軟件工程-03運(yùn)算方法和運(yùn)算部件

1、第三章 運(yùn)算方法和運(yùn)算部件不同層次程序員看到的運(yùn)算及ALU定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算及其運(yùn)算部件浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算及其運(yùn)算部件3.1 高級(jí)語(yǔ)言和機(jī)器指令中的運(yùn)算C語(yǔ)言程序中涉及的運(yùn)算整數(shù)算術(shù)運(yùn)算、浮點(diǎn)數(shù)算術(shù)運(yùn)算按位、邏輯、移位、位擴(kuò)展和位截?cái)嘀噶罴信c運(yùn)算相關(guān)的指令（ 以MIPS為參考 ）涉及到的定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算算術(shù)運(yùn)算帶符號(hào)整數(shù)運(yùn)算：取負(fù) / 符號(hào)擴(kuò)展 / 加 / 減 / 乘 / 除 / 算術(shù)移位無(wú)符號(hào)整數(shù)運(yùn)算：0擴(kuò)展 / 加 / 減 / 乘 / 除 邏輯運(yùn)算邏輯操作：與 / 或 / 非 / 移位操作：邏輯左移 / 邏輯右移涉及到的浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算：加、減、乘、除一、移位運(yùn)算1. 移位的意義15 米 = 1500 厘米 小數(shù)點(diǎn)

2、右移 2 位機(jī)器用語(yǔ)15 相對(duì)于小數(shù)點(diǎn) 左移 2 位（ 小數(shù)點(diǎn)不動(dòng) ）.左移 絕對(duì)值擴(kuò)大右移 絕對(duì)值縮小在計(jì)算機(jī)中，移位與加減配合，能夠?qū)崿F(xiàn)乘除運(yùn)算2. 算術(shù)移位規(guī)則1右移 添 1左移 添 00反 碼補(bǔ) 碼原 碼負(fù)數(shù)0原碼、補(bǔ)碼、反碼正數(shù)添補(bǔ)代碼碼 制符號(hào)位不變例3.1 設(shè)機(jī)器數(shù)字長(zhǎng)為 8 位（含一位符號(hào)位），寫(xiě)出A = 26時(shí)，三種機(jī)器數(shù)左、右移一位和兩位后的表示形式及對(duì)應(yīng)的真值，并分析結(jié)果的正確性。解：A = 26 61,0000110 131,0001101 1041,1101000 521,0110100 261,0011010移位前對(duì)應(yīng)的真值機(jī) 器 數(shù)移位操作1212原碼= 1101

3、0 61,1111001 131,1110010 1041,0010111 521,1001011 261,1100101移位前對(duì)應(yīng)的真值機(jī) 器 數(shù)移位操作1212 71,1111001 131,1110011 1041,0011000 521,1001100 261,1100110移位前對(duì)應(yīng)的真值機(jī) 器 數(shù)移位操作1212補(bǔ)碼反碼3. 算術(shù)移位的硬件實(shí)現(xiàn)（a）真值為正 （b）負(fù)數(shù)的原碼（c）負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼（d）負(fù)數(shù)的反碼000100丟 1丟 1出錯(cuò)影響精度出錯(cuò)影響精度正確影響精度正確正確4. 算術(shù)移位和邏輯移位的區(qū)別算術(shù)移位有符號(hào)數(shù)的移位邏輯移位無(wú)符號(hào)數(shù)的移位邏輯左移邏輯右移低位添 0，高位移丟

4、高位添 0，低位移丟例如 11010011邏輯左移10100110邏輯右移01011001算術(shù)左移算術(shù)右移1010011011011001（補(bǔ)碼）00101100103.2 基本運(yùn)算部件一、ALU 電路組合邏輯電路 Ki 不同取值 Fi 不同四位 ALU 74181M = 0 算術(shù)運(yùn)算M = 1 邏輯運(yùn)算S3 S0 不同取值，可做不同運(yùn)算ALUAiBiFiKi1 基本的二進(jìn)制加法器一位加法電路 一位半加器（不考慮進(jìn)位） 一位全加器（考慮進(jìn)位） Ci=XiYi + (Xi+Yi )Ci-1Fi=XiYiXiYiHAFi=XiYi Ci-1Ci-1XiYiCiFA=Gi + PiCi-1Gi=Xi

5、Yi進(jìn)位產(chǎn)生函數(shù)Pi= Xi+Yi進(jìn)位傳遞函數(shù)2串行進(jìn)位加法器 C3F0C-1X0Y0FAF1C0X1Y1FAF2C1X2Y2FAF3C2X3Y3FA進(jìn)位信號(hào)串行傳送速度慢 C0 = G0 + P0C-1 C1 = G1 + P1C0C2 = G2 + P2C1C3 = G3 + P3C2= G0 P0C-1設(shè)與非門(mén)的級(jí)延遲時(shí)間為ty 4 位 全加器產(chǎn)生進(jìn)位的全部時(shí)間為 8ty&C3P3P2P1P0C2C1C0C-1G3G2G1G0Gi=XiYiPi= Xi+Yi3超前進(jìn)位產(chǎn)生電路 C0 = G0 + P0C-1 C1 = G1 + P1C0 C2 = G2 + P2C1C3 = G3 + P

6、3C2 = G1 + P1G0 + P1P0C-1 = G2 + P2G1 + P2P1G0 + P2P1P0C-1 = G3 + P3G2 + P3P2G1 + P3P2P1G0 + P3P2P1P0C-1 用與或非門(mén)實(shí)現(xiàn)1 & &1 &1 &1 &C-1G3P3G2P2G1P1G0P0 11 1 1C0C1C2C3CnCn+zCn+yCn+x=G+PC-14.超前進(jìn)位芯片 74182116G1G0G3G2P0P1P3P2Cn+zCnCn+xCn+yVCGNDPGC0C1C2C-1S25一位ALU的結(jié)構(gòu)原理 運(yùn)算方式選擇 S1S0=00 Zi=XiYiS1S0=01 Zi=XiYiS1S0=

