圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題中的重要定理（精編版）

1、2012年第3期福建中學(xué)數(shù)學(xué)154-若=】（勿0,0） ±.a D性質(zhì)2、3、4、5的證明，仿性質(zhì)1證明，讀者 試證.性質(zhì)5已知A , B姑雙曲aC：4 + TF-K0.a b力0）的上、下琨頂點(diǎn)，CD是垂直于N軸的動(dòng)弦， 直技4C與戰(zhàn)）交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M在雙曲線：圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題中的重要定理念家桃福建省平潭縣第一中學(xué)（350400）Wf 玉 + x22mka2故凹f ) + 2r2mb2文卩介紹了圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題中的兩個(gè)定理及 其推論：定理1已知棉圓號(hào)§ = 1（。60）,過(guò)x軸上 一點(diǎn)（用，0）任作兩相互垂直的弦ABt CD,設(shè)M, N分別為弦AB, CD的中點(diǎn),則直線M

2、N必經(jīng)過(guò)定 點(diǎn)（烏。）定理2已知雙曲統(tǒng)%-#=1（。0,"0）,過(guò)x a b軸上一點(diǎn)（嘰0）作兩相互垂直的弦柏，CD,則過(guò) 弦AB , CD的中點(diǎn)的直絞必經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn) （為。），推論I過(guò)桶圓§ , # =財(cái)60）長(zhǎng)軸一端點(diǎn) P（a,0）（或 P（-o.0）作弦月4, PB ,若 PA LPBt 則直"過(guò)定點(diǎn)（爲(wèi)叫（或：爲(wèi)，。）推論2過(guò)雙曲線§#=100, 60）實(shí)軸- 端點(diǎn) P（. 0）（或 Rp 0）作弦 PA,PB,PALPR, 則直線48過(guò)定點(diǎn)（與,0）（或一蕓,0）.筆者研讀之后發(fā)現(xiàn)：上述兩個(gè)定理及其推論中 的定點(diǎn)部是在焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸上，旦

3、沒(méi)有進(jìn)一步 推廣到拋物緯，不免有點(diǎn)遺憾.卜面宅者對(duì)定理及J4推論進(jìn)行推廣，使定點(diǎn)在 另一坐標(biāo)軸上時(shí)也有類似結(jié)論，并將其推廣到所有 有心岡錐曲線.再進(jìn)一步推廣到擔(dān)物線，使此結(jié)論 得以在|«錐曲線上完整體現(xiàn)，并得到一個(gè)有關(guān)圓錐 曲埃過(guò)定點(diǎn)的一個(gè)重要定理.供讀者參考（為行文 方便，電者約定文中均是在問(wèn)題存在的前提下討論 的）.定理3已知桶酬=過(guò)，軸上a h一點(diǎn)（0，m任作兩相互垂直的弦ABt CD,設(shè)M, N分別為弦AB, 8的中點(diǎn)，則直線MV必經(jīng)過(guò)定 點(diǎn)（。粉證明U）當(dāng)瓦線.4B的斜率不存在成為零時(shí)， 分析可知直線壞與，軸戒合，顯然直線枷經(jīng)過(guò)定 點(diǎn)（。點(diǎn)）（2）當(dāng)直線48的斜率存在且不為

4、零時(shí)，設(shè)直 線4B的方程:ykxm ,則直線CD的方程：/ =+ w -設(shè) 4（玉 5）, 8（也，*2），將y =+ m代入與+告=丨，a D得(a2k2 + b2 )xa + 2mlui2x + a2- a2b7 = 0 9即小石涼mka1 mb2k2 )宀"宀州丿.于是在線初V的斜率mb2k2mb'._ 時(shí)(卩1) s - mka2mkcT "1(77?) 1故直線MN的方程為mb2 _ b2(k2 -1) mka2 yaik1 = I(777)(jr + 如 + K' 令x = 0得y = ¥長(zhǎng)，即直線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn) a +/>同理不維

5、得到F面結(jié)論：定理4已知雙曲線£-若=如00）,過(guò) a 0J軸上一點(diǎn)（0,時(shí)任作兩相互垂直的弦ABt CD, 設(shè)M, N分別為弦.48, CD的中點(diǎn)，則直線心必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0曹，同理可得到桐圖和雙曲線的焦點(diǎn)在y軸，定點(diǎn)在 坐標(biāo)軸上的情況，在此不一一列舉.由上面的推導(dǎo)可曠|納出在任意有心岡錐曲線的 情況：定理5 已知有心圓錐曲線C的方程為 在+” = 1 （當(dāng)4 , 8都為正時(shí)是橢圓成圓，當(dāng)4 , 8異號(hào)時(shí)是雙曲線），過(guò)工軸上一點(diǎn)（m 0）任作兩相 互垂直的弦AB, CD,設(shè)Af, N分別為弦AB, CD 的中點(diǎn)，則賈線A£V必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)糸，°）證明略.同理不難得到下面

6、結(jié)論：定理6已知有心圖錐曲線C的方程為Ax1 + By2 =1 （當(dāng)4, B都為正時(shí)是棉岡或圓，當(dāng)，B異號(hào) 時(shí)是雙曲線），過(guò)，軸上一點(diǎn)（0,初任作兩相互形直 的弦AB , CD,設(shè)M, N分別為弦AB , CD的中 點(diǎn)，則直線MV必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)°，兌卜進(jìn)一步推廣到拋物線上可得.定理7已知拋物線/=2px（0），過(guò)x軸上一 點(diǎn)（師,0）任作兩相瓦垂直的弦48, CD,設(shè)M, N 分別為弦朋,CD的中點(diǎn)，則直線MN必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（/» + /? 0）.證明顯然苴線的斜率存在旦不為零, 設(shè)直線仙的方程：y-k（x-m）,則宜線8的方程：y = （x-m）f設(shè)4(七凹),eg/),將 y

