第四章_相似原理和量綱分析

1、第四章第四章相似原理和量綱分析相似原理和量綱分析4.14.1 流動(dòng)的力學(xué)相似流動(dòng)的力學(xué)相似4.24.2 動(dòng)力相似準(zhǔn)則動(dòng)力相似準(zhǔn)則4.34.3 流動(dòng)相似條件流動(dòng)相似條件4.44.4 近似的模型試驗(yàn)近似的模型試驗(yàn)4.5 4.5 量綱分析法量綱分析法4.1 4.1 流動(dòng)的力學(xué)相似流動(dòng)的力學(xué)相似三類表征流動(dòng)過程的物理量：三類表征流動(dòng)過程的物理量：流場的幾何形狀 流體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 流體的動(dòng)力性質(zhì) 模型與原型的全部對應(yīng)線性長度的比例相等L一、幾何相似一、幾何相似 L長度比例尺長度比例尺面積比例尺面積比例尺體積比例尺體積比例尺llkl222lAkllAAk333lVkllVVk線性長度對應(yīng)成比例，則對應(yīng)角度必

2、然相等。 l l 4.1 4.1 流動(dòng)的力學(xué)相似流動(dòng)的力學(xué)相似 模型與原型的流場在滿足幾何相似的基礎(chǔ)上，所有對應(yīng)點(diǎn)和對應(yīng)時(shí)刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。二、運(yùn)動(dòng)相似二、運(yùn)動(dòng)相似 vvkvvltkkvlvlttk/lvtvakkkktvtvaak2/速度比例尺速度比例尺加速度比例尺加速度比例尺時(shí)間比例尺時(shí)間比例尺4.1 4.1 流動(dòng)的力學(xué)相似流動(dòng)的力學(xué)相似 模型與原型的流場在滿足幾何相似的基礎(chǔ)上，所有對應(yīng)點(diǎn)和對應(yīng)時(shí)刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。二、運(yùn)動(dòng)相似（續(xù)）二、運(yùn)動(dòng)相似（續(xù)） vltlVVqkkkktltlqqkV2333/體積流量比例尺體積流量比例尺運(yùn)動(dòng)粘度比例尺運(yùn)動(dòng)粘度比

3、例尺角速度比例尺角速度比例尺vltlkkkktltlk222/lvkklvlvk/4.1 4.1 流動(dòng)的力學(xué)相似流動(dòng)的力學(xué)相似 模型與原型的流場所有對應(yīng)點(diǎn)和對應(yīng)時(shí)刻，作用在流體上的所有力彼此方向相同，而它們大小的比例相等。三、動(dòng)力相似三、動(dòng)力相似 FgFPFaPFgFFamFiFgFPFaPFgFFiFma .giPFPgiFFFFkFFFF力的比例尺力的比例尺PFFgFiF總壓力總壓力切向力切向力重力重力慣性力慣性力4.1 4.1 流動(dòng)的力學(xué)相似流動(dòng)的力學(xué)相似四、幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似三者間的關(guān)系四、幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似三者間的關(guān)系 動(dòng)力相似是決定運(yùn)動(dòng)相似的主導(dǎo)因素。 幾何相似

4、、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似是模型流場和原型幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似是模型流場和原型流場相似的重要特征。流場相似的重要特征。 幾何相似是流動(dòng)力學(xué)相似的前提條件。 運(yùn)動(dòng)相似是幾何相似和動(dòng)力相似的表現(xiàn)。4.1 4.1 流動(dòng)的力學(xué)相似流動(dòng)的力學(xué)相似五、基本比例尺、其它動(dòng)力學(xué)比例尺五、基本比例尺、其它動(dòng)力學(xué)比例尺 lk長度比例尺長度比例尺速度比例尺速度比例尺密度比例尺密度比例尺vk22/vlFVaFiikkkkkkaVFVaFk常選取、l、v的比例尺為為基本比例尺 4.1 4.1 流動(dòng)的力學(xué)相似流動(dòng)的力學(xué)相似五、基本比例尺、其它動(dòng)力學(xué)比例尺（續(xù)）五、基本比例尺、其它動(dòng)力學(xué)比例尺（續(xù)） 用基本比例尺表示的其