7、10 Zi=FA的輸出S2=0S2=1實(shí)現(xiàn)何種運(yùn)算？64位ALU SN74181 兩種工作方式：正邏輯和負(fù)邏輯 Cn+4CnX3X0X1X2Y0Y1Y2Y3=1邏輯運(yùn)算01111Cn+4CnX3X0X1X2Y0Y1Y2Y3=0算術(shù)運(yùn)算1C2C1C0Cn低電平有效74181的算術(shù)/邏輯運(yùn)算功能（正邏輯方式） 7用SN74181 實(shí)現(xiàn)不同位數(shù)的ALU 16位ALU片間串行進(jìn)位Cn+4CnCnCn+4CnCn+4CnCn+4CnCn+16片間并行進(jìn)位Cn181Cn+x P0 G0181Cn+y P1 G1181P3 G3P G182181Cn+z P2 G2 64位ALUCnCn+x P0 G0P3

8、 G3P G182Cn181Cn+x P0G0181P3 G3P G182Cn+z181Cn+x P0G0181P3 G3P G1823.3 定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算加/減運(yùn)算及其運(yùn)算部件 補(bǔ)碼 加減運(yùn)算乘法運(yùn)算及其運(yùn)算部件原碼 / 補(bǔ)碼 乘法運(yùn)算除法運(yùn)算及其運(yùn)算部件原碼 / 補(bǔ)碼 除法運(yùn)算一、加減法運(yùn)算1. 補(bǔ)碼加減運(yùn)算公式(1) 加法 (2) 減法 整數(shù) A補(bǔ) + B補(bǔ)= A+B補(bǔ)（mod 2n+1）小數(shù) A補(bǔ) + B補(bǔ)= A+B補(bǔ)（mod 2）AB= A+(B )整數(shù) A B補(bǔ)= A+(B )補(bǔ)= A補(bǔ) + B補(bǔ)(mod 2n+1)小數(shù) A B補(bǔ)= A+(B )補(bǔ)(mod 2)連同符號(hào)位一起相加，符號(hào)

9、位產(chǎn)生的進(jìn)位自然丟掉= A補(bǔ) + B補(bǔ)證明 設(shè)A0, B0BA ( A+B 0 )A+B補(bǔ)=2+A+B=A+2+B=A補(bǔ)+B補(bǔ)B A ( A+B 0 )A+B補(bǔ)=A+B=A +2 +B（mod 2）=A補(bǔ)+B補(bǔ)例3.2 解：已知 y補(bǔ) 求 y補(bǔ) y補(bǔ) = 0. y1 y2 yny = 0. y1 y2 yny = 0. y1 y2 yn y補(bǔ) = 1.y1 y2 yn + 2-n y補(bǔ) = 1. y1 y2 yn y原 = 1.y1 y2 yn + 2-n y = （0. y1 y2 yn + 2-n） y = 0. y1 y2 yn + 2-n y補(bǔ) = 0. y1 y2 yn + 2-n設(shè)

10、 y補(bǔ) = y0. y1 y2 yn每位取反，即得 y補(bǔ)y補(bǔ)連同符號(hào)位在內(nèi)，末位加 1每位取反，即得 y補(bǔ)y補(bǔ)連同符號(hào)位在內(nèi)，末位加 12. 舉例解：A補(bǔ)B補(bǔ)A補(bǔ) + B補(bǔ)+= 0 . 1 0 1 1= 1 . 1 0 1 1= 1 0 . 0 1 1 0= A + B補(bǔ)驗(yàn)證例 3.3設(shè) A = 0.1011，B = 0.0101求 A + B補(bǔ)0.1011 0.01010.0110 A + B = 0 . 0 1 1 0A補(bǔ)B補(bǔ)A補(bǔ) + B補(bǔ)+= 1 , 0 1 1 1= 1 , 1 0 1 1= 1 1 , 0 0 1 0= A + B補(bǔ)驗(yàn)證 1001 1110 0101+例 3.4設(shè) A

11、 = 9，B = 5 求 A+B補(bǔ)解： A + B = 1110例 3.5設(shè)機(jī)器數(shù)字長(zhǎng)為 8 位（含 1 位符號(hào)位）且 A = 15， B = 24，用補(bǔ)碼求 A B解：A = 15 = 0001111B = 24= 0011000A補(bǔ) + B補(bǔ)+A補(bǔ)= 0, 0001111 B補(bǔ)= 1, 1101000= 1, 1110111= A B補(bǔ)B補(bǔ) = 0, 0011000 A B = 1001 = 9例 3.6解：x= 0.1001y=0.1011x補(bǔ) + y補(bǔ)+x補(bǔ)= 0.1001 y補(bǔ)= 0.1011= 1.0100設(shè) x = 9/16 y =11/16 用補(bǔ)碼求 x+yx + y = 0.

12、1100 =1216同理 設(shè)機(jī)器數(shù)字長(zhǎng)為 8 位（含 1 位符號(hào)位） 且 A = 97，B = +41，用補(bǔ)碼求 A BA B = + 1110110 = + 118錯(cuò)錯(cuò)大于1溢出3. 溢出判斷(1) 一位符號(hào)位判溢出參加操作的 兩個(gè)數(shù)（減法時(shí)即為被減數(shù)和“求補(bǔ)”以后的減數(shù)）符號(hào)相同，其結(jié)果的符號(hào)與原操作數(shù)的符號(hào)不同，即為溢出硬件實(shí)現(xiàn)最高有效位的進(jìn)位 符號(hào)位的進(jìn)位 = 1如1 0 = 10 1 = 1有 溢出0 0 = 01 1 = 0無(wú) 溢出溢出兩數(shù)符號(hào)不同？ -7- 6 = -7 + (-6) -3 - 5 = - 3 + (- 5)0111+00111100111010001000111

