時(shí)域離散信號和系統(tǒng)

1、數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理趙雪英趙雪英包括：數(shù)據(jù)采集，信號變換、分析、綜合、濾波、估值與包括：數(shù)據(jù)采集，信號變換、分析、綜合、濾波、估值與識(shí)別等加工處理，以便于提取信息和應(yīng)用；識(shí)別等加工處理，以便于提取信息和應(yīng)用；利用計(jì)算機(jī)或?qū)Ｓ脭?shù)字處理設(shè)備，采用利用計(jì)算機(jī)或?qū)Ｓ脭?shù)字處理設(shè)備，采用數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算的方法對的方法對信號進(jìn)行處理；信號進(jìn)行處理；涉及語音、雷達(dá)、聲納、地震、圖像處理、通信系統(tǒng)、系涉及語音、雷達(dá)、聲納、地震、圖像處理、通信系統(tǒng)、系統(tǒng)控制、生物醫(yī)學(xué)工程、機(jī)械振動(dòng)、遙感遙測、航空航天、統(tǒng)控制、生物醫(yī)學(xué)工程、機(jī)械振動(dòng)、遙感遙測、航空航天、電力系統(tǒng)、故障檢測、自動(dòng)化儀表等；電力系統(tǒng)、故障檢測、自

2、動(dòng)化儀表等；模擬信號模擬信號: : 幅度（信號值）和自變量（時(shí)間）均連續(xù)；幅度（信號值）和自變量（時(shí)間）均連續(xù)；如：麥克風(fēng)輸出的語音信號，溫度信號等；如：麥克風(fēng)輸出的語音信號，溫度信號等；時(shí)域離散信號時(shí)域離散信號；幅度（信號值）連續(xù)，自變量（時(shí)間）離；幅度（信號值）連續(xù)，自變量（時(shí)間）離散；如：氣象站定時(shí)測量的溫度信號，數(shù)字電話系統(tǒng)對語散；如：氣象站定時(shí)測量的溫度信號，數(shù)字電話系統(tǒng)對語音信號的采樣信號；音信號的采樣信號；幅度離散信號幅度離散信號；幅度（信號值）離散，自變量（時(shí)間）連；幅度（信號值）離散，自變量（時(shí)間）連續(xù)；如：多進(jìn)制數(shù)字幅度調(diào)制信號；續(xù)；如：多進(jìn)制數(shù)字幅度調(diào)制信號；數(shù)字信號數(shù)字

3、信號；幅度（信號值）和自變量（時(shí)間）均離散；幅度（信號值）和自變量（時(shí)間）均離散；1.3 1.3 時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散系統(tǒng)1.2 1.2 模擬信號、時(shí)域離散信號和數(shù)字信號模擬信號、時(shí)域離散信號和數(shù)字信號1.1 1.1 引言引言1.4 1.4 時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法- - 線性常系數(shù)差分方程線性常系數(shù)差分方程1.1 1.1 引言引言數(shù)字信號處理中三種不同形式的信號：數(shù)字信號處理中三種不同形式的信號：模擬信號：幅度（信號值）和自變量（時(shí)間）均模擬信號：幅度（信號值）和自變量（時(shí)間）均連續(xù)連續(xù)時(shí)域離散信號（序列）：時(shí)域離散信號（序列）：幅度（信號值）幅度（信號值）連

4、續(xù)連續(xù)，自變量（時(shí)間），自變量（時(shí)間）離散離散數(shù)字信號：幅度（信號值）和自變量（時(shí)間）均數(shù)字信號：幅度（信號值）和自變量（時(shí)間）均離散離散數(shù)字信號處理是用數(shù)字信號處理是用數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算的方法對信號進(jìn)行處理的一門的方法對信號進(jìn)行處理的一門科學(xué)。科學(xué)。三種信號處理系統(tǒng)：模擬系統(tǒng)、時(shí)域離散系統(tǒng)、數(shù)字系統(tǒng)三種信號處理系統(tǒng)：模擬系統(tǒng)、時(shí)域離散系統(tǒng)、數(shù)字系統(tǒng)( )0.9sin 50axtt( )0.9sin50ax tt( )0.9sin 50axtt等間隔采樣，采等間隔采樣，采樣頻率必須是模樣頻率必須是模擬信號最高頻率擬信號最高頻率的的2 2倍以上倍以上模擬信號模擬信號頻率為頻率為25Hz25Hz周期

