靜電場(chǎng)問(wèn)題求解.

1、目目 錄錄DE0 ED S )(0)(12n12nDEEDee1 1、基本方程、基本方程SDDEE 1n2n2t1t qSdDl dESl 02121tantan折射定律0 s【例題】【例題】 厚度為厚度為t t、介電常數(shù)為、介電常數(shù)為 =3=30 0 的無(wú)限大介質(zhì)板，放置于均勻電場(chǎng)的無(wú)限大介質(zhì)板，放置于均勻電場(chǎng) 中，板與中，板與 成成 1 1角，如圖所示。試求：（角，如圖所示。試求：（1 1）使）使 的的 1 1值；（值；（2 2）介）介質(zhì)板兩表面的極化電荷密度。質(zhì)板兩表面的極化電荷密度。 230E0E【解】（【解】（1 1）根據(jù)靜電場(chǎng)的邊界條件，在介質(zhì)板的表面上）根據(jù)靜電場(chǎng)的邊界條件，在介

2、質(zhì)板的表面上有有012tan1tan3113tantan33316（2）設(shè)介質(zhì)板中的電場(chǎng)為）設(shè)介質(zhì)板中的電場(chǎng)為 ，根據(jù)分界面上，根據(jù)分界面上的邊界條件，有的邊界條件，有E0003nnEE【例題】【例題】 厚度為厚度為t t、介電常數(shù)為、介電常數(shù)為 =3=30 0 的無(wú)限大介質(zhì)板，放置于均勻電場(chǎng)的無(wú)限大介質(zhì)板，放置于均勻電場(chǎng) 中，板與中，板與 成成 1 1角，如圖所示。試求：（角，如圖所示。試求：（1 1）使）使 的的 1 1值；（值；（2 2）介）介質(zhì)板兩表面的極化電荷密度。質(zhì)板兩表面的極化電荷密度。 230E0E【解【解】 即即 0010cos3nEE036nEE介質(zhì)板左表面的極化電荷面密度

3、介質(zhì)板左表面的極化電荷面密度 0003()3PSnEE 介質(zhì)板右表面的極化電荷面密度介質(zhì)板右表面的極化電荷面密度 0003()3PSnEE2 2、分析方法、分析方法E0E2 D304)(ERRqrCVRrrVd)(41)( CRqr4)(lEUQPQPd 02Snn2211213 3、電位參考點(diǎn)的選擇原則、電位參考點(diǎn)的選擇原則l 場(chǎng)中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無(wú)關(guān)。場(chǎng)中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無(wú)關(guān)。l 同一個(gè)物理問(wèn)題，只能選取一個(gè)參考點(diǎn)。同一個(gè)物理問(wèn)題，只能選取一個(gè)參考點(diǎn)。l 選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡(jiǎn)單，且要有意義選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡(jiǎn)單，且要有意義。例如：點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)

4、：例如：點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)：Crq0400rC0rr4q00C 表達(dá)式無(wú)意義表達(dá)式無(wú)意義0RrR4qr4q00R4qC0 電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)；電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)； 電荷分布在無(wú)窮遠(yuǎn)區(qū)時(shí)，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。電荷分布在無(wú)窮遠(yuǎn)區(qū)時(shí)，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)?！纠纠? 1】 計(jì)算電偶極子的電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算電偶極子的電場(chǎng)強(qiáng)度。 x-q+qzylrr-r+ O【解解】電偶極子產(chǎn)生的電位應(yīng)為電偶極子產(chǎn)生的電位應(yīng)為 rrrrqrqrq000444若觀察距離遠(yuǎn)大于兩電荷的間距若觀察距離遠(yuǎn)大于兩電荷的間距 l ，則可認(rèn)為，則可認(rèn)為 ， 與與 平行，則平行，則rerere

5、coslrr2cos2cos2rlrlrrr)(4cos42020rlrqlrqe求得求得l 的方向規(guī)定由負(fù)的方向規(guī)定由負(fù)電荷指向正電荷電荷指向正電荷【例【例1 1】 計(jì)算電偶極子的電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算電偶極子的電場(chǎng)強(qiáng)度。 x-q+qzylrr-r+ O【解解】)(4cos42020rlrqlrqe定義電偶極子的定義電偶極子的電矩電矩，以，以 p 表示，即表示，即l qp那么電偶極子產(chǎn)生的電位為那么電偶極子產(chǎn)生的電位為 20204cos4rprpreE利用關(guān)系式利用關(guān)系式 ，求得電偶極子的電場(chǎng)強(qiáng)度為，求得電偶極子的電場(chǎng)強(qiáng)度為:sin11rrrEreee30304sin2cosrprpreeErErrd

