài)參量或態(tài)參量。如體積、

3、壓強、溫度等。微觀與宏觀量描述單個分子特征的量（大小、質量和速度等）。描述單個分子特征的量（大小、質量和速度等）。氣體的微觀量單個氣體分子的運動具有偶然性和隨機性。單個氣體分子的運動具有偶然性和隨機性。氣體的宏觀量表征大量分子宏觀特征的量（體積、壓強和溫度等）。表征大量分子宏觀特征的量（體積、壓強和溫度等）。大量分子運動的集體表現(xiàn)具有統(tǒng)計規(guī)律性。大量分子運動的集體表現(xiàn)具有統(tǒng)計規(guī)律性。氣體的宏觀量是大量分子行為的統(tǒng)計平均表現(xiàn) 熱現(xiàn)象與物質的分子運動密切相關。大量分子的無規(guī)則運動稱為分子的熱運動。物態(tài)方程物態(tài)參量之間所滿足的關系式稱為物態(tài)方程理想氣體的物態(tài)方程：1標準大氣壓（1atm)=1.103

4、 10 Pa熱力學溫度=（攝氏溫度t +273.15)注8.31氣體的壓強單位： 帕氣體的體積單位： 立方米氣體的熱力學溫度單位： 開氣體的質量單位： 千克氣體的摩爾質量單位： J mol K氣體常數(shù)摩爾mol千克續(xù)上理想氣體的物態(tài)方程：對一定量(mol)的氣體三者只要給定兩個就確定了一個平衡態(tài)圖中的一點代表一個平衡態(tài) 若氣體受外界影響，某平衡態(tài)被破壞，變?yōu)榉瞧胶鈶B(tài)。物態(tài)隨時間而變化稱為過程。圖不能表示非平衡態(tài)，也不能表示這種非平衡情況下的動態(tài)變化過程。準靜態(tài)過程準 靜 態(tài) 過 程 若經歷非平衡過程后可以過渡到一個新的平衡態(tài)，此過程稱為弛豫，所需時間稱為弛豫時間。 若過程進行得充分緩慢，使過程

5、中的某一狀態(tài)到相鄰狀態(tài)的時間比弛豫時間大得多，則每一中間態(tài)都可近似地看作平衡態(tài)。這樣的過程稱為準靜態(tài)過程。準靜態(tài)過程平衡態(tài)平衡態(tài)圖中的過程曲線，都是準靜態(tài)過程曲線。概率概率 統(tǒng)計平均值概率在所有可能發(fā)生的事件中，某種事件發(fā)生可能性（或相對機會）的大小。某事件X出現(xiàn)的概率事件X出現(xiàn)的次數(shù)試驗總次數(shù)在很多次的試驗中概率定義式概率定義式若可能事件有 種則 種可能事件發(fā)生的總次數(shù)試驗總次數(shù)各種可能事件的概率之和等于1。稱為概率的歸一化條件。歸一化條件歸一化條件概率密度函數(shù)等概率假設等概率假設 在氣體動理論中經常用到一些等概率假設，如假設處于平衡態(tài)的氣體，每個分子出現(xiàn)在容器內任何一點處的概率相等；每個分

6、子朝各個方向運動的概率相等（如在直角坐標中，分子速度的三個分量的各種統(tǒng)計平均值相等）等。事件出現(xiàn)在事件出現(xiàn)在 內的概率內的概率與與 的位置和的位置和 的大小有關的大小有關稱稱概率密度概率密度或或概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)在在 附近單位間附近單位間隔內出現(xiàn)的概率隔內出現(xiàn)的概率若表示事X的量 可連續(xù)變化（例如在某些隨機因素影響下，多次測量某電機的轉速可能在某一范圍內變化）。概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)若函數(shù)若函數(shù)的形式已知的形式已知則則統(tǒng)計平均值對某量 進行 次測量，測量值出現(xiàn)次數(shù)測量值乘以出現(xiàn)次數(shù) 的統(tǒng)計平均值若 值可連續(xù)變化 則連續(xù)變量的平均值等于該量與概率密度函數(shù)乘積的積分。氣體微觀模型氣體的壓強

7、與溫度的統(tǒng)計意義氣體的壓強與溫度的統(tǒng)計意義一、理想氣體的微觀模型氣體分子的大小與分子間的平均距離相比可以忽略。分子除碰撞瞬間外，無其它相互作用。碰撞視為完全彈性碰撞。 這是由氣體的共性抽象出來的一個理想模型。在壓力不太大、溫度不太低時，與實際情況附合得很好。理想氣體壓強二、理想氣體的壓強公式宏觀：器壁單位面積所受的壓力微觀：大量氣體分子頻繁碰撞器壁對器壁單位面積的平均沖力標準狀態(tài)下氣體的分子數(shù)密度的數(shù)量級為個亦即個其數(shù)量之多已能很好滿足微觀統(tǒng)計的要求要考慮分子速度（大小及方向）不同的因素對各種不同速度間隔的分子碰壁沖量求和考慮單位時間作用在單位面積上的沖量就是壓強運用統(tǒng)計平均值及平衡態(tài)概念得到