13、111溢出現(xiàn)象：(1) 最高位和次高位的進(jìn)位不同 (2) 和的符號(hào)位和加數(shù)的符號(hào)位不同X= +3= - 8(2) 兩位符號(hào)位判溢出x補(bǔ) = x 1 x 0 4 + x 0 x 1（mod 4）x補(bǔ) + y補(bǔ) = x + y 補(bǔ) （mod 4）x y補(bǔ) = x補(bǔ) + y補(bǔ) （mod 4）存儲(chǔ)時(shí)仍然是一位符號(hào)位，運(yùn)算時(shí)擴(kuò)充為兩位 -7- 6 = -7 + (-6) -3 - 5 = - 3 + (- 5)11+0011110011101000100011X= +3= - 8111111結(jié)果的雙符號(hào)位 相同 未溢出結(jié)果的雙符號(hào)位 不同 溢出最高符號(hào)位 代表其 真正的符號(hào)00. 11. 10, 01,

14、 4. 補(bǔ)碼加減法的硬件配置ALUnnnAResultZeroCarryInCarryOutnBn01MuxSelSubBoverflow補(bǔ)碼加減運(yùn)算部件二、原碼加/減運(yùn)算用于浮點(diǎn)數(shù)尾數(shù)運(yùn)算符號(hào)位和數(shù)值部分分開(kāi)處理僅對(duì)數(shù)值部分進(jìn)行加減運(yùn)算符號(hào)位起判斷和控制作用運(yùn)算規(guī)則：比較兩數(shù)符號(hào)，對(duì)加法實(shí)行“同號(hào)求和，異號(hào)求差”， 對(duì)減法實(shí)行“異號(hào)求和，同號(hào)求差”。求和：數(shù)值位相加，若最高位產(chǎn)生進(jìn)位，則結(jié)果溢出。和的符號(hào)取被加數(shù)（被減數(shù)）的符號(hào)。求差：被加數(shù)（被減數(shù)）加上加數(shù)（減數(shù)）的補(bǔ)碼。最高數(shù)值位產(chǎn)生進(jìn)位表明加法結(jié)果為正，所得數(shù)值位正確。最高數(shù)值位沒(méi)產(chǎn)生進(jìn)位表明加法結(jié)果為負(fù)，得到的是數(shù)值位的補(bǔ)碼形式，需

15、對(duì)結(jié)果求補(bǔ)，還原為絕對(duì)值形式的數(shù)值位。差的符號(hào)位： a)情況下，符號(hào)位取被加數(shù)（被減數(shù)）的符號(hào)； b)情況下，符號(hào)位為被加數(shù)（被減數(shù)）的符號(hào)取反。三、移碼加/減運(yùn)算用于浮點(diǎn)數(shù)階碼運(yùn)算符號(hào)位和數(shù)值部分可以一起處理移碼運(yùn)算規(guī)則x移 + y補(bǔ)= x + y移 （mod 2n1 )x移 + y補(bǔ)= x y移 （mod 2n1 )移碼和補(bǔ)碼的數(shù)值位相同、符號(hào)位相反證明x移 = 2n + x（2nx 2n）x移 + y移 = 2n + x + 2n +y = 2n + (2n + x +y)= 2n + x + y移 又： y補(bǔ) = 2n1 +y x移 + y補(bǔ) = 2n + x + 2n1 +y = 2

16、n1 + x + y移 = x + y移 （mod 2n1 )同理有x移 + y補(bǔ)= x y移 為防止溢出，采用雙符號(hào)位的階碼加法器規(guī)定：移碼的最高符號(hào)位恒用 “ 0 ”參加運(yùn)算結(jié)果符號(hào)：00011011？正常正負(fù)上溢下溢例： x= 011 y=110 求xy移 x移 01,011 y補(bǔ) 00,110 y補(bǔ) 11,010 x+y移 x移 + y補(bǔ) 01,011+ 00,11000101 (mod 25,3 )10,001 (上溢, 9)x-y移 x移 + -y補(bǔ) 01,011+ 11,0101. 分析筆算乘法A = 0.1101 B = 0.1011AB = 0.100011110 . 1 1

17、 0 10 . 1 0 1 11 1 0 11 1 0 10 0 0 01 1 0 10 . 1 0 0 0 1 1 1 1符號(hào)位單獨(dú)處理乘數(shù)的某一位決定是否加被乘數(shù) 4個(gè)位積一起相加乘積的位數(shù)擴(kuò)大一倍乘積的符號(hào)心算求得 ？四、乘法運(yùn)算= A （0.1 + 0.00 + 0.001 +0.0001）2. 筆算乘法改進(jìn)A B = A 0.1011= 0.1A + 0.00A + 0.001A +0.0001A= 0.1A + 0.00A + 0.001(1 A +0.1A)= 0.1A + 0.010 A + 0. 1(1 A +0.1A)= 0.11 A +0.1 0 A+0.1(1 A +

18、0.1A)= 2-11 A +2-10 A+2-1(1 A + 2-1(1 A+0)第一步 被乘數(shù)A + 0第二步 1，得新的部分積第八步 1，得結(jié)果第三步 部分積 + 被乘數(shù)右移一位3. 改進(jìn)后的筆算乘法過(guò)程（豎式）0 . 0 0 0 00 . 1 1 0 10 . 1 1 0 10 . 1 1 0 10 . 0 0 0 00 . 1 1 0 1初態(tài)，部分積 = 0乘數(shù)為 1，加被乘數(shù)乘數(shù)為 1，加被乘數(shù)乘數(shù)為 0，加 01 . 0 0 1 110 . 1 0 0 11 11 . 0 0 0 11 1 1乘數(shù)為 1，加 被乘數(shù) 0 . 1 0 0 01 1 1 11，得結(jié)果1 0 1 1=0

19、 . 0 1 1 01，形成新的部分積1 1 0 1=0 . 1 0 0 11，形成新的部分積1 1 1 0=0 . 0 1 0 01，形成新的部分積1 1 1 1= 部 分 積 乘 數(shù) 說(shuō) 明小結(jié) 被乘數(shù)只與部分積的高位相加 由乘數(shù)的末位決定被乘數(shù)是否與原部分積相加， 然后 1 形成新的部分積，同時(shí) 乘數(shù) 1（末 位移丟），空出高位存放部分積的低位。硬件3個(gè)寄存器，具有移位功能一個(gè)全加器 乘法 運(yùn)算 加和移位。n = 4，加 4 次，移 4 次(1) 原碼一位乘運(yùn)算規(guī)則以小數(shù)為例設(shè)x原 = x0.x1x2 xn y原 = y0.y1y2 yn= (x0 y0). x*y*x y原 = (x0

