2021-2022學(xué)年廣東省名校聯(lián)盟高二下學(xué)期大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題解析

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 16 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 16 頁2021-2022學(xué)年廣東省名校聯(lián)盟高二下學(xué)期大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1若直線與直線平行，則m=（）A4BC1D【答案】A【分析】由直線平行的條件可得.【詳解】因為直線與直線平行，所以，解得故選：A2已知為等差數(shù)列，則（）A1B2C3D4【答案】B【分析】由等差中項直接可得.【詳解】因為為等差數(shù)列，所以故選：B3已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義式直接求解.【詳解】因為，所以，故選

2、：D.4若圓被直線平分，且直線與直線垂直，則直線的方程是（）ABCD【答案】B【分析】由已知得直線過圓心，再根據(jù)垂直可得直線方程.【詳解】因為圓被直線平分，所以圓心在直線上，又直線與直線垂直，設(shè)直線的方程為，把，代入上式，解得，所以直線的方程為，故選：B.5在等比數(shù)列中，則（）AB3CD【答案】D【分析】先求出公比，進而利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】設(shè)公比為，由，得，故.故選：D6已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若，則該雙曲線的離心率為（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)所給的條件，分析雙曲線內(nèi)部的幾何關(guān)系，即可求解.【詳解】易知，將代入雙曲線的方程

3、，可得，則又因為，是等腰直角三角形，所以，即，整理得，解得；故選：A.7已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（）ABCD【答案】B【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)在給定區(qū)間上恒大于等于0即可求解.【詳解】 ，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以 在上恒成立，解得；故選：B.8在三棱錐中，P為內(nèi)一點，若，則（）ABCD【答案】C【分析】延長PB到，使得，延長PC到，使得，連接，根據(jù) ，得到P是的重心求解.【詳解】延長PB到，使得，延長PC到，使得，連接，如圖所示：因為，所以，所以P是的重心，所以，即，所以，整理得故選：C二、多選題9已知為等差數(shù)列，滿足，為等比數(shù)列，滿足，則下列說法正確的是（）A數(shù)列的首項比公

4、差多B數(shù)列的首項比公差少C數(shù)列的首項為D數(shù)列的公比為【答案】AD【分析】根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式求各基本量，進而判斷各選項.【詳解】設(shè)的公差為，由，得，化簡得，所以A正確，B錯誤設(shè)的公比為，由，得，化簡得，所以C錯誤，D正確，故選：AD.10已知點是圓上的任意一點，直線，則下列結(jié)論正確的是（）A直線與圓的位置關(guān)系只有相交和相切兩種B圓的圓心到直線距離的最大值為C點到直線距離的最小值為D點可能在圓上【答案】ACD【分析】求出直線所過定點的坐標(biāo)，判斷點與圓的位置關(guān)系，可判斷A選項；利用當(dāng)直線與圓相切時，圓的圓心到直線距離最大可判斷B選項；求出圓心到直線的距離，利用圓的幾何性質(zhì)可判斷C選項；

5、判斷兩圓的位置關(guān)系可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為直線的方程可化為令解得，所以直線過定點，直線是過點的所有直線中除去直線外的所有直線，圓心到直線的距離為，即直線與圓相交，又點在圓上，所以直線與至少有一個公共點，所以直線與圓的位置關(guān)系只有相交和相切兩種，A正確；對于B選項，當(dāng)直線為圓的切線時，點到直線的距離最大，且最大值為，B錯誤；對于C選項，因為圓心到直線的距離，所以圓上的點到直線距離的最小值為，C正確；對于D選項，圓的圓心為原點，半徑為，因為，所以，圓與圓內(nèi)切，故點可能在圓上，D正確.故選：ACD.11在四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，E在PD上，M在棱PB上，則M到平面A

6、CE的距離可能為（）ABCD【答案】BD【分析】以A為原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由空間向量法求得點到平面的距離得其范圍，從而得正確選項【詳解】以A為原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面ACE的法向量為，由得令，得設(shè)，則，所以M到平面ACE的距離，因為，所以故選：BD12已知奇函數(shù)的定義域為R，其函數(shù)圖象連續(xù)不斷，當(dāng)時，則（）ABCD【答案】BD【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)條件判斷單調(diào)性，再結(jié)合奇偶性可解.【詳解】令，則，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，從而可得，故A錯誤，B正確對于C，因為當(dāng)時，則當(dāng)時，所以，又為奇函數(shù)，

