可微性與偏導(dǎo)數(shù)

1、數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部120222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三推廣推廣一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 注意：注意：善于類比善于類比, , 區(qū)別異同區(qū)別異同一元函數(shù)、極限與連續(xù)一元函數(shù)、極限與連續(xù) 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 一元函數(shù)的極值一元函數(shù)的極值 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部220222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三第十七章第十七章本章內(nèi)容1. 可微性可微性2. 復(fù)合函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)微分法3. 方向?qū)?shù)與梯度方

2、向?qū)?shù)與梯度4. 泰勒公式與極值問題泰勒公式與極值問題數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性（Differentiability）一、可微性與全微分一、可微性與全微分二、偏導(dǎo)數(shù)二、偏導(dǎo)數(shù)三、可微性條件三、可微性條件四、四、可微性的幾何意義及應(yīng)用可微性的幾何意義及應(yīng)用 五、五、小結(jié)小結(jié) 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部420222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三一、一、可微性與全微分 定義定義 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)0( , )()zf x yU P 在某鄰域在某鄰域內(nèi)有定義內(nèi)有定義 .000( , )(,)(),P x yxx yyU

3、P 對(duì)于對(duì)于若若 f 在在 0P:z 可可表表示示為為的全增量的全增量0000(,)(,)( ),zf xx yyf xyA xB yo (1)0P22,xy 其中其中A, ,B是僅與點(diǎn)是僅與點(diǎn)有關(guān)的常數(shù)有關(guān)的常數(shù), ( )o 是是的高階無(wú)窮小量的高階無(wú)窮小量, ).()()()( :)(0000 xfAxoxAxfxxfxxf其中可微在點(diǎn)0P可微可微. 則稱則稱 f 在點(diǎn)在點(diǎn)數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部520222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三0000(,)(,)( ),zf xx yyf xyA xB yo (1)并稱并稱 (

4、1) 式中關(guān)于式中關(guān)于,xyA xB y 的的線線性性表表達(dá)達(dá)式式000d |d (,).Pzf xyA xBy(2)0fP在在為為的的全微分全微分, 記作記作 |,|xy dz由由 (1), (2) 可見可見, ,當(dāng)當(dāng) 充分小時(shí)充分小時(shí), 全微分全微分 z 可作為全增量可作為全增量 的近似值的近似值, 于是有近似公式于是有近似公式: 0000( , )(,)()().f x yf xyA xxB yy(3)(,)(0,0)(,)(0,0)limlim0.xyxy 這里這里,zA xByxy (4)在使用上在使用上, 有時(shí)也把有時(shí)也把 (1) 式寫成如下形式：式寫成如下形式：數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(

5、2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部620222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三例例1 考察考察 00( , )(,).f x yxyxy 在在任任一一點(diǎn)點(diǎn)的的可可微微性性解解 f在在點(diǎn)點(diǎn) 00(,)xy處的全增量為處的全增量為000000(,)()()f xyxxyyx y 00.yxxyxy 由于由于 | |0(0),xyxy 00( ).(,),x yofxy 因因此此從從而而在在可可微微 且且00d.fyxxy 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部720222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三二、偏

6、導(dǎo)數(shù)二、偏導(dǎo)數(shù) 由一元函數(shù)微分學(xué)知道由一元函數(shù)微分學(xué)知道: 若若 0( ),f xx在在可可微微則則 00()()(),f xxf xA xox 其其中中0().Afx( , )f x y00(,)xy若二元函數(shù)若二元函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微，則可微，則 (1) 式中的常數(shù)式中的常數(shù) A, B 應(yīng)取怎樣的值？應(yīng)取怎樣的值？ 0000(,)(,)( ),zf xx yyf xyA xB yo (1)數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部820222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三在在 (4) 式中先令式中先令 0(0),yxf 這這時(shí)時(shí)得得到到關(guān)關(guān)

7、x于于的的偏偏增增量量為為.xxzzA xxAx 或或,zA xByxy (4)由可微性的定義，全增量又可寫為由可微性的定義，全增量又可寫為0,xA 現(xiàn)現(xiàn)讓讓由由上上式式便便得得的的一一個(gè)個(gè)極極限限表表示示式式000000(,)(,)limlim.xxxzf xx yf xyAxx (5) (5) 式右邊的極限正是關(guān)于式右邊的極限正是關(guān)于 x 的一元函數(shù)的一元函數(shù)f (x,y0)在在x=x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù). .數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部920222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三000000(,)(,)limlim.xxxzf

