2021-2022學(xué)年北京市順義區(qū)第一中學(xué)高二3月月考數(shù)學(xué)試題解析

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 17 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 17 頁(yè)2021-2022學(xué)年北京市順義區(qū)第一中學(xué)高二3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知等差數(shù)列滿足，則公差的值為（）ABCD2【答案】D【分析】由，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，即等差?shù)列的公差.故選：D.2數(shù)列滿足，則的值為（）ABCD【答案】C【分析】由題設(shè)可知為等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解【詳解】，則又因?yàn)?，所以所以為等比?shù)列當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故選：C3記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和已知，則ABCD【答

2、案】A【分析】等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式本題還可用排除，對(duì)B，排除B，對(duì)C，排除C對(duì)D，排除D，故選A【詳解】由題知，解得，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計(jì)算等素養(yǎng)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出首項(xiàng)與公差，在適當(dāng)計(jì)算即可做了判斷4已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)為和為15，且，則（）A2B4C8D16【答案】B【分析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，依題意根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式求出、，即可得解；【詳解】解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由，即，即，解得或（舍去），又，解得，所以；故選：B5已知等差數(shù)列的公差為

3、d,前n項(xiàng)和為,則“d0”是A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】由，可知當(dāng)時(shí)，有，即，反之，若，則，所以“d0”是“S4 + S62S5”的充要條件，選C【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，通過(guò)套入公式與簡(jiǎn)單運(yùn)算，可知， 結(jié)合充分必要性的判斷，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，該題“”“”，故互為充要條件6設(shè)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為（ ）ABCD【答案】C【分析】判斷橢圓長(zhǎng)軸（焦點(diǎn)坐標(biāo)）所在的軸，求出a，接利用橢圓的定義，轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】橢圓=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸，a=，P是橢圓=1上的動(dòng)點(diǎn)，由橢圓的定義可

4、知：則P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a=2故選C【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題7在等比數(shù)列中，公比.若，則m=A9B10C11D12【答案】C【詳解】試題分析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，答案選C.【解析】等比數(shù)列的性質(zhì)8已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，為焦點(diǎn)，則（）ABCD【答案】D【分析】先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線的定義可求出的值【詳解】當(dāng)時(shí)，得，所以，拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為，所以，故選：D9中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個(gè)人走

5、378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”.則該人最后一天走的路程為.A24里B12里C6里.D3里【答案】C【分析】由題意可知，每天走的路程里數(shù)構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，由求得首項(xiàng)，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得該人最后一天走的路程【詳解】解：記每天走的路程里數(shù)為，可知是公比的等比數(shù)列，由，得，解得：，故選C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和，是基礎(chǔ)的計(jì)算題10在等差數(shù)列中，記，則數(shù)列（）A有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)【答案】B【分析】首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合數(shù)列中各

6、個(gè)項(xiàng)數(shù)的符號(hào)和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng).【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項(xiàng)公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng)，由于，故數(shù)列中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：，.故數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)問(wèn)題，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題.二、填空題11在等比數(shù)列中，則公比=_【答案】【分析】代通項(xiàng)公式即可求解【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列所以所以，所以故答案為：12設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為_(kāi)【答案】【解析】用基本量法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由通項(xiàng)公式可得取最小值時(shí)的值，從而得的最小值【詳解】設(shè)數(shù)列公

7、差為，則由已知得，解得，又，、的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值首項(xiàng)為負(fù)且遞增的等差數(shù)列，滿足的最大的使得最小，首項(xiàng)為正且遞減的等差數(shù)列，滿足的最大的使得最大，當(dāng)然也可把表示為的二次函數(shù)，由二次函數(shù)知識(shí)求得最值13記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和若，則S5=_【答案】.【分析】本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算得到題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，所以所以【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類(lèi)問(wèn)題的基本要求本題由于涉及冪的乘方運(yùn)算、繁分式分式計(jì)算，部分考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤三、雙空題14

8、已知雙曲線，則的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi): 的漸近線方程是_.【答案】 【分析】根據(jù)雙曲線方程直接可得焦點(diǎn)坐標(biāo)及漸近線方程.【詳解】由雙曲線方程，得，所以，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，即，故答案為：；.15已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則_，若，恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是 _.【答案】 2.5【分析】由化簡(jiǎn)即可得出數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.即可寫(xiě)出通項(xiàng)公式.根據(jù)題意寫(xiě)出，將、帶入不等式，參變分離后根據(jù)在上單調(diào)遞增，即可求出實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)：.（2）當(dāng)時(shí)：-：=定值常數(shù).所以數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.所以.，恒成立即恒成立因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增. .所以所以實(shí)數(shù)的最大值是四、

