高中必修一函數(shù)的奇偶性詳細講解及練習(xí)詳細答案

1、PAGE 函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性例1 （1）畫出函數(shù)y-x2+2x+3的圖像，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：函數(shù)圖像如下圖所示，當(dāng)x0時，y-x2+2x+3-（x-1）2+4；當(dāng)x0時，y-x2-2x+3-（x+1）2+4在（-，-1和0，1上，函數(shù)是增函數(shù)：在-1，0和1，+）上，函數(shù)是減函數(shù)評析 函數(shù)單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，對于單獨一個點沒有增減變化，所以對于區(qū)間端點只要函數(shù)有意義，都可以帶上（2）已知函數(shù)f（x）x2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-，4上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍分析 要充分運用函數(shù)的單調(diào)性是以對稱軸為界線這一特征解：f（x）x2+2（a-1）x+2x+（a-1）-（a-1）2

2、+2，此二次函數(shù)的對稱軸是x1-a因為在區(qū)間（-，1-a上f（x）是單調(diào)遞減的，若使f（x）在（-，4上單調(diào)遞減，對稱軸x1-a必須在x=4的右側(cè)或與其重合，即1-a4，a-3評析 這是涉及逆向思維的問題，即已知函數(shù)的單調(diào)性，求字母參數(shù)范圍，要注意利用數(shù)形結(jié)合例2 判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x） - （2）f（x）（x-1） 解：（1）f（x）的定義域為R因為f（-x）-x+1-x-1 x-1-x+1-f（x）所以f（x）為奇函數(shù)（2）f（x）的定義域為x-1x1，不關(guān)于原點對稱所以f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)評析 用定義判斷函數(shù)的奇偶性的步驟與方法如下：（1）求函數(shù)的定義域，并考

3、查定義域是否關(guān)于原點對稱（2）計算f（-x），并與f（x）比較，判斷f（-x）f（x）或f（-x）-f（x）之一是否成立f（-x）與-f（x）的關(guān)系并不明確時，可考查f（-x）f（x）0是否成立，從而判斷函數(shù)的奇偶性例3 已知函數(shù)f（x） （1）判斷f（x）的奇偶性（2）確定f（x）在（-，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)?在區(qū)間（0，+）上呢?證明你的結(jié)論解：因為f（x）的定義域為R，又f（-x） f（x），所以f（x）為偶函數(shù)（2）f（x）在（-，0）上是增函數(shù)，由于f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）在（0，+）上為減函數(shù)其證明：取x1x20，f（x1）-f（x2） - 因為x1x20，所以x2-x1

4、0，x1+x20，x21+10，x22+10，得 f（x1）-f（x2）0，即f（x1）f（x2）所以f（x）在（-，0）上為增函數(shù)評析 奇函數(shù)在（a,b）上的單調(diào)性與在（-b,-a）上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在（a,b）與（-b,-a）的單調(diào)性相反例4 已知y=f（x）是奇函數(shù)，它在（0，+）上是增函數(shù)，且f（x）0，試問F（x） 在（-，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)?證明你的結(jié)論分析 根據(jù)函數(shù)的增減性的定義，可以任取x1x20，進而判定F（x1）-F（x2） - 的正負為此，需分別判定f（x1）、f（x2）與f（x2）的正負，而這可以從已條件中推出解：任取x1、x2（-，0）且x1x2，則有-x1

5、-x20yf（x）在（0，+）上是增函數(shù)，且f（x）0，f（-x2）f（-x1）0 又f（x）是奇函數(shù)，f（-x2）-f（x2），f（-x1）-f（x1） 由、得 f（x2）f（x1）0于是F（x1）-F（x2） 0，即F（x1）F（x2），所以F（x） 在（-，0）上是減函數(shù)評析 本題最容易發(fā)生的錯誤，是受已知條件的影響，一開始就在（0，+）內(nèi)任取x1x2，展開證明這樣就不能保證-x1，-x2，在（-，0）內(nèi)的任意性而導(dǎo)致錯誤避免錯誤的方法是：要明確證明的目標(biāo)，有針對性地展開證明活動例5 討論函數(shù)f（x） （a0）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的單調(diào)性分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義求解解：設(shè)-1x1x2，

6、則f（x1）-f（x2） - x1，x2（-1，1），且x1x，x1-x20，1+x1x20，（1-x21）（1-x22）0于是，當(dāng)a0時，f（x1）f（x2）；當(dāng)a0時，f（x1）f（x2）故當(dāng)a0時，函數(shù)在（-1，1）上是增函數(shù)；當(dāng)a0時，函數(shù)在（-1，1）上為減函數(shù)評析 根據(jù)定義討論（或證明）函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：（1）設(shè)x1、x2是給定區(qū)間內(nèi)任意兩個值，且x1x2；（2）作差f（x1）-f（x2），并將此差式變形；（3）判斷f（x1）-f（x2）的正負，從而確定函數(shù)的單調(diào)性例6 求證：f（x）x+ （k0）在區(qū)間（0，k上單調(diào)遞減解：設(shè)0 x1x2k，則f（x1）-f（x2）x1+