5、為周期為0.04s0.04s采樣頻率采樣頻率Fs=200HzFs=200Hz采樣間隔采樣間隔T=1/Fs=0.005sT=1/Fs=0.005s( )( )0.9sin50at nTnx nx tT時(shí)域離散信號時(shí)域離散信號數(shù)字信號數(shù)字信號 .,0.000,0.101,0.111,0.101,0.000,1.101,1.111,1.101,. .,0.0,0.625,0.875,0.625,0.000, 0.625, 0.875, 0.625,.x n .,0.0000000,0.1010001,0.1110011,0.1010001,0.0000000,1.1010001,1.1110011,

6、1.1010001,. .,0.0,0.6328,0.8884,0.6328,0.0000, 0.6328, 0.8884, 0.6328,.x n 1.2.2 1.2.2 時(shí)域離散信號（序列）的表示方法時(shí)域離散信號（序列）的表示方法時(shí)域離散信號的來源：時(shí)域離散信號的來源：1 1 模擬信號采樣模擬信號采樣2 2 實(shí)驗(yàn)測試實(shí)驗(yàn)測試帶下劃線的元素表帶下劃線的元素表示示n=0n=0點(diǎn)的序列值點(diǎn)的序列值（1 1）用）用集合符號集合符號 表示序列表示序列( ).,0.0,0.6364,0.9,0.6364,0.0000, 0.6364,0.9, 0.6364,., 1,0,1,2,.x nn（2 2）用

7、）用公式公式表示序列表示序列1 1 時(shí)域離散信號表示方法時(shí)域離散信號表示方法| |( ),01,nx naan （3 3）用）用圖形圖形表示表示2 MATLAB2 MATLAB語言中序列的表示語言中序列的表示 兩個(gè)向量表示；兩個(gè)向量表示； x x表示表示x(nx(n) )的樣本值的向量，的樣本值的向量，n n是位置向量；是位置向量； x x與與n n長度相等。長度相等。fig121b.mfig121b.m1.2.3 1.2.3 常用時(shí)域離散信號常用時(shí)域離散信號1 1 單位脈沖序列（單位采樣序列）單位脈沖序列（單位采樣序列）1,0( ).,0,0,1,0,0,.0,0nnn( )1,0, ( )

8、0t dttt且時(shí)12121,(),0,nknknnn nknnk0,( )()0,ky nx nkk右移左移序列移位：序列移位：-10-5051000.51(n)-10-5051000.51(n+2)-10-5051000.51(n-2)0( )()mu nnm2 2 單位階躍序列單位階躍序列1,0( )0,0nu nn001210201,(),0,nnu nnnnn nnnnn-10-5051000.51u(n)-10-5051000.51u(n+2)-10-5051000.51u(n-2)3 3 矩形序列矩形序列1,01( )0,NnNRn其它-10-5051000.51u(n)-10-

9、5051000.51u(n-4)-10-5051000.51R4(n)( )( )()NRnu nu nN4 4 實(shí)指數(shù)序列實(shí)指數(shù)序列( )( ),;nx na u nn aR-20-10010200246810(0.9).n-20-1001020010203040(1.2).n-20-1001020-10-50510(-0.9).n-20-1001020-40-2002040(-1.2).n01a1a 10a 1a 5 5 正弦序列與復(fù)指數(shù)序列正弦序列與復(fù)指數(shù)序列( )sin()|( )sin()( )sin(),at nTTx tAtx nAnTx nAnn (2)( )cos()sin(

10、)j njM nj nx nenjnee對數(shù)字頻率而言，正弦序列和復(fù)指數(shù)序列都是以對數(shù)字頻率而言，正弦序列和復(fù)指數(shù)序列都是以22為周期為周期的周期信號，通常只考慮的周期信號，通常只考慮的主值區(qū)的主值區(qū), 0,2 或plotplotstemstem010203040-2-1012o=0010203040-2-1012o=0.1010203040-2-1012o=0.2010203040-2-1012o=0.8010203040-2-1012o=0.9010203040-2-1012o=010203040-2-1012o=1.1010203040-2-1012o=1.26 6 周期序列周期序列(

11、)(),x nx nNn 如果如果n n一定，一定，作為變量時(shí)，它是以作為變量時(shí)，它是以2 2 為周期的函數(shù)。但為周期的函數(shù)。但當(dāng)當(dāng)一定，一定，n n作為變量時(shí)，正弦序列卻不一定是周期序列！作為變量時(shí)，正弦序列卻不一定是周期序列！如果是周期序列，則要求正弦序列的頻率滿足一定條件：如果是周期序列，則要求正弦序列的頻率滿足一定條件： 是一個(gè)正整數(shù)是一個(gè)正整數(shù)2M正弦序列的周期性正弦序列的周期性：( )sin(),x nAnn6 6 周期序列周期序列( )(),x nx nNn 如果如果n n一定，一定，作為變量時(shí)，它是以作為變量時(shí)，它是以2 2 為周期的函數(shù)。但為周期的函數(shù)。但當(dāng)當(dāng)一定，一定，n