7、= k(x-m)代入 y2 = 2px , 得A?x - 2mkz + p)x + kW =0,=k(x +x2 - 2m)則=也1£1,故宀,同理 N（皿，pk2 ,一 pk） . 于是直線MN的斜率為. Vpk k 十辛云*E 故偵MN的方程為 y+ P* ujy(x-(m+ p") 令夕=0得x = /rt + p, 即直線MV經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(e + p, 0) .同理可得:定理8已知拋物線/=-2px30）,過(guò)刀軸上 一點(diǎn)（巾，0）任作兩相互垂直的弦相,CD,設(shè)M, N分別為弦ABt CD的中點(diǎn)，則直線"V必經(jīng)過(guò)定 點(diǎn)（F - p, 0）定理9已知拋物線】=2砂

8、（0），過(guò)，軸上一 點(diǎn)（0，沖任作兩相互垂直的弦如，CD,設(shè)M, N 分別為弦人卜，CD的中點(diǎn)，則（L說(shuō)MN必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（O.E + P）.定理10已知拋物線xJ-2小”0）,過(guò)N軸上 一點(diǎn)（0，成）任作兩相互垂直的弦仙,CD,設(shè)M, '分別為弦 S CD的中點(diǎn),則直線冊(cè)必經(jīng)過(guò)定 點(diǎn)（Os p）壕合上面十個(gè)定理，可以得到有關(guān)圓錐曲線過(guò)定點(diǎn)的重要定理：定理過(guò)岡錐曲線對(duì)稱軸上的定點(diǎn)作兩相互垂 直的弦，則過(guò)兩弦中點(diǎn)的直線必經(jīng)過(guò)該對(duì)稱軸上的 另一定點(diǎn)注若此定點(diǎn)是圓錐曲線的端點(diǎn)的活，叩得到與文1相類似的上述各定理的推論.參考文：I季紅卷.阿俊曲塩定點(diǎn)問(wèn)財(cái)中的西個(gè)定理及其推論梱優(yōu)中學(xué)教學(xué). 2011

9、 （12）: 2122由一道高考題引出的一個(gè)拋物線性質(zhì)岡W福建省漳州正興學(xué)校（363000）QM = AMPr 則，2011年安徴高考數(shù)學(xué)卷的最后一題如F；設(shè)A>Qt點(diǎn)4的坐標(biāo)為（1,1）,點(diǎn)B在拋物線 y = x?上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。滿足心頑，經(jīng)過(guò)點(diǎn)。與X軸 垂直的直線交擔(dān)物線于點(diǎn)，點(diǎn)戶滿足= 求點(diǎn)P的軌跡方程.本題中求得點(diǎn)的軌跡方程是y = 2x-l,而在 點(diǎn)X處的切線方程也是y = 2.v-l.這個(gè)結(jié)論在一般 的情形F是否成立呢？本文通過(guò)探究，得到拋物技- 個(gè)有趣的向紙性質(zhì)，現(xiàn)介紹如卜性質(zhì)設(shè)A>0.點(diǎn)X的坐標(biāo)為（2p，2p）（f是定 值），點(diǎn)8推物線C:F=2”V>。）上運(yùn)動(dòng)，

10、點(diǎn)。満 足頭"函，始過(guò)點(diǎn)。與x軸垂由的直我交械物線 干點(diǎn)M ,點(diǎn)戶満足困“行禮則點(diǎn)P的軌跡方程 即是在點(diǎn).4處的切線方程為y = 2rx-2pr.證明設(shè) B（2ps.2ps'）t 0%，坊），P（x. y）, 則因?yàn)殛?互房，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得2ps+42pfIpsXlpt2 2p(1 + 人加=(x.(l + A)-A-2p葉 + 2(5 玉=玉乂 MS/)在拋物線上，且所以=2p-A±.n(l + 4)'x2 = 2p(l + 4)肉+ 2p0 + 4)4 J 將代入得(UA)1? =x(l + A)-A-2prf+Z(2/x)5+2p(l + l)Z

11、-y , 化簡(jiǎn)得0 = -4pf(J +X)x+U2 + Wpt)2 +2/4A21) j 又 2/X矛 +久)# 0 ,叩 v = 2tx-2ptJ,又在點(diǎn) A(2pr, 2”)的切線方程是2/« x = p(2”+*),化筒得 y = 2ix-2pt2r所以點(diǎn)P的軌跡方程即是在點(diǎn)A姓的 切線方程為y = 2tx-2pr.高三第二輪專題復(fù)習(xí)課案例分析-H錐曲線定義的應(yīng)用肖驍福建省廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（361012）在2009年4月21日的全國(guó)數(shù)學(xué)年會(huì)數(shù)學(xué)教育 沙龍上，福it師范大學(xué)陳清華教授對(duì)福建省數(shù)學(xué)基 礎(chǔ)教學(xué)提出了批評(píng).他說(shuō)：“近年我省數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育 已落后于大部分省市，依據(jù)臨S考試題結(jié)構(gòu)和難