數(shù)學物理方法：復數(shù)與復變函數(shù)

1、數(shù)學物理方法Methods in Mathematical Physics 數(shù)學物理方法復變函數(shù)論復變函數(shù)論復數(shù)復變函數(shù)導數(shù)解析函數(shù)本章小結(jié)復數(shù)數(shù)的擴張（完善化）自然數(shù)減法不封閉整數(shù)除法不封閉有理數(shù)不完備2 實數(shù)方程可解性復數(shù)復數(shù)復數(shù)的定義一對有序?qū)崝?shù)(a,b),遵從下列基本運算法則加法(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2)乘法(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)稱（a,b）定義了一個復數(shù)z，記為z=(a,b)=a(1,0)+b(0,1)a = Real(z), b = Imagine(z)復數(shù)相等： 實部、虛部分別相等 。復數(shù)特殊的復數(shù)1，i ，01實數(shù)a=(

2、a,0)=a(1,0)i(0,1)稱為虛單位，記作ii2= (0,1)(0,1)=(ac-bd,ad+bc)=(-1,0) =-1z=a+ib0(0,0)z+0=z, z*0=0z=(a,b)=a(1,0)+b(0,1)復數(shù)無窮遠點以任意方式無限地遠離遠點，即可到達無窮遠點。無窮遠點也是一個數(shù)，其模大于任何正數(shù)，輻角不定。包含有無窮遠點的復數(shù)平面稱為擴充了的復平面，記作 。復數(shù)復數(shù)的表示代數(shù)表示z = x + iyx = Real(z), y = Imagine(z)三角（極坐標）表示z = r (cos + i sin)r = |z|, = Arg(z)輻角多值性。0的模及輻角指數(shù)表示定義e

3、xp(i) = cos + i sinexpi(+) = exp(i) exp(i) z = r exp(i)復數(shù)幾何表示關(guān)系x = r cosy = r sin r = (x2+y2)= Arctan(y/x) 特點無序性復數(shù)無大小矢量性復數(shù)有方向復數(shù)和復平面一一對應(yīng)復平面記作C復數(shù)運算加減法(a1+ ib1)(a2+ ib2) = (a1a2) + i(b1b2) 乘除法r1exp(i1) r2exp(i2) = r1r2 expi(1+2) 冪和開方r exp(i)n = rn exp(in)r exp(i)1/n = r1/n exp(i/n)復共軛z = x + iy z* = x

4、iyz = r exp(i) z* = r exp(-i)zz* = r2 = x2 + y2argz的計算（P3，1.1）復數(shù)課本例題介紹利用指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系計算一些特殊表達式（P3，1.17）復數(shù)課本例題介紹寫出復平面上以為圓心，r為半徑的圓方程（p5, 1.2）復數(shù)課本例題介紹計算z的n次方根（p7, 1.31）具體計算i的3次方根復數(shù)本節(jié)練習題用代數(shù)表示推出出復數(shù)的除法運算式用三角表示推出復數(shù)的乘除法運算式（注意充分利用復數(shù)的共軛）復數(shù)鄰域內(nèi)點和外點區(qū)域單聯(lián)通區(qū)域和多聯(lián)通區(qū)域復數(shù)平面點集復變函數(shù)概念定義函數(shù)：從一個數(shù)域(定義域）到另一個數(shù)域（值域）的映射實變函數(shù)：f:xy復變函

5、數(shù)：f:zw 舉例f(n) = fn = (1+i)n, nNf(z) = znf(z) = exp(z)f(z) = ln(z)復變函數(shù)更多的例子w = az2w = az2 + bz +cw = 1/(az + b)w = (az + b)w = Ln(az + b)w = sin zw = Arccos zw = an znw = an sin(nz) w = (1-z2/n2)w = exp(-z2)dz復變函數(shù)復變函數(shù)分析與比較定義域和值域相同點：都是數(shù)集不同點：實數(shù)集是一維的，可以在(直)線上表示；復數(shù)集是二維的，必須在(平)面上表示。典型例子：|x|2 是連通的， 1|x|是不連

6、通的；|z|2是單連通的， 1|z|是復連通的。復變函數(shù)映射相同點在形式上：y = f(x), w = f(z)不同點在變量上：z = x+iy, w = u+iv在描述上：實變函數(shù)可以用兩個數(shù)軸組成的平面上的曲線表示；復變函數(shù)不能用一個圖形完全表示。聯(lián)系u = u(x,y), v = v(x,y)可以用兩個曲面分別表示復變函數(shù)的實部與虛部。復變函數(shù)結(jié)構(gòu)相同點：復雜函數(shù)都可以分解為簡單的基本函數(shù)組成。不同點：基本實變函數(shù)xn, x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x)基本復變函數(shù)zn, z1/n,exp(z),ln(z)原因cos(z)=(eiz +e-iz)/2,

7、 sin(z)=(eiz -e-iz)/2i復變函數(shù)幾何意義 例題：復變函數(shù)的導數(shù)基本概念實變函數(shù)復變函數(shù)極限連續(xù)導數(shù)復變函數(shù)的導數(shù)例1：證明f(z)=zn在復平面上每點均可導，且(zn) = nzn-1證：復變函數(shù)的導數(shù)例2：證明f(z)=z*在復平面上均不可微證：復變函數(shù)的導數(shù)可導條件分析C-R條件ux = vy vx = -uy 充要條件偏導數(shù) ux ，vy ，vx ，uy 連續(xù)滿足C-R條件意義可導函數(shù)的虛部與實部不是獨立的，而是相互緊密聯(lián)系的。復變函數(shù)的導數(shù)典型情況初等函數(shù)在定義域內(nèi)都可導；函數(shù)Re(z),Im(z),|z|, Arg(z), z*不可導。導數(shù)的計算法則：復變函數(shù)的求