5、它動(dòng)力學(xué)比例尺22FlvFkk k kF力的比例尺力的比例尺力矩（功、能）比例尺力矩（功、能）比例尺壓強(qiáng)（應(yīng)力）比例尺壓強(qiáng)（應(yīng)力）比例尺23vllFMkkkkkFllFMMk 功率比例尺功率比例尺動(dòng)力粘度比例尺動(dòng)力粘度比例尺2/vAFPPpkkkkAFAFppk32vlvFPkkkkkFvvFPPk/()lvxxF dyFdykk k kA dvAdv4.2 4.2 動(dòng)力相似準(zhǔn)則動(dòng)力相似準(zhǔn)則一、牛頓相似準(zhǔn)則一、牛頓相似準(zhǔn)則dtVdvt dvdVFF/2222vlFvlF 122vlFkkkkNevlF22牛頓數(shù)牛頓數(shù) 模型與原型的流場動(dòng)力相模型與原型的流場動(dòng)力相似，它們的牛頓數(shù)必定相等。似，它

6、們的牛頓數(shù)必定相等。Fm aFma FgFPFaPFgFFamFiFgFPFaPFgFFiFm a 4.2 4.2 動(dòng)力相似準(zhǔn)則動(dòng)力相似準(zhǔn)則二、各單項(xiàng)力相似準(zhǔn)則二、各單項(xiàng)力相似準(zhǔn)則 模型與原型的流場動(dòng)力相似，則作用在流場上的各種性質(zhì)的力（如重力、黏性力、壓力、彈性力、表面張力等）都要服從牛頓相似準(zhǔn)則，即各單項(xiàng)力作用下的相似準(zhǔn)則）。重力相似準(zhǔn)則重力相似準(zhǔn)則黏性力相似準(zhǔn)則黏性力相似準(zhǔn)則表面張力相似準(zhǔn)則表面張力相似準(zhǔn)則彈性力相似準(zhǔn)則彈性力相似準(zhǔn)則壓力相似準(zhǔn)則壓力相似準(zhǔn)則()mamamgmg ()xxmamadvdvAAdydy ()mamapApA ()mamaKAKA ()mamall 4.2 4

7、.2 動(dòng)力相似準(zhǔn)則動(dòng)力相似準(zhǔn)則二、各單項(xiàng)力相似準(zhǔn)則（續(xù)）二、各單項(xiàng)力相似準(zhǔn)則（續(xù)）1.重力相似準(zhǔn)則在重力作用下相似的流動(dòng)，其重力場相似。glggFkkkVggVFFk31)(2/1glvkkk代入代入Frglvlgv 2/12/1)()( FrFr弗勞德數(shù)，表征慣弗勞德數(shù)，表征慣性力與重力的比值。性力與重力的比值。122vlFkkkk兩個(gè)流場重力相似，它們的弗勞德數(shù)必定相等，反之亦然。弗勞德數(shù)反映重力對流體的作用，與重力有關(guān)的現(xiàn)象由Fr決定，例如波浪運(yùn)動(dòng)，興波阻力等。FrFr 4.2 4.2 動(dòng)力相似準(zhǔn)則動(dòng)力相似準(zhǔn)則二、各單項(xiàng)力相似準(zhǔn)則（續(xù)）二、各單項(xiàng)力相似準(zhǔn)則（續(xù)）2.黏性力相似準(zhǔn)則在黏性力