8、壓強與微觀量的關系推導思路壓強公式推導容器盛同種氣體，分子質量 ，居平衡態(tài)射向器壁面元 的某分子束碰壁后反射（不與法向平行的速度分量，其相應的動量無變化）速度為速度為 的某分子彈碰中的動量變化為的某分子彈碰中的動量變化為反X向在在 時間內，入射分子束斜園柱體的時間內，入射分子束斜園柱體的體積體積 中速度基本為中速度基本為 的分子，都能碰撞器壁一次。的分子，都能碰撞器壁一次。其光光滑滑器器壁壁若氣體中速度基本為 的分子數(shù)密度為則該組分子與 碰撞而發(fā)生的動量變化為續(xù)上容器盛同種氣體，分子質量 ，居平衡態(tài)射向器壁面元 的某分子束碰壁后反射（不與法向平行的速度分量，其相應的動量無變化）速度為速度為 的

9、某分子彈碰中的動量變化為的某分子彈碰中的動量變化為反X向在在 時間內，入射分子束斜園柱體的時間內，入射分子束斜園柱體的體積體積 中速度基本為中速度基本為 的分子，都能碰撞器壁一次。的分子，都能碰撞器壁一次。其光光滑滑器器壁壁若氣體中速度基本為 的分子數(shù)密度為則該組分子與 碰撞而發(fā)生的動量變化為氣體中速度基本為 的分子數(shù)密度為該組分子與 碰撞而發(fā)生的動量變化為將上式對平衡態(tài)氣體中從各個不同方將上式對平衡態(tài)氣體中從各個不同方向、以不同速度射向向、以不同速度射向 的各組分子的各組分子求和，其總動量變化為求和，其總動量變化為（負射向分量）此式包含和因平衡態(tài)中兩者各占一半，故的分子才能與 相碰。的分子。

10、只有能與能與 碰撞的所有分子的總動量變化為碰撞的所有分子的總動量變化為續(xù)上光光滑滑器器壁壁氣體中速度基本為 的分子數(shù)密度為該組分子與 碰撞而發(fā)生的動量變化為將上式對平衡態(tài)氣體中從各個不同方將上式對平衡態(tài)氣體中從各個不同方向、以不同速度射向向、以不同速度射向 的各組分子的各組分子求和，其總動量變化為求和，其總動量變化為（負射向分量）此式包含和因平衡態(tài)中兩者各占一半，故的分子才能與 相碰。的分子。只有能與能與 碰撞的所有分子的總動量變化為碰撞的所有分子的總動量變化為能與能與 碰撞的所有分子的總動量變化為碰撞的所有分子的總動量變化為 容器中氣容器中氣體總體的分體總體的分子數(shù)密度子數(shù)密度的的統(tǒng)計平均值

11、統(tǒng)計平均值得得應用動量定理， 分子受器壁 作用的平均沖力為壁對氣器壁器壁 受氣體分子作用的平均沖力受氣體分子作用的平均沖力壁對氣氣對壁續(xù)上光光滑滑器器壁壁能與能與 碰撞的所有分子的總動量變化為碰撞的所有分子的總動量變化為 容器中氣容器中氣體總體的分體總體的分子數(shù)密度子數(shù)密度的的統(tǒng)計平均值統(tǒng)計平均值得得應用動量定理， 分子受器壁 作用的平均沖力為壁對氣器壁器壁 受氣體分子作用的平均沖力受氣體分子作用的平均沖力壁對氣氣對壁器壁器壁 受氣體分子作用的平均沖力受氣體分子作用的平均沖力壁對氣氣對壁 由于分子向 X、Y、Z方向運動概率相等 又因則可推知得氣對壁定義氣體分子的平均平動動能氣體分子的平均平動動

12、能為大量氣對壁理想氣體的壓強公式理想氣體的壓強公式由此推得：壓強統(tǒng)計意義三、理想氣體壓強的統(tǒng)計意義定義氣體分子的平均平動動能氣體分子的平均平動動能為大量氣對壁理想氣體的壓強公式理想氣體的壓強公式氣體的宏觀量壓強，是大量氣體分子作用于器壁的平均沖力，由微觀量的統(tǒng)計平均值 和 決定。理想氣體壓強公式是反應大量分子行為的一種統(tǒng)計規(guī)律，并非力學定律，只對個別分子而言，氣體壓強沒有意義。注：推導過程中的和在宏觀上很小，但在微觀上相對于分子的大小和作用時間應當足夠大，保證在 時間內有大量分子與 發(fā)生 碰撞。平衡態(tài)中同種氣體的分子全同，其出現(xiàn)位置和各向運動概率相等，這已包含了分子之間相互碰撞因素的一種動平衡