20、 y0).(0.x1x2 xn)(0.y1y2 yn)式中 x*= 0.x1x2 xn 為 x 的絕對(duì)值 y*= 0.y1y2 yn 為 y 的絕對(duì)值 乘積的符號(hào)位單獨(dú)處理 x0 y0數(shù)值部分為絕對(duì)值相乘 x* y*4. 原碼乘法(2) 原碼一位乘遞推公式x* y* = x*(0.y1y2 yn)= x*(y12-1+y22-2+ + yn2-n)= 2-1(y1x*+2-1(y2x*+ 2-1(ynx* + 0) ) )p1pnp0 = 0p1 = 2-1(ynx*+p0)p2 = 2-1(yn-1x*+p1)pn = 2-1(y1x*+pn-1)p0例3.7已知 x = 0.1110 y

21、= 0.1101 求x y原解：數(shù)值部分的運(yùn)算0 . 0 0 0 00 . 1 1 1 00 . 1 1 1 00 . 0 0 0 00 . 1 1 1 00 . 1 1 1 0部分積 初態(tài) p0 = 0 部 分 積 乘 數(shù) 說(shuō) 明0 . 0 1 1 101 . 0 0 0 11 01 . 0 1 1 01 1 00 . 1 0 1 10 1 1 01，得 p4邏輯右移邏輯右移1 1 0 1=0 . 0 1 1 11，得 p0 1 1 0=0 . 0 0 1 11，得 p21 0 1 1=0 . 1 0 0 01，得 p31 1 0 1= 數(shù)值部分按絕對(duì)值相乘 乘積的符號(hào)位 x0 y0 = 1

22、 0 = 1x* y* = 0. 1 0 1 1 0 1 1 0則 x y原 = 1. 1 0 1 1 0 1 1 0特點(diǎn)絕對(duì)值運(yùn)算邏輯移位例3.7 結(jié)果用移位的次數(shù)判斷乘法是否結(jié)束(3) 原碼一位乘的硬件配置X、Y、P 均 n+1 位移位和加受末位乘數(shù)控制寫(xiě)使能控制邏輯右移32位 ALU被乘數(shù)寄存器X乘積寄存器P3264 位323232加計(jì)數(shù)器Cn時(shí)鐘C乘數(shù)寄存器Y(4) 原碼兩位乘原碼乘符號(hào)位 和 數(shù)值位 部分 分開(kāi)運(yùn)算兩位乘每次用 乘數(shù)的 2 位判斷 原部分積是否加 和 如何加 被乘數(shù)1 11 00 10 0新的部分積乘數(shù)yn-1 yn加 “0” 2加 1 倍的被乘數(shù) 2加 2 倍的被乘

23、數(shù) 2加 3 倍的被乘數(shù) 23 ？先 減 1 倍 的被乘數(shù)再 加 4 倍 的被乘數(shù)4 13100 0111(5) 原碼兩位乘運(yùn)算規(guī)則11 111 010 110 001 101 000 100 0 操 作 內(nèi) 容標(biāo)志位Tj乘數(shù)判斷位yn-1yn p 2, y* 2, Tj 保持“0” p 2, y* 2, Tj 保持“1”px* 2, y* 2, Tj 保持“1” p+2x* 2, y* 2, Tj 保持“0”p+x* 2, y* 2, Tj 保持“0”共有操作 +x* +2x* x* 2實(shí)際操作 +x*補(bǔ) +2x*補(bǔ) +x* 補(bǔ) 2 補(bǔ)碼移 px* 2, y* 2, 置“1” Tjp+2x*

24、 2, y* 2, 置“0” Tj p+x* 2, y* 2, 置“0” Tj例3.8已知 x = 0.111111 y = 0.111001 求xy原0 0 0 . 0 0 0 0 0 00 0 0 . 1 1 1 1 1 10 0 0 . 1 1 1 1 1 10 0 . 1 1 1 0 0 10初態(tài) p0 = 0+ x*， T0 = 00 1 0 . 0 0 1 1 0 11 10 0 0 . 1 1 1 0 0 00 0 0 1 1 1 1 1 1 . 1 0 0 1 0 00 1 1 1 0 0 1 . 1 1 1 1 1 0+ 2x*，T1 = 01 1 1 . 0 0 0 0 0

25、 1 x*， T2 = 10 0 0 . 1 1 1 1 1 1+ x*， T3 = 000 0 0 . 0 0 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1 0200 0 0 . 1 0 0 0 1 10 1 1 1 0 0 1 1211 1 1 . 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 02Tj部 分 積 乘 數(shù) 說(shuō) 明補(bǔ)碼右移補(bǔ)碼右移解：數(shù)值部分的運(yùn)算 數(shù)值部分的運(yùn)算 乘積的符號(hào)位 x0 y0 = 0 1 = 1x* y* = 0. 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1則 x y原 = 1. 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1例3.8 結(jié)果特點(diǎn)絕對(duì)值的補(bǔ)碼

26、運(yùn)算算術(shù)移位用移位的次數(shù)判斷乘法是否結(jié)束(6) 原碼兩位乘和原碼一位乘比較符號(hào)位操作數(shù)移位移位次數(shù)最多加法次數(shù)x0 y0 x0 y0絕對(duì)值絕對(duì)值的補(bǔ)碼邏輯右移算術(shù)右移nnn2（n為偶數(shù)）n2+1（n為偶數(shù)）思考 n 為奇數(shù)時(shí)，原碼兩位乘 移 ？次最多加 ？次原碼一位乘原碼兩位乘設(shè) 被乘數(shù)乘數(shù)x補(bǔ) = x0.x1x2 xny補(bǔ) = y0.y1y2 yn準(zhǔn)備知識(shí)（以小數(shù)為例）2-1 x補(bǔ) = x0. x0 x1x2 xn = 2-1 x補(bǔ) 0.110補(bǔ)=1.010 2-1 （ 0.110）補(bǔ)= 0.0110補(bǔ)= 1.1010y = y補(bǔ) 2y0 y0.y1y2 yn 2y0 0.y1y2 yn y