8、xx yf xyAxx (5) 類似地類似地, (4)0(0),xy 在在式式中中令令又可得到又可得到000000(,)(,)limlim,yyyzf xyyf xyByy (6)它是關(guān)于它是關(guān)于 y 的一元函數(shù)的一元函數(shù)00(, ).f xyyy 在在處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)二元函數(shù)當(dāng)固定其中一個(gè)自變量時(shí)二元函數(shù)當(dāng)固定其中一個(gè)自變量時(shí), 它對(duì)另一個(gè)自它對(duì)另一個(gè)自 變量的導(dǎo)數(shù)稱為該函數(shù)的變量的導(dǎo)數(shù)稱為該函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù).,zA xByxy (4)數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1020222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三0.x 的某鄰域內(nèi)有

9、定義的某鄰域內(nèi)有定義 則當(dāng)極限則當(dāng)極限 存在時(shí)存在時(shí), 稱此極限為稱此極限為 00(,)fxy在在點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于關(guān)于x 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù), 記作記作000000(,)(,)(,),.xxyxyfzfxyxx或或0( , ),( , ),( ,)zf x yx yDf x y設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)且且在在定義定義 2 000000(,)(,)limlimxxxzf xx yf xyxx(7)數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1120222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三類似地可定義類似地可定義 00(,)fxy在在點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于關(guān)于 y 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù): 00

10、0000(,)(,)limlim,yyyzf xyyf xyyy (7) 記作記作000000(,)(,)(,),.yxyxyfzfxyyy或或( , )zf x y ( , )x y若函數(shù)若函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 上每一點(diǎn)上每一點(diǎn) 都存在都存在 對(duì)對(duì) x ( 或?qū)驅(qū) ) 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù), 則得到則得到 ( , )zf x y 在在 D 上上 對(duì)對(duì) x (或?qū)驅(qū)) 的偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)函數(shù) (也簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)也簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)), 記作記作 ( , )( , )( , )( , ),xyf x yf x yfx yfx yxy或或或或,.xxyyfffzfzxy也可簡(jiǎn)單地寫作或或也可簡(jiǎn)單地寫作或或

11、數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1220222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù). .( , , ),uf x y z例如， ( , , ) x y z在處，,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1320222022年年7 7月月6 6日星期三日

12、星期三xyxfyxxfxzx),(),(lim0可以看出可以看出: 定義定義xz時(shí)時(shí), 變量變量 y 是不變的是不變的, 實(shí)際上實(shí)際上,是對(duì)函數(shù)是對(duì)函數(shù)),(yxf, 將將 y 視為常數(shù)視為常數(shù), 關(guān)于變量關(guān)于變量 x 按一元按一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行的：函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行的：xyxfyxxfxzxyx ),(),(lim00000),(000d),(d0 xxxyxf 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算的計(jì)算: :數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1420222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)沒有任何求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)沒有任何技術(shù)性的新

13、東西技術(shù)性的新東西. .對(duì)某一個(gè)變?cè)笃珜?dǎo)時(shí)，視對(duì)某一個(gè)變?cè)笃珜?dǎo)時(shí)，視其他變?cè)獮槌Ａ?，其他變?cè)獮槌Ａ浚瑢?shí)質(zhì)上是實(shí)質(zhì)上是相應(yīng)的一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相應(yīng)的一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù). . 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1520222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 .)2 , 1( 1322處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)求求 yxyxz例例2把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院

14、基礎(chǔ)部1620222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三解法解法2.)2 , 1( 1322處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)求求 yxyxz例例22 yz462 xx)2, 1(xz 1)62( xx8 1 xz231yy )2, 1(yz 2)23( yy7 求一點(diǎn)處偏求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定義利用定義數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1720222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三 . arctan 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求求yxz xyxyxxz211 , 22yxy yyxyxyz211 .