12、n作為變量時(shí)，正弦序列卻不一定是周期序列！作為變量時(shí)，正弦序列卻不一定是周期序列！如果是周期序列，則要求正弦序列的頻率滿足一定條件：如果是周期序列，則要求正弦序列的頻率滿足一定條件： 是一個(gè)正整數(shù)是一個(gè)正整數(shù)2M正弦序列的周期性正弦序列的周期性：( )sin(),x nAnn6 6 周期序列周期序列( )(),x nx nNn 如果如果n n一定，一定，作為變量時(shí)，它是以作為變量時(shí)，它是以2 2 為周期的函數(shù)。但為周期的函數(shù)。但當(dāng)當(dāng)一定，一定，n n作為變量時(shí)，正弦序列卻不一定是周期序列！作為變量時(shí)，正弦序列卻不一定是周期序列！如果是周期序列，則要求正弦序列的頻率滿足一定條件：如果是周期序列，

13、則要求正弦序列的頻率滿足一定條件： 是一個(gè)正整數(shù)是一個(gè)正整數(shù)2M正弦序列的周期性正弦序列的周期性：( )sin(),x nAnn正弦序列的周期性正弦序列的周期性( )sin()()sin()22,x nAnx nNAnNNMNM M為正整數(shù)例例1.2.2 1.2.2 ( )sin()4x nn分析其周期性。分析其周期性。例例1.2.3 1.2.3 ( )sin( )4nx n 分析其周期性。分析其周期性。任意序列可表示為：任意序列可表示為：( )( ) ()mx nx mnm2M1.3.1 1.3.1 線性時(shí)不變時(shí)域離散系統(tǒng)線性時(shí)不變時(shí)域離散系統(tǒng)1 1 線性性質(zhì)：滿足疊加原理線性性質(zhì)：滿足疊加

14、原理1122121212( ) ( ),( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )y nT x ny nT x nx nax nbx ny nT x nT ax nbx nay nby n2 2 時(shí)不變特性時(shí)不變特性100( ) ()()y nT x nny nn例例1.3.11.3.1 , ,a,ba,b為常數(shù)，分析該系統(tǒng)是否為常數(shù)，分析該系統(tǒng)是否為線性時(shí)不變系統(tǒng)。為線性時(shí)不變系統(tǒng)。( )( )y nax nb1 1 時(shí)不變性時(shí)不變性101000( )()( ) ()()()x nx nny nT x nnax nnby nn令則時(shí)不變時(shí)不變2 2 線性線性2322

15、2333232323( )( )( )( )( )( ),( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )x nx nx ny nT x nax nb y nT x nax nby nT x nT x nx nax nax nbT x nT x n令則非線性非線性1.3.2 1.3.2 線性時(shí)不變系統(tǒng)輸出和輸入之間的關(guān)系線性時(shí)不變系統(tǒng)輸出和輸入之間的關(guān)系單位脈沖響應(yīng)：設(shè)系統(tǒng)輸入單位脈沖響應(yīng)：設(shè)系統(tǒng)輸入 ，系統(tǒng)輸出，系統(tǒng)輸出y(ny(n) )的初的初始狀態(tài)為零，則始狀態(tài)為零，則( )( )x nn( ) ( )h nTn單位脈沖響應(yīng)是系統(tǒng)對單位脈沖響應(yīng)是系統(tǒng)對(n)(n)

16、的零狀態(tài)響應(yīng)，表征了系統(tǒng)的時(shí)域的零狀態(tài)響應(yīng)，表征了系統(tǒng)的時(shí)域特性。特性。( )() () () () ()( )() ()( )* ( ) ()mmmmy nTx mnmT x mnmx m Tny nx m h nmx nh nm 卷積運(yùn)算卷積運(yùn)算反摺、移位、相乘、相加反摺、移位、相乘、相加例例1.3.2 1.3.2 ()2()(1)2(2), ()()2(1)(2),()() *()x nnnnh nnnny nx nh n設(shè)求 ：（1 1）圖解法、列表法）圖解法、列表法 P13P13（2 2）MATLABMATLAB計(jì)算兩個(gè)有限長序列的線性卷積計(jì)算兩個(gè)有限長序列的線性卷積MATLABMA