27、0y為正時(shí)y0 0y為負(fù)時(shí)y0 1算術(shù)移1位五、 補(bǔ)碼乘法(1) 補(bǔ)碼一位乘運(yùn)算規(guī)則 校正法x y補(bǔ)= x ( 0.y1 yn y0)補(bǔ)= x (y1 2-1+y22-2+ +yn2-n y0 )補(bǔ) = x補(bǔ)(y1 2-1+y22-2+ +yn2-n) x補(bǔ) y0用校正法求x y補(bǔ)是用x補(bǔ)乘以 y補(bǔ)的數(shù)值位，最后再根據(jù)y補(bǔ)的符號(hào)y0做一次校正y為負(fù)，加 x補(bǔ) y為正，不加= x (y1 2-1+y22-2+ +yn2-n )x y0補(bǔ) 已知x補(bǔ)和y補(bǔ)求x y補(bǔ)和原碼一位乘法相同，部分積右移時(shí)采用算術(shù)移位Booth 算法（被乘數(shù)、乘數(shù)符號(hào)任意）設(shè)x補(bǔ) = x0.x1x2 xn y補(bǔ) = y0.y

28、1y2 ynx y補(bǔ)= x補(bǔ)( 0.y1 yn ) x補(bǔ) y0= x補(bǔ)(y1 2-1+y22-2+ +yn2-n) x補(bǔ) y0= x補(bǔ)(y0+y1 2-1+y22-2+ +yn2-n)= x補(bǔ)y0+(y1 y12-1)+(y22-1y22-2)+ +(yn2-(n-1)yn2-n) = x補(bǔ)(y1y0)+(y2y1)2-1+ +(ynyn-1)2-(n-1)+(0 yn)2-n) y1 2-1 + + yn 2-nx補(bǔ)= +x補(bǔ) 2-1 = 20 2-12-2 = 2-1 2-22-12-2= x補(bǔ)(y1y0)+(y2y1)2-1+ +(yn+1yn)2-n 附加位 yn+1Booth 算法遞

29、推公式p0補(bǔ)= 0p1補(bǔ)= 2-1(yn+1yn)x補(bǔ)+p0補(bǔ) yn+1 = 0pn補(bǔ)= 2-1(y2y1)x補(bǔ)+pn-1補(bǔ)x y補(bǔ)= pn補(bǔ)+(y1y0)x補(bǔ)最后一步不移位如何實(shí)現(xiàn) yi+1yi ?0 00 11 01 11+x補(bǔ) 1+x補(bǔ) 11yi yi+1操作yi+1yi 0 1 -1 0 例3.9已知 x = +0.0011 y = 0.1011 求xy補(bǔ)解：0 0 . 0 0 0 01 1 . 1 1 0 11 1 1 . 1 1 0 10 0 . 0 0 1 11 1 . 1 1 0 10 0 . 0 0 1 11 1 . 1 1 0 11 . 0 1 0 100 0 . 0 0

30、0 111 1 . 1 1 0 11 10 0 . 0 0 0 11 1 11 1 . 1 1 0 11 1 1 1 x補(bǔ) = 0.0011y補(bǔ) = 1.0101x補(bǔ) = 1.1101+x補(bǔ) 1 1 . 1 1 1 0 1 1 0 1 0 11+x補(bǔ)0 0 . 0 0 0 01 1 1 0 101+x補(bǔ)1 1 . 1 1 1 01 1 1 1 0110 0 . 0 0 0 0 1 1 1 1 101+x補(bǔ)+x補(bǔ) xy補(bǔ) =1.11011111 最后一步不移位 算術(shù)移位1 11 (2) Booth 算法的硬件配置P、X、Y 均 n + 2 位移位和加受末兩位乘數(shù)控制寫(xiě)使能控制邏輯右移32位 AL

31、U被乘數(shù)寄存器X乘積寄存器P3264 位323232加計(jì)數(shù)器Cn時(shí)鐘C乘數(shù)寄存器Y減Booths 算法實(shí)質(zhì)當(dāng)前位右邊位操作Example10減被乘數(shù)000111100011加0 (不操作)000111100001加被乘數(shù)000111100000加0 (不操作) 0001111000 在“1串”中，第一個(gè)1時(shí)做減法，最后一個(gè)1做加法， 其余情況只要移位。最初提出這種想法是因?yàn)樵贐ooth的機(jī)器上 移位操作比加法更快！0 1 1 1 1 0beginning of runend of runmiddle of run(3) 補(bǔ)碼兩位乘(略）操 作 內(nèi) 容乘數(shù)判斷位yn-1ynyn1000pi+1補(bǔ)

32、= 2-2pi補(bǔ)pi+1補(bǔ)= 2-2 pi補(bǔ)+ x補(bǔ)pi+1補(bǔ)= 2-2 pi補(bǔ)+ x補(bǔ)pi+1補(bǔ)= 2-2 pi補(bǔ)+ 2x補(bǔ)pi+1補(bǔ)= 2-2 pi補(bǔ)+2 -x補(bǔ)pi+1補(bǔ)= 2-2 pi補(bǔ)+ -x補(bǔ)pi+1補(bǔ)= 2-2 pi補(bǔ)+ -x補(bǔ)pi+1補(bǔ)= 2-2pi補(bǔ)001010011100101110111六、快速乘法器設(shè)計(jì)快速乘法部件的必要性：大約1/3是乘法運(yùn)算 快速乘法器的實(shí)現(xiàn)流水線方式硬件疊加方式（如：陣列乘法器）陣列乘法器用一個(gè)實(shí)現(xiàn)特定功能的組合邏輯單元構(gòu)成一個(gè)陣列 乘法小結(jié) 原碼乘 符號(hào)位 單獨(dú)處理 補(bǔ)碼乘 符號(hào)位 自然形成 原碼乘去掉符號(hào)位運(yùn)算 即為無(wú)符號(hào)數(shù)乘法 不同的乘法運(yùn)算