15、22yxx 將將 y 看成常數(shù)看成常數(shù)y1將將 x 看成常數(shù)看成常數(shù)2yx 例例3 3解解數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1820222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立zyzxxzyx2ln1 例例4 求證求證:),1, 0( xxxzy設(shè)設(shè)數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部1920222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三解解 xz, )2cos(22

16、yxx ., )2sin(2yzxzyxz 求求設(shè)設(shè)練習(xí)練習(xí)1 yz. )2cos(22yx .,11tansin)3(31222 yxxzyxxyyxz求求設(shè)設(shè)練習(xí)練習(xí)2 2解解 31yxxz1) )3 ,( xxxf12)( xx1)2( xx. 2 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2020222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三解解).3 , 2 , 1(,),(xxzyfzuyuxuzyxzyxfu 求求設(shè)設(shè)練習(xí)練習(xí)3 xu 1yyx yu xxyln zu yyzln )3 , 2 , 1(xf 2,lnzzx,1 zzy,1

17、xxz. 3ln3數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2120222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三證證 VRTP VP PRTV TV RPVT PT PTTVVP2VRT PR RV . 1 PVRT ),( 為常數(shù)為常數(shù)程為程為已知理想氣體的狀態(tài)方已知理想氣體的狀態(tài)方RRTPV 例例5. 1: PTTVVP求證求證,2VRT ,PR,RV數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2220222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三 警告各位！偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)yx,是一個(gè)整體記號(hào),z與yx ,的商.

18、不能像一元函數(shù)那樣將yzxz,看成是數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2320222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三 )0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22yxyxyxxyyxf例例6 6 設(shè)設(shè)求函數(shù)在求函數(shù)在(0,0)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù) .解解xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0, 00lim0 xxyfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0. 00lim0 yy注：求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求注：求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求. .數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)1

19、7.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2420222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，例如例如, 函數(shù)函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf依定義知在依定義知在(0, 0)處處, 0)0 , 0()0 , 0( yxff但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù)但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部252022

20、2022年年7 7月月6 6日星期三日星期三對(duì)多元函數(shù)來(lái)說(shuō)對(duì)多元函數(shù)來(lái)說(shuō), ,函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在與否與函數(shù)的連續(xù)性無(wú)必然關(guān)系存在與否與函數(shù)的連續(xù)性無(wú)必然關(guān)系. .這是多元函數(shù)與一元函數(shù)的這是多元函數(shù)與一元函數(shù)的一個(gè)本質(zhì)區(qū)別一個(gè)本質(zhì)區(qū)別. .一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2620222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義: :如圖如圖:0yxyzO),(yxfz ),(00yxfx),(00yxfy0 x切線的斜率切線的斜率. .),(0yxfz

21、 是曲線是曲線),(00yxfx的切線的切線 0),(yyyxfz.軸的斜率軸的斜率對(duì)對(duì) x數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2720222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在 , 只是表明函數(shù)只是表明函數(shù)沿沿 x 軸和軸和 y 軸方向是連續(xù)的軸方向是連續(xù)的 , 而二元函數(shù)在而二元函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)必須是沿空間的任何方向均連續(xù)一點(diǎn)處連續(xù)必須是沿空間的任何方向均連續(xù), 故由偏導(dǎo)數(shù)存在不能推出函數(shù)連續(xù)故由偏導(dǎo)數(shù)存在不能推出函數(shù)連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義說(shuō)明了一個(gè)問題偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義說(shuō)明了一個(gè)問題:數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分

22、析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2820222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三 曲線曲線在點(diǎn)在點(diǎn)(2,4,5)處的處的切線與切線與x軸軸正向所成的傾角是多少正向所成的傾角是多少?解解,21),(xyxfx tan1)4 , 2( xf4 在點(diǎn)在點(diǎn)(2,4,5)處的處的切線切線與與y軸正向所成的傾角是多少軸正向所成的傾角是多少?,2422 xyxz 曲線曲線 例例7,4422 yyxz數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部2920222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三三、可微性條件 000(,),fP

23、 xyf在在點(diǎn)點(diǎn)可可微微 則則在在由可微定義易知由可微定義易知: : 若若 0P 必必連連續(xù)續(xù). .這表明這表明: : 連續(xù)是可微的一個(gè)必要條件連續(xù)是可微的一個(gè)必要條件且且存在存在處處則在點(diǎn)則在點(diǎn)可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果, ),(,),(),( yxffyxyxyxfu yfxfudyx 定理定理17.1（可微的必要條件）（可微的必要條件）,.xdxydy 由由于于即即ydfdxfudyx 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3020222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三定理定理17. 1 的應(yīng)用的應(yīng)用: 對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù) 22( , ),