13、，推導中不必考慮此類碰撞。氣體溫度公式氣體溫度的統(tǒng)計意義氣體溫度的統(tǒng)計意義氣體分子的平均平動動能氣體分子的平均平動動能物態(tài)方程物態(tài)方程理想氣體理想氣體可用另一形式表達可用另一形式表達其中其中分子質量分子質量總分子數(shù)總分子數(shù)阿伏伽德羅常數(shù)阿伏伽德羅常數(shù)分子數(shù)密度分子數(shù)密度玻耳茲曼常數(shù)玻耳茲曼常數(shù)即壓強公式壓強公式理想氣體理想氣體理想氣體的溫度公式溫度公式1玻耳茲曼常數(shù)玻耳茲曼常數(shù)阿伏伽德羅常數(shù)阿伏伽德羅常數(shù)注：注：6.021.3810231023molJ K1溫度的統(tǒng)計意義氣體分子的平均平動動能氣體分子的平均平動動能理想氣體的溫度公式溫度公式氣氣 體體 溫溫 度度 的的統(tǒng)統(tǒng) 計計 意意 義義氣體

14、的熱力學溫度氣體的熱力學溫度 與與 氣體分子的平均平動動能氣體分子的平均平動動能 成正比。成正比。氣體的熱力學溫度可看作是對分子熱運動劇烈程度的量度。氣體的溫度是大量分子熱運動的集體表現(xiàn)，具有統(tǒng)計意義。 離開大量分子，溫度失去意義。凡例 1 1標準大氣壓標準大氣壓（1 1atmatm)=1.103 10 Pa)=1.103 10 Pa某氧器瓶內，氧氣的壓強1.00 atm溫度27 C視為理想氣體，平衡態(tài)氧分子的平均平動動能；分子數(shù)密度由321.38102327+27332J 6.21 1021由3232321.103 1056.21 1021252.6610個虛設聯(lián)想由KC難以實現(xiàn)太陽表面溫度

15、5490 C標準狀態(tài)下（0 C，1atm）理想氣體的分子平均平動動能分子數(shù)密度3.53102ev2.921025m3個一個電子經過1伏特電勢差加速后所獲的動能為1電子伏特（1ev) = 1.602 1019J如果某理想氣體系統(tǒng)的分子平均平動動能要達到1ev, 其溫度將會有多高？玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布律玻耳茲曼分布律數(shù)學表達麥氏速率分布 處于平衡態(tài)的氣體，其分子沿各向運動的機會均等，這并非意味著每個分子的運動速率完全相同，而是大量不同運動速度（大小和方向）的分子，在一定條件下所形成的一種熱動平衡狀態(tài)。 首先引用一種簡明的實驗方法，說明氣體的分子數(shù)按速率分布的客觀規(guī)律性： 麥克斯韋速率分布律，是

16、表示氣體處于熱平衡時，氣體的分子數(shù)按速度大?。ㄋ俾剩┓植嫉囊?guī)律。麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律麥氏速率分布實驗實驗動態(tài)示意麥氏分布實驗速率分布含義分布曲線總分子數(shù)+ 速率間隔內的分子數(shù)處于到 速率分布函數(shù) （速率 附近單位間隔內的分子數(shù)與總分子數(shù)之比）速率分布函數(shù)快減快增兩者相乘曲線pp若m、T 給定， 玻耳茲曼常數(shù)，函數(shù)的形式可概括為曲線曲線有單峰，不對稱速率分布曲線速率 恒取正歸一化條件速率在 到 區(qū)間內的分子數(shù) 與總 分子數(shù) 之比 若將速率區(qū)間擴展至 到 即具有一切可能速率的分子數(shù)與總分子數(shù)之比應為對分子質量為m 、熱力學溫度為T 、處于平衡態(tài)的氣體最概然速率與此函數(shù)的極大值對應的

