計算方法龍格庫塔方法PPT課件

1、2022-7-61)(21! 2PiPiiiiyPhyhyhyy 其中ffffffffff ffyf ffyxfyfyyyxyyxyxxxyxiyxxiiii22)(2)(),(, P階泰勒方法若取前三項，可得到截斷誤差為O(h3)的公式 )()(2)()()(321hOxyhxyhxyxyiiii )(),(),(),(2),(32hOyxfyxfyxfhyxhfyiiyiiiixiii類似地，若取前P+1項作為y(xi+1)的近似值，便得到第1頁/共32頁2022-7-62顯然p=1時, y i+1=y i+hf(xi,y i)它即為我們熟悉的Euler方法。當(dāng)p2時,要利用泰勒方法就需要

2、計算f(x,y)的高階微商。這個計算量是很大的，尤其當(dāng)f(x,y)較復(fù)雜時，其高階導(dǎo)數(shù)會很復(fù)雜。因此，利用泰勒公式構(gòu)造高階公式是不實(shí)用的。但是泰勒級數(shù)展開法的基本思想是許多數(shù)值方法的基礎(chǔ)。R-K方法不是直接使用Taylor級數(shù),而是利用它的思想第2頁/共32頁2022-7-639.4.1 9.4.1 龍格龍格- -庫塔庫塔( (R-K) )法的基本思想法的基本思想Euler公式可改寫成 ),(1iiiiyxhfKKyy則yi+1的表達(dá)式與y(xi+1)的Taylor展開式的前兩項完全相同,即局部截斷誤差局部截斷誤差為O(h2)。Runge-Kutta 方法是一種高精度的單步法方法是一種高精度的

3、單步法, ,簡稱簡稱R-K法法第3頁/共32頁2022-7-64同理，改進(jìn)Euler公式可改寫成 ),(),(2121121211KyhxhfKyxhfKKKyyiiiiii 上述兩組公式在形式上共同點(diǎn):都是用f(x,y)在某些點(diǎn)上值的線性組合得出y(xi+1)的近似值yi+1, 且增加計算的次數(shù)f(x,y)的次數(shù),可提高截斷誤差的階。如歐拉法:每步計算一次f(x,y)的值,為一階方法。改進(jìn)歐拉法需計算兩次f(x,y)的值，為二階方法。局部截斷誤差局部截斷誤差為O(h3)第4頁/共32頁2022-7-65 于是可考慮用函數(shù)f(x,y)在若干點(diǎn)上的函數(shù)值的線性組合來構(gòu)造近似公式，構(gòu)造時要求近似公

4、式在(xi,yi)處的Taylor展開式與解y(x)在xi處的Taylor展開式的前面幾項重合，從而使近似公式達(dá)到所需要的階數(shù)。既避免求高階導(dǎo)數(shù),又提高了計算方法精度的階數(shù)?；蛘哒f,在xi,xi+1這一步內(nèi)多計算幾個點(diǎn)的斜率值，然后將其進(jìn)行加權(quán)平均作為平均斜率，則可構(gòu)造出更高精度的計算格式，這就是龍格龍格庫塔庫塔（Runge-Kutta）法的基本思想法的基本思想。 第5頁/共32頁),(),(),(11,1112122122111ppppipipiiiippiiKbKbyhaxhfKKbyhaxhfKyxhfKKcKcKcyy一般龍格庫塔方法的形式為2022-7-66其中ai,bij,ci為待

5、定參數(shù)，要求上式y(tǒng)i+1在點(diǎn)(xi,yi)處作Tailor展開，通過相同項的系數(shù)確定參數(shù)。稱為P階龍格庫塔方法。第6頁/共32頁7Runge-Kutta方法的推導(dǎo)思想0)(),(yaybxayxfy對于常微分方程的初值問題的解y=y(x)，在區(qū)間xi, xi+1上使用微分中值定理，有)()()(1iiiyhxyxy即)()()(11iiiiixxyxyxy),(1iiixx其中2022-7-6第7頁/共32頁8上的平均斜率在區(qū)間可以認(rèn)為是,)(1iixxxyyKKxyxyii)()(1引入記號)(,)(iiiyhfyhKKxxxyii上平均斜率的近似值間在區(qū)出只要使用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ?)(1就可得

6、到相應(yīng)的Runge-Kutta方法ix1ixxy)(xyy Kyyii1K2022-7-6第8頁/共32頁9ix1ixxy)(xyy 如下圖Kxxxyxxyiii上的平均斜率在處的斜率作為在如果以,)()(1即則上式化為),(1iiiiyxhfyy)(ixyhK)(,iixyxhf),(iiyxhf即Euler方法Euler方法也稱為一階一階Runge-Kutta方法方法KK2022-7-6第9頁/共32頁9.4.2 9.4.2 二階龍格二階龍格庫塔法庫塔法 在xi, xi+1上取兩點(diǎn)xi和xi+a2= xi +a2h,以該兩點(diǎn)處的斜率值K1和K2的加權(quán)平均(或稱為線性組合)來求取平均斜率k*