8、導法則與實變函數(shù)完全相同；例子： (sin2z) = 2 sin z cos zexp(z2 ) = 2 z exp(z2 ) (z3)” = 6 z復變函數(shù)的導數(shù)導數(shù)的意義微商表示f(z) = dw/dz 模：|f(z)|= |dw|/|dz| 幅角：Argf(z) = Arg(dw) - Arg(dz) 復變函數(shù)的導數(shù)微商的計算解析函數(shù)定義點解析函數(shù)f(z)在點z0及其鄰域上處處可導奇點區(qū)域解析函數(shù)f(z)在區(qū)域B上每一點都解析解析充要條件與可導的充要條件相同。一般推論f(z)在區(qū)域解析f(z)連續(xù)解析函數(shù)和、差、積與商（分母0）仍解析解析函數(shù)的復合函數(shù)解析解析函數(shù)在某點的反函數(shù)解析，且函

9、數(shù)的導數(shù)=反函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)復變函數(shù)基本函數(shù)二次函數(shù)定義w = z2分析u + iv = (x+iy)2 = x2 +2ixy -y2 u = x2 -y2 ,v = 2xy性質(zhì)無周期性無界性單值性復變函數(shù)三次函數(shù)定義w = z3分析u + iv = (x+iy)3 = x3 +3ix2y-3xy2 -iy3 u = x3 3xy2 ,v = 3x2y - y3 性質(zhì)無周期性無界性單值性復變函數(shù)指數(shù)函數(shù)定義w = exp(z)分析u + iv = exp(x+iy) = exp(x)cosy +i sinyu = exp(x) cos y ,v = exp(x) sin y性質(zhì)周期性exp(z+

10、2i)= exp(z)無界性單值性復變函數(shù)三角函數(shù)定義w = sin(z)分析u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y) + i cos(x)sh(y)u = sin(x)ch(y) ,v = cos(x)sh(y)性質(zhì)周期性無界性單值性復變函數(shù)復變函數(shù)復變函數(shù)解析函數(shù)多值函數(shù)和單值分枝根式函數(shù)解析函數(shù)多值函數(shù)和單值分枝根式函數(shù)W1平面Z平面解析函數(shù)多值函數(shù)和單值分枝根式函數(shù) -n=2W2平面W1平面Z平面解析函數(shù)多值函數(shù)和單值分枝根式函數(shù) 3 n=2解析函數(shù)多值函數(shù)和單值分枝根式函數(shù)復變函數(shù)對數(shù)函數(shù)定義w = Ln(z)分析u + iv = Ln r exp(i) =

11、ln r + i u = ln r,v = 性質(zhì)非周期性無界性多值性：| 復變函數(shù)解析函數(shù)冪函數(shù)znn=0,1,2,時，在C上解析；z=是奇點n=-1,-2,時，在C0上解析指數(shù)函數(shù)exp(z)在C上解析在無窮遠點無定義三角函數(shù)在C上解析；z=是奇點周期為2雙曲函數(shù)shz,chz在C上解析周期為2iShz=-isin(iz); chz=cos(iz); (shz)=chz,(chz)=shz 解析函數(shù)根式函數(shù)z1/n在單值分枝上解析對數(shù)函數(shù)ln(z)在單值分枝上解析d(lnz)=dz/z反三角函數(shù)對數(shù)函數(shù)與根式函數(shù)的組合在單值分枝上解析解析函數(shù)性質(zhì)調(diào)和性u=uxx + uyy = 0, v=v

12、xx + vyy = 0解析函數(shù)的實部與虛部都是調(diào)和函數(shù)，共軛調(diào)和函數(shù)（由C.-R.條件聯(lián)系）正交性解析函數(shù)的實部與虛部梯度正交，即 uv=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0或曲線 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。解析函數(shù)解析函數(shù)應(yīng)用例1：已知平面電場的電勢為u=x2-y2，求電力線方程。分析：等勢面與電力線相互正交，對應(yīng)的函數(shù)組成一個解析函數(shù)的實部與虛部，滿足C-R條件。解：設(shè)電力線為v(x,y)=C,由C-R條件得vx=-uy=2y, vy=ux =2xdv = vxdx+vydy=2ydx+2xdy=d(2xy)v = 2xy注意：電力

13、線方程的一般形式為 f(2xy)=C解析函數(shù)平面靜電場解析函數(shù)例2：已知平面溫度場的溫度分布為u=x2-y2，求熱流量函數(shù)。分析：熱流的方向與等溫線相互正交，對應(yīng)的函數(shù)組成一個解析函數(shù)的實部與虛部，滿足C-R條件。解：設(shè)熱流量函數(shù)為v(x,y)=C,由C-R條件得vx=-uy=2y, vy=ux =2xdv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)v = 2xy注意：熱流線方程的一般形式為 f(2xy)=C解析函數(shù)根據(jù)C.-R.條件，可以通過解析函數(shù)的實部（虛部）求出相應(yīng)的虛部（實部）uv,從全微分出發(fā)：uv,從vy=ux出發(fā)：解析函數(shù)解1：解2：本章小結(jié)復變函數(shù)定義：兩個復數(shù)集合之間的映射；特點：定義域和值域為2維；定義域出現(xiàn)復連通現(xiàn)象；不能用一個圖形完全描述；極限存在的要求提高；分析：可以分解成2個二元實函數(shù)；解析函數(shù)滿足CR條件；實部和虛部都是調(diào)和函數(shù)，相互正交。解析函數(shù)例2：已知平面電場的等勢線為x2+y2=C，求電勢u(x,y)。分析：等勢線方程的左邊不一定恰好是電勢表達式，電勢必須有調(diào)和性，可看成某個解析函數(shù)的實