33、需有不同的硬件支持 整數(shù)乘法與小數(shù)乘法完全相同 可用 逗號(hào) 代替小數(shù)點(diǎn)1. 分析筆算除法x = 0.1011 y = 0.1101 求 xy0 . 1 0 1 10 . 1 1 0 10 . 0 1 1 0 10 . 0 1 0 0 10 . 0 0 1 1 0 10 . 0 0 0 1 0 10 . 0 0 0 0 1 1 0 10 . 0 0 0 0 0 1 1 1 1商符單獨(dú)處理心算上商余數(shù)不動(dòng)低位補(bǔ)“0”減右移一位的除數(shù)上商位置不固定xy = 0. 1 1 0 1余數(shù) 0. 0 0 0 0 0 1 1 1商符心算求得00.101000 ？七、原碼除法運(yùn)算2. 筆算除法和機(jī)器除法的比較筆

34、算除法 機(jī)器除法商符單獨(dú)處理心算上商符號(hào)位異或形成| x | | y | 0 上商 1| x | | y | 0 上商 0余數(shù) 不動(dòng) 低位補(bǔ)“0”減右移一位 的除數(shù)2 倍字長(zhǎng)加法器上商位置 不固定余數(shù) 左移一位 低位補(bǔ)“0”減 除數(shù)1 倍字長(zhǎng)加法器在寄存器 最末位上商3. 原碼除法（以小數(shù)為例）x0原 = x0.x1x2 xny0原 = y0.y1y2 yn式中 x* = 0.x1x2 xn 為 x 的絕對(duì)值 y* = 0.y1y2 yn 為 y 的絕對(duì)值數(shù)值部分為絕對(duì)值相除x*y*被除數(shù)不等于 0除數(shù)不能為 0小數(shù)定點(diǎn)除法 x* y*整數(shù)定點(diǎn)除法 x* y*商的符號(hào)位單獨(dú)處理 x0 y0 原

35、 = (x0 y0).xyx*y*約定(1) 恢復(fù)余數(shù)法0 . 1 0 1 11 . 0 0 1 11 . 0 0 1 11 . 0 0 1 10 . 0 0 0 0+ y*補(bǔ)01 . 1 1 1 0余數(shù)為負(fù)，上商 00 . 1 1 0 1恢復(fù)余數(shù)00 . 1 0 0 1余數(shù)為正，上商 1+ y*補(bǔ)1 . 0 1 1 0011 . 0 0 1 00 11+y*補(bǔ)解：被除數(shù)（余數(shù)） 商 說(shuō) 明x原 = 1.1011 y原 = 1.1101 x0 y0 = 1 1 = 0 x = 0.1011 y = 0.1101求 原 xy例3.1010 . 1 0 1 1恢復(fù)后的余數(shù)0+y*補(bǔ)y*補(bǔ) = 0.

36、1101 y*補(bǔ) = 1.0011邏輯左移邏輯左移0 . 0 1 0 10 1余數(shù)為正，上商 1被除數(shù)（余數(shù)） 商 說(shuō) 明1 . 0 0 1 10 . 1 1 0 11 . 0 0 1 110 . 1 0 1 00 1 1+ y*補(bǔ)1 . 1 1 0 10 1 1 余數(shù)為負(fù)，上商 0恢復(fù)余數(shù)1 . 0 1 0 00 1 1 01+ y*補(bǔ)0 . 0 1 1 10 1 1 0 余數(shù)為正，上商 1= 0.1101x*y* 原xy= 0.1101上商 5 次第一次上商判溢出余數(shù)為正 上商 1余數(shù)為負(fù) 上商 0，恢復(fù)余數(shù)移 4 次100 . 1 0 1 0恢復(fù)后的余數(shù)0 1 1 01+y*補(bǔ)邏輯左移余

37、數(shù) Ri0 上商 “1”， Ri 1 2Ri y* 余數(shù) Ri0 上商 “0”， Ri + y* 恢復(fù)余數(shù) Ri 1 2( Ri+y*) y* = 2Ri + y* 加減交替 恢復(fù)余數(shù)法運(yùn)算規(guī)則 不恢復(fù)余數(shù)法運(yùn)算規(guī)則Ri0 上商“1” Ri 1 2Ri y* Ri0 上商“0” Ri 1 2Ri + y* (2)不恢復(fù)余數(shù)法 (加減交替法)x = 0.1011 y = 0.1101 求 原xy解：例3.110 . 1 0 1 11 . 0 0 1 10 . 1 1 0 11 . 0 0 1 11 . 0 0 1 10 . 1 1 0 10 . 0 0 0 0+ y*補(bǔ)01 . 1 1 1 0余

38、數(shù)為負(fù)，上商 01 . 1 1 0 001+y*補(bǔ)00 . 1 0 0 1余數(shù)為正，上商 1+ y*補(bǔ)1 . 0 0 1 00 11+ y*補(bǔ)+y*補(bǔ)0 . 1 0 1 00 1 111 . 1 0 1 00 1 1 010 . 0 1 0 10 1余數(shù)為正，上商 10 . 0 1 1 10 1 1 0 余數(shù)為正，上商 1 1 . 1 1 0 10 1 1余數(shù)為負(fù)，上商 0 x原 = 1.1011y*補(bǔ) = 0.1101y*補(bǔ) = 1.0011y原 = 1.11011101邏輯左移第一步x0 y0 = 1 1 = 0 x*/ y* = 0.1101 x*/ y* 原 = 0.1101上商 n+

39、1 次例3.11 結(jié)果特點(diǎn)用移位的次數(shù)判斷除法是否結(jié)束第一次上商判溢出移 n 次，加 n+1 次(3) 原碼加減交替除法硬件配置余數(shù)寄存器R：初始時(shí)高位部分為高32位被除數(shù)；結(jié)束時(shí)是余數(shù)。余數(shù)/商寄存器Q：初始時(shí)為低32位被除數(shù)；結(jié)束時(shí)是32位商。定點(diǎn)整數(shù)相除：在被除數(shù)的高位添n個(gè)0定點(diǎn)小數(shù)相除：在被除數(shù)的低位添n個(gè)0Ri補(bǔ)= 0.1000 x補(bǔ) = 1.1101 y補(bǔ) = 1.0101(1) 商值的確定x = 0.1011y = 0.0011 x補(bǔ) = 0.1011 y補(bǔ) = 0.0011x補(bǔ) = 0.1011y補(bǔ) = 1.1101Ri補(bǔ)= 0.1000 x = 0.0011y = 0.10

