球的表面積與體積上課講義

1、球的表面積與體積假設(shè)將圓假設(shè)將圓n等分，則等分，則n=6n=12A1A2OA2A1AnO1n3221OAAOAAOAASSSS正多邊形)AAAAAA(p211n3221正多邊形pC21圓正多邊形時，當CC,Rpn2RR2R21S圓pA3 早在公元三世紀，我國數(shù)學(xué)家劉徽早在公元三世紀，我國數(shù)學(xué)家劉徽為推導(dǎo)圓的面積公式而發(fā)明了為推導(dǎo)圓的面積公式而發(fā)明了“倍倍邊法割圓術(shù)邊法割圓術(shù)”。他用加倍的方式不斷增加圓內(nèi)接正他用加倍的方式不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所謂積之差更小，即所謂“割之彌細，割之彌細，所失彌小所失彌小”。這樣重復(fù)下去，就達。這

2、樣重復(fù)下去，就達到了到了“割之又割，以至于不可再割，割之又割，以至于不可再割，則與圓合體而無所失矣則與圓合體而無所失矣”。這是世界上最早的這是世界上最早的“極限極限”思想。思想。 當分割的當分割的層數(shù)不斷層數(shù)不斷增加，每增加，每一層就越一層就越接近一個接近一個圓柱體。圓柱體。OR)1( inR.,2,1,)1(22niinRRri irl設(shè)球的半徑為R，它的體積只與半徑R有關(guān)。l將半球分割成n層，每一層都近似于圓柱形狀的“小圓片”。這些“小圓片”的體積之和就是球的體積。l選第i層（由下而上），如右圖。厚度：下底面半徑：體積：Rn 23211ninRnRrVii 球的體積公式12nVVVV半球3

3、22222212(1)1(1)(1)1Rnnnnn3222212(1)Rnnnn32(1)( 21)16nnRn612121222)(nnnn311(1)(2)16nnVR半球1nn當 無限變大時， 趨于0323VR半球343VR球R332RV 半球半球331RV 圓錐圓錐3RV 圓柱圓柱高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對比高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對比球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無法用展開圖求出，如何求球的表面積公式呢法用展開圖求出，如何求球的表面積公式呢? 從球的體積公式的推導(dǎo)方法從球的體積公式的推導(dǎo)方法, 得到啟發(fā)，可以借助得到啟發(fā)，可以借

4、助極限思想方法來推導(dǎo)球的表面積公式。極限思想方法來推導(dǎo)球的表面積公式。oiS o則球的體積為：則球的體積為：iV 設(shè)“小錐體”的體積為設(shè)“小錐體”的體積為iVnVVVVV 321iSO OO O34133RsR24SR1.如圖如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑徑,求證求證:(1)球的表面積等于圓柱的側(cè)面積球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.(2)球的表面積等于圓柱全面積的三分之二球的表面積等于圓柱全面積的三分之二.O O2.(1)把球的半徑擴大為原來的把球的半徑擴大為原來的3倍，則體積擴大為原來的倍，則體積擴大為原來的_倍倍.(2)把球隊表面積擴大到原來的把球隊表面積

5、擴大到原來的2倍，那么體積擴大為原倍，那么體積擴大為原來的來的_倍倍.(3)三個球的表面積之比為三個球的表面積之比為1:2:3，則它們的體積之比為，則它們的體積之比為_.(4)三個球的體積之比為三個球的體積之比為1:8:27，則它們的表面積之比為，則它們的表面積之比為_.用一個平面用一個平面去截一個球去截一個球O，截面是圓面，截面是圓面222dRrrdRO球的截面的性質(zhì)：球的截面的性質(zhì)：球心和截面圓心的連線垂直于截面球心和截面圓心的連線垂直于截面球心到截面的距離為球心到截面的距離為d，球的半徑為，球的半徑為R，則，則1.一球的球面面積為一球的球面面積為256cm2，過此球的一條半徑的，過此球的

6、一條半徑的中點，作垂直于這條半徑的截面，求截面圓的面中點，作垂直于這條半徑的截面，求截面圓的面積積.變式：在球內(nèi)有相距變式：在球內(nèi)有相距9cm的兩個平行截面，截面面的兩個平行截面，截面面積分別為積分別為49cm2和和400cm2，求球的表面積，求球的表面積.兩種情況2. 過球面上三點過球面上三點A、B、C的截面和球心的截面和球心O的距離等于的距離等于球的半徑的一半，且球的半徑的一半，且ABBCCA3，求球的體積，求球的體積.變式：在半徑為變式：在半徑為13cm的球面上有的球面上有A、B、C三點，三點，AB6cm，BC8cm，CA10cm，求經(jīng)過，求經(jīng)過A、B、C三點三點的截面與球心的截面與球心