8、作用下相似的流動(dòng)，其黏性力場相似。代入代入122vlFkkkklvxxFkkkAdydvAydvdFFk)/()/(1vlvlk k kk kkkRev lvlv lvl Re雷諾數(shù)，表征慣性雷諾數(shù)，表征慣性力與粘滯力的比值。力與粘滯力的比值。兩個(gè)流場黏性力相似，它們的雷諾數(shù)必定相等，反之亦然。雷諾數(shù)反映黏性力對流體的作用，與黏性力有關(guān)的現(xiàn)象由Re決定，比如流動(dòng)的流態(tài)：湍流，層流。ReRe l為定型尺寸4.2 4.2 動(dòng)力相似準(zhǔn)則動(dòng)力相似準(zhǔn)則二、各單項(xiàng)力相似準(zhǔn)則（續(xù)）二、各單項(xiàng)力相似準(zhǔn)則（續(xù)）3.壓力相似準(zhǔn)則在壓力作用下相似的流動(dòng)，其壓力場相似。代入代入122vlFkkkk2lpppFkkpA

9、ApFFk12vpkkkEuvpvp22 Eu歐拉數(shù)，表征壓力與歐拉數(shù)，表征壓力與慣性力的比值。慣性力的比值。兩個(gè)流場壓力相似，它們的歐拉數(shù)必定相等，反之亦然。歐拉數(shù)反映壓力對流體的作用，與壓力有關(guān)的現(xiàn)象由Eu決定，比如空泡現(xiàn)象、空泡阻力等。EuEu 4.2 4.2 動(dòng)力相似準(zhǔn)則動(dòng)力相似準(zhǔn)則二、各單項(xiàng)力相似準(zhǔn)則（續(xù)）二、各單項(xiàng)力相似準(zhǔn)則（續(xù)）4.彈性力相似準(zhǔn)則對于可壓縮流的模型試驗(yàn)，由壓縮引起的彈性力場相似。代入代入122vlFkkkk2/lKeeFkkVKAdVVVdAKdpAApdFFk12KvkkkCaKvKv22 Ca柯西數(shù)，表征慣柯西數(shù)，表征慣性力與彈性力的比值。性力與彈性力的比值。

10、CaCa 4.2 4.2 動(dòng)力相似準(zhǔn)則動(dòng)力相似準(zhǔn)則二、各單項(xiàng)力相似準(zhǔn)則（續(xù)）二、各單項(xiàng)力相似準(zhǔn)則（續(xù)）4.彈性力相似準(zhǔn)則彈性力相似準(zhǔn)則（氣體）222, vvvCaMaKcc Ma馬赫數(shù)，表征慣性力馬赫數(shù)，表征慣性力與彈性力的比值。與彈性力的比值。對于氣體滿足2/cK（c c為聲速），為聲速），兩個(gè)流場彈性力相似，它們的馬赫數(shù)必定相等，反之亦然。馬赫數(shù)反映彈性力對流體的作用，與彈性力有關(guān)的現(xiàn)象由Ma決定，比如氣體高速流動(dòng)的特征等。MaMa 4.2 4.2 動(dòng)力相似準(zhǔn)則動(dòng)力相似準(zhǔn)則二、各單項(xiàng)力相似準(zhǔn)則（續(xù)）二、各單項(xiàng)力相似準(zhǔn)則（續(xù)）5.表面張力相似準(zhǔn)則在表面張力作用下相似的流動(dòng)，其表面張力分布相似

11、。代入代入122vlFkkkklFkkllFFk 12kkkkvlWelvlv22 We韋伯?dāng)?shù)，表征慣性韋伯?dāng)?shù)，表征慣性力與表面張力的比值。力與表面張力的比值。兩個(gè)流場表面張力相似，它們的韋伯?dāng)?shù)必定相等，反之亦然。韋伯?dāng)?shù)反映表面張力對流體的作用，與表面張力有關(guān)的現(xiàn)象由We決定，比如液體射流的分裂與霧化等。WeWe 4.3 4.3 流動(dòng)相似條件流動(dòng)相似條件一、流動(dòng)相似條件一、流動(dòng)相似條件保證流動(dòng)相似的必要和充分條件。1.相似的流動(dòng)都屬于同一類的流動(dòng)，應(yīng)為相同的微分方程所描述。2.單值條件相似幾何條件3.由單值條件中的物理量所組成的相似準(zhǔn)則數(shù)相等。邊界條件（進(jìn)口、出口的速度分布等）物性條件（密度、