24、f x yxy 由于由于 ( ,0)|,(0, )|,f xxfyy 0 x 它們分別在它們分別在0y 與與(0,0)xf與與都不可導(dǎo)，即都不可導(dǎo)，即(0,0),yf都不存在都不存在( , )(0,0).f x y 在在點(diǎn)點(diǎn)不不可可微微故故ydfxdfudyxyfxfyx ),(),(,zyxzyxfu在點(diǎn)在點(diǎn)若三元函數(shù)若三元函數(shù)類似地類似地 .,且且存在存在則則可微可微zyxfffdzfdyfdxfudzyx數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3120222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三解解,xyxe dyyzdxxzdz 因此，因此，

25、.dyxedxyexyxy 2222|2.xydze dxe dy(2, 1) 處的全微分處的全微分,xyye xxyexz yxyeyz 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3220222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三解解,2cos21yzzey ,yzye 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz , 1 xyzeyxxu 2sin yyzeyxyu 2sin zyzeyxzu 2sin .2sin的全微分的全微分計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)yzeyxu 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)

26、部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3320222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三解解,dyzdxzdzyx xz 又又. ,ln 22dzyxyxzxy求求已知已知 練習(xí)練習(xí)1 1 1yyx yyxln,22yxx yz xxyln 1xxy,22yxy dz 1(yyx yyxln dxyxx)22 xxyln( 1xxy.)22dyyxy 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3420222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三求函數(shù)求函數(shù) 的全微分的全微分.yzyxuarctan2sin2 解解因?yàn)橐驗(yàn)?2xxu ,2cos2122zyzyyu

27、,22zyyzu 所以所以.dd)2cos21(d2d2222zzyyyzyzyxxu 練習(xí)練習(xí)2 2數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3520222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三練習(xí)：練習(xí)：:求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) )1ln()sin( . 12xyxyxzy yyxxz)(sin . 2sin 2ln . 3lnln32 zyxzyxu數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3620222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三練習(xí)題求解：練習(xí)題求解：:求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求下列

28、函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) )1ln()sin( . 12xyxyxzy xz yz )cos(22yxxy )cos(22yxx 1yyx,1xyy xxyln.1xyx 解：解：數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3720222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三練習(xí)題求解：練習(xí)題求解：:求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) xz yz 1sinsinyxy yxxycoslnsin,cos)(sin1xxyy .sinln)(sinxxy 解：解：yyxxz)(sin . 2sin 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技

29、學(xué)院基礎(chǔ)部3820222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三練習(xí)題求解：練習(xí)題求解：:求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) xu yu x2 23y,ln1ln zxz,1lnlnyzzy 解：解：2ln . 3lnln32 zyxzyxu zu 1lnlnyzy.1lnlnzxxz 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部3920222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三*對(duì)于多元函數(shù)對(duì)于多元函數(shù), 可導(dǎo)可導(dǎo) 可微可微*對(duì)于一元函數(shù)對(duì)于一元函數(shù), 可導(dǎo)可導(dǎo) 可微，可微，例例).0 , 0( , 0, 00,),(222222 yxyxyxx

30、yyxfz )0 , 0()0 , 0(yfxfzyx22)()(yxyx ,按定義按定義 )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 0 , 0)0 , 0( yf),( o .)0 , 0(),(處不可微處不可微在在yxfz 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部4020222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三 0000,;xyfxyfxy(1)(1)求求 2 考考察察極極限限 yyxfxyxfzyx ),(),(lim00000,),(),(0)3(00可可微微在在，如如果果上上式式極極限限為為yxyxf.),(),

31、(000不不可可微微在在，則則若若極極限限不不為為yxyxf是是否否可可微微的的步步驟驟：在在判判斷斷函函數(shù)數(shù)),(),(00yxyxfz 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部4120222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三證明證明 （1）. 0)0 , 0( f( (先證連續(xù)先證連續(xù)) ) 041)()(41)(0222/3222222/32222 yxyxyxyxyx0)(lim2/32222)0,0(y), yxyxx（由迫斂性由迫斂性).0 , 0(f .)0 , 0(),(連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù)yxf數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17