7、O之間的距離之間的距離.要點：準確畫圖，利用基本三角形兩個幾何體兩個幾何體:一個幾何體的各個一個幾何體的各個面與另一個幾何體的各面相切面與另一個幾何體的各面相切兩個幾何體兩個幾何體:一個幾何體的所有頂點都一個幾何體的所有頂點都在另一個幾何體的表面上在另一個幾何體的表面上解決解決“接切接切”問題的關(guān)鍵是畫出正確的問題的關(guān)鍵是畫出正確的，把空間，把空間“接切接切”轉(zhuǎn)化為平面轉(zhuǎn)化為平面“接切接切”問題問題：有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的各頂點,求這三個球的體積之比.畫出正確的截面：(1)中截面；(2)對角面找準數(shù)量關(guān)系21ar aaaa2ar222aa2ar2

8、33.，求求它它的的外外接接球球表表面面積積，側(cè)側(cè)面面面面積積分分別別為為長長方方體體的的共共頂頂點點的的三三個個，求求半半球球的的半半徑徑正正方方體體的的一一邊邊長長為為在在半半球球的的底底面面圓圓上上，若若，正正方方體體的的一一個個面面半半球球內(nèi)內(nèi)有有一一內(nèi)內(nèi)接接正正方方體體多多少少紙紙？有有蓋蓋紙紙盒盒中中，至至少少要要用用體體的的，把把鋼鋼球球放放入入一一個個正正方方鋼鋼球球直直徑徑，求求這這個個球球隊隊體體積積是是球球面面上上，它它的的棱棱長長一一個個正正方方體體的的頂頂點點都都在在1553463.5cm2.4cm1.2222cbal長方體對角線長方體對角線：正四面體：正四面體ABC

9、D的棱長為的棱長為a，求，求其內(nèi)切球半徑其內(nèi)切球半徑r與外接球半徑與外接球半徑R.：若正四面體變成正三棱錐，方法：若正四面體變成正三棱錐，方法是否有變化？是否有變化？1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合4、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理5、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法.,.)()(.球球的的半半徑徑，求求三三棱棱錐錐的的內(nèi)內(nèi)切切面面，中中，在在三三棱棱錐錐正正三三棱棱錐錐的的體體積積的的內(nèi)內(nèi)接接正正三三棱棱錐錐，求求此此為為的的球球內(nèi)內(nèi)有有一一個個底底面

10、面邊邊長長在在半半徑徑為為求求它它的的內(nèi)內(nèi)切切球球的的表表面面積積求求它它的的外外接接球球的的體體積積；，側(cè)側(cè)棱棱長長為為正正四四棱棱錐錐的的底底面面邊邊長長為為ABCSABACACABSAABCSaa901331215221211.半圓半圓O的直徑為直角梯形垂直于底的的直徑為直角梯形垂直于底的腰，且切腰，且切AB、BC、CD于于A、E、D點，將其繞點，將其繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個球與一個圓臺，若球的表面得到一個球與一個圓臺，若球的表面積與圓臺側(cè)面積的比為積與圓臺側(cè)面積的比為3:4，求球的，求球的體積與圓臺體積之比體積與圓臺體積之比.2.一個倒立的圓錐形容器，它的軸截

11、面一個倒立的圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在此容器內(nèi)注入水并且是正三角形，在此容器內(nèi)注入水并且放入一個半徑為放入一個半徑為r的鐵球，這時水面的鐵球，這時水面恰好和球面相切，問將球從圓錐內(nèi)取恰好和球面相切，問將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？軸截面1.把半徑為把半徑為R的四個球壘成兩層放在桌面，下的四個球壘成兩層放在桌面，下層放三個，上層放一個，兩兩相切，求上層放三個，上層放一個，兩兩相切，求上層小球最高點離桌面的距離層小球最高點離桌面的距離.2.四個半徑為四個半徑為R的大球上層一個，下層三個兩的大球上層一個，下層三個兩兩相切疊放在一起，在它們圍成的空

12、隙內(nèi)兩相切疊放在一起，在它們圍成的空隙內(nèi)有一個小球與這四個大球都外切，另有一有一個小球與這四個大球都外切，另有一個更大的球與這四個大球都內(nèi)切，求小球個更大的球與這四個大球都內(nèi)切，求小球的半徑的半徑r和更大球的半徑和更大球的半徑R.化歸為以各球球心為頂點的多面體問題平行于底面的截面與底面相似，且平行于底面的截面與底面相似，且SS121)hh(S底底截截S當平行于底面的截面過棱錐當平行于底面的截面過棱錐高的中點時，這個截面常被高的中點時，這個截面常被稱為中截面，思考：稱為中截面，思考：?S底底中截中截S原棱錐側(cè)原棱錐側(cè)小棱錐側(cè)小棱錐側(cè)SS1.用平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得截面面積用平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得截面面積與底面面積的比是與底面面積的比是1:3，這截面把圓錐母線分成為，這截面把圓