12、黏度等）初始條件（初瞬時(shí)速度分布等）4.3 4.3 流動(dòng)相似條件流動(dòng)相似條件二、相似條件解決的問題二、相似條件解決的問題2.試驗(yàn)中應(yīng)測定準(zhǔn)則數(shù)中包含的需要測定的一切物理量,并把它們整理成相似準(zhǔn)則數(shù)。3.按相似準(zhǔn)則數(shù)去整理試驗(yàn)結(jié)果,總結(jié)得出的準(zhǔn)則方程式,可推廣應(yīng)用到原型及其相似流動(dòng)中。1.根據(jù)單值條件相似和定性準(zhǔn)則數(shù)相等的原則去設(shè)計(jì)模型,選擇模型中的流動(dòng)介質(zhì)。相似條件解決的問題定性物理量定性物理量: :單值條件中已知的各物理量定性準(zhǔn)則數(shù)定性準(zhǔn)則數(shù): :定性物理量組成的相似準(zhǔn)則數(shù)4.4 4.4 近似的模型試驗(yàn)近似的模型試驗(yàn) 在設(shè)計(jì)模型和組織模型試驗(yàn)時(shí)，在與流動(dòng)過程有關(guān)的定性準(zhǔn)則中只考慮那些對流動(dòng)過

13、程起主導(dǎo)作用的定性準(zhǔn)則，而忽略那些對過程影響較小的定性準(zhǔn)則，以達(dá)到模型流動(dòng)與原型流動(dòng)的近似相似。例如例如: :不可壓縮黏性流體管內(nèi)流動(dòng)不可壓縮黏性流體管內(nèi)流動(dòng)對流動(dòng)起主導(dǎo)作用的力是黏性力,故主要保持模型與原型Re相等。對流動(dòng)起主導(dǎo)作用的力是重力,故主要保持模型與原型Fr相等。特例：特例：“自?；阅；爆F(xiàn)象現(xiàn)象有自由面的流動(dòng)（明渠流動(dòng)）有自由面的流動(dòng)（明渠流動(dòng)）4.4 4.4 近似的模型試驗(yàn)近似的模型試驗(yàn)例：某大壩的泄洪道寬為20m，設(shè)計(jì)泄洪能力為125m3/s。現(xiàn)準(zhǔn)備用1:15的模型來研究此泄洪道的流通特性。試確定模型的寬和流量。對應(yīng)于泄洪道泄洪24h，模型應(yīng)工作多長時(shí)間？解：按照幾何相似，

14、模型的寬應(yīng)為1201.33 m15lbb k 除了寬以外，其他的幾何尺寸也應(yīng)具有同樣的比例尺。這種有自由面的流動(dòng)主要是重力起作用，故模型和原型Fr相等則可認(rèn)為動(dòng)力相似，即/vglvgl由于g=g，則/ (1)lvvllk4.4 4.4 近似的模型試驗(yàn)近似的模型試驗(yàn)VqvA由于流量 ，則25/2115VVqv AllqvAll 所以5/2311250.143 m /s15Vqtlkk時(shí)間比例系數(shù)、長度比例系數(shù)和速度比例系數(shù)之間有關(guān)系式vltkkvlvlttk/ (1)lvvllk所以1/50246.2 httk t 可見模型的實(shí)驗(yàn)時(shí)間比對應(yīng)原型的工作時(shí)間短得多。只要長度的比例系數(shù) ，模型的實(shí)驗(yàn)時(shí)