6、d21sinCr cos2Cr 電場(chǎng)線微分方程電場(chǎng)線微分方程：Crp 204cos等位線方程等位線方程：【例【例2 2】 半徑為半徑為R0的介質(zhì)球，介電常數(shù)的介質(zhì)球，介電常數(shù) ，其內(nèi)均勻分布電荷，其內(nèi)均勻分布電荷，試證，試證明：介質(zhì)球中心點(diǎn)的電位明：介質(zhì)球中心點(diǎn)的電位 0r2003212Rrr 【解解】由高斯定理】由高斯定理 可得可得 VSdVqSdD rorierRDRrerDRr2300033 rorrierRERrerERr203000033 200003212000RrdErdEl dErrRoRi ED 【解解】采用球坐標(biāo)系，分區(qū)域建立方程采用球坐標(biāo)系，分區(qū)域建立方程【例【例3 3】

7、設(shè)有電荷均勻分布在半徑為設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場(chǎng)。試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場(chǎng)。 體電荷分布的球形域電場(chǎng)體電荷分布的球形域電場(chǎng) 012212drdrdrdr1)()0 (ar0drdrdrdr122222)()(ra積分之，得通解積分之，得通解43221021CrC)r(Cr1C6r)r( 【解解】采用球坐標(biāo)系，積分得通解采用球坐標(biāo)系，積分得通解【例【例3 3】設(shè)有電荷均勻分布在半徑為設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體

8、密度為，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場(chǎng)。試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場(chǎng)。 體電荷分布的球形域電場(chǎng)體電荷分布的球形域電場(chǎng) 43221021)( 16)(CrCrCrCrr ararararrr 201021有限值0r10r201 C04 C03202332aCaC 【解解】采用球坐標(biāo)系，由邊界條件得定解采用球坐標(biāo)系，由邊界條件得定解【例【例3 3】設(shè)有電荷均勻分布在半徑為設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場(chǎng)。試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場(chǎng)。 體電荷分布的球

9、形域電場(chǎng)體電荷分布的球形域電場(chǎng) rarararrar03222013)(0)3(6)(arrrrr 03)(0111eerE rararrreerE2022223)(1. 由于電場(chǎng)強(qiáng)度的方向?yàn)殡娢惶荻鹊呢?fù)方向，電場(chǎng)線與等位面一定處處保持垂直電場(chǎng)線等位面E2. 靜電平衡：當(dāng)孤立導(dǎo)體放入靜電場(chǎng)中以后，導(dǎo)體中自由電子發(fā)生定向運(yùn)動(dòng)，電荷重新分布。由于自由電子逆電場(chǎng)方向反向移動(dòng)，因此重新分布的電荷產(chǎn)生的二次電場(chǎng)與原電場(chǎng)方向相反，使導(dǎo)體中的合成電場(chǎng)逐漸削弱，一直到導(dǎo)體中的合成電場(chǎng)消失為零，自由電子的定向運(yùn)動(dòng)方才停止，因而電荷分布不再改變，這種狀態(tài)稱為靜電平衡。靜電平衡0 E導(dǎo)體內(nèi)：const 等位體： n

10、Desns面電荷： 00 EeEnt導(dǎo)體面： Rss 當(dāng)導(dǎo)體處于靜電平衡時(shí)，自由電荷只能分布在導(dǎo)體的表面上。處于靜電平衡狀態(tài)的導(dǎo)體是一個(gè)等位體，導(dǎo)體表面是一個(gè)等位面。電場(chǎng)強(qiáng)度必須垂直于導(dǎo)體的表面。【例1】?jī)蓚€(gè)半徑為R和R的導(dǎo)體球，相距甚遠(yuǎn)（可以看成孤立導(dǎo)體球），其中球1帶電量q，球2不帶電。現(xiàn)用一根細(xì)長(zhǎng)導(dǎo)線連接兩球，且分析中忽略導(dǎo)線對(duì)周圍電場(chǎng)的影響。求： 兩個(gè)球上的電荷量； 兩個(gè)球面上的電場(chǎng)強(qiáng)度； 概括電荷分布規(guī)律性。1R1O2O2R0【分析】根據(jù)題意，本題是屬兩孤立導(dǎo)體球的合成電場(chǎng)問(wèn)題。“用一根細(xì)長(zhǎng)導(dǎo)線連接兩球”表征兩導(dǎo)體球等電位。1R1O2O2R0【解】根據(jù)題意，可建立方程組： qqq21