9、解答題16已知等差數(shù)列中，.(1)設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）由已知條件求出等差數(shù)列的公式，從而可求出，則可得，然后利用等比數(shù)列的定義證明即可，（2）利用分組求和法求解即可，（3）由（1）可得，再利用裂項(xiàng)相消求和法求解即可【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，得，解得，所以，所以，所以，所以數(shù)列是以2為公比，4為首項(xiàng)的等比數(shù)列(2)由（1）可得，所以(3)由（1）可得，所以17如圖，在正方體中， E為的中點(diǎn)（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（）證明見(jiàn)解析；（）.【分析】（）證明出四邊

10、形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計(jì)算證明；（）可以將平面擴(kuò)展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計(jì)算；也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算求解 .【詳解】（）方法一：幾何法如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；方法二:空間向量坐標(biāo)法以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，則.又向量,又平面，平面；（）方法一：幾何法延長(zhǎng)到，使得，連接，交于，又，四邊形為平行四邊形，又,所以平面即平面,連接，作,垂足為,連接

11、,平面,平面,，又,直線平面,又直線平面,平面平面,在平面中的射影在直線上,直線為直線在平面中的射影，為直線與平面所成的角，根據(jù)直線直線，可知為直線與平面所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則,即直線與平面所成角的正弦值為.方法二：向量法接續(xù)（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又,，直線與平面所成角的正弦值為.方法三：幾何法+體積法 如圖，設(shè)的中點(diǎn)為F，延長(zhǎng)，易證三線交于一點(diǎn)P因?yàn)椋灾本€與平面所成的角，即直線與平面所成的角設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，在中，易得，可得由，得，整理得所以所以直線與平面所成角的正弦值為方法四：純體積法設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)到平面的距離為h，在中，所以，易得由，得，解得，設(shè)

12、直線與平面所成的角為，所以【整體點(diǎn)評(píng)】（）的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明；（II）第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒(méi)有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)學(xué)生的集合論證和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用計(jì)算論證和求解，定為最優(yōu)解法；方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計(jì)算較為簡(jiǎn)潔；方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理和體積公式進(jìn)行計(jì)算，省卻了輔助線和幾何的論證，不失為一種優(yōu)美的方法.18已知前n項(xiàng)和為的數(shù)列中，.（1）若是等比數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2）若是等差數(shù)列，求的最大值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）先

13、設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，求出公比，進(jìn)而可求出通項(xiàng)公式；（2）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件，求出公差，得出前項(xiàng)和，即可得出最大值.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，q1所以，即，解得或，所以或；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，因此，所以，因?yàn)槭情_(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為的二次函數(shù)，又，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值.19已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5（）求的通項(xiàng)公式；（）求和：【答案】（1）an=2n1.（2）【詳解】試題分析：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為，代入建立方程進(jìn)行求解；（）由是等比數(shù)列，知依然是等比數(shù)列，并且公比是，再利用等比

14、數(shù)列求和公式求解.試題解析：（）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)閍2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n1.（）設(shè)等比數(shù)列的公比為q.因?yàn)閎2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以.從而.【名師點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列求和，一般數(shù)列求和的方法：（1）分組轉(zhuǎn)化法，一般適用于等差數(shù)列+等比數(shù)列的形式；（2）裂項(xiàng)相消法求和，一般適用于，,等的形式；（3）錯(cuò)位相減法求和，一般適用于等差數(shù)列等比數(shù)列的形式；（4）倒序相加法求和，一般適用于首末兩項(xiàng)的和是一個(gè)常數(shù)，這樣可以正著寫(xiě)和與倒著寫(xiě)和，兩式相加除以2即可得到數(shù)列求和.20已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且(1)求橢圓C的方程：(2

15、)過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn)求證：【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，聯(lián)立即可求得與（2）作圖分析可知，要證即證，以直線的斜率為參數(shù)表示出與，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可證明【詳解】(1)由橢圓過(guò)點(diǎn) , 得 .又 解得 橢圓的方程為 (2)當(dāng)直線 的斜率不存在時(shí), 顯然不合題意. 設(shè)直線 ,由 得.由 , 得 .設(shè) ,則 .又 直線: 令 , 得 將 代入, 得.同理 21給定一個(gè)數(shù)列，在這個(gè)數(shù)列里，任取項(xiàng)，并且不改變它們?cè)跀?shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱(chēng)為數(shù)列的一個(gè)階子數(shù)列已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為（為常數(shù)），等差數(shù)列是數(shù)列的一個(gè)3階子數(shù)列（1）求的值；（2）等差數(shù)列是的一個(gè)階子數(shù)列，且（為常數(shù)，求證：；（3）等比數(shù)列是的一個(gè)階子數(shù)列，求證：【答案】（1）0；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析【詳解】（1）利用等差數(shù)列的定義及其性質(zhì)即可得出；（2）設(shè)等差數(shù)列b1，b2，bm的公差為d由b1，可得b2，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其不等式的性質(zhì)即可證明；（3）設(shè)c1 （tN），等比數(shù)列c1，c2，cm的公比為q由c2，可得q從而cnc1qn1（1nm，nN）再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性即可得出（1）解：a2，a3，a6成等差數(shù)列，a2a3a3a6又a2，a3，a6，代入得，