17、速率與此函數(shù)的極大值對應的速率 稱為最概然速率稱為最概然速率或令即易得因則不同條件比較（或 ）相同相同用進行比較平均速率麥克斯韋速率分布律應用舉例麥克斯韋速率分布律應用舉例平均速率平均速率（算術平均速率）（算術平均速率） 根據(jù)某連續(xù)變量 x 的平均值等于該量與概率密度函數(shù)乘積的積分的定義。 在討論氣體分子平均自由程問題時涉及到分子的算術平均速率概念；在討論平均平動動能時涉及到方均根速率概念。麥克斯韋速率分布函數(shù)就是計算此類速率的概率密度函數(shù)?；蛞灿蓄愃谱⒁獾椒骄俾史骄俾史骄俾剩?的統(tǒng)計平均值的開平方）即 作為參與統(tǒng)計平均的連續(xù)變量或也有類似則得回憶 聯(lián)系注意到速率小結特征速率例題氧

18、氣摩爾質量3.20 10mol溫度27 C處于平衡態(tài)氣體分子的和27 273 300 （ k ）483 ( m s )394 ( m s )447 ( m s )歸一化例題 假設有大量的某種粒子，總數(shù)目為N，其速率分布函數(shù)為均為正常數(shù)，且 為已知畫出該速率分布函數(shù)曲線根據(jù)概率分布函數(shù)應滿足的基本條件，確定系數(shù)求速率在 區(qū)間的粒子數(shù)+拋物線方程得Max續(xù)上概率分布函數(shù)應滿足歸一化條件本題要求得均為正常數(shù)，且 為已知 假設有大量的某種粒子，總數(shù)目為N，其速率分布函數(shù)為畫出該速率分布函數(shù)曲線根據(jù)概率分布函數(shù)應滿足的基本條件，確定系數(shù)求速率在 區(qū)間的粒子數(shù)+拋物線方程得Max速率在區(qū)間的粒子數(shù)得隨堂小

19、議請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案則代表氧的分布函數(shù)曲線為則代表氧的分布函數(shù)曲線為 （1 1）曲線）曲線 （2 2）曲線）曲線 f (v)vo結束選擇結束選擇小議鏈接1請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案則代表氧的分布函數(shù)曲線為則代表氧的分布函數(shù)曲線為 （1 1）曲線）曲線 （2 2）曲線）曲線 f (v)vo結束選擇結束選擇小議鏈接2請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案則代表氧的分布函數(shù)曲線為則代表氧的分布函數(shù)曲線為 （1 1）曲線）曲線 （2 2）曲線）曲線 f (v)vo結束選擇結束選擇分

20、子平均動能公式理想氣體公式壓強溫度氣體分子的平均氣體分子的平均平動平動動能動能只是氣體分子運動能量的一部分在某方面產生的統(tǒng)計平均效果 如果將原子看成質點，將分子看成是原子的剛性連接體（剛性分子），則分子的動能除平動動能外，對于雙原子分子和多原子分子還有轉動動能。分子平均動能的計算，涉及自由度概念：自由度確定某物體空間位置所需的獨立坐標的數(shù)目（ ），稱為該物體的自由度數(shù)。單原子分子平動自由度雙原子分子平動自由度轉動自由度三及多原子分子平動自由度轉動自由度能量均分定理理想氣體，平衡態(tài)，分子平均平動動能因故每個平動自由度的平均平動動能均為 將等概率假設推廣到轉動動能，每個轉動自由度的轉動能量相等，而

21、且亦均等于 在溫度為 的平衡態(tài)下，氣體分子的每一個自由度，都平均地具有 的動能。（能量按自由度均分定理）分子平均動能理想氣體，平衡態(tài)，分子平均平動動能因故每個平動自由度的平均平動動能均為 將等概率假設推廣到轉動動能，每個轉動自由度的轉動能量相等，而且亦均等于 在溫度為 的平衡態(tài)下，氣體分子的每一個自由度，都平均地具有 的動能。（能量按自由度均分定理） 在溫度為 的平衡態(tài)下，氣體分子的每一個自由度，都平均地具有 的動能。（能量按自由度均分定理） 處于平衡態(tài)溫度為 的理想氣體，若將氣體分子看作剛性分子，如果分子有 個平動自由度， 個轉動自由度，則 若將分子看作非剛性分子，還要考慮分子的振動動能，按一定的原則確定振動自由度。（略）分 子簡例 理想氣體處于平衡態(tài)時，證明氣體分子的平均動能 是平均平動動能 的 倍。氣體溫度的統(tǒng)計意義氣體分子平均動能的含義本題是為了幫助理解 與 成正比的原因。理想氣體內能 某一定量理想氣體的內能 組成氣體的全部分子的平均動能之和。mol 氣體有（阿伏伽德羅常數(shù)） 個分子mol 理想氣體的內能分子的平均動能mol 理想氣體mol 理想氣體的內能內能算例理想氣體mol 理想氣體的內能平均自由程熱運動分子之間分子的運動路徑頻繁碰撞曲折復雜 碰撞時兩分子質心距離的平均值稱為分子的有效直徑碰撞頻率熱運動分子之間分子的運動