11、21 2022101144RqRq其中解得 21222111RRqRqRRqRq由邊界條件 得Dens 21202221101144RRReqERRReqERR2211RqRq 由 得21 1221RR 結(jié)論：曲率半徑越大，電荷分布越少【解】由于結(jié)構(gòu)為球?qū)ΨQ，場(chǎng)也是球?qū)ΨQ的，應(yīng)用高斯定理求解十分方便。取球面作為高斯面，由于電場(chǎng)必須垂直于導(dǎo)體表面，因而也垂直于高斯面。 【例2】已知半徑為r1 的導(dǎo)體球攜帶的正電量為q，該導(dǎo)體球被內(nèi)半徑為 r2 的導(dǎo)體球殼所包圍，球與球殼之間填充介質(zhì)，其介電常數(shù)為1 ，球殼的外半徑為 r3 ，球殼的外表面敷有一層介質(zhì)，該層介質(zhì)的外半徑為r4 ，介電常數(shù)為2 ，外部

12、區(qū)域?yàn)檎婵?，如左下圖示。r1r2r3r4 0 2 1試求：各區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度； 各個(gè)表面上的自由電荷和束縛電荷?！窘狻吭?r r1及 r2r r3 區(qū)域中，因?qū)w中不可能存靜電場(chǎng)，所以E = 0。 r1r2r3r4 0 2 1 Sq dSDrrqe2224 E在 r3r r4 區(qū)域中在 r1r r2 區(qū)域中rrqe2114 E 【解】r1r2r3r4 0 2 1 根據(jù) 及 ，可以求得各個(gè)表面上的自由電荷及束縛電荷面密度分別為S PneSD ner = r1:214 rqS0114121n10rSSrqEr = r4:0114)(224n2n004rSrqEE0Sr = r2:2224 rqS0

13、11412221n02rSSrqEr = r3:2334 rqS011422332n03rSSrqE電容和部分電容電容和部分電容 靜電獨(dú)立系統(tǒng)雙導(dǎo)體的電容靜電獨(dú)立系統(tǒng)雙導(dǎo)體的電容 UqC 1n1KK.0q 靜電獨(dú)立系統(tǒng)靜電獨(dú)立系統(tǒng)D D 線從這個(gè)系統(tǒng)中的帶電體發(fā)出，并終止于該線從這個(gè)系統(tǒng)中的帶電體發(fā)出，并終止于該系統(tǒng)系統(tǒng)中的其余帶電體，與外界無(wú)任何聯(lián)系，即中的其余帶電體，與外界無(wú)任何聯(lián)系，即 電容的計(jì)算思路：電容的計(jì)算思路： UQCdUQlEE設(shè)設(shè) 電位系數(shù)和電容電位系數(shù)和電容 q qC 例如半徑為例如半徑為a a的孤立導(dǎo)體球的孤立導(dǎo)體球：qaq 04為便于衡量?jī)?chǔ)存為便于衡量?jī)?chǔ)存 電荷的能力電

14、荷的能力aqC04 開放系統(tǒng)雙導(dǎo)體的部分電容開放系統(tǒng)雙導(dǎo)體的部分電容 電容和部分電容電容和部分電容q1q2C12C21C11C2222212122121111qqqq 22212122121111 qq 22221122122112112111 qq222221212121211111CCqCCq 12221121122211211 j , i電位系數(shù) 表明導(dǎo)體j上的電荷對(duì)導(dǎo)體i電位的貢獻(xiàn) ；ji,感應(yīng)系數(shù) 表示導(dǎo)體j電位對(duì)導(dǎo)體i電荷的貢獻(xiàn)。 多導(dǎo)體的部分電容多導(dǎo)體的部分電容 電容和部分電容電容和部分電容 q q 1 UCq nknkkkkkkqqqq 2211nknkkkkkkq 2211)