7、所以，C錯誤由選項A的推理過程可知，又，可得，D正確故選：BD三、填空題13函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為_【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率.【詳解】因為，所以，故答案為：.14數(shù)列的前項和為，若，則_【答案】【分析】，然后利用裂項求和法進行運算【詳解】故答案為:【點睛】本題考查數(shù)列的求和，解題時要注意裂項求和法的合理應(yīng)用15南宋數(shù)學(xué)家楊輝在詳解九章算法中討論過高階等差數(shù)列，高階等差數(shù)列是指逐項差數(shù)之差或者高次差相等的數(shù)列例如數(shù)列，的逐項差，構(gòu)成一個等差數(shù)列，所以數(shù)列，是一個高階等差數(shù)列（二階等差數(shù)列）現(xiàn)有一個高階等差數(shù)列，其前項為，則其第7項是_【答案】36【分析】根據(jù)高階等差數(shù)

8、列的概念直接計算.【詳解】數(shù)列，從第二項開始，后一項減前一項的差組成的新數(shù)列，即，它不是等差數(shù)列，數(shù)列從開始，后一項減前一項的差組成的新數(shù)列，即，它是一個等差數(shù)列，所以，即數(shù)列的前項分別為，所以數(shù)列的前項分別為，從而原數(shù)列的前項分別是，故答案為：.四、雙空題16已知點，拋物線的焦點是，若拋物線上存在一點，使得最小，則最小值為_；此時點的坐標(biāo)為_【答案】 3 【詳解】如上圖，過作于，則由拋物線的定義得所以，由圖形得當(dāng)、三點共線時，最小，又最小值為到準(zhǔn)線的距離此時最小值為，此時點的縱坐標(biāo)為，所以，即點的坐標(biāo)為答案：(1). 3(2). 點睛：利用拋物線的定義，實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的轉(zhuǎn)

9、化，由此可解拋物線中的最值問題常見的有下列兩種情況：（1）將拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構(gòu)造出“兩點之間線段最短”，使問題得解；（2）將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點的連線中的垂線段最短”解決五、解答題17已知函數(shù)在處取得極值(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在上的最值【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)，.【分析】（1）根據(jù)可構(gòu)造方程組求得，進而得到，根據(jù)的正負(fù)可得單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)單調(diào)性可確定，由此可求得最值.【詳解】(1)，在處取得極值，解得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)由（1）知：，又，

10、.18在直角坐標(biāo)系中，若圓與軸相切，且過點，圓心在直線上(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與圓交于，兩點，求的面積【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得圓的方程；（2）根據(jù)點到直線距離求得弦長，即可得三角形面積.【詳解】(1)由圓心在直線上，且圓與軸相切，故設(shè)圓心，圓的方程為，又圓過點，則，即，解得，即圓心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)因為圓心到直線的距離，所以弦長，所以.19如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，E是的中點，且(1)證明：平面(2)若，求二面角的余弦值【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由線面垂直的判定定理證明（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解【詳解】(

11、1)證明：取中點，連接四邊形是菱形又平面(2)如圖，以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為解得平面的一個法向量為同理得平面的一個法向量為由題意二面角為鈍角，故其余弦值為20從，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題：設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，且 ，求數(shù)列的前n項和注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分【答案】【分析】根據(jù)題目所給的條件推出 的通項，再計算出 的通項，將所選擇的條件加入，利用錯位相減法即可求解.【詳解】解：因為，所以當(dāng)時， 所以，若選擇，由，得，又，所以，所以 ， 所以當(dāng)時，以上兩式相減得，所以當(dāng)時，所以；若選擇，因為，所以又

12、，所以所以，所以當(dāng)時，以上兩式相減得，所以當(dāng)時，所以；若選擇，因為，所以，又，所以，所以所以當(dāng)時，以上兩式相減得，所以當(dāng)時，所以；綜上，.21已知函數(shù)，其中(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)直接判斷單調(diào)性；（2）構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值的情況解決不等式恒成立問題.【詳解】(1)因為，所以的定義域為，且，由，得；由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)由（1）知在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則的最大值為，因為對于任意，恒成立，所以，化簡得設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)又，由，可得，即

13、實數(shù)的取值范圍為【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理22已知橢圓的離心率是，其左、右頂點分別是、，且(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點、是橢圓上異于、的不同兩點，設(shè)點是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個交點，記線段的中點為，若，求動點的軌跡方程【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，求出、的值，可得出橢圓的方程；（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，設(shè)出直線的方程，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，可知，求

14、出直線所過定點的坐標(biāo)，由圓的幾何性質(zhì)可知過線段的中點，分析可知且點不與點重合，利用直角三角形的幾何性質(zhì)可求得點的軌跡方程.【詳解】(1)解：由題意可得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)解：當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、聯(lián)立，整理得，可得，則，因為，所以，則，且，則，因為， 所以，解得或（舍去）則直線的方程為，所以直線過定點當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，其中，將代入橢圓的方程可得，設(shè)點、，則，因為，解得，故直線過定點因為為的中點，為的中點，所以過線段的中點因為兩圓相交，則連心線垂直平分公共弦，所以，線段的中點為，則，且點不能與點重合，所以點在以為直徑的圓上運動，且該圓圓心為，半徑為.故動點的軌跡方程為【點睛】方法點睛：求動點的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：