7、的近似值K，即 2211KcKcK式中:K1 1為xi點(diǎn)處的切線斜率值 K1 =hf(xi, yi)=hy(xi) K2 2為xi +a2h點(diǎn)處的切線斜率值,比照改進(jìn)的歐拉法,將xi+a2視為xi+1，即可得 ),(12122KbyhaxhfKii2022-7-610確定系數(shù) c1、c2、a2、b21 ，可得到有2階精度的算法格式第10頁/共32頁2022-7-611因此 Kxyxyii)()(1)()(2211KcKcxyi將y(xi+1)在x=xi處進(jìn)行Taylor展開： )()(! 2)()()(321hOxyhxyhxyxyiiii )(! 2),()(32hOf ffhyxhfxyy

8、xiii將 在x=xi處進(jìn)行Taylor展開： ),()(121222KbyhaxhfhaxyhKiii第11頁/共32頁2022-7-612)(),(212122hOfKbf hayxfhKyxiiK1 =hf(xi, yi)(),(3212hOfhfbf hayxfhyxii)(22111KcKcyyii)(),(32122hOfhfbf hayxfhcyxii),()(1iiiyxhfcxy),()()(21iiiyxhfccxy)(32221222hOf fhcbfhcayx第12頁/共32頁2022-7-61321,21,12212221cbcacc這里有 4 個未知數(shù)，3 個方程。

9、存在無窮多個解無窮多個解。所有滿足上式的格式統(tǒng)稱為2階階龍格龍格 - - 庫塔格式庫塔格式。令 11)(iiyxy對應(yīng)項的系數(shù)相等，得到 第13頁/共32頁2022-7-614注意到，注意到， 就是二階就是二階龍格龍格 - - 庫塔庫塔公式，也就是公式，也就是改進(jìn)的歐拉法。改進(jìn)的歐拉法。 21, 121212ccba),(),(21121211KyhxhfKyxhfKKKyyiiiiiiix1ixxy)(xyyK1K2K 因此，凡滿足條件式有一簇形如上式的計算格式，這些格式統(tǒng)稱為二階龍格庫塔格式。因此改進(jìn)的歐拉格式是眾多的二階龍格庫塔法中的一種特殊格式。 第14頁/共32頁若取若取 ，就是另一

10、種形式的二，就是另一種形式的二階階龍格龍格 - - 庫塔公式庫塔公式。 1, 0,2121212ccba2022-7-615)21,21(),(12121KyhxhfKyxhfKKyyiiiiii此計算公式稱為變形的二階龍格庫塔法。式中 為區(qū)間 的中點(diǎn)。也稱中點(diǎn)公式也稱中點(diǎn)公式。 hxi211,iixxQ:為獲得更高的精度，應(yīng)該如何進(jìn)一步推廣？為獲得更高的精度，應(yīng)該如何進(jìn)一步推廣？第15頁/共32頁2022-7-616 二級R-K方法是顯式單步式,每前進(jìn)一步需要計算兩個函數(shù)值。由上面的討論可知,適當(dāng)選擇四個參數(shù)c1,c2,a2, b21，可使每步計算兩次函數(shù)值的二階R-K方法達(dá)到二階精度。能否

11、在計算函數(shù)值次數(shù)不變的情況下,通過選擇不同的參數(shù)值,使得二階R-K方法的精度再提高呢? 答案是否定的！無論四個參數(shù)怎樣選擇,都不能使公式的局部截斷誤差提高到三階。 這說明每一步計算兩個函數(shù)值的二階R-K方法最高階為二階。若要獲得更高階得數(shù)值方法若要獲得更高階得數(shù)值方法, ,就必須增加計算函就必須增加計算函數(shù)值的次數(shù)。數(shù)值的次數(shù)。第16頁/共32頁),(),(),(232131331212213322111KbKbyhaxhfKKbyhaxhfKyxhfKKcKcKcyyiiiiiiii9.4.3 三階龍格三階龍格庫塔法庫塔法2022-7-617 為進(jìn)一步提高精度，在區(qū)間xi, xi+1上除兩點(diǎn)

12、xi和xi+a2= xi +a2h,以外，再增加一點(diǎn)xi+a3= xi +a3h ，用這三點(diǎn)處的斜率值K1、K2和K3的加權(quán)平均得出平均斜率K*的近似值K，這時計算格式具有形式: ix3aix2aixxy)(xyy K1K2K3K第17頁/共32頁2022-7-618 同理推導(dǎo)二階公式，將y(xi+1)和yi+1在x=xi處進(jìn)行Taylor展開，使局部截斷誤差達(dá)到O(h4)，使對應(yīng)項的系數(shù)相等，得到系數(shù)方程組：61,6131)(31)(,3121)(,21133221232232323122213231332212323222332312213322321cbbcbacbbcbbbcacbac