32、.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部4220222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三 )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx )0 , 0(yfyfyfy )0 , 0(), 0(lim0, 000lim0 yy( (再證偏導(dǎo)數(shù)存在再證偏導(dǎo)數(shù)存在) ) 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部4320222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三 )0 , 0()0 , 0(yfxffyx 22232222)()()()()()(yxyxyx 22222)()()()(yxyx

33、)0 , 0()0 , 0( yfxffyx 則則22222)()()()(xxxx 41 ),()0 , 0()0 , 0( oyfxffyx 即即數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部4420222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三注意注意 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)并不是可微的必要條件，例如偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)并不是可微的必要條件，例如 222222221()sin,0,( , )0,0.xyxyxyf x yxy 它在原點(diǎn)它在原點(diǎn) (0,0) 處可微處可微, 但但xyff與與卻在該點(diǎn)不連續(xù)卻在該點(diǎn)不連續(xù). ( , )f x y00(,)xy在在點(diǎn)點(diǎn)xyff與與若

34、若的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)都連續(xù), 則則 00(,)fxy稱稱在在點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)可微連續(xù)可微 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部4520222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三多元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可偏導(dǎo)函數(shù)可偏導(dǎo)數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性四、四、 可微性的幾何意義及應(yīng)用可微性的幾何意義及應(yīng)用 . , 軸的切線軸的切線于于在不平行在不平行在幾何上反映為曲線存在幾何上反映為曲線存一元函數(shù)可微一元函數(shù)可微y: , 引入曲面的切平面定義引入

35、曲面的切平面定義與此相仿與此相仿: 應(yīng)滿足應(yīng)滿足和切線的夾角和切線的夾角當(dāng)有切線時(shí)，相應(yīng)割線當(dāng)有切線時(shí)，相應(yīng)割線 PTSdh Q. 0sin , 0 dh 也就是也就是數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部4720222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三定義定義 3 設(shè)曲面設(shè)曲面 S 上一上一一個(gè)一個(gè)平面平面, S 上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn) PQhdxyzOS 點(diǎn)點(diǎn) P, 為通過(guò)點(diǎn)為通過(guò)點(diǎn) P 的的Q 到定點(diǎn)到定點(diǎn) P 和到平面和到平面 的距離分別記為的距離分別記為 d 和和 h. 當(dāng)當(dāng) Q 在在 S 上以任上以任意方式趨近于意方式趨近于 P 時(shí)時(shí),

36、恒有恒有 0,hd 則稱則稱 為曲為曲面面 S 在點(diǎn)在點(diǎn) P 的的切平面切平面, 稱稱 P 為為切點(diǎn)切點(diǎn). 定理定理 17.4 曲面曲面0000( , )(,(,)zf x yP xyf xy 在在點(diǎn)點(diǎn)存在不平行于存在不平行于 z 軸的切平面的充要條件是軸的切平面的充要條件是: : 函數(shù)函數(shù) f在點(diǎn)在點(diǎn)000(,)P xy可微可微. 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部4820222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三000(,)P xy 由定理由定理 17.4 : : 函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)可微可微, , 則曲面則曲面 000( , )(,)zf

37、x yP xy z 在在點(diǎn)點(diǎn)處的切平面方程為處的切平面方程為0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy 過(guò)切點(diǎn)過(guò)切點(diǎn) P 的法線方程為的法線方程為 0000000.(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy ,1),(),(0000 yxfyxfnyx 法向量法向量為為數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部4920222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 在點(diǎn)在點(diǎn)M 的切平面的方程：的切平面的方程：一元函數(shù)微分幾何意義一元函數(shù)微分幾何意義 xxfdy )(0),(yxfz 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部5020222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上點(diǎn)的上點(diǎn)的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo)的增量的增量的全微分的全微分在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)),(),(00yxyxfz 因?yàn)榍嬖谝驗(yàn)榍嬖贛 處的切平面方程為處的切平面方程為數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(2)17.1 可微性可微性華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部5120222022年年7 7月月6 6日星期三日星期三【解【解】