7、 -x2- 0 x1x2k，x1-x20，0 x1x2k2，f（x1）-f（x2）0f（x1）f（x2），f（x）x+ 中（0，k上是減函數(shù)評析 函數(shù)f（x）在給定區(qū)間上的單調(diào)性反映了函數(shù)f（x）在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)因此，若要證明f（x）在a,b上是增函數(shù)（減函數(shù)），就必須證明對于區(qū)間a,b上任意兩點x1，x2，當(dāng)x1x2時，都有不等式f（x1）f（x2）（f（x1）f（x2）類似可以證明：函數(shù)f（x）x+ （k0）在區(qū)間k，+上是增函數(shù)例7 判斷函數(shù)f（x） 的奇偶性分析 確定函數(shù)的定義域后可脫去絕對值符號解：由 得函數(shù)的定義域為-1，1這時，x-22-xf（x

8、） ，f（-x） f（x）且注意到f（x）不恒為零，從而可知，f（x） 是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)評析 由于函數(shù)解析式中的絕對值使得所給函數(shù)不像具有奇偶性，若不作深入思考，便會作出其非奇非偶的判斷但隱含條件（定義域）被揭示之后，函數(shù)的奇偶性就非常明顯了這樣看來，解題中先確定函數(shù)的定義域不僅可以避免錯誤，而且有時還可以避開討論，簡化解題過程函數(shù)奇偶性練習(xí)一、選擇題1已知函數(shù)f（x）ax2bxc（a0）是偶函數(shù)，那么g（x）ax3bx2cx（）A奇函數(shù)B偶函數(shù)C既奇又偶函數(shù)D非奇非偶函數(shù)2已知函數(shù)f（x）ax2bx3ab是偶函數(shù)，且其定義域為a1，2a，則（）A，b0Ba1，b0 Ca1，b0Da3，b

9、03已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f（x）x22x，則f（x）在R上的表達式是（）Ayx（x2）By x（x1）Cy x（x2）Dyx（x2）4已知f（x）x5ax3bx8，且f（2）10，那么f（2）等于（）A26B18C10D105函數(shù)是（）A偶函數(shù)B奇函數(shù)C非奇非偶函數(shù)D既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)6若，g（x）都是奇函數(shù)，在（0，）上有最大值5，則f（x）在（，0）上有（）A最小值5B最大值5C最小值1D最大值3二、填空題7函數(shù)的奇偶性為_（填奇函數(shù)或偶函數(shù)）8若y（m1）x22mx3是偶函數(shù)，則m_9已知f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，若，則f（x）的解析式為_10已知函數(shù)

10、f（x）為偶函數(shù)，且其圖象與x軸有四個交點，則方程f（x）0的所有實根之和為_三、解答題11設(shè)定義在2，2上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間0，2上單調(diào)遞減，若f（1m）f（m），求實數(shù)m的取值范圍12已知函數(shù)f（x）滿足f（xy）f（xy）2f（x）f（y）（xR，yR），且f（0）0，試證f（x）是偶函數(shù)13.已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f（x）x32x21，求f（x）在R上的表達式14.f（x）是定義在（，55，）上的奇函數(shù)，且f（x）在5，）上單調(diào)遞減，試判斷f（x）在（，5上的單調(diào)性，并用定義給予證明15.設(shè)函數(shù)yf（x）（xR且x0）對任意非零實數(shù)x1、x2滿足f（x1x2）f（x

11、1）f（x2），求證f（x）是偶函數(shù)函數(shù)的奇偶性練習(xí)參考答案1解析：f（x）ax2bxc為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，g（x）ax3bx2cxf（x）滿足奇函數(shù)的條件答案：A2解析：由f（x）ax2bx3ab為偶函數(shù)，得b0又定義域為a1，2a，a12a，故選A3解析：由x0時，f（x）x22x，f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f（x）f（x）（x22x）x22xx（x2）即f（x）x（|x|2）答案：D4解析：f（x）8x5ax3bx為奇函數(shù)，f（2）818，f（2）818，f（2）26答案：A5解析：此題直接證明較煩，可用等價形式f（x）f（x）0答案：B6解析：、g（x）為奇函數(shù)，為奇函數(shù)又f（x）在

12、（0，）上有最大值5，f（x）2有最大值3f（x）2在（，0）上有最小值3，f（x）在（，0）上有最小值1答案：C7答案：奇函數(shù)8答案：0解析：因為函數(shù)y（m1）x22mx3為偶函數(shù)，f（x）f（x），即（m1）（x）22m（x）3（m1）x22mx3，整理，得m09解析：由f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，可得，聯(lián)立，答案： 10答案：0 11答案：12證明：令xy0，有f（0）f（0）2f（0）f（0），又f（0）0，可證f（0）1令x0，f（y）f（y）2f（0）f（y）f（y）f（y），故f（x）為偶函數(shù)13解析：本題主要是培養(yǎng)學(xué)生理解概念的能力f（x）x32x21因f（x）為奇函數(shù)，f（0）0當(dāng)x0時，x0，f（x）（x）32（x）21x32x21，f（x）x32x21因此，點評：本題主要考查學(xué)生對奇函數(shù)概念的理解及應(yīng)用能力14解析：任取x1x25，則x1x25因f（x）在5，上單調(diào)遞減，所以f（x1）f（x2）f（x1）f（x2）f（x1）f（x2），即單調(diào)減函數(shù)點評：此題要注意靈活運用函數(shù)奇