40、11x補(bǔ) = 1.1101y補(bǔ) = 0.1011x*y*Ri補(bǔ)與y補(bǔ)同號(hào)“夠減”x*y*Ri補(bǔ)與y補(bǔ)異號(hào)“不夠減”+ 比較被除數(shù)和除數(shù)絕對(duì)值的大小 x 與 y 同號(hào)用減法4. 補(bǔ)碼除法x補(bǔ)和y補(bǔ)求 Ri補(bǔ)Ri補(bǔ)與 y補(bǔ)同號(hào)異號(hào)x補(bǔ) y補(bǔ)x補(bǔ)+ y補(bǔ)同號(hào)，“夠減”異號(hào)，“夠減”小結(jié)x = 0.1011y = 0.0011 x補(bǔ) = 0.1011 y補(bǔ) = 1.1101x補(bǔ) = 0.1011y補(bǔ) = 1.1101Ri補(bǔ)= 0.1000 x = 0.0011y = 0.1011 x補(bǔ) = 1.1101 y補(bǔ) = 0.1011x補(bǔ) = 1.1101y補(bǔ) = 0.1011Ri補(bǔ)= 0.1000 x*y*

41、Ri補(bǔ)與y補(bǔ)異號(hào)“夠減”x*y*Ri補(bǔ)與y補(bǔ)同號(hào)“不夠減”+ x 與 y 異號(hào)用加法 商值的確定x補(bǔ)與 y補(bǔ)同號(hào)正商按原碼上商“夠減”上“1”“不夠減”上“0”x補(bǔ)與 y補(bǔ)異號(hào)負(fù)商按反碼上商“夠減”上“0”“不夠減”上“1”Ri補(bǔ)與y補(bǔ)商值同 號(hào)異 號(hào)100 .原碼1. 11 .反碼1. 1末位恒置“1”法x補(bǔ)與 y補(bǔ)商Ri補(bǔ)與 y補(bǔ)商 值夠減不夠減夠減不夠減同 號(hào)異 號(hào)正負(fù)1001原碼上商反碼上商小 結(jié)簡(jiǎn) 化 為（同號(hào)）（異號(hào)）（異號(hào)）（同號(hào)）(2) 商符的形成 除法過(guò)程中自然形成x補(bǔ)和y補(bǔ)同號(hào)x補(bǔ)y補(bǔ)比較Ri補(bǔ)和y補(bǔ)同號(hào)(夠)“1”異號(hào)(不夠)“0”原碼上商小數(shù)除法 第一次“不夠”上“0”

42、正商x補(bǔ)和y補(bǔ)異號(hào)x補(bǔ)+y補(bǔ)比較Ri補(bǔ)和y補(bǔ)異號(hào)(夠)“0”同號(hào)(不夠)“1”反碼上商小數(shù)除法 第一次“不夠”上“1”負(fù)商(3) 新余數(shù)的形成Ri補(bǔ)和 y補(bǔ)商新余數(shù)同 號(hào)異 號(hào)102Ri補(bǔ) + y補(bǔ)2Ri補(bǔ) + y 補(bǔ)加減交替例3.12設(shè) x = 0.1011 y = 0.1101 求 并還原成真值 補(bǔ)xy解：x補(bǔ) = 1.0101 y補(bǔ) = 0.1101 y補(bǔ) = 1.00111 . 0 1 0 10 . 1 1 0 11 . 0 0 1 10 . 1 1 0 10 . 1 1 0 10 . 0 0 0 0異號(hào)做加法10 . 0 0 1 0同號(hào)上“1”1 . 0 1 1 11 異號(hào)上“0”+

43、y補(bǔ)1 . 1 0 1 11 0 異號(hào)上“0”+y補(bǔ)0 . 0 0 1 11 0 0同號(hào)上“1”0 . 0 1 0 0110 . 1 1 1 01 011 . 0 1 1 01 0 01末位恒置“1”0 . 0 1 1 01 0 0 1 1 補(bǔ)= 1.0011xy0011+y補(bǔ)xy= 0.1101則邏輯左移(4) 小結(jié) 補(bǔ)碼除法共上商 n +1 次（末位恒置 1） 第一次為商符 加 n 次 移 n 次 第一次商可判溢出 精度誤差最大為 2-n整數(shù)被除數(shù)經(jīng)符號(hào)擴(kuò)展后成2n位邏輯左移3.4 浮點(diǎn)四則運(yùn)算一、浮點(diǎn)加減運(yùn)算x = Sx 2jxy = Sy 2jy1. 對(duì)階(1) 求階差(2) 對(duì)階原則

44、j = jx jy = jx= jy 已對(duì)齊jx jy jx jy x 向 y 看齊y 向 x 看齊x 向 y 看齊y 向 x 看齊小階向大階看齊Sx 1, Sy 1, Sx 1, Sy 1, = 0 0 0 jx1jy+1 jx+1jy1為什么？例如x = 0.1101 201 y = (0.1010) 211求 x + y解：x補(bǔ) = 00, 01; 00.1101 y補(bǔ) = 00, 11; 11.0110 1. 對(duì)階j補(bǔ) = jx補(bǔ) jy補(bǔ)= 00, 0111, 0111, 10階差為負(fù)（ 2）Sx 補(bǔ)= 00.0011 Sy補(bǔ)= 11.011011.1001 Sx 2 jx+ 2 x+