13、acacbbcbcacaccc第18頁/共32頁參數(shù)的選擇不唯一，從而構(gòu)成一類不同的三階R-K公式，下面給出一種常用的三階R-K公式，形似simpson公式：)2,()21,2(),()4(612131213211KKyhxhfKKyhxhfKyxhfKKKKyyiiiiiiii2022-7-619第19頁/共32頁2022-7-6209.4.4 四階四階( (經(jīng)典經(jīng)典) )龍格龍格庫塔法庫塔法 如果需要再提高精度，用類似上述的處理方法，只需在區(qū)間xi,xi+1上用四個點(diǎn)處的斜率加權(quán)平均作為平均斜率K*的近似值，構(gòu)成一系列四階龍格庫塔公式。具有四階精度，即局部截斷誤差是O(h5)。 推導(dǎo)過程與

14、前面類似，由于過程復(fù)雜，這里從略，只介紹最常用的一種四階經(jīng)典龍格四階經(jīng)典龍格庫塔公式庫塔公式。 第20頁/共32頁2022-7-621 K1=hf (xi, yi) K2=hf (xi+a2h, yi+b21K1) K3=hf (xi+a3h, yi+b31K1+b32K2) K4=hf (xi+a4h, yi+b41K1+b42K2+b43K3) 其中c1、c2、c3、c4、a2、a3、a4、b21、b31、b32、b41、b42、b43均為待定系數(shù)。這里K1、K2、K3、K4為四個不同點(diǎn)上的函數(shù)值，分別設(shè)其為 設(shè)yi+1=yi+c1K1+c2K2+c3K3+c4K4第21頁/共32頁202

15、2-7-622 類似于前面的討論，把K2、K3、K4分別在xi點(diǎn)展成h的冪級數(shù)，代入線性組合式中，將得到的公式與y(xi+1)在xi點(diǎn)上的泰勒展開式比較，使其兩式右端直到h4的系數(shù)相等，經(jīng)過較復(fù)雜的解方程過程便可得到關(guān)于ci，ai，bij的一組特解 a2=a3=b21=b32=1/2 b31=b41=b42=0 a4=b43=1 c1=c4=1/6 c2=c3=1/3 第22頁/共32頁23 四階(經(jīng)典)Runge-Kutta方法),()21,2()21,2(),()22(61342312143211KyhxhfKKyhxhfKKyhxhfKyxhfKKKKKyyiiiiiiiiii2022-

16、7-6第23頁/共32頁24例1. 使用高階R-K方法計算初值問題1)0(5 . 002yxyy. 1 . 0h取解:(1) 使用三階R-K方法時0i1 . 0201 hyK1103. 0)21(2102KyhK1256. 0)2(22103KKyhK1111. 1)4(6132101KKKyy2022-7-6第24頁/共32頁25其余結(jié)果如下:(2) 如果使用四階R-K方法時0i1 . 0201 hyK1103. 0)21(2102KyhK i xi k1 k2 k3 yi 1.0000 0.1000 0.1000 0.1103 0.1256 1.1111 2.0000 0.2000 0.1

17、235 0.1376 0.1595 1.2499 3.0000 0.3000 0.1562 0.1764 0.2092 1.4284 4.0000 0.4000 0.2040 0.2342 0.2866 1.6664 5.0000 0.5000 0.2777 0.3259 0.4163 1.99932022-7-6第25頁/共32頁261113. 0)21(2203KyhK1235. 0)(2304KyhK)22(61 . 0432101KKKKyy1111. 1其余結(jié)果如下: i xi k1 k2 k3 k4 yi 1.0000 0.1000 0.1000 0.1103 0.1113 0.1

18、235 1.1111 2.0000 0.2000 0.1235 0.1376 0.1392 0.1563 1.2500 3.0000 0.3000 0.1562 0.1764 0.1791 0.2042 1.4286 4.0000 0.4000 0.2040 0.2342 0.2389 0.2781 1.6667 5.0000 0.5000 0.2777 0.3259 0.3348 0.4006 2.00002022-7-6第26頁/共32頁2022-7-627由上節(jié)分析常微分方程數(shù)值解法穩(wěn)定性問題的方法，可得到各階Runge-Kutta公式的穩(wěn)定性條件：二階二階121122hh與歐拉預(yù)估校正公式一致三階三階1)(! 31)(! 21132hhh四階四階1)(! 41)(! 31)(! 211432hhhh9.4.5 龍格庫塔方法的穩(wěn)定性條件龍格庫塔方法的穩(wěn)定性條件第27頁/共32頁2022-7-628 龍格庫塔方法的推導(dǎo)基于Taylor展開方法，因而它要求所求的解具有較好的光滑性。如果解的光滑性差，那么，使用四階龍格庫塔方法求得的數(shù)值解，其精度可能反而不如改