17、TLAB內(nèi)部函數(shù)：內(nèi)部函數(shù)：( , )yconv x h擴(kuò)展函數(shù)：擴(kuò)展函數(shù)： ,( , ,)y nyconvu h nh x nxep132.mconvu_example.mconvu_example.m(1)0, ( )0ny n4( )( ), ( )( ),( )( )* ( )nx na u n h nR ny nx nh n設(shè)求：例例1.3.3 1.3.3 4( )( )* ( )( )()n mmy nh nx nR m au nm關(guān)鍵：求和號內(nèi)兩序列的非零值區(qū)間，確定求和上下限。關(guān)鍵：求和號內(nèi)兩序列的非零值區(qū)間，確定求和上下限。4()0,( )03u nmnmnmR mm即（3

18、3）解析法）解析法110(2)03,0,1 ( )1nnn mnmnmnay naaa 非零值范圍為因此4310(3)4,03,1 ( )1n mnmnmay naaa非零值范圍為因此卷積運(yùn)算的重要性質(zhì)卷積運(yùn)算的重要性質(zhì)( )( )* ( )x nx nn（1 1）任意序列與單位脈沖序列的卷積等于該序列本身）任意序列與單位脈沖序列的卷積等于該序列本身00()( )()x nnx nnn如果卷積一個(gè)移位如果卷積一個(gè)移位n n0 0的單位脈沖序列，即將該序列移位的單位脈沖序列，即將該序列移位n n0 0（2 2）卷積運(yùn)算服從交換律、結(jié)合律和分配律）卷積運(yùn)算服從交換律、結(jié)合律和分配律交換律交換律(

19、)( )* ( )( )* ( )y nx nh nh nx n結(jié)合律結(jié)合律1212 ( )*( )*( )( )* ( )*( )x nh nh nx nh nh n分配律分配律1212( )* ( )( )( )*( )( )*( )x nh nh nx nh nx nh n例例1.3.41.3.4 如下圖如下圖(a)(a)所示，系統(tǒng)所示，系統(tǒng) 串聯(lián)，設(shè)串聯(lián)，設(shè) 求系統(tǒng)的輸出求系統(tǒng)的輸出y(ny(n) )。12( )( )h nh n和12( )( ),( )( )(4), ( )( ),1nx nu n h nnnh na u na12( )( )*( )h nh nh n12( )(

20、)( )h nh nh n例例1.3.41.3.4 如下圖如下圖(a)(a)所示，系統(tǒng)所示，系統(tǒng) 串聯(lián)，設(shè)串聯(lián)，設(shè) 求系統(tǒng)的輸出求系統(tǒng)的輸出y(ny(n) )。12( )( ),( )( )(4), ( )( ),1nx nu n h nnnh na u na14( )( )( )( ) ( )(4)( )( )( )(4)( )(4)( )m nx nh nu nnnu nnu nnu nu nR n1212( )* ( )( )( )*( )( )*( )( )( )* ( )x nh nh nx nh nx nh nx nx nn24123( )( )( )( )( )( ) ( )(1

21、)(2)(3)( )(1)(2)(3)nnnnnny nm nh nR na u na u nnnnna u nau nau nau n1.3.3 1.3.3 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性y(ny(n) )利用此利用此概念可概念可以判斷以判斷系統(tǒng)的系統(tǒng)的因果性因果性( )0,0h nn( )nsh n 2 2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性Tx(n)y(n)時(shí)域離散系統(tǒng)1.4.1 1.4.1 線性常系數(shù)差分方程線性常系數(shù)差分方程一個(gè)一個(gè)N N階線性常系數(shù)差分方程用下式描述：階線性常系數(shù)差分方程用下式描述：01001( )()()()(),1MNiiiiNMiiiiy nb x nia y

22、 nia y nib x ni a或式中，式中，x(nx(n) )和和y(ny(n) )分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出，系數(shù)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出，系數(shù)a ai i和和b bi i均為常系數(shù)，且均為常系數(shù)，且x(n-ix(n-i) )和和y(n-iy(n-i) )只有一次冪，也沒有相互交只有一次冪，也沒有相互交叉的線性相乘項(xiàng)，故稱為線性常系數(shù)差分方程。叉的線性相乘項(xiàng)，故稱為線性常系數(shù)差分方程。1.4.2 1.4.2 線性常系數(shù)差分方程的遞推解法線性常系數(shù)差分方程的遞推解法適合計(jì)算機(jī)求解適合計(jì)算機(jī)求解例例1.4.11.4.1：已知系統(tǒng)的差分方程用下式描述：已知系統(tǒng)的差分方程用下式描述: :式中，式中