45、y補(bǔ) = 00, 11; 11. 1001 對(duì)階x補(bǔ)= 00, 11; 00.0011+對(duì)階后的Sx補(bǔ) 求階差2. 尾數(shù)求和3. 規(guī)格化(1) 規(guī)格化數(shù)的定義(2) 規(guī)格化數(shù)的判斷r = 2 |S| 1 12S0真值原碼補(bǔ)碼反碼規(guī)格化形式S 0規(guī)格化形式真值原碼補(bǔ)碼反碼0.1 0.1 0.1 0.1 原碼 不論正數(shù)、負(fù)數(shù)，第一數(shù)位為1補(bǔ)碼 符號(hào)位和第 1 數(shù)位不同 0.1 1.1 1.0 1.0 特例S = = 0.100 0 12 12 補(bǔ) 不是規(guī)格化的數(shù)S = 1 1補(bǔ) 是規(guī)格化的數(shù)S原 = 1 . 1 0 0 0S補(bǔ) = 1 . 1 0 0 0S補(bǔ) = 1 . 0 0 0 0 機(jī)器判別方

46、便(3) 左規(guī)(4) 右規(guī)尾數(shù) 1，階碼減 1，直到數(shù)符和第一數(shù)位不同為止 上例 x+y補(bǔ) = 00, 11; 11. 1001左規(guī)后 x+y補(bǔ) = 00, 10; 11. 0010 x + y = ( 0.1110)210 當(dāng) 尾數(shù)溢出（ 1）時(shí)，需 右規(guī)即尾數(shù)出現(xiàn) 01. 或 10. 時(shí)尾數(shù) 1，階碼加 1例3.12x = 0.1101 210 y = 0.1011 201求 x +y（除階符、數(shù)符外，階碼取 3 位，尾數(shù)取 6 位） 解：x補(bǔ) = 00, 010; 00. 110100y補(bǔ) = 00, 001; 00. 101100 對(duì)階 尾數(shù)求和j補(bǔ) = jx補(bǔ) jy補(bǔ) = 00, 0

47、10 11, 111100, 001階差為 +1 Sy 1, jy+1 y補(bǔ) = 00, 010; 00. 010110Sx補(bǔ) = 00. 110100Sy補(bǔ) = 00. 010110對(duì)階后的Sy補(bǔ)01. 001010+尾數(shù)溢出需右規(guī) 右規(guī)x +y補(bǔ) = 00, 010; 01. 001010 x +y補(bǔ) = 00, 011; 00. 100101右規(guī)后 x +y = 0. 100101 2114. 舍入在 對(duì)階 和 右規(guī) 過(guò)程中，可能出現(xiàn) 尾數(shù)末位丟失引起誤差，需考慮舍入(1) 0 舍 1 入法 尾數(shù)為補(bǔ)碼時(shí)，0舍1入法修正為：多余位置的最高位為1，以下各位不全為0時(shí)，入1，其它情況，舍去。

48、 尾數(shù)為原碼時(shí)，多余位的最高位為1，入1否則，舍去。(4) IEEE754舍入模式（P114，自學(xué)）(2) 恒置 “1” 法(1) 0 舍 1 入法 (3) 截?cái)?法例 3.13x = ( )2-5 y = () 2-4 5878求 x y（除階符、數(shù)符外，階碼取 3 位，尾數(shù)取 6 位）解：x補(bǔ) = 11, 011; 11. 011000y補(bǔ) = 11, 100; 00. 111000 對(duì)階j補(bǔ) = jx補(bǔ) jy補(bǔ) = 11, 011 00, 100 11, 111階差為 1 Sx 1, jx+ 1 x補(bǔ) = 11, 100; 11. 101100 x = ( 0.101000)2-101y

49、 = ( 0.111000)2-100+ 尾數(shù)求和Sx補(bǔ) = 11. 101100Sy補(bǔ) = 11. 001000+110. 110100 右規(guī)x+y補(bǔ) = 11, 100; 10. 110100 x+y補(bǔ) = 11, 101; 11. 011010右規(guī)后 x y = (0.100110)2-11= ( )2-319325. 溢出判斷 設(shè)機(jī)器數(shù)為補(bǔ)碼，尾數(shù)為 規(guī)格化形式，并假設(shè)階符取 2 位，階碼取 7 位，數(shù)符取 2 位，尾數(shù)取 n 位，則該 補(bǔ)碼 在數(shù)軸上的表示為上溢下溢上溢 對(duì)應(yīng)負(fù)浮點(diǎn)數(shù) 對(duì)應(yīng)正浮點(diǎn)數(shù)00,1111111;11.00 0 00,1111111;00.11 111,0000

50、000;11.011 111,0000000;00.100 02127(1) 2-128(2-1+ 2-n)2-1282-12127(12-n)最小負(fù)數(shù)最大負(fù)數(shù)最小正數(shù)最大正數(shù)0階碼01, 階碼01, 階碼 10, 按機(jī)器零處理二、浮點(diǎn)乘除運(yùn)算x = Sx 2jxy = Sy 2jy1. 乘法x y = (Sx Sy)2jx+jy2. 除法xy=SxSy 2jx jy(1) 階碼運(yùn)算(2) 尾數(shù)乘除運(yùn)算3. 步驟(3) 規(guī)格化(4)舍入處理例：已知x=0.101120110 y=-0.010120011，試用浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算方法計(jì)算x*y。要求浮點(diǎn)數(shù)的格式為：階碼6位（2位階符），補(bǔ)碼表示，尾數(shù)5位（1位數(shù)符），補(bǔ)碼表示，并要求為規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)。解 對(duì)x及y按所要求的浮點(diǎn)數(shù)格式編碼x已是規(guī)格化數(shù)，可直接編碼x浮=00,0110;0.1011Y不是規(guī)格化數(shù)，先將y化為規(guī)格化數(shù)再編碼y=-0.010120011=-0.101020010 y浮=00,0010;1.0110 求x*y階碼相加尾數(shù)相乘E=Ex+Ey=00,0110+00,0010=00,1000M補(bǔ)=Mx*My補(bǔ)=11.10010010規(guī)格化左規(guī)積的尾數(shù)M左移一位 M補(bǔ)=11.0010010 積的階碼E減1 E=00,1000+11,1111=00,0111 舍入檢查是否溢出