15、間就可比對應(yīng)原型的工作時(shí)間短。這一點(diǎn)很有用，這說明發(fā)生在原型的漫長過程，可以在模型實(shí)驗(yàn)中短時(shí)間內(nèi)完成。 1lk 4.5 4.5 量綱分析法量綱分析法一、物理方程量綱一致性原則一、物理方程量綱一致性原則1.量綱物理量單位的種類，用符號dimx或x表示?；玖烤V：基本量綱：長度（L）、時(shí)間（T）、質(zhì)量（M）、溫度（）具有獨(dú)立性、唯一性彼此獨(dú)立、不能互相導(dǎo)出的量綱稱為基本量綱。任何物理方程中各項(xiàng)的量綱必定相同，這就是量綱的一致性原理。只有同種量才能相加減，長度和重量相加減沒有意義。4.5 4.5 量綱分析法量綱分析法一、物理方程量綱一致性原則一、物理方程量綱一致性原則( (續(xù)）續(xù)）1.量綱（續(xù)）導(dǎo)出

16、量綱：導(dǎo)出量綱：速度dimv = LT-1 加速度dima = LT-2 密度dim = ML-3 力dimF = MLT-2 壓強(qiáng)dimp = ML-1T-2 表面張力dim = MT-2 體積模量dimK = ML-1T-2 動(dòng)力粘度dim = ML-1T-1 運(yùn)動(dòng)粘度dim = L2T-1 比熱容dimcp= dimcv = L2T-2-1 氣體常數(shù)dimR = L2T-2-1。4.5 4.5 量綱分析法量綱分析法一、物理方程量綱一致性原則一、物理方程量綱一致性原則( (續(xù)）續(xù)）2.物理方程量綱一致性原則 正確描述自然現(xiàn)象的物理方程，其各項(xiàng)的量綱必然相同。 用量綱表示的物理方程必定是齊次

17、性的。 滿足量綱齊次性的物理方程，可用任一項(xiàng)去除其余各項(xiàng)，使其變滿足量綱齊次性的物理方程，可用任一項(xiàng)去除其余各項(xiàng)，使其變?yōu)闊o量綱方程，即準(zhǔn)則方程式。為無量綱方程，即準(zhǔn)則方程式。例如例如: :伯努利方程伯努利方程Hgpzgv22122gHpHzgHv無量綱方程無量綱方程4.5 4.5 量綱分析法量綱分析法二、瑞利法二、瑞利法 假設(shè)一種物理量（被定量）y受另一些物理量（主定量）x1、 x2、. 、xn的影響并由其決定，則可用主定量的冪次之積的函數(shù)來表示被定y?；舅枷耄杭俣ǜ魑锢砹恐g是指數(shù)形式的乘積組合。1212k.naaanyx xx式中，k為無量綱系數(shù)，由試驗(yàn)確定。 a1、 a2、. 、an

18、為待定指數(shù)，根據(jù)量綱一致性原則求出。 已知管流的特征流速已知管流的特征流速vc與流體的密度與流體的密度、動(dòng)力粘度、動(dòng)力粘度和管徑和管徑d有關(guān)，試有關(guān)，試用瑞利量綱分析法建立用瑞利量綱分析法建立vc的公式結(jié)構(gòu)。的公式結(jié)構(gòu)。解式中k為無量綱常數(shù)。各物理量的量綱為：1311dim, dimdim, dimcvLTMLML TdL代入指數(shù)方程，則得相應(yīng)的量綱方程假定kcvdLTMLMLLT)()(11314.5 4.5 量綱分析法量綱分析法根據(jù)量綱齊次性原理，有1:31:0:TLM解上述三元一次方程組得：1, 1, 1故得：dkvc其中常數(shù)k需由實(shí)驗(yàn)確定。w瑞利法一般用于影響流動(dòng)的參數(shù)個(gè)數(shù)不超過瑞利法一般用于影響流動(dòng)的