23、， ，初始條件，初始條件y y(-1)=1(-1)=1，用遞推法求系統(tǒng)，用遞推法求系統(tǒng) n n00的輸出。的輸出。解解: : 由由 ，可得，可得 最后得到最后得到( )(1)( )y nay nx n( )( )x nn( )(1)( )y nay nn0, (0)( 1)(0)1nyaya 時(shí)域求解時(shí)域求解1, (1)(0)(1)(1)nyaya a22, (2)(1)(2)(1)nyaya a( )(1)( )ny na a u n1.4.3 1.4.3 用用MATLABMATLAB求解差分方程求解差分方程01( )()()MNiiiiy nbx nia y ni0101,.,.,MNbb

24、 bbaa aa0101,.,.,MNbb bbaa aa ( 1), ( 2), ( 3),., (), ( 1), ( 2), ( 3),. ()ysyyyyNxsxxxxM( )h n( )s n| ( )|( )| 1,1,2,.( )nkh nMsum abs hzkNzroots a 已知差分方程：已知差分方程：，求：，求：（2 2）全解：）全解：xi=filtic(b,a,ys,xsxi=filtic(b,a,ys,xs) ) 其中，其中，yn=filter(b,a,x,xiyn=filter(b,a,x,xi) )h,t=impz(b,ah,t=impz(b,a) )h,t=i

25、mpz(b,a,Nh,t=impz(b,a,N) )impz(b,aimpz(b,a) )s,t=stepz(b,as,t=stepz(b,a) )s,t=stepz(b,a,Ns,t=stepz(b,a,N) )stepz(b,astepz(b,a) )（1 1）零狀態(tài)解：）零狀態(tài)解：yn=filter(b,a,xyn=filter(b,a,x) )， 其中，其中，（3 3）單位脈沖響應(yīng)）單位脈沖響應(yīng)（4 4）單位階躍響應(yīng)）單位階躍響應(yīng)（5 5）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性ep141.mep141.m0101,.,.,MNbb bbaa aa ( 1), ( 2), ( 3),., (

26、), ( 1), ( 2), ( 3),. ()ysyyyyNxsxxxxM0101,.,.,MNbb bbaa aayn=filter(b,a,x,xiyn=filter(b,a,x,xi) )0101,.,.,MNbb bbaa aa0101,.,.,MNbb bbaa aa ( 1), ( 2), ( 3),., (), ( 1), ( 2), ( 3),. ()ysyyyyNxsxxxxM0101,.,.,MNbb bbaa aa（2 2）全解：）全解：xi=filtic(b,a,ys,xsxi=filtic(b,a,ys,xs) ) 其中，其中，0101,.,.,MNbb bbaa

27、aa ( 1), ( 2), ( 3),., (), ( 1), ( 2), ( 3),. ()ysyyyyNxsxxxxM（2 2）全解：）全解：xi=filtic(b,a,ys,xsxi=filtic(b,a,ys,xs) ) 其中，其中，0101,.,.,MNbb bbaa aayn=filter(b,a,x,xiyn=filter(b,a,x,xi) )（2 2）全解：）全解：xi=filtic(b,a,ys,xsxi=filtic(b,a,ys,xs) ) 其中，其中，0101,.,.,MNbb bbaa aa ( 1), ( 2), ( 3),., (), ( 1), ( 2),

28、( 3),. ()ysyyyyNxsxxxxMyn=filter(b,a,x,xiyn=filter(b,a,x,xi) )（2 2）全解：）全解：xi=filtic(b,a,ys,xsxi=filtic(b,a,ys,xs) ) 其中，其中，0101,.,.,MNbb bbaa aa1.4.4 1.4.4 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例滑動(dòng)平均濾波器滑動(dòng)平均濾波器1( ) ( )(1)(2)(3)(4)5y nx nx nx nx nx n 上式是取五項(xiàng)進(jìn)行平均，稱為五項(xiàng)上式是取五項(xiàng)進(jìn)行平均，稱為五項(xiàng)滑動(dòng)平均濾波器，當(dāng)然還有六項(xiàng)、七滑動(dòng)平均濾波器，當(dāng)然還有六項(xiàng)、七項(xiàng)等滑動(dòng)平均濾波器。項(xiàng)等滑動(dòng)平均濾波器。1( ) ( )(1)(2)(3)(4)5h nnnnnn例例1.4.21.4.2ep142.mep142.m( )( )at nTx nx t數(shù)字頻率和模擬頻率的關(guān)系：數(shù)字頻率和模擬頻率的關(guān)系：22/STfTfF 2M121212( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )x nax nbx ny nT x nT ax nbx nay nby n100( ) ()()y nT x nny nn( )0,0h nn| ( )|h n ( )( )* ( )( ) () ( )* ( )( ) ()