15、()()()(212211nkknkknkkkkkkkkkq knknkkkkkkkkkUCUCUCUCq 2211 )()(1jijiCijnjijij電容和部分電容電容和部分電容knknkkkkkkkkkUCUCUCUCq 2211 )()(1jijiCijnkikij部分電容性質(zhì): 所有部分電容都是正值，且僅與導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì) 的值有關(guān)； 互有部分電容Cij=Cji ，即C為對(duì)稱陣； (n+1)個(gè)導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)中，共應(yīng)有 n(n+1)/2個(gè)部分電容； 部分電容是否為零,取決于兩導(dǎo)體之間有否電力線相連。電容和部分電容電容和部分電容【解】設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為q，則由【例1】同心

16、球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為o的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。圖圖 球形電容器球形電容器qdS SDrrqeD24 rrqeE204 ababqbaqEdrUba 004)11(4同心導(dǎo)體間的電壓abab4UqC0球形電容器的電容aC04當(dāng)當(dāng)b時(shí)時(shí)電容和部分電容電容和部分電容【解】設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電量分別為+l和-l ， 則由【例2】同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為為b，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長(zhǎng)度的電容。qdS SD內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓ab同軸線同軸線( )2lEe1( )ddln( / )22bbllaaUEeb

17、a故得同軸線單位長(zhǎng)度的電容為12F/mln( / )lCUb a電容和部分電容電容和部分電容【解】建立球坐標(biāo)系，設(shè)內(nèi)球帶電q1，球殼帶電q2，則由高斯定理可求得球與球殼間的電場(chǎng)Ei以及球殼外的電場(chǎng)Eo（忽略地面的影響）【例3】已知金屬內(nèi)球半徑為a，同心金屬球殼（無(wú)限?。┌霃綖閎，球殼不接地。球與球殼之間以及球殼以外均為空氣。試求：該系統(tǒng)的部分電容以及對(duì)地總電容。ab12C12C22 Sq dSDbrrqqr e202124Ebrarqr e20114E bqqrdbaqrd0212201124114bba1EE - 2021201411/4bqqbaq -1電容和部分電容電容和部分電容【解】建

18、立球坐標(biāo)系，設(shè)內(nèi)球帶電q1，球殼帶電q2【例3】已知金屬內(nèi)球半徑為a，同心金屬球殼（無(wú)限薄）半徑為b，球殼不接地。球與球殼之間以及球殼以外均為空氣。試求：該系統(tǒng)的部分電容以及對(duì)地總電容。ab12C12C22 2021201411/4bqqbaq -1 babbaba11/4411/411/4002202112011 bCbaCC022212201212121111411/40aCCCCC0221222124 庫(kù)侖定律靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)dqdw VedVW21 D EVWVd 21e EDED 21ew2e 21Ew 各向同性的線性介質(zhì)各向同性的線性介質(zhì)dqdw VedVW21Vt t時(shí)刻帶電體時(shí)刻

19、帶電體V V的的電位和電荷密度電位和電荷密度 建立電場(chǎng)過(guò)程緩慢（忽略動(dòng)能與能量輻射）。 假設(shè)假設(shè):(根據(jù)靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)的基本特性) 電荷系統(tǒng)中的介質(zhì)是線性的； 電場(chǎng)的建立與充電過(guò)程無(wú)關(guān),導(dǎo)體上電荷與電位的最終值 為 ,在充電過(guò)程中， 的增長(zhǎng)比例為， 10 和和點(diǎn)P dqdwt t至至t tdtdt時(shí)間時(shí)間P P點(diǎn)點(diǎn)充電所做的功充電所做的功dVddqdVddw VedVdW10 niiieqW121導(dǎo)體系統(tǒng)導(dǎo)體系統(tǒng)【例1】 半徑為a 的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的電荷，試求 靜電場(chǎng)能量。10()3rrEera 【解】 方法一：利用 計(jì)算。根據(jù)高斯定理求得電場(chǎng)強(qiáng)度 VeVEDWd213220()3raEerar520220210154d21d21d2121aVEVEVEDWVVVe )3(2d3d3dd2202030211rarrarrrErEaraara 方法二：利用 計(jì)算。先求出電位分布 VeVWd21)(ar 5202022021154d4)3(221d21arrraVWaVe1. 廣義坐標(biāo)：廣義