拉普拉斯反變換的部分分式展開

1、小組成員：小組成員：楊朦朦楊朦朦、王曼、薛久明、劉影王曼、薛久明、劉影一、部分分式展開法一、部分分式展開法象象函數(shù)通?？杀硎緸閮蓚€實系數(shù)的函數(shù)通?？杀硎緸閮蓚€實系數(shù)的s的多項的多項式之比，即式之比，即s的一個有理分式的一個有理分式)(sF式中式中m和和n為正整數(shù)，且為正整數(shù)，且nm。)()(sDsNnnnmmmbsbsbasasa.110110分解定理分解定理把把F(s)分解成若干簡單項之和，分解成若干簡單項之和，而這些簡單項可以在拉氏變換表中找到，而這些簡單項可以在拉氏變換表中找到，這種方法稱為部分分式展開法，或稱為這種方法稱為部分分式展開法，或稱為分解分解定理定理。用部分分式展開有理分式用

2、部分分式展開有理分式F(s)時，需要把有時，需要把有理分式化為真分式。理分式化為真分式。若若n=m，則，則)()()(0sDsNAsF若若nm，則為真分式。，則為真分式。真分式用真分式用部分分式部分分式展開，展開，需要對分母多項式作因式分解，需要對分母多項式作因式分解，求出求出D(s)=0的根。的根。 D(s)=0的根可以是的根可以是單根單根共軛復根共軛復根重根重根三種情況。三種情況。nnnmmmbsbsbasasasDsNsF.)()()(110110二、二、D(s)=0具有單根的情況具有單根的情況如果如果D(s)=0有有n個單根，設個單根，設n個單根分別是個單根分別是p1、p2、pn。于是

3、于是F(s)可以展開為可以展開為nnpsKpsKpsKsF.)(2211將上式兩邊都乘以將上式兩邊都乘以(s-p1)，得，得)()(1sFps令令s=p1，得，得K1=(s-p1)F(s)s=p1).)(221nnpsKpsKps1K確定待定系數(shù)的公式為確定待定系數(shù)的公式為Ki=(s-pi)F(s)s=pi同理可求得同理可求得K2、K3、Kn例：求例：求F(s)的原函數(shù)的原函數(shù)sssssF10712)(23解：解：sssssF10712)(23D(s)=0的根為的根為p1=0p2=-2p3=-51K=0.1)5)(2(12ssss0)5)(2(12ssss2K=0.52)5(12ssss3K=

4、-0.65)2(12ssssK1=0.1K3=-0.6K2=0.5綜綜上可知：上可知：- 0.6e-5tf(t)= 0.1 + 0.5e-2t56 . 025 . 01 . 0)(ssssF三、三、D(s)=0的具有共軛復根的情況的具有共軛復根的情況p1=a+jp2=a-jK1=(s- a-j)F(s)s= a+jK2=(s- a+j)F(s)s= a-jnnpsKpsKpsKsF.)(2211例：求例：求F(s)的原函數(shù)的原函數(shù)523)(2ssssF解：解：D(s)=0的根為的根為p1=-1+j2p2=-1-j21K=0.5-j0.521213jsjss4525 . 0je先變形先變形s2+

5、2s+5=0 s2+2s+1+4=0 (s+1)2+4=0523)(2ssssFp1=-1+j2p2=-1-j22K=0.5-j0.521213jsjss4525 . 0jexjxejxsincos歐拉公式歐拉公式四、四、D(s)=0具有重根的情況具有重根的情況D(s)應含應含(s-p1)n的因式的因式現(xiàn)設現(xiàn)設D(s)中含有中含有(s-p1)3的因式，的因式，p1為為D(s)=0的三重根，的三重根，其余為單根，其余為單根，F(xiàn)(s)可分解為可分解為niiipsKpsKpsKpsKsF231112112113)()()()(K11 = ( s-p1 )3F(s)|s = p1上式兩邊都乘以上式兩邊

6、都乘以(s-p1)3 ，則，則K11被單獨分離出來被單獨分離出來)()(31sFpsniiipsKpsKpsKpsKsF231112112113)()()()(1、K11的求法的求法11K121)(KpsniiipsKps231)()(1321)(Kps上式兩邊對上式兩邊對s求導求導 ，則，則K12被分離出來被分離出來)()(31sFpsdsd1)()(3112pssFpsdsdKniiipsKpsKKpsKpssFps23111121132131)()()()()()(2、K12的求法的求法131)(2Kps12KniiipsKpsdsd231)()(1)()(21312213pssFpsd

7、sdK3、K13的求法的求法用同樣的方法可得用同樣的方法可得niiipsKpsKpsKpsKsF231112112113)()()()(f(t)=tpeK113tpteK112tpetK121121nitpiieK24、 D(s)=0具有具有q階重根，其余為單根的分解式階重根，其余為單根的分解式niiiqqqpsKpsKpsKpsKsF211121)1(111)()(.)()(式中式中K11 =12K13K1)()()!1(11111psqqqqsFpsdsdqK( s-p1 )qF(s)|s = p11)()(1psqsFpsdsd1)()(21122psqsFpsdsd例：求例：求F(s)的原函數(shù)的原函數(shù)32) 1(1)(sssF解：解：D(s)=0的根為的根為p1=-1為三重根為三重根p2=0為二重根為二重根2212231121213) 1() 1(1)(sKsKsKsKsKsF首先以首先以(s+1)3乘以乘以F(s)得得231)() 1(ssFs121ssK11 = ( s-p1 )3F(s)|s = p1=1122213121ssdsdK14621ss=3121ssds